AULA .717.12.99EL MUNDOViernes cultural. Lmina coleccionable

por Lolita Brain

Uno de los fenmenos ms comunes de la fsica es el del movimiento. Hasta tal punto es importante, que el

estudio del cmo se mueven los cuerpos constituyeuna de sus partes fundamentales: la cinemtica.

Si quisiramos saber la causa por la que los cuerpos se

mueven de una determinada forma, hablaramosde la dinmica. De todos los movimientos posibles, hay uno especialmente cotidiano: el que describen los cuerpos cuando se lanzan en La Tierra: el parablico. As que demos un paseo parablico.

TTUUSS PPRREEGGUUNNTTAASS PPOORR LLAA RREEDD::www.dailan.com/verenet/lolitabrainCCOORRRREEOO EELLEECCTTRRNNIICCOO:: lolitabrain@hotmail.com

CUUAANNDDOO LLAANNZZAAMMOOSS unobjeto al aire en laTierra, con un impulsovertical (para queascienda) y otro horizon-tal (para que avance), elcuerpo describe ssiieemmpprreela misma trayectoria: unaparbola. En realidad, nonos parecer que elobjeto describa esacurva. Pero si nos fijamosen un punto especial del

objeto, que los fsicosllaman centro de masas,podremos comprobarque este punto s quedescribe una parbola.La fotografa superior esuna exposicin mltipledel movimiento de unamaza de ballet lanzada alaire. En color puedes verla parbola que describesu centro de masas (elpunto central).

ELL MMOOVVIIMMIIEENNTTOO parablico de uncuerpo se describe descompo-nindolo en dos movimientosindependientes: uno horizontal, enel que no vara la velocidad, (salvo elrozamiento con el aire) y otrovertical en el que la velocidad vadescendiendo hasta el punto msalto y luego aumenta hasta tocar elsuelo. En el diagrama, puedes vercomo la flecha verde es siempreigual, mientras que la azul decrece yluego crece. El movimiento horizon-tal le llamamos uniforme y elvertical acelerado (por la gravedadde La Tierra)

CUUAANNDDOO SSEE LLAANNZZAA UUNN PPRROOYYEECCTTIILL, stedescribe una trayectoria parablica.El clculo del alcance nos dir a qudistancia del disparo caer el proyectil,lo que es fundamental para acertar o noen el objetivo. La altura mxima quealcance el proyectil es importante siqueremos sortear un obstculo entre elpunto de lanzamiento y el objetivo.Estos dos valores dependen de dosparmetros: la velocidad con la que sedispara el proyectil y el ngulo de tiro.

UNNOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTAADDOOSS ms asombrosos relacio-nados con el movimiento parablico es el queafirma que, si despreciamos el rozamiento conel aire, el tiempo que tarda una pelota en caer alsuelo es el mismo si simplemente la dejo caer o sila impulso horizontalmente. En esta fotografa demltiples exposiciones puedes comprobarlo: encada etapa las dos pelotas estn a la misma altura,luego llevan la misma velocidad. Este asombrosoresultado fue descubierto por GalileoGalilei, y est tan lejos de nuestrosentido comn que hasta elpropio Descartes dud de laafirmacin del maestro. En 1658se realiz una prueba experimen-tal que no confirm exactamente latesis de Galileo, probablementepor errores de medicin. Hoy sesabe que es cierto lo queGalileo postul.

GAALLIILLEEOO GGAALLIILLEEII (1564-1642)puede considerarse elpadre de la cinemticaclsica y del mtodo experi-mental. Espritu con grandesdotes intuitivas, rechazabatoda afirmacin que nopueda comprobarse experi-mentalmente. Astrnomo, fsico yprofesor dematemticas,dedicbuenaparte desuingenio

a estudiar la cada libre delos cuerpos y el lanzamientode proyectiles. En su obraConsideraciones y demos-traciones matemticas sobredos ciencias nuevas estudiadefinitivamente el movi-miento parablico: el que

describen los proyectilescuando son lanzados.

Defensor delsistema de

Coprnico(1473-1543)que afirma quela Tierra giraalrededor del

Sol, laInquisi-cinromana leconden aretractar-se de estasideasconsidera-dasherticas.Son famosas las palabrasfinales de Galileo en esteproceso, E pur si muove (ysin embargo se mueve) enuna obstinada referencia almovimiento de la Tierra.

