aula matemáticas ''el mundo'' láminas03
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7/25/2019 Aula Matemáticas ''El Mundo'' Láminas03
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AULAD E E L M U ND O
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www.lolitabrain.com
EL BUSCADOR DE PLATA LA DESAPARICIÓN DEL CUADRADO
SIN TIEMPO PARA ESTUDIAR
BEN-IBRAH, EL INGENIOSO AMANTE
Los divertimentos de lógica encierran algunas veces profundos conceptos o necesi-tan de métodos especiales para resolverlos. Otros, en cambio, sólo encierran unengaño en sus palabras. Hemos seleccionado cinco problemas de lógica: dos con-tienen un truco y no son ciertos, uno es un modélico ejemplo de pensamiento lateralque da la vuelta al problema suscitado. El problema del minero de plata encierra laaritmética binaria y por último reseñamos un ejemplo de la reorganización geométri-ca. ¡Que te gusten y los resuelvas!
po r L olita Brain
VERDAD Y TRUCOEN LOS ACERTIJOS
Un empobrecido buscador de plata, sólotenía una barra de este metal de 31 cm.Ante la exigencia de su casera de no darle
más crédito y de tener que pagar cada día elprecio de la renta, el minero le propuso losiguiente. Como estaban en marzo, cortaría labarra en 31 trocitos. Cada día le daría uno a lacasera y al llegar al 31, si tenía el dinero de larenta, ella le devolvería la barra de plata enpedazos. Hacer los 31 trozos era muy laborio-so, por lo que el minero pensó que podría solu-cionar su problema con menos cortes. Porejemplo, podría hacer 2 cortes de 1 cm y otrode 2. Los dos primeros días entregaría una delas partes de 1 cm y el tercero daría a la caserala de 3 cm, que le devolvería los dos de 1 cm.Se preguntó entonces,¿cuál será el mínimonúmero de cortesque deberérealizar a labarra?
Alberto, un mal estudiante de E.S.O., fue inquirido por sus padres para que les expli-cara a qué eran debidos los malos resultados en sus evaluaciones. Alberto,que era más listo de lo que sus padres imaginaban, les contestó: “Mirad, el
problema es que no me queda tiempo para estudiar. Si hacemos cuen-tas sobre el tiempo que invierto en algunas actividades, lo compren-deréis. Duermo ocho horas diarias, lo que suponen 122 días alaño; no hay clases los sábados ni domingos, que hacen untotal de 104 jornadas; y en verano hay vacaciones a lo largo de60 días. Necesito tres horas diarias para comer, lo que suponenmás de 45 días completos al año, y si ponemos dos horas paraocio, me dan algo más de 30 jornadas. Total, estas actividadessuman 361 días en un año. Como veis, el problema es que no me que-da tiempo ni para ir a la escuela. Los padres de Alberto quedaronboquiabiertos, preguntándose ¿cómo es posible que vaya a clase si elpobrecillo no tiene tiempo?
E l m e n o r n ú m e r o p o s i b l e d e t r o z o s q u e h a n d e e f e c t u a r s e e n l a b a r r a d e p l a t a s o n c i n c o . H a n d e m e d i r e x a c t a m e n t e 1 , 2 , 4 , 8 y 1 6 c e n t í m e - t r o s c a d a u n o . E l l o s l e b a s t a r á n p a r a p o d e r p a g a r a s u c a s e r a l o s 3 1 d í a s d e m a r z o . P o r e j e m p l o , e l d í a 1 7 l e e n t r e g a r á l o s t r o z o s d e
1 + 2 + 4 + 8 y l a c a s e r a l e d e v o l v e r á l a p a r t e d e 1 6 c m d e l d í a a n t e r i o r . E s t e p r o c e d i m i e n t o s e b a s a e n e l s i s t e m a d e n u m e r a c i ó n b i n a r i o q u e
u s a n l o s o r d e n a d o r e s .
A l c a m b i a r d e l u g a r l a s p i e z a s 2 y 3 , c a d a u n o d e l o s c u a d r a d o s p e q u e ñ o s q u e s e h a n c o r t a d o s e h a c e n u n p o c o m á s a l t o s q u e a n c h o s . A s í , e l c u a d r a d o f i n a l n o e s r e a l m e n t e p e r f e c t o . S u a l t u r a s e h a i n c r e m e n t a d o p a r a a u m e n t a r e n s u p e r f i c i e t a n t o c o m o e l c u a - d r a d i t o a z u l q u e a p a r e n t e m e n t e h a d e s a p a r e c i d o .
