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F

Ca

C F F C O

C F F C O

CuboOctaedroRombodocaedroTetrahexaedroTrapezoedroTrioctaedroHexaoctaedro

Icositetraedropentagonal

TetraedroTritetraedroDodecaedro trap.HeatetraedroDodecaedro pent.DiploedroDodecaedro

pentagonaltetartodrico

1-

2-

3-

4-

5-

6-

7-

8-

Regular

Tetragonal

Hexagonal

Rombodrica

Rmbica

Monoclnica

Triclnica

a=b=c

a=b !c

a=b !c

a=b=c

a!b!c

a!b!c

a!b!c

Regular

Tetragonal

Hexagonal

Rombodrico

Digonal

Triclnico

"=#=$!90

"=#=$=90

"=#=$=90

"=#=90, $=120

"=$=90!#

"=$=90!#

["!#!$]!90

3 ejes cuaternarios

1 eje cuaternario

1 eje senario

1 eje ternario

1 eje binario

No tiene eje

4 ejes ternarios

11 12 13 14 15

6 7 8 9 10

1 2 3 4 5

Las partculas que forman la materia cristalina adoptan una ordenacin sistemtica. De estamanera aparecen elementos geomtricos, como son ejes (figura de la izquierda), planos(figura central) y centro de simetra

9-

10-

11-

12-

13-

14-

15-

SIMETRIA CRISTALINA

Llamado tambin cbico, se compone de cinco clasescristalinas en funcin de sus simetras: holodrica,hemidrica, dividida en enantiomrfica, hemimrficay paramrfica y, por ltimo, la tetartodrica

Singona Constantes

cristalogrficasPoliedrofundamental

Sistema Caracterstica

simtrica

CRISTALOGRAFIA

SISTEMA REGULAR

Textos: Manuel IrustaInfografa: F.A. Angus / EL MUNDO

Describe la geometra y estructura interna que toman los cuerposal cristalizar. Los minerales poseen una composicin qumicadefinida y una estructura cristalina determinada que se repiteindefinidamente. Si su aspecto presenta formas de poliedrosgeomtricos ms o menos regulares, entonces constituye un cristal.

En las masas minerales que no son cristales no se distinguenexteriormente los elementos de simetra.

Ciertos cristales, como el cuarzo, poseen esta propiedad. Consiste en quehacen girar el plano de vibracin de la luz cuando un rayo polarizado losatraviesa en la direccin del eje ptico. El ngulo girado depende del espesordel cristal y permanece constante para una misma especie mineral cuando losgrosores son iguales. En los dems cristales no sufre variacin alguna y continavibrando segn el mismo plano. El microscopio petrogrfico o de polarizacinestudia las propiedades pticas de los cristales. Consta de todas las partes deun modelo ordinario, y adems, de un sistema de polarizacin que transformala luz natural en polarizada y de otro que analiza la que sale de la lminacristalina.

CRISTALES

POLARIZACION ROTATORIA

PLANOS DE SIMETRIA

CRISTAL CUBICO DE LA SAL DE GEMA

ESPECTRO DE LA LUZ BLANCA

LENTES

LENTE CONVERGENTE

LENTE DIVERGENTE

Este elemento geomtrico divide a la celda fundamental de un mineral, unidad cuya repeticin da la materiacristalina, en dos partes simtricas (como la sal gema en la figura central de abajo)

Este mineral se cristaliza en cubos de color blanco otransparente. Refleja los elementos de simetra que

regulan la disposicin interna. Se pueden observar lascaras, las aristas y los vrtices del poliedro

Cuando un haz incide sobre una cara de un prismatriangular se obtienen siete franjas de distintos colores:rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul, ail y violeta.Estos componen el denominado espectro de la luzvisible. Este fenmeno se conoce como dispersinde la luz. Si se renen con un segundo prisma seobtiene de nuevo luz blanca

Son piezas de vidrio o de plstico transparente conuna superficie curva que cambian la direccin de laluz (la refractan)

