por Lolita Brain

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

U n granjero tie-ne 30 cerdos,20 caballos y50 vacas. Si lla-mamos vacas alos caballos,cuntas vacastendr estegranjero?

E n cierta ocasin, el famoso detective belga creado por Agatha Christie, HerculesPoirot, fue llamado para dilucidar un envenenamiento ocurrido en el transcursode una fiesta. Al parecer, el asesino coloc el veneno en la ltima copa de la quebebi Sir John de Lancaster. Con la confusin de su repentina muerte, nadie podaasegurar cul era esa trgica copa, en la que pudieran hallarse huellas del asesino.Hacer examinar todas y cada una de las copas era un proceso muy costosoadems de lento. Con la inteligencia que le caracteriza, Poirot cont las copasque haba en el saln y dijo escuetamente al anfitrin:- Sir Harris, tenga la amabilidad de escoger una copa cualquiera de las que estna su alrededor y llevmosla a analizar.- Pero as desperdiciaremos un anlisis -replic Sir Harris. - Le puedo asegurar que no haremos ni uno ms ni uno menos de los que hayque hacer: analizando exactamente ocho copas sabremos de la que bebi SirJohn.Unas horas y ocho anlisis despus, Poirot volvi con la copa envenenada en sumano.Si en el saln haba entre 100 y 200 copas, cmo pudo Poirot con slo ochopruebas encontrar la copa que mat a Sir John? y, cuntas copas haba, paraque el primer anlisis se pudiera hacer con cualquiera de ellas?

L as cuatro monedas de la imagen forman un cuadrado.Moviendo slo una de sitio, podras hacer dos hilerascon tres monedas cada una?

C on tan slo seis cerillas,debes ser capaz de construirocho tringulos equilteros,es decir, con tres lados igualescada uno. Los ocho tringulosno tienen por qu tener las mis-mas dimensiones.

Despus del agotamiento mental que tendrs tras los exmenes, nada mejor para rela-jarse que resolver unos curiosos problemas lgicos que pongan a prueba tu ingenio. Tepresentamos versiones de algunos problemas famosos. Por ejemplo, el dilema delgranjero es una versin de una respuesta contundente que proporcion Lincoln a unadversario poltico. Las copas de Poirot son un modelo que se utiliza en muchas situa-ciones reales. Adems te proponemos dos cuestiones clsicas con cerillas y monedas yuna tpica de relojes, similar a otras con jarras que seguro conoces. Que te diviertas.

PON TU INGENIOA TRABAJAR

LA PARADOJA DE LINCOLN

UN CLSICO CON CERILLAS

Y UN CLSICO CON MONEDAS

LOS HUEVOS COCIDOS

Se vuelven los dos relojes a la vez que se pone el

huevo en el agua. Cuando el reloj de siete minutos

ha acabado, se le da la vuelta de nuevo hasta que

termine el de 11 minutos. En este momento han

transcurrido 11 minutos... pero el reloj de siete

minutos tiene abajo otros cuatro! Le damos la vuelta

y cuando acabe, los huevos estarn cocidos pues

habrn pasado exactamente 11+ 4 minutos.

Basta con colocar

una moneda

cualquiera sobre

la que est en su

diagonal. De este

modo tendremos

un esquema

triangular en el

que hay dos filas y

cada una tiene

tres monedas.

Slo tienes que componer una estrella de David formando dos

tringulos con las seis cerillas e invirtiendo uno. Tendrs as seis

tringulos pequeos, las puntas de la estrella, y dos grandes. Todos

ellos son equilteros aunque dos, de distinto tamao.

El modo ms rpido de encontrar la

copa envenenada es por el

procedimiento de divisin binaria. Se

hacen dos grupos, cada uno con la

mitad de todas las copas. Se mezcla de

modo separado parte del contenido de

todas las copas de cada mitad, de modo

que el veneno estar en una de las dos

mezclas. Se analiza una de las mezclas

resultantes. Si se encuentra el veneno en

ella se repite el proceso en esa mitad de

las copas volviendo a separarlas en dos

mitades. Si no se encuentra, el veneno

estar en la otra mitad. Sabiendo que

2

7

=128 y 2

8

=256, cuando Poirot cont

las copas supo al instante que slo

necesitaba ocho pruebas como mximo.