E l t r u c o d e l e n g a ñ o c o n s i s t e e n q u e a l g u n a s d e l a s a c t i v i d a d e s q u e m e n c i o n a A l b e r t o s e s o l a p a n e n e l t i e m p o y s e c u e n t a n d o s v e c e s e n e l c ó m p u t o t o t a l . P o r e j e m p l o , d e l o s 1 2 2 d í a s a l a ñ o q u e d u e r m e , b u e - n a p a r t e d e e l l o s c o r r e s p o n -
d e n a s u p e r i o d o d e v a c a c i o n e s ; d u r a n t e e s t o s d í a s t a m - b i é n d u e r m e y c o m e , e t c . A s í , A l b e r t o c o n t a b i l i z a v a r i a s v e c e s l o s d í a s , m o t i v o p o r e l q u e n o l e q u e d a t i e m p o p a r a i r a l c o l e g i o .
Paul Curry, ciudadano neoyorqui-no, inventó un curioso problemade geometría. Tomando un cua-
drado de cartulina como el de la pri-mera figura de la derecha, propusoque se recortaran las piezas segúnse indica. Reorganizando las mis-mas partes, pero ahora según lasegunda figura, se obtiene un nuevocuadrado al que le falta un pequeñocuadradito azul. ¿Dónde ha ido aparar dicho cuadrado? ¿Hay trucoo es verdad esta ‘desintegración’de parte del cuadrado?
Cuenta una vieja leyenda que Yusuf, emir deDamasco, deseaba impedir la boda de su hijaShafila con Ben-Ibrah, un pobre comerciante
del que ella estaba perdidamente enamora-da. Yusuf se negaba repetidamente a lapetición de Shafila, pero ante su insis-tencia convino en darle una oportuni-dad. De este modo les propuso queél escribiría en dos trozos de perga-mino las palabras ‘boda’ y ‘destie-rro’. Ben-Ibrah escogería del tur-bante del emir uno de los dospergaminos. Su destino quedaríamarcado por la palabra del trozo queescogiera al azar. Yusuf, que no iba a
consentir que su hija se saliera con la suya, escribióen ambos la palabra ‘destierro’. Pero el comerciante,
que aunque pobre, no era ingenuo, imaginóla treta del emir. Claro, no podía decirlo
y dejarle en evidencia delante de sucorte, y por otro lado, sólo desea-
ba su boda con Shafila. La prue-ba se realizó y al cabo de unosdías, Ben-Ibrah y Shafila dis-frutaban felices de una maravi-llosa fiesta de boda. ¿Quépudo hacer el comerciantepara escapar de la trampa de
Yusuf?
El exigente y lógico teniente deartillería británico Smith siem-pre ponía a prueba a sus subor-
dinados. En una ocasión, habien-do caído enfermos algunos de lossoldados de un batallón, sólo 17 sepresentaron a la habitual revistamatutina.A Smith sólo se le ocurrió increparal sargento McCormitt:- ¡Forme a estos soldados en cua-tro filas de cinco personas cadauna!- Pero señor, si son sólo 17. No es
posible -le contestó el sargento.-Usted estudió geometría en la Aca-demia. Cumpla mis órdenes o seatendrá a las consecuencias -le res-pondió el teniente malhumorado.McCormitt se quedó pensativo unrato y al final, respondió:- A sus órdenes mi teniente.Y en un instante formó a los 17 sol-dados según las órdenes recibidas.
¿Cómo organizó McCormitt a subatallón para cumplir las órdenesde Smith?
B e n - I b r a h p e n s ó : “ S e g u r o q u e e l e m i r h a e s c r i t o e n a m b o s p e r g a m i n o s l a p a l a b r a ‘ d e s t i e r r o ” . P e r o s i l o d i g o e n p ú b l i c o q u e d a r á c o m o u n t r a m p o s o y m e h a r á d e s t e r r a r i g u a l m e n t e p o r h a b e r l e o f e n d i d o ” . A s í q u e n o p o d í a t o m a r u n t r o z o y m o s t r a r l o . T o m ó u n o d e l o s p e d a z o s , l o l e y ó p a r a s í y a c t o s e g u i d o ,
g r i t a n d o d e j ú b i l o a S h a f i l a , l o r o m p i ó e n m i l p e d a z o s .
