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Tenem os la ide a d e q ue entre rea lidad y represe ntacin existe una c orresp onde nciabiunvoca : todo lo que d ibujamos c orrespo nde a un objeto en la rea lida d. Nada ms ale-jad o de la verda d. S i algo existe pod emos represe ntarlo, pero ha y mltiples ejemplos dereprese ntaciones q ue no tienen correlato en la realida d. Dibujos, grab ad os y ha sta foto-grafas nos p uede n prese ntar objetos q ue son s encillam ente impos ibles de c rear fsica-mente. M.C. Esc her fue un estudioso de e stas ano malas de la represe ntacin. Con elestudio de a lgunos d e sus mode los terminamos e sta serie de lminas d edicada s a s u obra.

por Lolita Brain

Infografa y textos: Lolita Brain - ww w.lolitabrain.com

LA ESTRUCTURA ES LO QUE ENGAA

DOS MUNDOS REALES PARA CREAR UNA ILUSIN

ESCHER NOS EXPLICA EL ENGAO

Una mirada a la estructura del palacete

de Belvedere nos explica por qu la

figura es imposible. El edificio est

compuesto por dos prismas rectos, uno

para ca da una de las plantas. Estos polie-

dros se cruzan formand o un ngulo de 90

grados. Uno de los prismas est orienta-

do s egn la mirad a d el rico comerciante a

la derecha de la planta inferior, mientras

que el prisma superior se o rienta s egn la

mirada de la s eora que se a soma en la

planta de a rriba .

Una costumbre de Escher es

proporcionar al espectador

informacin del problemade

sus construcciones. En este

caso, al pie del Belvedere, un

joven s ostiene un objeto imposi-

ble en sus manos: una jau la

imposible. Por tanto, es real

este persona je y su juego? Cier-

tamente no, porque tal jaula no

puede construirse. Al pie del

joven, un pa pel con un d ibujo nos

indica cmo puede dibujarse tal

estructura a unque no exista.

A la derecha tienes una fotografa de lajaula imposiblerealizada porel Dr. Co chran. Te preguntars entonces: si existe la foto c mo es

que no existe el objeto? El cubo imposible no es tal cubo. El fotgrafo,

como Escher, capta al objeto desde una perspectiva determinada

para q ue parezca real, pero est co nstruido co n partes disjuntas.

Si quieres saber cmo es realmente el

Belvedere entra e n la pg ina s iguiente de

la web oficial de Escher,

http://www.mcescher.com/Downlo-ads/downloads.htm en la que una ani-macin te desvelar lo que no podemos

explica rte con una imagen es ttica : cmo

est c onstruido el palacete.

Como en el grabad o q ue discutimos la pas ada lmina, Cncavo y convexo, el Belvederetiene

dos partes c uya realida d e s indiscutible: las p lanta s s uperior e inferior del templete son c om-

pletamente normales. Si cortamo s el grab ad o y prolonga mos las columnas o trazamo s unos

arcos , comproba mos q ue est perfectamente construido. Es la unin de las dos p lanta s la que

hac e q ue el templo d eje de existir. Aunque poda mos dibujarlo no podramos c onstruirlo.

En la ob ra Cascada, Escher trabaja el mismo c oncepto

que en Belvedere. Utiliza en este caso otro objeto

imposible, el Tribar

de Penrose como

estructura de una cas-

cada con movimiento

imposible. Tal ca sca da

tampoco se puede

construir. Es slo que

el punto de vista nos

hac e creer que es rea l.

UN PALACIO DESCONCERTANTE

El grabad o Belvederees uno de

los es pac ios ms inquietantes

de los creados por Escher. Se

trata de un hermoso palacete de

dos plantas c on columnas, rode-

ado por un hermoso paisaje

ca mpestre. Una mirad a minucio-

sa al mismo nos har ca er en la

cuenta de lo extrao que es, ha s-

ta preguntarnos existe realmen-

te tal palace te? Si obse rvamo s la

esc alera por la que sube el duen-

de, nos damos cuenta de q ue su

parte superior est apo yad a en lafachada de la planta superior,

mientras q ue la es calera se s uje-

ta en el interior de la estan cia de

la primera planta. Es decir, la

escalera atraviesa de dentro a

fuera el edificio. S i ahora o bse r-

vamos las columnas, aprecia-

mos q ue slo las d e los extremos

izquierdo y derecho son norma-

les. Las resta ntes unen la b aran-

dilla exterior con los a rcos poste-

riores y viceversa, atravesando

por tanto el palacio.BELVEDERE,lito grafa 1 958

CASCADA, lito grafa 19 61TRIBAR DE PENROSE

DIBUJARPARA ENGAAR

LA ESCALERA SEAPOYA DENTRO DEL

PALACETE.

MS CREACIONES IMPOSIBLES

LA ESCALERA SEAPOYA EN LA

FACHADA.

ESTAS COLUMNASSON CORRECTAS.

ESTA COLUMNATIENE EL CAPITEL

EN LA PARTEALEJADA AL

ESPECTADOR...

