por Lolita Brain

A pesar de parecer una disciplina infalible e incluso dogmática, la matemáti-ca, su significado, su aplicabilidad al mundo real, su esencia y su origenhan sido tema de debate intenso en todos los tiempos. Los grandes mate-máticos han reflexionado siempre sobre lo que la matemática es y significa.Hemos seleccionado unas reflexiones de famosísimos matemáticos de to-dos los tiempos en las que trasmiten su preocupaciones y sus convencimientossobre estos temas. Verás que en el debate aparece la pregunta de siempre desi el mundo es como es, o si es así sólo porque es como lo percibimos.

lolitabrain@hotmail.com

“HAY UNA AR-

MONÍA OCULTA,

INHERENTE A LA

NATURALEZA,

QUE SE REFLEJA

EN NUESTRAS

MENTES BAJO LA

IMAGEN DE SIM-

PLES LEYES MA-

T E M Á T I C A S .

ÉSTA ES LA RA-

ZÓN POR LA QUE

LOS FENÓMENOS

DE LA NATURA-

LEZA SON PRE-

DECIBLES ME-

DIANTE UNA COMBINACIÓN DE OBSERVACIONES

Y ANÁLISIS MATEMÁTICO. UNA Y OTRA VEZ EN

LA HISTORIA DE LA FÍSICA ESTA CONVICCIÓN, O DE-

BERÍA DECIR ESTE SUEÑO, DE ARMONÍA EN LA NA-

TURALEZA HA CONSEGUIDO LOGROS MÁS ALLÁ DE

NUESTRAS EXPECTATIVAS”. HHEERRMMAANNNN WWEEYYLL

((11888855 -- 11995555))..

“NO TEMA PROCLAMAR POR DOQUIER

QUE DIOS ESTABLECIÓ ESTAS LEYES EN

LA NATURALEZA DE LA MISMA FORMA QUE

UN SOBERANO DICTA LEYES EN SU REINO.

Y ASÍ COMO UN REY TIENE MÁS MAJES-

TAD CUANTO MENOS CONOCIDO FAMI-

LIARMENTE ES POR SUS SÚBDITOS, ASÍ

NOSOTROS TAMBIÉN JUZGAMOS LA GRAN-

DEZA DE DIOS COMO INCOMPRENSIBLE Y

NO PENSAMOS QUE CARECEMOS DE REY.

OS DIRÁN QUE, SI DIOS ESTABLECIÓ

ESTAS VERDADES, PODRÍA CAMBIARLAS,

LO MISMO QUE UN REY CAMBIA SUS

LEYES; A LO QUE RESPONDERÉIS QUE,

EFECTIVAMENTE, ES POSIBLE SI SU

VOLUNTAD PUEDE CAMBIAR. PERO YO

CONSIDERO ESAS VERDADES COMO ETER-

NAS E INMUTABLES LEYES”. RREENNÉÉ DDEESS--

CCAARRTTEESS ((11559966 -- 11665500)) CCAARRTTAA AALL PPAADDRREE

MMAARRIINN MMEERRSSEENNNNEE ((11663300))

“CUANDO ESCRIBÍ MI TRATADO SOBRE NUESTRO SISTE-

MA, TENÍA PUESTA LA ESPERANZA EN QUE TALES PRINCI-

PIOS AYUDARAN A LOS HOMBRES A CREER EN DIOS; Y

NADA ME REGOCIJA MÁS QUE ENCONTRARLOS ÚTILES

PARA ESTOS PROPÓSITOS”. SSIIRR IISSAAAACC NNEEWWTTOONN ((11664433 --

11772277)) EENN CCAARRTTAA AALL RREEVVEERREENNDDOO RRIICCHHAARRDD BBEENNTTLLEEYY..

“CARECEMOS EN NUESTRO

CONOCIMIENTO DEL ESPACIO,

DE LA COMPLETA CONVICCIÓN

DE LA NECESIDAD DE NUES-

TRA GEOMETRÍA (Y TAMBIÉN

DE SU ABSOLUTA VERDAD),

QUE ES COMÚN A LAS MATE-

MÁTICAS PURAS; DEBEMOS

AÑADIR HUMILDEMENTE, QUE

SI EL NÚMERO ES EXCLUSIVA-

MENTE UN PRODUCTO DE

NUESTRA MENTE, EL ESPACIO

TIENE UNA REALIDAD FUERA

DE ELLA Y NO PODEMOS PRES-

CRIBIR COMPLETAMENTE SUS

LEYES”. CC.. FFRRIIEEDDRRIICCHH GGAAUUSSSS

((11777777-- 11885555)) DDEE UUNNAA CCAARR--

TTAA AALL FFÍÍSSIICCOO BBEESSSSEELL,, 11883300..