- M i q u e r i d a S h a f i l a , t u p a d r e m o s t r a r á a t o d o s e l t r o - z o q u e é l t i e n e . ¡ A l á h a q u e r i d o q u e n o s c a s e m o s ! P a r a n o q u e d a r c o m o u n t r a m p o s o , e l e m i r n o t u v o m á s r e m e d i o q u e m o s t r a r e l p e r g a m i n o q u e q u e d a - b a e n s u t u r b a n t e , q u e é l b i e n s a b í a q u e t e n í a e s c r i t a
l a p a l a b r a ‘ d e s t i e r r o ’ . P o r t a n t o , B e n - I b r a h s ó l o
p u d o h a b e r e l e g i d o e l q u e t e n í a e s c r i t o ‘ b o d a ’ .
EL LÓGICO SARGENTO McCORMITT
7/25/2019 Aula Matemáticas ''El Mundo'' Láminas03
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AULA .710 .12 .99EL MUNDO
Viernes cultural. Lámina coleccionable
por Lolita Brain
L O S N U M E R O S . . . ¡ V A Y A H I S T O R I A !
Seguro que si te preguntaran cuál es el concepto matemáti-co más simple, tú responderías que el número. Sin embar-
go, no es tan sencillo como parece. De hecho, el hombretardó bastante en asimilarlo y los sistemas para simbolizar
cantidades no fueron siempre los mismos que ahora.
Aunque no lo sepas, 2.000 años a.C. los babilonios inventa-ron un sistema de representación para los números similaral nuestro y... ¡al de los ordenadores! El cero por ejemplo,no se conoció hasta el siglo VI en La India. En esta página tecontamos el porqué de cómo contamos
TUS PREGUNTA S POR L A RED:
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EN L A TECNOLOGIA DIGITAL ,los números se representan
también en un sistema posicional, pero como en el ordenador (en laRAM o en el disco) sólo se distinguen dos estados (apagado y encendi-do o, lo que es lo mismo, on y off ). El problema que surgió fue cómopoder representar los 10 primeros números cada uno de los cualestiene un símbolo diferente, disponiendo de sólo dos estados. Lasolución fue simple: se utilizó un sistema binario en el que las distintasposiciones, lejos de valer 10, 100, 1.000, valen 2, 4, 8, 16, etc. Porsupuesto, sólo existen dos dígitos: el 1 y el 0. Claro que así, los númerosson más largos de escribir.
EL SISTEMA DE NUMERACION R OMANO otorga símbolos distintos a algunascantidades especiales ( 1=I, 5=V, 10=X, 50=L, 100 =C, 500=D, 1.000=M ) yrepresenta los restantes números por adición ( 11=10 +1, XI=X+I ) o sustracción( 9=10-1; IX= X-I ). Los cálculos con este sistema de numeración son especialmen-
te complicados y dificultan el desarrollo de la aritmética.
126126
B ABILONICO. Cuneif orme.Posicional de base 60. Sin 0.Cada cif ra p e s a las potencias de60.600=1601=10602=3.600...
2x60+6
EGIPCIO. Jeroglífico.Decimal iterati v o noposicional.No conocian el 0.
100+20+6
A RA BIGO. Occidental.Posicional de base 10.(decimal). Con 0.Base 10: cada cif ra pesa laspotencias de 10.100=1101=10102=100103=1.000104=10.000...
1x100+2x10+6x1
ROMA NO.
Aditiv o capitular.No usaban el cero.
100+20+6
CXX VI
1111110
126BINARIO.Posicional debase 2(binario): cadacif ra pes a laspotencias de 2.20=121=222=423=824=16...
1x64+1x32+1x16+1x8+1x4+1x2+0x1
¿COMO REPRESENTAMOS L OS NUMEROS? El sistema arábigo denumeración, que realmente era hindú y es el que utilizamos, es posicionalcomo el de los babilonios pero decimal. Esto quiere decir tres cosas:1.- Hay un símbolo especial para los 10 primeros números (0, 1, 2, 3,...9);2.- Cada número tiene un valor determinado por el lugar que ocupa (cada 2
de 222 tiene un valor distinto: 2 ó 20 ó 200);3.- El sistema numera en base al 10,es decir, cada posición representauna potencia de 10 (decenas =10,centenas = 100, millares =1000, etc.)
100
1 1 1
10
=1x4+1x2+1x1=7
=1x100+1x10+1x1=111
1
4
1 1 1
2 1
L a primera referencia a un sistema decimalposicional apareció en el Aryabhatiya(hacia 499), obra de Aryabhata, uno de los
grandes matemáticoshindúes del siglo VI. Sinembargo, la primera cifra
escrita en este sistema quenos ha llegado es una inscripción
fechada en el año 595, en la que apareceescrito el año 346 en dicho sistema. Sólo
200 años después es cuando tenemosreferencia del cero por primera vez. Fueron
pues los hindúes los que, por un lado, asigna-ron un símbolo distinto a cada número del 1 al
9, y observaron que el valor de estos símbo-los podía cambiar sólo por la posición
relativa que ocuparan. Además
fueron conscientes de la necesidadde asignar un símbolo al vacío (cunga), que así es como denomi-naron al cero. Había nacido elque, aún hoy, es nuestro sistemade numeración.