...PERO EL PLINTOEST EN LA

BARANDILLA

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AULA.706.06.02EL MUNDOJueves cientfico

E L P A R A I S O D E

L O S S I M B O L O S

lolitabrain@hotmail.com

Que las Matemticas son un galimatas para mu-chsima gente no es ninguna novedad. Entre lasmuchas razones que podramos aducir en ese sen-tido, se encuentra el formulismode su expresin: sino conocemos la simbologa en la que estn es-critas las Matemticas es muy dificil que poda-mos entenderlas. Pero lejos de ser una mana de los matemticos, lasimbologa o la nomenclatura, o como queramos denominarlo, de estaciencia ha evolucionado a lo largo del tiempo buscando siempre claridady universalidad.

por L olita Brain

Desde n i os , i gua l que pa ra l ee res preciso conocer las letras y lasmaneras en que se combinan, a l

acercarnos por primera vez a las Ma-temt icas debemos aprender como

se rep resen t an l os concep to s m sesenciales de ella: los nm eros. Peroapren demos en seguida, que la util i-dad de l o s nm eros rad i ca en su scombinaciones algebraicas : pode-mos su mar los, restarlos , mul t ip li -carlos y dividirlos . Por ello los sm-bolos que expresan estas operacio-nes son los primeros que conocemos.Sin embargo smbolos tan sencilloscomo la cruz pa ra la adicin o el aspapa ra l a m u l t i p li cac in no s i em pre

s e u s a -ron as.

PRIMER TEXTO IMPRESO DE LOSSMBOLOS + Y - E N LA O BR A D EJOHANNES W IDMAN BEHENNDE

VND HPSCHERECHNUNG.Edicin Augsburg de 1526

PGINA DEL TEXTO DE RAH N E N E L Q U EAPARECEN IMPRESOS MLTIPLES SMBO-LOS ALGEBRAICOS Y POR PRIMERA VEZ

RAIZ RAIZ

PARNTESIS

La Summa de Arithmetica, Geome-tria Proportioni et Proportiona litade Luca P aciol i de 1523 es, junto

al Liber Abaci de FIBONACCI, uno de lospilares algebr aicos de nue stra civili-zacin. En l entre otras muchas ide-as, aparecen las ecuaciones y las ope-raciones elementales en una escrituramuy avanzada para la poca aunquelejana a nue stro simbolismo. Este librofue capi ta l para e l progreso y desa-rrollo en Occidente de las matem ti-cas ar biga y oriental. Sobre todo uti-liza la notacin sincopada...pero saes otra h istoria.

Anterior a laS u m m a d e Ari thmetica,

en 1484 N ICOLASCHUQUET (1445?-1500?) en su LeTripar ty en laSc ience des Nombres escri-be entre otras, laexpresin supe-rior. Sabes loque sign ifica?

La X p a r a r e p r e s e n t a r e l p r o -d u c t o d e d o s c a n t i d a d e s f u eusado por primera vez por W I-LLIAM OUGHTRED (1574-1660) enel Clavis Mathematicae.

El p u n t o ( ) p a r a s i m b o -l i za r e l p r o d u c t o f u e i n -t roducido por GOTTFRIEDW. LEIBNIZ (1646-1716).El 29 de julio de 1698 es-cribi una carta a su a mi-

go Johan n Bernoull i en laque expl icaba:

N o me gu st a l a x p a r a s imbo l i za r e l p r oduc t oporque se confunde con lavar iable x; [ . .. ] a m enudos imp l i f i co e l p roduc to dedos ma gnitud es median teun punt o entre ellas comoen Z CL M . Sin embargopara designar la r azn en-tre ellas utilizo los dos pun-t o s ( : ) que tamb ien usopara la divisin.

La divisin ha sufrido mltiples cambios en s u simbologa a lo largo de la His-toria debido, entre otras ra zones, a sus d istintos significados: divisin en tera(con

resto), divisin decimal, raznde magn itudes, etc.

El parntesis de c ierre (y a l revs) fu u t i l izado porMICHAEL STIFEL (1487-1567 ) en su Arithmetica integra,completada en 1540 y publicada en 1544 en Nuer nberg.

se ut i liz por primera vez como smbolo dedivisin por JOHANN RAHN (o Rhonius) (1622-

1676) en 1659 en su obra Teutsche Algebra

El asterisco para representarla mul t ip l icacin proviene deJ OHANN RAH N (1622-1676)

quien en 1659 lo us en sul ibro Teutsche Algebra.

Nuest ros comunes dos puntos se usaron en 1633 en eltexto ti tulado Aritmtica de Johnson en dos volmenes(1633). Aunque para escribir fracciones John sonusaba el parn tesis. As para escribir 2/3 notaba 2:3)Leibniz us los dos puntos tanto para fracciones comopara divisiones en 1684 en el Acta Eruditorum

+ ( PLUS)

A finales del siglo XIX J AMES B.THOMSON en su Complete GradedArithmeticen utiliza la expresin infe-r i o r pa ra nues t ra d i v i s i n en t e ramost rada arriba.

