7/25/2019 Aula Matemticas ''El Mundo'' Lminas25

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AULAD E E L M U ND O

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UN PRI NCI PI O PARA TODO LA DI SCORDI A DE BER L N

EL CLCULO DE VARIACIONES

Nacido como un principiometafsico, el francs PierreLouis Morea u de Maupertuis

(1698-1759) enun ci en 1744 elprincipio que lleva su nombre:en todo cambio que se produz-ca en la Naturaleza, la canti-dad de accin necesaria paratal cambio ha de ser la mnimaposible. Maupertuis cuantificsu ley utilizan do idea s d e Leibnizen la frmula: acc in= energ a xtiempo.Pa ra Maupertuis, es ta ley funda-mental era manifestacin de lasabidura y de la existencia deDios. Este principio moral calprofundamente en la fsica y enla matemtica de la poca. Dealgn modo, intervino en elespectacular desarrollo de lastcnicas para resolver proble-mas en los que se busca respon-der a preguntas sobre q u es loms alto, lo ms rpido o lo mscorto: el c lculo de va riac iones.

DIDO, LA PIEL DE VACA Y EL PROBLEMA ISOPERIMTRICO

P

ara que puedas apreciar el valor delPrincipio de Economa te mostramoslos dibujos de los esqueletos de la

especie Callimitra, unos protozoos radio-larios con esqueleto

calcreo, cuyas for-mas geomtricas

nos as ombran por fas-cinantes. El bilogo alemn

Haeckel hizo cientos deestos dibujos de s us obse r-vaciones. Cuando introdu-cimos una estructura dealambre con forma de tetra-edro en jabn lquido, alsacarla comprobamos quese forman unas pelculas dejabn que envuelven unaburbuja central. Resulta que

estas formas c oinciden conlas de los radiolarios. En

ambos ca sos, estas formas son las q ue consiguen elmeno r rea pos ible, lo que las co nvierte en superfi-cies minimales. Esta m enor superficie proporcio-na mayor estabilidad y equilibrio o economa derecursos para s u construccin. So n las llama das superfi-cies d e P lateau (1801 -1883).

El matemtico y fsico LeonardEuler haba d emostrado en 1744que el princ ipio de mnima

accin permita deducir elmovimiento d e los planetas.Estaba convencido de quelos fenmenos de la natu-raleza obedecan a unprincipio segn el cual,tras los fenmenos deluniverso se halla unamagnitud que se hacemxima o mnima y q ue esoexplica el fenmeno. Loescribi en un apndice delprimer libro de clculo de varia-ciones: Un mtodo para ha llar lne-as c urvas que g ocen de una propie-dad mxima o mnima. Y loescribi dos aos antes que Mau-

pertuis pub lica ra su libro. En s te, elfrancs mencion que

Euler haba aplic adosumtodo, y no recono-

ci la primaca deEuler en enunciarcon mucho msrigor el Principiode Economa.Ante el asombrode todos, Euleradmiti pblica-

mente la primacade Maupe rtuis.

Por aquel entonces,Euler perteneca a la

Acad emia de Berln, de la queMaupertuis era su presidente. Perosu actitud le proporcion tal recha-zo q ue ab andon Berln en 1753.

Maupertuis particip en la exped icin al rti-co d e princip ios del XVIII para medir el meri-diano terrestre. Fue nombrado p residentede la Real Academ ia de Berln p or FedericoII, en 1746.

Dido fundando Cartago. J . Turner. 1815. National Ga llery. Londres .