“NO DEBEMOS OLVIDAR JAMÁS QUE [...] TODAS LAS CONSTRUCCIONES

MATEMÁTICAS, NO SON MÁS QUE NUESTRAS PROPIAS CREACIONES”..

CC.. FFRRIIEEDDRRIICCHH GGAAUUSSSS ((CCAARRTTAA AA BBEESSSSEELL,, 11881111))..

“EN LA MEDIDA EN QUE LAS PROPOSICIONES DE LAS

MATEMÁTICAS DAN CUENTA DE LA REALIDAD, NO SON

CIERTAS; Y EN LA MEDIDA EN QUE SON CIERTAS, NO

DESCRIBEN LA REALIDAD... PERO ES CIERTO, POR OTRA

PARTE, QUE LAS MATEMÁTICAS EN GENERAL, Y LA GEO-

METRÍA EN PARTICULAR, DEBEN SU EXISTENCIA A

NUESTRA NECESIDAD DE APRENDER COSAS ACERCA DE

LAS PROPIEDADES DE LOS OBJETOS REALES”. AALLBBEERRTT

EEIINNSSTTEEIINN ((11887799 --11995555)) EENN AASSPPEECCTTOOSS DDEE LLAA RREELLAATTII--

VVIIDDAADD ((11992211))..

“PODEMOS CONSIDERAR EL ESTADO

PRESENTE DEL UNIVERSO

COMO EL EFECTO DE SU

PASADO Y LA CAUSA

DE SU FUTURO. UNA

INTELIGENCIA QUE

EN UN MOMENTO

DADO CONOCIE-

RA TODAS LAS

FUERZAS QUE

ANIMAN LA

NATURALEZA

Y LAS POSI-

CIONES MU-

TUAS DE LOS

SERES QUE LA

COMPONEN. SI

ESTA INTELI-

GENCIA FUERA

LO SUFICIENTE-

MENTE PODEROSA

COMO PARA SOMETER

TODOS LOS DATOS AL

ANÁLISIS, PODRÍA CONDEN-

SAR EN UNA ÚNICA FÓRMULA EL MO-

VIMIENTO DE LOS GRANDES

CUERPOS DEL UNIVERSO Y

EL DE LOS MÁS LIGEROS

ÁTOMOS: PARA UNA

INTELIGENCIA DE

ESTE TIPO NADA

PODRÍA SER IN-

CIERTO, Y EL FU-

TURO, EXACTA-

MENTE LO MIS-

MO QUE EL

PASADO, ESTA-

RÍA PRESENTE

ANTE SUS

OJOS”. PPIIEERRRREE--

SSIIMMOONN LLAAPPLLAACCEE

((11774499 --11882277)),,

padre de la quí-

mica, y agnósti-

co, rechazaba cual-

quier creencia en

Dios como matemático

y arquitecto del universo.

DDeessccaarrtteess,, aa ppeessaarr ddee sseerr uunn hhoomm--

bbrree mmuuyy ppiiaaddoossoo,, aaqquuíí nniieeggaa llaa iiddeeaa

ddee qquuee DDiiooss ppuueeddaa iinntteerrvveenniirr ccoonnss--

ttaanntteemmeennttee eenn eell ffuunncciioonnaammiieennttoo

ddeell mmuunnddoo,, ddoottaannddoo ddee vvaalloorr ssuu--

pprreemmoo llaa iinnvvaarriiaabbiilliiddaadd ddee llaass llee--

yyeess nnaattuurraalleess..

y añadía a continuación, en una de sus más

célebres frases sobre la ciencia:

NN EE WW TT OO NN PP OO RR WW II LL LL II AA MM BB LL AA KK EE

“Surge aquí un enigma que ha inquietado a los cien-

tíficos de todas las épocas. ¿Cómo es posible

que las matemáticas, un producto del pensa-

miento humano que es independiente de la

experiencia, se acomode tan extraordinaria-

mente a los objetos de la realidad física? ¿Pue-

de la razón humana, sin la experiencia, des-

cubrir mediante el pensamiento puro pro-

piedades de las cosas reales?”