Por otra parte, si haba 129 copas, Poirot

pens: necesitar un examen de una

copa cualquiera y luego si sta no tiene

el veneno, al quedarme 128 copas,

realizar los otros siete anlisis.

El granjero tendr exactamente las mismas 50 vacas. Por mucho que

llame vacas a los caballos, estos no van a dejar de serlo.

La pregunta est tomada de una ancdota de Abraham Lincoln, el

presidente abolicionista de los Estados Unidos. Se cuenta que al

estar discutiendo con un ciudadano partidario de la esclavitud, ste

le dijo que la esclavitud no era esclavitud sino proteccionismo.

Lincoln le replic:

- Y si decimos que el rabo de un perro es una pata y no un rabo

convendra usted que los perros tendran cinco patas? Imagino que

no, puesto que cambiar el nombre de las cosas no cambia las

cosas.

D isponemos de dos relojes de are-na que miden 11 y 7 minutos cadauno. Con ellos debemos realizaruna coccin perfecta de un huevo,que se cocina en 15 minutos exacta-mente. Cmo puede hacerse?

LAS COPAS ENVENENADAS DE POIROT

AULADE EL MUNDO

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por Lolita Brain

BBRRAAHHMMAAGGUUPPTTAA era de laopinin de que cceerroo ddiivvii--ddiiddoo ppoorr cceerroo,, eess cceerroo..MMAAHHAAVVIIRRAA deca, en cam-bio, que uunn nnmmeerroo ppeerr--mmaanneeccee iinnaalltteerraaddoo ccuuaann--ddoo ssee ddiivviiddee ppoorr cceerroo.BBHHAASSKKAARRAA,, por su parte,pensaba que uunnaa ccaannttii--ddaadd ddiivviiddiiddaa ppoorr cceerroo,, eessuunnaa ccaannttiiddaadd iinnffiinniittaa.

La civilizacin maya, quefloreci entre 250 y 900, de-sarroll un sistema posicio-nal por repeticin (I, II, III,IIII...), de base 20, con unsmbolo para el cero. El ais-lamiento y la rpida desa-paricin de esta olvidadacultura hizo que su uso notrascendiera.

Es conocida la labor de transmisin de los rabes de los co-nocimientos indios a Occidente. La obra de Al-Khawariz-mi Sobre el arte hind del clculo describe el sistema hindbasado en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0. Es el primer libro, escrito en

el actual Irak, en que se usa el cero como indicador de posicin.Ibn Ezra en el siglo XII, escribi tres tratados que transmitie-ron el saber indio y el sistema decimal. l llamaba al cerogalgal (crculo o rueda)

Leonardo de Pisa, Fibo-nacci, fue el primeroen traer esas ideasa Europa. En suobra Liber Abaci,describa el siste-ma decimal y elclculo con l.Sin embargo,

el uso del cero era algo con-fuso, refirindose a l co-

mo signo o como n-mero. El Occidentemedieval, sin embar-go, necesit mucho

tiempo para di-gerir estos

cambios.La evolucin del conocimiento a partirde la introduccin del cero se aceleraunque hay que recordar, por ejem-plo, que Cardano, en el siglo XVI, re-solvi la ecuacin cbica sin usar el ce-ro! Sencillamente no era parte de las ma-tematicas de su tiempo. Es posible quesu uso le hubiera facilitado el trabajo.

Una de las preguntas ms comunes acerca de las matemticas es: quin invent el cero?, re-conociendo en ella que, si bien los inventores de los restantes nmeros deben ser importantes,la particularidad del cero hace resaltar a su inventor. Y la respuesta a esa pregunta es muy sen-cilla: nadie en particular, porque cada nmero no fue inventado por una persona. Son las cultu-ras las que han realizado estos avances, influidas por muchos acontecimientos.