EL IMPERIO B ABILONICO, en elOriente Medio, desarrolló unsistema de escritura en tablillasde barro sobre las que hacíanmuescas con un palo: laescritura cuneiforme. Muchasde ellas registran desdeoperaciones numéricasordinarias a cálculos astronó-micos.Los babilonios son los creado-
res de un sistema de represen-tación de los números similaral nuestro: el posicional. Ellosse dieron cuenta de que el mismosímbolo que representaba unnúmero (1, 2, 3, etc.) podía tenerdistinto valor según el lugar queocupara. Los números del 1 al 59 serepresentaban de modo similar alque lo hacían los egipcios: tenían unsímbolo para el 1 (una muesca vertical) y otro para el 10 ( unamuesca como un paréntesis), y losrepetían hasta obtener el númerodeseado. Los restantes dígitos
(desde el 60) los descomponían enmúltiplos de 60, de 3.600 y asísucesivamente. Los números teníanun valor u otro según la posición enque estuvieran colocados. Noconocían el cero y, por lo tanto, dosdoses juntos podían representar 22 ó202 ambiguamente. Esta fue suprincipal limitación.
El sistema de numeraciónegipcio data de hace unos5.000 años, es decir, alrede-dor del 3.000 a.C., y nos hallegado a través de papiros
como el de Ahmes -o de Rhind-(Museo Británico de Londres) oel de Moscú. Este sistema estababasado en el número 10 y en élse disponían de símbolosespeciales para el 1, 10, 100,1000... Estos símbolos se repetí-an tantas veces como indicaranlas centenas, decenas, etc. Porsupuesto, no conocían el cero,pues la nada no necesitabasímbolo. Los números se escribí-an de derecha a izquierda o alrevés. Estaban acostumbrados ausar números grandes para su época, como atestigua una mazareal conservada en Oxford de más de 5.000 años de antigüedad.En ella se recogen las cifras de 120.000 prisioneros y 1.422.000cabras capturadas como parte del botín de una campaña militar.
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P E R F E C T O S , A M I G O SY G E M E L O S
por Lolita Brain
Cuenta la leyenda que alser preguntado qué es un amigo, Pitágorasrespondió: “El que es el otro yo mismo, como
son 220 y 284”. Enigmática respuesta numérica comoera del gusto de Pitágoras..., pero ¿qué les sucede de es-pecial a 220 y 284? Muy sencillo, si sumas los diviso-res propios de 220, esto es 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 +20 + 22 + 44 + 55 + 110, se obtiene ¡284! Pero aúnhay más, si haces lo mismo con 284 y sumas sus divi-sores 1 + 2 + 4 + 71 + 142 se obtiene ¡220! ¿Se puedepedir más comunión a dos amigos? Estos son los nú-meros A MISTOSOS más pequeños que existen.
Los DI VISORES PROPIOS de un número dado nosproporcionan las partes en las que, de modoexacto, puede partirse dicho número. Por ejem-
plo, los divisores propios del 12 son 1, 2, 3, 4 y 6, y por tanto este número se puede partir en2, 3, 4 o 6 partes iguales sin que sobre ni falte.Observa que, en la vida real, cuando com-ponemos las partes en las que hemos divididoun todo, obtenemos el total. ¿Pasará lo mismo conlos números? Pues NO.Si tomamos el 12, por ejemplo, y sumamos sus
divisores, resulta 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, quees mayor que 12. Decimos que 12 es un nú-mero ABUNDA NTE (como el 18 o el 20).En cambio, si comenzamos con el 10,cuyos divisores propios son 1, 2 y 5, alsumarlos obtenemos 1 + 2 + 5 = 8,que es menor que 10. Decimos que10 es DEFICIENTE (como el 4, 8 o 9 ).Pero ¿y si hubiéramos tomado el 6?
Veamos: el 6 se divide propiamentepor 1, 2 y 3. Realizando la suma deantes obtenemos 1 + 2 + 3 = 6. ¡Elmismo número que de partida! Estosson los números PERFECTOS, algo asícomo los top-models de los números.