ESSTTAA FFOOTTOOGGRRAAFFAA muestra en exposicio-nes mltiples la trayectoria quedescribe una pelota cuando se lanza alaire. Entre una toma y la siguiente hay 4

dcimas de segundo. Como puedesver, la curva que describe es unaparbola. Esto mismo sucedecuando el portero de ftbol saca depuerta, cuando un tenista da un

golpe, cuando el jugador de golfrealiza un drive, cuando un avin

lanza un fardo o una bomba, cuando sedispara un proyectil con un mortero o

cuando el jugador de beisbolrealiza un buen golpe. Porsupuesto, la pelota que lanzael pitcher tambin describeuna parbola. Para que sto

suceda as se debe impulsar elobjeto tanto vertical como horizontal-mente. Es decir, si slo dejas caer unapelota desde tu terraza, no describiruna parbola, si no que caer siguiendouna lnea recta. Pero si la impulsas o

empujas a la vez que latiras, s que trazar estacurva en el aire.

C U A N D O C A E N L A S C O S A S

por Lolita Brain

Vivimos en una sociedad en la que los temas econmicos tienen una importancia ca-pital. Necesitamos el dinero para casi todas nuestras actividades. Desde que el mer-cantilismo hizo su aparicin en la Historia, se crearon dos tipos de relaciones entrelos que tenan grandes depsitos monetarios y los que necesitaban del vil metal. Porun lado, quien necesita dinero puede pedirlo prestado a los bancos, debiendo devolver,adems del capital adelantado, los intereses o gasto por el riesgo asumido por quienlo presta. De otro, los que disponen de capitales ahorrados lo invierten para generar ms.

DE CAPITALES E INTERESES

LOS PORCENTAJES

T odo proceso de prstamo de dinero conlleva el uso de un tipode inters que supone la base de clculo para determinarcunto produce el dinero que se ha invertido o cunta canti-dad ha de devolverse por el dinero que se recibe en concepto deprstamo. Este tipo es un porcentaje. Indica la cuanta que porcada cien unidades monetarias se ha de devolver o se ha de per-cibir. Si la base de clculo se proporciona sobre una unidad y nosobre cien, se llama tanto por uno en lugar de porcentaje.

EL INTERS SIMPLE

E l modo ms sencillo de calcular el monto de dinero que se percibe por invertir un capi-tal es el llamado inters simple. Consiste en que el dinero invertido genera un inte-rs, fijado de antemano, en cada periodo de tiempo que transcurre. El beneficiodepende del tanto por ciento estipulado, que fija el dinero que se genera cada cien uni-dades monetarias invertidas. Puede calcularse anualmente, semanalmente, trimestral-mente, etctera, pero la cantidad de beneficio no depende de cundo se retire. En laimagen te mostramos cmo se calcula lo que produciran 500 euros al 10 por cientoanual. Por cada ao se perciben 50 euros de beneficio.

INTERS SIMPLE CONTRA INTERS COMPUESTO

EL INTERS COMPUESTO

E l modo ms habitual de calcular el beneficio de un capital inverti-do es el inters compuesto. Se diferencia del simple en quecada vez que se calcula el beneficio, pongamos cada ao, stepasa a formar parte del capital, de modo que en el siguiente periodode clculo, junto al capital inicial, se dispone de los beneficios. Eneste caso hay mucha diferencia si los intereses se calculan anual-mente, mensualmente, trimestralmente etc. ya que cuantas msocasiones se calcule el beneficio, ms veces se agregar al capitalinicial el inters producido. En la imagen puedes ver el proceso decmo se calculan los intereses que generan 500 euros, al 10 porciento anual, es decir, cada ao se recalcula el beneficio.

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L os beneficios del inters compuesto se aprecian en lasdos grficas, que muestran en qu cantidades se convier-ten 500 euros al 10 por ciento a lo largo de 45 aos. Si elinters es simple, la grfica es una recta, lo que indica que elbeneficio es resultado de multiplicar el inters por el nmerode aos. En cambio, la grfica inferior muestra la variacin siel inters es compuesto. La lnea responde entonces a uncrecimiento exponencial y por tanto, el idntico capital inicialnos proporciona mucho ms beneficio en el mismo intervalode tiempo.

AULADE EL MUNDO

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Como sabemos, una de las obligaciones de la ciencia es la de crear leyes matemticasque permitan cuantificar un fenmeno natural. En algunas situaciones eso es lo ms di-fcil de todo; a menudo el fsico escribe ecuaciones que no se saben resolver, lo que nu-tre a la matemtica de nuevos problemas. Pero en otras ocasiones, el propio fenmenonos dice cmo son las matemticas que debemos utilizar al estudiarlo. Es el caso delos movimientos peridicos simples que dibujan maravillosas curvas.

por Lolita Brain

CURVAS PARALA ARMONA

Los objetos ms sencillosson valiosas herramien-tas en manos de un buencientfico. O pueden sercausa de dolores de cabe-za. El fascinante y contro-vertido Hooke, creador deun microscopio y eterno ri-val de Newton, se interespor la mecnica, que en supoca ya comenzaba a sermoderna. l determin ex-perimentalmente que el es-tiramiento de un muelle esproporcional a la fuerza quese ejerce sobre l para de-formarlo. Y que el factor deproporcionalidad dependade la elasticidad del muelle.Es la famosa Ley de Hooke.