DDee 00 aa 99 ((ffrraaggmmeennttoo)) JJaassppeerrJJoonnhhnnss hhaacciiaa 11993300

LL OO SS SS II GG NN II FF II CC AA DD OO SS DD EE LLCC EE RR OO

A diferencia de otros nmeros, al CCEE--RROO le corresponde un doble signifi-cado.CCIIFFRRAA PPOOSSIICCIIOONNAALL:: indica en las es-crituras posicionales la ausenciade decenas o unidades o centenas.Permite distinguir 205 de 25CCAANNTTIIDDAADD:: representa la asuencia decantidad, el vaco o la nada. Res-ponde al fenmeno de sustraer untodo de s mismo

A pesar de que losgriegos no utilizaronel sistema posicionalde numeracin y, portanto, no necesitaronel cero, los astrno-mos comenzaron autilizar una o como

marca en algunas co-lumnas vacias. Pto-lomeo, en su Alma-gesto, tambin utilizeste recurso. Pero nose trata de un uso po-sicional y no trascen-di su uso.

El indio Aryabhata ingenia un sistema de numera-cin posicional sin cero. Llama kha a la posicin yms tarde este ser el nombre indio para el cero

Los indios BBRRAAHHMMAAGGUUPPTTAA, MMAAHHAAVVIIRRAA yBBHHAASSKKAARRAA son los primeros en pensar elcero como nmero. Respondieron, a ve-ces con ideas equivocadas, a pregun-tas como cmo obtener cero? qu su-cede cuando se suma cero a una canti-dad? Y, cundo se multiplica un n-mero positivo por un negativo?

En las tablillas de KISH (Irak), losbabilonios marcaban el cero po-sicional con dos o tres muescas.As, para diferenciar 34 de 304escriban 34. Nunca lo utiliza-ban al final de modo que escri-ban 34 pero no 34.

El sistema de nota-cin posicional delos babilonios re-quera una muescaespecial que distin-guiera 34 de 304.Sin embargo, poresas fechas el con-texto sealaba la di-ferencia entre esascantidades.

QQUUIINN TTEENNAA RRAAZZNN??

NNIINNGGUUNNOODDEELLOOSSTTRREESS.. 00//00

y

nn//00

son dos operaciones

no definidas.. Bhaskara por su parte aventura unconcepto infinitesimal al sugerir

nn//00 == iinnffiinniittoo..

1.700 A.C.

700 A.C.

130

500

850

1200

RReettrraattoo ddeeggeennttiill hhoommbbrree ..

AAnnnniimmoo ..DDeettaallllee..

T A N T AH I S T O R I AP A R A N A D A

Primer registro fechado de la escritura del cero en In-dia: en un problema sobre un jardn en Gwalior, cercade Nueva Delhi aperecen inscritos los nmeros 270 y 50tal y como lo haramos hoy

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lolitabrain@hotmail.com

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El ao que acaba de comenzar, 2002, ser el ltimo capica quevivamos los que leemos este suplemento. El anterior fue 1991.Por eso, hoy vamos a contarte unas cuantas curiosidades so-bre estos nmeros. Y como, adems, existe la propiedad capi-ca para los textos y las imgenes, te hablaremos tambin de lasexpresiones palindrmicas o los palndromos.

C A P I C U A S Y P A L I N D R O M O S

por Lolita Brain

Los nmeros capicas, ya sabes, los que son iguales de izquier-da a derecha que de derecha a izquierda, no presentan nadaespecial bajo el prisma de las Matemticas. No mantienen re-gularidad alguna ni contienen ningn secreto y son mucho ms po-bres que los nmeros perfectos o los primos. Sin embargo su es-tudio est lleno de conjeturas. Es decir, se sabe cmo se compor-tan en algunas situaciones pero no se tiene ni idea de qu sucede entodos los casos.

Una de las ms famosas con-jeturas sobre los nmeros ca-picas aparece en textos hacia1930, pero es de origen desco-nocido. Afirma que, partien-do de un nmero entero cual-quiera, se le da la vuelta a suscifras y se suma con l. Si el re-sultado inicial no es capica, serepite el proceso con el nue-vo nmero. La conjetura aseguraque, de este modo, en un nme-ro de pasos finitos se encuentraun nmero capica. Aunque suveracidad es ms o menos acep-tada, en 1967, el matemtico ca-liforniano Charles Trigg, en-contr que en los primeros10.000 nmeros hay 249 quetras repetir el proceso nada me-nos que 100 veces no apareceun capica. En 1975, Harry Saaltom el 196, el menor de los n-meros encontrados por Trigg ytras repetir 237.310 iteracionesno encontr un capica. Salvo las249 excepciones, los enteros me-nores de 10.000 producen capi-ca antes de 24 pasos. Es ms,slo 89 y 98 necesitan las 24 ite-raciones. Hoy en da, Trigg pien-sa que es falsa.