En el mundo de los números, nosólo hay amigos y perfectos. Losgemelos también se encuentran y
con unos lazos familiares muy es-trechos. Para que dos números seanGEMELOS, han de ser primos y ade-
más diferenciarse en dos unidades.Por ello se llaman también PRIMOS
GEMEL OS. ¿Por qué los denominamosasí? Porque la diferencia entre dosnúmeros primos es siempre mayor oigual que dos (¡excepto el 2 y el 3!).Por ejemplo, 3 y 5 son primos ge-melos, y también las parejas 5 y 7, 17
y 19, 29 y 31,101 y 103. Pero pue-den encontrarse parejas de gemelosmuy grandes, como 1.000.000.061
y 1.000.000.063, lo cual no deja deser sorprendente ya que los núme-
ros primos escasean cuando aumen-tan. Se ha conjeturado que existen infinitas parejas de primos ge-melos, pero este término no ha sido probado todavía.
Respecto de la divisibilidad,el 60 es uno de los númerosmás divisibles que existen:
se puede dividir por 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30 y 60.¡Nada menos que 12 divisores!Muchos más que el 100 y queotros números mayores. Porello con gran acierto los meso-
potamios lo escogieron comobase para su numeración.
Y para medir el tiempo.
Hasta la fecha seconocen aproxima-
damente 1.000 pare- jas de números ami-gos, aunque suhallazgo ha sidotarea de miles deaños. Desde lospitagóricos, huboque esperar hasta1636 para queP i e rreFermat
encontrara la siguiente pareja deamigos: 17.296 y 18.416, algo ale-
jados de 220 y 284. Fermat yDescartes redescubrieron unafórmula para calcular númerosamigos que ya era conocida porun astrónomo árabe en el sigloIX. Descartes, usando dicha fór-
mula, encontró a lapareja amistosa
9.363.584 y 9.437.056. Elgran Euler tuvo un gaza- po en sus cálculos cuan-do construyó una tablacon 64 parejas de ami-gos, de los que mástarde se demostraríaque una pareja era defalsos amigos. Resulta
m u ycurio-so que en 1867 un joven ita-liano de 16 años, descono-cido científicamente,NICOL Á S P AG A NINI encontróque 1.184 y 1.210 eran ami-gos... los siguientes a 220 y284 y se les pasó a todos losmatemáticos.
L O S P E R F E C T O S
Aunque conocemos desde la más tierna edad la clasificación delos números como pares e impares, y más adelante estudiamos
en el colegio otros tipos de números especiales, como los pri-mos, lo cierto es que las categorías en las que se clasifican los nú-meros enteros son numerosas y atienden a diversos criterios, sien-do los que tienen relación con los divisores -su número y valor-de las más interesantes. Aparecen entonces los números per-fectos, los primos gemelos, los números amigos y muchos más.Hoy nos daremos un baño por este universo de los elementosde las Matemáticas: los números naturales y enteros.
René Descartes(1596 -1650)
Pierre Fermat(1601 -1665)
Leonard Euler (1707 -1783)
Como hemos visto, el 6 es un númeroperfecto y además es el más pequeñoque existe. A partir deaquí los matemáticosse pusieron a la busca y captura de los siguien-tes perfectos, compren-diendo muy pronto queson números muy esca-sos y muy difíciles deencontrar. Los siguien-tes perfectos son 28,496 y 8128.Por otra parte, no se haencontrado ningúnPERFECTO IMPAR y esposible que no exista,pero es algo que nosabemos a ciencia cier-ta, por eso, al decir per-fecto solemos referir-nos a los numeros per-fectos pares. Fue, cómono, EUCLIDES el queestudió los númerosperfectos exhaustiva-mente en el LIBRO VIIIde sus Elementos. Fiela su sagacidad,Euclides postuló que siel número anterior auna potencia de 2 esprimo (por ejemplo, 7 es el anterior a
la potencia 23=8), entonces al multi-plicarla por lapotencia anteriordel 2 (en este caso,22=4) obtenemossiempre un númeroperfecto (observaque 4x7=28 es per-fecto). Otro ejem-plo, 25=32, 32-1=31,que es primo. SegúnEuclides, al multi-plicar la potenciaanterior de 2,24=16, por 31 seobtiene 496, ¡quetambién es perfecto!
Dos mil años mástarde, otro genioque ya conoces,Leonard Euler,demostró que todoslos números perfec-tos pares se obtie-nen de la mismaforma.En la actualidad, seconocen 39 númerosperfectos, la mayo-ría de ellos calcula-dos con potentes
ordenadores, ya que muchos de ellosocupan cientos de páginas.
Euclides fragmento de “La Escuela de Atenas” (hacia 1510) Rafael
de Sanzio (1483-1520)
2n-1(2n-1) es PERFECTO si
2n-1 es PRIMO