AULADE EL MUNDO

8

“EN CUALQUIER TEORÍA PARTICULAR SÓLO HAY DE CIENCIA REAL LO QUE HAYA DE MATEMÁTICAS”. IINNMMAANNUUEELL KKAANNTT ((11772244--11880044))

LAS MATEMÁTICASY LA REALIDAD

AULADE EL MUNDO

8

Te proponemos esta semana unos sencillos problemas que necesitarán de tu inge-nio para que los resuelvas. Dos de ellos, el del zumo y el de los triángulos son desentido común. El problema del cubo hace uso de una sencilla propiedad de loscuadrados para su solución. La respuesta al enigma del marido que se adelanta ensu vuelta a casa es algo más difícil pero solo necesita que pienses detenidamenteen el recorrido propuesto, y por último, el problema del autobús sólo necesita de tuobservación. Que te diviertas.

DEL TRABAJO A CASA

Roberto sale de la oficina todos los días a las 17:30. Tras acercarse a la estación detren a pie, coge el tren de las 18:00 y llega a la estación de Alcalá donde vive, a las18:30. Su esposa Ana sale todas las tardes de su casa en coche y llega a la esta-

ción exactamente a las 18:30, hora a la que recoge a Roberto del tren para llevarle acasa.Un día Roberto sale antes de la oficina y decide tomar el tren de las 17:30 quellega a la estación de Alcalá a las 18:00. Al llegar Ana no está en la estación y decideecharse a andar al encuentro de su mujer. Ana como es normal, sale de casa a la mis-ma hora que todos los días. En un punto del camino encuentra a Roberto caminan-do, le recoge, da media vuelta y se dirigen a casa a la que llegan 10 minutos antesque cualquier día. Si los trenes son complementamente puntuales ¿Cuánto tiempoestuvo andando Roberto hasta que le encontró su esposa?

LA MITAD DEL CUBO

Dos hombres están frente a un cubo de metacrilato relleno con ciertacantidad de agua. Se preguntan cómo averiguar sin utilizar instru-

mentos de medidas, si el cubo está llenoexactamente a la mitad de su capaci-

dad o si bien está a menos de lamitad o a más. ¿Puedes

ayudarles aresolver su pro-blema?

DIVIDIENDO TRIÁNGULOS

En la siguiente figura hayexactamente dieciseistriángulos idénticos. Te

pedimos que averigues encuántas partes iguales hayque dividir el rectángulopara que en cada una deellas haya exactamente elmismo número de triángulos. LOS NUEVOS AUTOBUSES

En la parada del autobús, Laura observa a contraluz los nuevos autobuses de turis-mo para jovenes que ha estrenado el Ayuntamiento de Madrid. Al observar deteni-damente lo que ve, se siente incapaz de averiguar hacia qué lugar se mueve.

¿Puedes decirle si se desplaza hacia la izquierda o hacia la derecha? ¿Por qué?

Llamemos A al punto de encuentro. El ahorro de los 10 minutos proceden exclusiva-mente del trayecto que va desde el punto A hasta la estación y de la estación a A,pues el resto del camino -de casa al punto A- lo realiza como todos los días.Supo-niendo que se invierte lo mismo de A a la estación que de la estación a A, desde elpunto de encuentro a la estación se invierten 5 minutos.Como Ana llega todos los

días puntualmentea las 6:30 a la esta-ción, ha tenido querecoger a su maridoa las 6:25. Por tantoRoberto ha estadoandando 25 minu-tos.

Lo que es seguro es que al autobús tiene alguna puerta, pero Laura no aprecia ningu-na como se ve en la foto. Por tanto la puerta ha de estar del otro lado del autobús, laque no se ve. Puesto que en Madrid se conduce por la derecha, el autobús se dirigehacia la izquierda.

Basta con dividir el rectángulo en dos partes como los de la figura.Nadie dijo que los triángulos tuvieran que ser ¡todos iguales!.

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PENSAR TAMBIÉNES ENTRETENIDO

por Lolita Brain

Luis se acerca a la cafetería de su insti-tuto y pide un zumo de tomate. Elcamarero le pregunta “¿Normal o

especial?”. “¿Cuál es la diferencia entreellas?”, le responde Luis. “El normal cues-ta 90 céntimos y el especial 1 euro” le res-ponde de nuevo el camarero. “Entoncestomaré uno especial” le contesta Luis dejan-do una moneda de 1 euro sobre el mostra-dor.De pronto entra en el bar Beatriz y dice:“Un zumo de tomate, por favor”, mientrasdeja un euro sobre la barra. El camarero sindudarlo le pone un refresco especial sin pre-guntarle nada. ¿Cómo pudo saber el cama-rero que Beatriz quería un refresco espe-cial?

Al menos hay dos formas de resolver el enigma. Uno es trazar con cuidado las diagonales de una de lascaras del cubo. Una vez hallado el centro del cuadrado de un cara, si éste se encuentra alineado con lasuperficie libre del líquido éste estará lleno exactamente hasta la mitad. Si el centro queda por debajo delagua estará lleno más de la mitad y si queda por encima del líquido estaría lleno menos de la mitad. Se pue-de conseguir el mismo efecto sin más que girar 45º el cubo en lugar de dibujando las diagonales.