Un PALNDROMO (del griego PALIN de nuevo y DROMOS carrera, andar) es una palabra (Ana)o una frase (Amo la pacfica paloma) que se lee igual de izquierda a derecha, que dederecha a izquierda. Existen en todos los idiomas y han interesado a personajes fa-mosos, como a Lewis Carrol, el autor de Alicia en el pas de las maravillas. Te dejamosuna pequea muestra de algunos en castellano.

Este nmero tiene tres particularidades: es resultado de hacerel cuadrado de 836, 8362=698.896, que es el mayor nmerode tres cifras, cuyo cuadrado da de resultado un capica. Ademscualquier otro nmero que sea un cuadrado y adems capica,es siempre mayor que l. Fjate adems que si le das la vuelta tam-bin es capica: 968.869

Dbale arroz a la zorra el abadA cavar a Caravaca

A sor Adela, Pepa le da rosa.A ti la sal y la salitaA tu rival, la viruta.Abusn, ac no suba

Acaso repelen leperos ac?Adn no cede con Eva, Yav no cede con

nada.Al amanecer asar cena mala.

Ans us tu auto, SusanaArena mala me da de mala manera.

As Mario oir misa.Isaac no ronca as.

Lavan esa base naval.Ni nicotina ni tocinn

Nota pica: nac peatn.O sacis ropa por si acaso.

Or a Daro.Oir la voz noble del bonzo Valerio

Oro! ... Ya hay oro!Otro poseso Jos soportPirata me mata?... R.I.P.!

Raja barmetro por temor a bajar.Roba la lona, no la labor.

Roza las alas al azor.Yo de lo mnimo le doy

Tambin existen imgenespalindrmicas. Son aque-llas que tienen dos sentidos,cuando se las ve en una po-

sicin y cuando se les da lavuelta o un giro. Te mostra-mos dos ejemplos: el caba-llo-rana y la joven-vieja.

+

11 22 ==111111 22 == 11 22 11

11 11 11 22 == 11 22 .. 33 22 1111 .. 11 11 11 22 == 11 .. 22 33 44 .. 33 22 11

11 11 .. 11 11 11 22 == 11 22 33 .. 44 55 44 .. 33 22 1111 11 11 .. 11 11 11 22 == 11 22 .. 33 44 55 .. 66 55 44 .. 33 22 11

.. .. ..11 .. 11 11 11 .. 11 11 11 22 == 11 22 .. 33 44 55 .. 66 77 88 .. 99 88 77 .. 66 55 44 .. 33 22 11

LL AA CC OO NN JJ EE TT UU RR AA CC AA PP II CC UU AA

Los REPETUNOS son nmeros formados slo con la cifra uno. Cuan-do se elevan al cuadrado aparecen nmeros capicas con labrillantez de ir encontrando sucesivamente todos los nmerosdesde el uno hasta el nueve. Sin embargo, a partir del repetuno111.111.111 no aparecen ms capicas.

lolitabrain@hotmail.com

PP AA LL II NN DD RR OO MM OO SS VV II SS UU AA LL EE SS

Este nmero podra ser el primer capica que est documenta-do. En la obra Ganitasarasamgraha (hacia 850 d.C.) del matem-tico indio Mahaviracharya, aparece este nmero como resultadode unos clculos, y lo define como ekadishadantani kramena hi-nani, es decir, la cantidad QUE COMIENZA POR UNO Y AUMENTA HAS-TA SEIS, PARA A CONTINUACIN DISMINUIR ORDENADAMENTE.... Histri-camente, lo ms importante es que este documento nos dice que,antes de mediados del siglo IX, los indios ya conocan la nota-cin posicional. Los sistemas anteriores de numeracin no podanproducir capicas.

E L P R I M E R C A P I C U A ?1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

6 9 8 . 8 9 6

+

9559

144441585