N ICOLS DE ORESME (1323-1382)es probablemente el primero enu s a r + p a r a l a s u m a e n s u l i -bro Algorismus proportionum,e s c r i t o s u p u e s t a m e n t e e n -tre1356 y 1361. Anter iorme nte+ se e sc r i b a e t de l l a t ny. Despus tamb in se us p(plus).

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La semana pasada nos introdujimos en el mundo del lgebra Abstracta comenzando a estu-diar una de sus ms sencillas estructuras: los grupos. Para ello estudiamos el caso particularde las distintas formas de barajar tres cartas de una baraja y nos convencimos de la existenciade una operacin interna entre unas formas simples de mezclar las cartas. Continuamos esta se-mana explorando algunas caractersticas de esta simple pero ambiciosa estructura algebraica.

QU ES UN

GRUPO?Y

IIRESUMEN DE NUESTRO GRUPOS i consideramos las seis formassimples de barajar tres cartasde una baraja, que se ilustranen la imagen, (denominadasx1...x6) y establecemos como pro-ducto de ellas la operacin de apli-car una mezcla a continuacin deotra, observamos que siempreobtenemos un nuevo miembro deesta coleccin de seis transforma-ciones entre cartas. Estos seiselementos son lo que denomina-mos un grupo.

E xisten muchos ejemplos de con-juntos con operaciones que tie-nen estructura de grupo, algu-nos de los cuales son ampliamenteconocidos por todos. Entre ellos,los conjuntos de nmeros ms sen-cillos, los nmeros de contar o lasfracciones son grupos.

El conjunto de los nmeros ente-ros, los nmeros de contar y losnegativos con la operacin de lasuma es un grupo. Su elemento

neutroes el 0.

T odo conjunto de transformacio-nes obtenidas al permutar car-tas, letras o smbolos como elejemplo de las cartas que hemosdesarrollado son casos de un gru-po general denominado grupo depermutaciones. El nmero decartas o smbolos que se permutanse denomina orden del grupo. Ennuestro ejemplo, el grupo est for-mado por seis elementos x1, x2,x3,x4, x5, x6 que se obtienen deintercambiar tres cartas. Se diceentonces que es un grupo de orden3.

D e hecho podemos resumirtodas las posibles combina-ciones entre estas seis for-mas de barajar las tres cartas enla tabla adjunta. Es la que sedenomina Tabla de un Grupo,que nos informa de los resulta-dos que obtenemos al combinarcualquiera de los elementos quelo constituyen. Seguro querecuerdas la tabla de sumarconla que aprendiste a sumar ente-ros. Lo que hacas era aprenderla tabla de un grupo: el de losnmeros de contar con la suma.

L os grupos, adems de tener una ley de composicin interna,deben cumplir la propiedad asociativa. Esta propiedad obliga aque el resultado de aplicar varias transformaciones seguidas nodependa del orden en que se apliquen.

En todo grupo debe existir un elemento singular, llamado elementoneutro, que tiene la propiedad especial de no hacer nada, es decir,

que operado con cualquier elemento lo deja invariante. En nuestroejemplo de las distintas formas de barajar tres cartas, el elemento x1que deja igual el mazo de cartas es el neutro.

E n 1891, el cristalgrafo y gemetraruso E.S. Fedorov enunci su famo-so Teorema de Fedorov de clasifica-cin de grupos cristalogrficos planosen el que proporcion una asombrosaaplicacin de la teora de grupos. En ldemostr que slo existen 17 estructu-

ras bsicas posibles para obtenermosaicos peridicos que decoren el pla-no. Estas decoraciones resultan decombinar cuatro movimientos simples:TRASLACIN. La nueva loseta que aadi-mos es una loseta anterior desplazada auna nueva posicin sin giros de ningntipo.ROTACIN. La nueva loseta se obtienepor el giro de una anterior con centro enalgn punto determinado y con un ngu-lo concreto.REFLEXIN. Cada nueva loseta es la ima-gen especular de otra, con un eje desimetra dado.SIMETRA CON DESLIZAMIENTO. Se trata deuna reflexin seguida de una traslacinen la direccin del eje de reflexin.

Cada uno de los 17 modos posibles reci-be una denominacin que procede de lacristalografa.

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

Lo ms asombroso es que los nazares queconstruyeron la Alhambra y que no conocanla teora de Fedorov realizaron mosaicospara decorar las paredes del palacio detodos los 17 grupos que, 400 aos despus,el ruso catalogara como los nicos posibles.

LA TABLA DE UN GRUPO UN GRUPO NUMRICO

EL GRUPO DE PERMUTACIONES

UN GRUPO ES ASOCIATIVO

UN GRUPO TIENE ELEMENTO NEUTRO

UN XITO DE LA TEORA DE GRUPOS

po r L olita Brain

X1: accin de no barajarlas cartas

X2: resultado de inter-cambiar la primera y lasegunda carta

X4: accin de intercam-biar la segunda y la ter-cera carta

X5: resultado de cambiarla sota con el caballo,seguido de intercambiaraqulla con el rey

X6: efecto de cambiar laprimera con la segundacarta, seguido de inter-cambiar la primera conla tercera

X3: efecto de cambiar lasota con el rey