Hay un gran nmero de fenmenosrelacionados con movimientos re-petitivos que tienen una importanciavital para la mecnica y la fsica engeneral. Un ejemplo cotidiano es elcomportamiento de un muelle que, unavez estirado por aplicacin de una fuer-za, recupera su longitud inicial cuan-do la fuerza deja de ser aplicada. Laelasticidad del muelle proporciona unafuerza recuperadora que le hace os-cilar a ambos lados de su punto deequilibrio. Podemos imaginar una si-tuacin especial en la que no hubierarozamientos. En este caso el muelleoscilara continuamente entre dos pun-tos de mxima longitud y de mnimacompresin.

Estamos habituados a ver siempre representados los fenmenosarmnicos con curvas con forma de onda . Qu relacin guarda elmovimiento del muelle o del pndulo con estas curvas? Es muy sen-cillo: en la figura de arriba se representan algunos momentos del mue-lle en oscilacin sobre un papel milimetrado. El eje horizontal se ha tra-zado en la posicin de equilibrio del muelle, donde mediremos losinstantes de tiempo. En el eje vertical calcularemos el desplazamientodel muelle respecto de su equilibrio. Basta con dejar oscilar el muelle ylas sucesivas instantneas de su posicin nos dibujan las famosascurvas peridicas. Son conocidas como sinusoides.

HOOKE UN MAESTRO EL MOVIMIENTO ARMNICO

ROBERT HOOKE (1635 -1703)

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La amplitud refleja el mximo desplazamiento que sufre el muelle o el mazo del pndulo de su posicinde equilibrio. Para el mismo muelle, refleja la intensidad de la fuerza que se ha ejercido sobre l.

Las oscilaciones de estos grficos tienen la misma frecuencia pero amplitudes distintas.

La frecuencia mide la velocidad de la oscilacin en hertzios. Para ello secuenta el nmero de veces, por ejemplo en un segundo, que el muelleadopta la misma longitud. El periodo mide la cantidad de tiempo que nece-sita el muelle para volver a adoptar su posicin inicial y multiplicado por la

LA FRECUENCIA

SU MAJESTAD EL PNDULO

E l pndulo es otro grandiosoinstrumento que tiene uncomportamiento anlogo aldel muelle. Separado de su po-sicin de equilibrio, comienzaa oscilar alrededor de la vertical,repitiendo a intervalos iguales elmismo desplazamiento. En estecaso la fuerza recuperadora esla atraccin gravitatoria de laTierra. Si idealmente supone-mos que no hay rozamiento, eldesplazamiento del mazillo delpndulo se realiza entre unaamplitud mxima.

Para describir adecua-damente un movimientoperidico necesitamosconocer algunos datosimportantes de su modode moverse. La amplitudy la frecuencia son fun-damentales.

FUNCIONES PARA LA PERIODICIDAD

LA AMPLITUD

AULA .716.05.02EL MUNDOJueves cientfico

C A L C U L O I N F I N I T E S I M A L ?

Aunque estudiemos las curvas, lo que real-mente sabemos utilizar en matemticasson las rectas. La TANGENCIALIDAD es unconcepto que de algn modo todos entende-mos. Lo asociamos a aquello que mantiene uncontacto superficial, se refiere a lo que se tocalo menos posible. Y as es en matemticas.La tangente a una curva es la recta que ms separece a la curva pegndose a ella, de talmodo que para conocer la curva basta con es-tudiar sus tangentes. Y de paso calculamos lasreas que encierran.

LA PALABRA IINNFFIINNIITTEESSIIMMAALL SE REFIERE A CANTIDADES INFINITAMENTE PE-QUEAS, PERO TALES QUE SU AGREGADO COMPONE UNA TOTALIDAD.POR EJEMPLO, LEIBNIZ IMAGINABA UNA CURVA COMO FORMADA POR IN-FINITOS TROZOS RECTOS INFINITAMENTE PEQUEOS E INDIVISIBLES. SUAGREGADO FORMARA LA CURVA.