A la hora de investigar la Naturaleza, el hombre ha deseado siempre encontrar leyes muyge nerales y de a mplios c amp os d e ap lica cin, que le permitieran explica r su co mportamiento.En ese pa pel, las matemticas, pero no s lo ellas , han tenido y tienen mucho q ue dec ir. Lapresenc ia de formas o de o rganizaciones repetida s una y otra vez entre a nimales o minerales,entre es tructuras as tronmicas o microscpicas, parecen q uerer decirnos que es posible q ueesa s leyes existan . En el siglo XVIII se ha ll un principio me c nico al q ue las matem ticas ven-dran a da r soporte y cons istencia: el Principio de Maup ertuis.

por Lo lita Brain

lolitabrain@lolitabrain.com

Ala luz de l clculo infinitesimalinventado por Newton y Leib-niz, naci el clculo de varia-

ciones que busca resolver pro-

blemas de optimizacin, comopor ejemplo qu curva es la msrpida por la q ue ca e librementeun objeto o qu c amino es el mscorto para conectar puntos deuna esfera. Son problemas muyimportantes ya que en nuestras

vidas constantemente mejoramos a cos ta de encontrar la forma ms a erodin-mica para un coche o las dimensiones del brickms e conmico para embotellarun litro de leche. Los Bernoulli, Euler y Lagrange son los padres de esta teoramatem tica q ue resuelve sistemticame nte estos problemas.

EL CLCULO DEVARIACIONES

La princesa fenicia Didosegn se cuenta en la Enei-dade Virgilio hubo de huir

de s u hermano el rey Pigma lin.Arrib en frica, d onde se fun-dara despus C artago, y pidia J arbas d e Numidia que le ven-diera tierra para po der tener unapatria. Jarbas le sugiri queslo le proporcionara la tierraque pudiera ser encerrada enuna piel de vaca . Inteligente-mente, Dido hizo c ortar en tirasmuy finas la p iel y fab ric un lar-

go cordel con ellas. Extendien-do la c uerda has ta formar un cr-culo, consigui encerrar lamayor cantidad posible deterreno. Dido an afin ms yextendi el corde l en lnea rectaparalela a una playa, formandoun semicrculo que le dio anms terreno. Y esto es as por-que la circunferencia es, detodas las curvas que midan lomismo, la que encierra mayorrea; es la s olucin a un proble-ma isoperimtrico.

JAKOBBERNOULLI( 1654 - 1705)

JOSEPH-L. LAGRANGE( 1736 - 1813)

LAS POMPAS DE JABN Y LOS RADIOLARIOS

LOS ESQUIMALES,SABIOS MATEMTICOS

Los esq uimales resolvieronun clsico problema declculo de variaciones

cientos de aos antes quenacieran los Bernoulli. Paraellos ms que para otroshumanos, la forma de sucasa ha de es tar bien pensa-da c on el fin de propo rcionar

la menor superficie (paraman tener el calor), y a la vezdeb e se r lo ma yor posible. Los igls q ue con struyen tienen la forma p ti-ma pa ra esas condiciones.En matemticas el problema s e enunciara a s: averiguar cu l es el reaen el espa cio que pa ra un volumen da do ha ce mnima s u superficie.

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AULA.73.12.99EL MUNDOViernes cultural. Lmina coleccionable

por Lolita Brain

T E P U E D E T O C A R A T I . . . .

Sin saber cmo, cada da nos aventuramos a predecir elfuturo innumerables veces casi sin darnos cuenta

de lo arriesgado que es: te apuesto que..., es mas fcil estoque..., es muy probable que ..., aquello es imposible...

Son algunas de las expresiones que a diario utilizamos para

aventurar lo venidero, inconscientes de la durezaformal de tales afirmaciones. La teora del azar y su

control, no dominio, lo que llamamos procesosestocsticos o teora de las probabilidades, naci hace casi500 aos estudiando los juegos de dados.En el siglo XVII, el caballero de Mr se entretenaproponiendo problemas a Pascal con el fin de explicar

algunas de sus numerosas experienciascon los juegos de azar. Ahora queremos entretenerte a ti