Concentra los rayos de luz que la atraviesa en un puntollamado foco. Se utiliza para hacer lupas, microscopios,

mquinas de fotografiar y gafas para las personashipermtropes

Dispersa los rayos paralelos de un haz de luz que pasaa travs de ella. Las gafas de las personas miopes

llevan este tipo de lente. La cncava, ms gruesa enlos bordes que en el centro, se comporta como

divergente

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AULAD E E L M U N DO

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po r L olit a Brain

Para JEAN-FRANOIS CHAMPOLLION (1790-1832) descifrarlos enigmticos jeroglficos fue una promesa de juventud,un empeo vital. Qued fascinado desde los siete aos

por el antiguo Imperio Egipcio, cuando su hermano nopudo participar en la campaa de Egipto de Napolen.Ms tarde, a la edad de 11 aos tuvo el privilegio deconocer al eminente matemtico y cientfico francs Fou-rier y ste le ense su coleccin de antigedades egip-cias. Al ver por primera vez papiros y estelas labradasen piedra y escritas en jeroglfico, Jean-Franois pre-gunt a Fourier: Se sabe leer esto?A lo que Fourier respondi negativamente. Yo lo leer algn da! -grit muy seriamente Cham-pollion.Y sa fue la promesa a la que dedic toda suvida. Con xito.Pero no hay que olvidar que Champollion haba apren-dido a leer l solo, a la edad de cinco aos, y con 11era aficionado al griego y al latn, y comenzaba a es-

tudiar hebreo. Con 13 estudi rabe, sirio, caldeo y cop-to, con el nico propsito de acercarse al objetivo que

persigue. Ms an, continu con el chino antiguo bus-cando similitudes con los textos egipcios ms antiguos y se

introdujo en los dialectos ms recnditos en busca de pistas. Alos 17 aos era un experto en egiptologa y con dieciocho se encontr conlo que sera la perla de su vida: la Piedra Rosetta

JEROGLFICOSDESCIFRADOS

La genialidad deChampollion fueestablecer unacomparacin sencillaentre los jeroglficosy las letras griegas,separndose as dela tradicin.

Su GRAMMAIREEGYPTIENNE aparecien 1836 publicadapstumamente.

Champollion descifr losjeroglficos a partir de lafamosa Piedra Rosetta

aparecida fortuitamente en1799 en las obras de unafortificacin a siete kilme-tros de Rosetta, a orillasdel Nilo. Es una losa basl-tica muy pulida, del tamaode un tablero de mesapequeo, que contienetres series de inscripcio-nes en una de sus caras.

En ellas aparecen 14 lne-as en jeroglfico, 22 endemtico una lenguaegipcia de uso comn y54 lneas en griego! Elgriego se poda leer y tra-

ducir y por tanto era posi-ble un camino para desci-frar los jeroglficos. El textoes una dedicatoria de lossacerdotes de Menfis aPtolomeo V en 196 a.C. entono de alabanza. Pero losesfuerzos por descifrar eltexto jeroglfico fracasa-ron. Todos se empeabanen explicar cada smbolocomo una ideasiguiendo algriego HORAPOLO (s. IV

a.C.) y sus interpretacio-nes. Todo era en vano.Champollion imagin quelos dibujos representabansonidos traducibles a letrasy que por tanto se podanasignar. Y descifr los jero-glficos.

Una vez numerados los dibujos presentes en ambos cartouches, el primer smbolo de Ptolemaiosy el quinto de Kleopatracoinciden. Supongamos que es la P. Lo mismo sucede con el cuarto y el segundo que podemos sustituir por L.

Si es cierto que representan las letras de los nombres griegos, el tercer smbolo de Ptolemaioscoincide con el cuarto de Kleopatray debe ser una vocal similar a la O.