En nuestra ltima lmina conocimos a Newton y Leibniz, los creadores delCALCULO INFINITESIMAL y descubrimos los detalles que rodearon la polmicade su invencin. Una polmica que lleg ms all de la mera ancdotay que influy determinantemente en el desarrollo posterior de las mate-mticas en Inglaterra -defensora a ultranza de los mtodos de Newton-y la Europa continental, muy especialmente en Alemania, Francia y Sui-za, seguidores del clculo de Leibniz. Por supuesto, ambos eran el mis-mo clculo, pero se interpretaban de modos diferentes.

Cuando la hormiga se mueve a lo lar-go de la cuerda, pasa por todos suspuntos. Su movimiento describiresa curva, y como en cada instante es-tar en un punto de ella, decimos quesu posicin es funcin deltiempo. Si quisiramosaveriguar la velocidadque llevaba en un instan-te determinado, podra-mos proceder calculandola velocidad media que hallevado entre dos puntosy hacer que esos puntosestn muy cerca. Eso eslo que hicieron de modosdiferentes Newton y Leib-niz. Encontraron una for-ma de clculo casi auto-mtico, de modo que, si

se conoce la ecuacin de una curva sepuede averiguar, con unas reglas quedefinieron, cul es su tangente en cual-quiera de sus puntos -cul es la velo-cidad de la hormiga-. Pero esto fue slo

el principio. Si te fi-jas bien, lo que cono-cemos de la realidad,de un fenmeno, sonsus cambios y a partirde ellos tratamos deconocer el propio fe-nmeno. Por ello, loque se conoce de unacurva es cmo cam-bia. El clculo infini-tesimal nos permiteaveriguar todo de lacurva, o sea del fen-meno

por Lolita Brain

Como todos los descubrimientos impor-tantes del pensamiento humano no apa-recen por arte de magia, ni surgen por-que s, Newton y su manzana es tan slo unaleyenda. Y el clculo infinitesimal descu-bierto por Newton y Leibniz es herederode muchos matemticos y pensadores. Lascurvas han sido hijas predilectas de la Ge-ometra desde los tiempos de la Grecia Cl-sica. Asociadas al movimiento y a los fen-menos fsicos, conocer sus propiedades y dis-poner de mtodos que permitieran calcular,por ejemplo, su longitud, fueron proble-mas que perduraron durante siglos. Eudoxoy Arqumedes son los pioneros en tratar conpartes muy pequeas.Por otro lado, desde mediados del sigloXVII, comenzaron a surgir ideas queenfocaran los problemas relativos a lascurvas de otro modo: la manera analticaa diferencia de la geomtrica seguidahasta entonces. Ren Descartes asoci a cada curva unaexpresin algebraica, una ecuacin o fr-mula que la representa formalizando dealgn modo las curvas. Pierre Fermat,otro de los grandes de la poca, encuentraun mtodo para averiguar en qu puntosuna curva se hace mxima o mnima. Y elingls John Wallis consigue probar quelos dos grandes problemas relacionadoscon las curvas -determinar sus tangentes ycalcular el rea que encierran- estn rela-cionados. Wallis, brillantemente, pruebaque para calcular un rea basta conocerlas tangentes de otra curva.Por qu tanto esfuerzo sobre los mismosconceptos? En esta poca, las curvas seinterpretan no slo como entidades geo-mtricas sino como la traza de un mvil,como la expresin del movimiento de unobjeto. Y ello choca con conceptos muyprofundos, porque el movimiento es con-tinuo, sin saltos, y el tiempo tambin escontinuo. Y tratar con cantidades tanpequeas como se quieran -no hay un ins-tante posterior a uno dado, ni hay unpunto siguiente a otro- obliga a calcularcon infinitas cosas.

U N P O C O D E H I S T O R I AXVI - XVII

El nuevo Clculo permiti resol-ver problemas afrontados des-de haca mucho tiempo. Paraque te hagas una idea de lo quepreocupaba por entonces a los ma-temticos, basta un ejemplo: en-contrar la curva que adopta unacadena al ser colgada por sus ex-tremos. Nadie saba cul era. Sehaba aventurado que era un arcode crculo. Leibniz demostr -en laimagen su demostracin- que erauna CATENARIA, curva de la que yate hemos hablado y que se rela-ciona con los logaritmos.

LAS TANGENTES SE OBTIENEN ENCALCULO, TRAZANDO SECANTES YAPROXIMANDO EL PUNTO AL DE TAN-GENCIA.

PPIIEERRRREE FFEERRMMAATT(1601-1665)

RREENN DDEESSCCAARRTTEESS(1596-1650)

JJOOHHNN WWAALLLLIISS(1616-1703)

IISSAAAACC BBAARRRROOWW(1630-1677)

VVOOLLTTAAIIRREE EN REFERENCIA AL NUEVO CALCULO INFINITESIMAL

lolitabrain@hotmail.com