Los acontecimientos gobernados por elazar nos rodean por todas partes ytratan de desvelar las reglas que rigenlos procesos cuyos resultados no sepueden conocer antes de que sucedan,

los que llamamos fenomenos aleatorios.Eso nos permite jugar a ser un pocoadivinos, estimando y conociendo elcomportamiento de estos fenmenos y, portanto, aventurando su resultado. Desde losjuegos de azar a la teora cuntica deltomo, la teora de la probabilidad juegaun papel fundamental.En los juegos es sencillo ver cmo se midela probabilidad de un resultado: se cuentanlas opciones con las que se gana y sedividen por todos los resultados posibles.El nmero obtenido mide la tendencia delfenmeno cuando ste se repite. Por eso, alhacer una quiniela, la probabilidad deacertar un pleno de 14 resultados es de unacontra 4.782.969. En los casos ms senci-llos, realizar un clculo probabilstico estan fcil como contar... slo que, a veces,contar es una tarea difcil.

Cuntas quinielas tendramos querellenar para asegurarnos un plenode 14? Son exactamente 4.782.969quinielas o apuestas o columnas.Como cada columna cuesta 50 pts.resulta un total de 239.148.450pesetas. El mximo premio otorgadopor las quinielas futbolsticas nuncase ha acercado a tales cifras, resulta

claro que es poco rentable asegurarseel pleno de 14. Por otro lado, losresultados deportivos no son causaexclusiva del azar, por lo que laspeas deportivas pronostican y gananen virtud de otros factores: cronolo-ga, fichajes, rendimiento, etc.

314

=4.782.969n de quinielas que necesitas jugar para hacer pleno a 14

315=14.348.907

Galileo Galilei (1564-1642) lleg a decir quecuando jugaba con tres dados a la suma de 10tena ms oportunidades de ganar que cuando

jugaba a la suma de 9.

En el fondo, la teorade probabilidades esslo sentido comn

expresado con nme-ros. Pierre Simon

Laplace (1749-1827)

C49,6=13.983.816n de bono-lotos que debes rellenar para asegurar el pleno de 6

La bono-loto otorga elmximo premio a lacoincidencia de los 6nmeros escogidos del 1al 49 con la combinacinganadora.Ahora bien,cunto dinero debera-

mos invertir en la bono-loto para asegurarnos un pleno al 6? Para respondernosa esta pregunta, basta con contar todas las posibles combinaciones que puedenresultar ganadoras. Eso supone contar todos los grupos de 6 nmeros que sepueden fabricar con los cuarenta y nueve primeros, ya que cualquiera de ellospuede resultar seleccionado. Ese nmero es exactamente de 13.983.816 deformas distintas. Como cada apuesta cuesta 50 pesetas, para asegurarnos el

premio deberamos invertir en un slo sorteo la cantidad de 699.190.800 depesetas. Dicho de otro modo, podramos estar durante 258.959 aos haciendocada semana una bono-loto distinta... y quizs no nos tocara nunca!

TUS PREGUNTAS POR LA RED:www.dailan.com/verenet/lolitabrainCORREO ELECTNICO: lolitabrain@hotmail.com

En el mus, un solomi-lloes una jugada queconsiste en tener tresreyes y un as y es sinduda la jugada porexcelencia. El clculo

de la probabilidad deesta jugada a primeramano, nos dice que esaproximadamente de 5ocurrencias sobre1.000 jugadas. Encambio otra jugadamuy famosa y difcil,dplex de reyes y ases(2 reyes y dos ases) esms probable quesuceda: ms de 8 vecessobre 1.000 jugadas.Por eso en el mus tienems puntos un solomi-llo que un dplex dereyes ases. El clculoes slo aproximadoporque no considera el

reparto consecutivo nilos descartes.

El sorteo de Navidad de la Lotera Nacionalpremia con 30.000.000 de pesetas el billetegalardonado con el primer nmero del

sorteo. Cada billete cuesta 3.000 pesetas y,como en total hay 100.000 nmeros distintos,

deberamos invertir 3.000 x 100.000 =300.000.000 (trescientos millones!) de pesetaspara asegurarnos el primer premio. Un negocio

poco rentable.