La pluma debe ser una vocal similar a la E y cuando apare-ce repetida en Ptolemaiosdebe leerse como una I. Y el sm-bolo anterior, el quinto, la M. Slo faltara una O precedien-do la S final de Ptolemaios. Champollion dedujo que losegipcios no tenian sonido para esa O final. Al final tradujopor Ptolomis.

Una arqueloga contempornea de Champollion haba obser-vado que el smbolo undcimo de Kleopatra apareca siempre al

final de los nombres de los dioses. As lo entendi Champo-llion que tradujo la inscripcin como Kleopatra divina, dandoal smbolo octavo la representacin de la R.

En un valo -cartouche- de la Piedra Rosetta aparece una inscripcinque Champollion atribuye al significado Ptolomeo. Era usual que losreyes aparecieran en cartouches. En el obelisco File hallado porBelzoni y que fue llevado a Inglaterra en 1815, contiene texto engriego tambin junto a jeroglficos. En l aparecen dos cartouches,uno refirindose a Ptolomeo y otro a Cleopatra.

Como entre la P y la O hay una T, que aparece tambin en el jeroglifico deKleopatra, podemos suponer que representa una T.Eso significa que en Kleopatraaparece una T al final que no tiene correspondencia. Sin embargo Champollion haba observa-do que la mano era un smbolo usado a veces para escribir Kleopatra. Podemos asumir que el smbolo anterior a la mano enKleopatraes una vocal similar a A y que el primer smbolo es K.

Notas deChampollion de sus

estudios delcartouchedeKleopatradelobelisco halladocerca de File.

Las principales fuentes de las matemticas egipcias de que disponemos son el PapiroRhind y el Papiro de Mosc, escritos entre los aos 2060 y 1580 a.C. en alfabeto hier-tico, una versin cursiva del ms antiguo sistema de escritura egipcio: el jeroglfico, uti-lizado sobre todo en monumentos y tumbas. En otra poca, los jeroglficos fueron unmisterio para lingistas y arquelogos. An hoy perdura ese significado en la palabra.Un joven polglota francs enamorado de Egipto los descifrara en 1822, aos antes de pi-sar tierra egipcia.

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Que las matemticas son un galimatas para muchsima gente no es ninguna novedad.Entre las muchas razones que podramos aducir en ese sentido, se encuentra el formulis-mo de sus expresiones: si no conocemos la simbologa en la que estn escritas lasmatemticas es muy difcil que podamos entenderlas. Pero lejos de ser una mana de losmatemticos o de responder a un inters por ocultar sus conocimientos, la simbologa onomenclatura con la que se expresan ha evolucionado a lo largo del tiempo, buscandosiempre claridad y universalidad. En algunas ocasiones, una determinada simbologa ha ayu-dado al avance de sus conocimientos.

po r L olita Brain

UN UNIVERSODE SMBOLOS

Infografa y textos: Lolita Brain - www .lolitabrain.com

LA DIVISIN

LA SUMASMBOLOS PARA ENTENDERNOS

LA MULTIPLICACINPRIMER TEXTO IMPRESO DE LOS SMBOLOS+ Y- ENLA OBRADEJOHANNESWIDMAN

BEHENNDE VND HPSCHERECHNUNG.EDICIN AUGSBURG DE 1526

Del mismo modo que el lenguajeest escrito con letras, las mate-mticas se escriben con smbo-

los. stos no las convierten en crp-ticas; muy al contrario, el uso deuna simbologa matemtica comnpara todos los cientficos ha apor-tado a la Ciencia la universalidadque sta necesita para crecer. Laadopcin de 10 dgitos para losnmeros fue una de las primerassimbologas acertadamente esco-

gidas. Disponer de smboloscomunes para representar las ope-raciones entre ellos fue fundamen-tal para que todos los matemticosse entendieran.

NICOLS DEORESME (1323-1382)fue probablemente el primero enusar la cruz (+) para la suma en sulibro Algorismus proportionum, es-crito supuestamente entre 1356 y1361. Anteriormente +se escribaet, en latn y. Despus tambin seus p (plus).

La X para representar el produc-to de dos cantidades fue usadapor primera vez por WILLIAMOUGHTRED (1574-1660) en suobra Clavis Mathematicae.

El asterisco para representarla multiplicacin proviene deJOHANNRAHN (1622-1676),quien en 1659 lo us en sulibro Teutsche Algebra.

El punto () para simbolizar elproducto fue introducido porGOTTFRIEDW. LEIBNIZ (1646-1716). El 29 de julio de 1698 es-cribi una carta a su amigo Jo-hann Bernoulli en la que le ex-plicaba:

No me gusta la xpara simboli-zar el producto porque se con-funde con la variable x; [...] a me-nudo simplifico el producto dedos magnitudes mediante unpunto entre ellas como enZCLM. Sin embargo, para de-signar la razn entre ellas utilizolos dos puntos (:) que tambinuso para la divisin.

La divisin ha sufrido mltiples cambios en su sim-bologa a lo largo de la historia debido, entre otrasrazones, a sus distintos significados: divisin

entera(con resto), divisin decimal, raznde mag-nitudes, etctera.

El parntesis de cierre (y al revs) fue utilizado porMICHAEL STIFEL (1487-1567 ) en su Arithmetica inte-gra, completada en 1540 y publicada en 1544 enNuremberg. Observa que escribe la divisin 12:6 alrevs.

El smbolo se utiliz por primera vez comorepresentacin para la divisin por JOHANNRAHN,tambin conocido por Rhonius, en su obra de1659 Teutsche Algebra.

Nuestros comunes dos puntosse usaron en 1633en el texto titulado Aritmtica de Johnson en dos

volmenes. Aunque para escribir fraccionesJohnson tambin usaba el parntesis. As paraescribir 2/3 notaba 2:3).Leibniz emple los dos puntos tanto parafracciones como para divisiones, en el ao 1684,en su Acta Eruditorum.

PGINA DEL TEXTO DE RAHN EN EL QUE APARECENIMPRESOS MLTIPLES SMBOLOS ALGEBRAICOS Y

POR PRIMERA VEZ

razcuadrada

razcuadrada parntesis

Anterior a la Summa de Arithmetica, de LUCA PACCIOLI, en la quese fundamentan muchas expresiones complejas entre opera-ciones, en 1484 NICOLASCHUQUET (1445?-1500?), en su libro

Le Triparty en la Science des Nombres, escribe entre otras expre-siones la que aparece sobre el texto. Observa la diferencia entrenuestro modo actual y el suyo, y cmo nosotros no necesitamosdel parntesis.

+(plus)

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AULA.706.06.02EL MUNDOJueves cientfico

E L P A R A I S O D E

L O S S I M B O L O S

lolitabrain@hotmail.com

Que las Matemticas son un galimatas para mu-chsima gente no es ninguna novedad. Entre lasmuchas razones que podramos aducir en ese sen-tido, se encuentra el formulismode su expresin: sino conocemos la simbologa en la que estn es-critas las Matemticas es muy dificil que poda-mos entenderlas. Pero lejos de ser una mana de los matemticos, lasimbologa o la nomenclatura, o como queramos denominarlo, de estaciencia ha evolucionado a lo largo del tiempo buscando siempre claridady universalidad.

por L olita Brain

Desde n i os , i gua l que pa ra l ee res preciso conocer las letras y lasmaneras en que se combinan, a l

acercarnos por primera vez a las Ma-temt icas debemos aprender como

se rep resen t an l os concep to s m sesenciales de ella: los nm eros. Peroapren demos en seguida, que la util i-dad de l o s nm eros rad i ca en su scombinaciones algebraicas : pode-mos su mar los, restarlos , mul t ip li -carlos y dividirlos . Por ello los sm-bolos que expresan estas operacio-nes son los primeros que conocemos.Sin embargo smbolos tan sencilloscomo la cruz pa ra la adicin o el aspapa ra l a m u l t i p li cac in no s i em pre

s e u s a -ron as.

PRIMER TEXTO IMPRESO DE LOSSMBOLOS + Y - E N LA O BR A D EJOHANNES W IDMAN BEHENNDE

VND HPSCHERECHNUNG.Edicin Augsburg de 1526

PGINA DEL TEXTO DE RAH N E N E L Q U EAPARECEN IMPRESOS MLTIPLES SMBO-LOS ALGEBRAICOS Y POR PRIMERA VEZ

RAIZ RAIZ

PARNTESIS

La Summa de Arithmetica, Geome-tria Proportioni et Proportiona litade Luca P aciol i de 1523 es, junto

al Liber Abaci de FIBONACCI, uno de lospilares algebr aicos de nue stra civili-zacin. En l entre otras muchas ide-as, aparecen las ecuaciones y las ope-raciones elementales en una escrituramuy avanzada para la poca aunquelejana a nue stro simbolismo. Este librofue capi ta l para e l progreso y desa-rrollo en Occidente de las matem ti-cas ar biga y oriental. Sobre todo uti-liza la notacin sincopada...pero saes otra h istoria.

Anterior a laS u m m a d e Ari thmetica,

en 1484 N ICOLASCHUQUET (1445?-1500?) en su LeTripar ty en laSc ience des Nombres escri-be entre otras, laexpresin supe-rior. Sabes loque sign ifica?

La X p a r a r e p r e s e n t a r e l p r o -d u c t o d e d o s c a n t i d a d e s f u eusado por primera vez por W I-LLIAM OUGHTRED (1574-1660) enel Clavis Mathematicae.

El p u n t o ( ) p a r a s i m b o -l i za r e l p r o d u c t o f u e i n -t roducido por GOTTFRIEDW. LEIBNIZ (1646-1716).El 29 de julio de 1698 es-cribi una carta a su a mi-

go Johan n Bernoull i en laque expl icaba:

N o me gu st a l a x p a r a s imbo l i za r e l p r oduc t oporque se confunde con lavar iable x; [ . .. ] a m enudos imp l i f i co e l p roduc to dedos ma gnitud es median teun punt o entre ellas comoen Z CL M . Sin embargopara designar la r azn en-tre ellas utilizo los dos pun-t o s ( : ) que tamb ien usopara la divisin.

La divisin ha sufrido mltiples cambios en s u simbologa a lo largo de la His-toria debido, entre otras ra zones, a sus d istintos significados: divisin en tera(con

resto), divisin decimal, raznde magn itudes, etc.

El parntesis de c ierre (y a l revs) fu u t i l izado porMICHAEL STIFEL (1487-1567 ) en su Arithmetica integra,completada en 1540 y publicada en 1544 en Nuer nberg.

se ut i liz por primera vez como smbolo dedivisin por JOHANN RAHN (o Rhonius) (1622-

1676) en 1659 en su obra Teutsche Algebra

El asterisco para representarla mul t ip l icacin proviene deJ OHANN RAH N (1622-1676)

quien en 1659 lo us en sul ibro Teutsche Algebra.

Nuest ros comunes dos puntos se usaron en 1633 en eltexto ti tulado Aritmtica de Johnson en dos volmenes(1633). Aunque para escribir fracciones John sonusaba el parn tesis. As para escribir 2/3 notaba 2:3)Leibniz us los dos puntos tanto para fracciones comopara divisiones en 1684 en el Acta Eruditorum

+ ( PLUS)

A finales del siglo XIX J AMES B.THOMSON en su Complete GradedArithmeticen utiliza la expresin infe-r i o r pa ra nues t ra d i v i s i n en t e ramost rada arriba.

N ICOLS DE ORESME (1323-1382)es probablemente el primero enu s a r + p a r a l a s u m a e n s u l i -bro Algorismus proportionum,e s c r i t o s u p u e s t a m e n t e e n -tre1356 y 1361. Anter iorme nte+ se e sc r i b a e t de l l a t ny. Despus tamb in se us p(plus).