LOS REFRESCOS Y EL CAMARERO ADIVINO

Es muy fácil: Beatriz sacó de su bolsillo tresmonedas de 25 céntimos, dos de 10 cénti-mos y una de 5 céntimos, que en total suma-ban la cantidad de 1 euro. Si hubiera queri-do un refresco normal de 90 céntimoshabría dejado sobre el mostrador la canti-dad exacta ya que disponí a de cambio sufi-ciente.

AULADE EL MUNDO

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LOS CHAKRAS SON CENTROSDE ENERGÍA SITUADOS EN ELCUERPO HUMANO.PROVIENEN DE UNA PALABRASÁNSCRITA QUE SIGNIFICARUEDA O VÉRTICE Y HACENREFERENCIA A LOS SIETECENTROS DE ENERGÍA QUECOMPONEN NUESTRO SISTE-MA NERVIOSO.LOS PODEMOSENCONTRARSITUADOS ENLA BASE DELA COLUM-NA VERTE-BRAL, ENLOS GENITA-LES, EN ELESTÓMAGO,EN ELPECHO,EN LAGARGAN-TA, EN LAFRENTE Y EN LA CABEZA.

P S I C O A N A L I S I S A L O S N U M E R O S ( I I )Tal y como te prometimos, continuamos contándote la psicología de la fa-milia cardinal. Hoy es el turno del divino siete, del indispensable 10, deldivisible 60 y del ascético nueve. Como verás, están todos cargados de sim-bologías religiosas y algunos como el 40, tienen un protagonismo inusualen la Biblia, en la que los números pares son los indiscutibles protagonis-tas. En cambio, en algunas religiones orientales, como el hinduismo, sonlos impares los que organizan la pureza del espíritu y los que marcan losestados del alma hasta alcanzar la pureza plena. Como te dijimos, el ex-traño cero, más que número antinúmero, tiene una historia tan extensa yparticular, que le dedicaremos una próxima entrega.

por Lolita Brain

lolitabrain@hotmail.com

S iete es un número mágico: al ob-

tenerse de la adición del 3 (la DI-

VINIDAD) con el 4 (lo TERRENAL) re-

presenta la TOTALIDAD.

Los pecados capitales del catoli-

cismo son siete. Siete son los brazos

del Menorah, y siete los días de la

semana. Para la filosofía hindú, los

chakras son siete estadios de la es-

piritualidad humana localizados a lo

largo del

cuer-

po.

LOS TEMPLOS HINDUISTAS TIENEN

FORMA DE PAGODA, CON TECHOS ES-CALONADOS EN TANTOS TEJADOS

COMO SEA EL NIVEL ESPIRITUAL DEL

TEMPLO. EN LA FOTO PUEDES VER

UNA PAGODA DE 9 NIVELES, QUE RE-PRESENTA EL CIELO, JUNTO A OTRA

DE 11, LA PLENITUD O EL NIRVANA.

El nueve, siendo tresveces tres, represen-ta la máxima perfec-ción. En especial paralas religiones escan-dinavas: ODÍN perma-neció colgado enel árbol Ygg-drasil nuevedías paraalcanzarla sabidu-ría. En Oc-cidente, la

tradición afirma queson nueve las esferascelestiales e inferna-les (como se puedeleer en La Divina Co-media) Para los tao-

ístas, en su ma-yoría chinos,

simbolizala pleni-tud, es eln ú m e r odel YING-

YANG.

E l 12, obtenido como cuatro veces

(número femenino) tres (mascu-

lino), representa el orden espi-

ritual y terrenal. Además, como es

divisor de 60, medidor univer-

sal del tiempo, es uno de los nú-

meros más temporales que

existen: 12 son los meses del

año, las horas del día, 12 las de

la noche. 12 son las constela-

ciones del zodiaco. Y está re-

pleto de simbología judeocris-

tiana: 12 fueron los discípulos, 12

las tribus de Israel, 12 son los días

de la Navidad. ¡Ah! Y los Caballeros

de la Tabla Redonda también eran 12.

E l número 60es de los quemás cabal-

mente han sidoadoptados his-tóricamente. Sugran virtud esque posee unaenorme canti-dad de diviso-res: 1, 2, 3, 4, 5,6, 10, 12, 15, 20,30 y 60 lo que leconvierte en elcampeón de losdivisores, y por

tanto un candidato a medir lo que había que dividir muchas veces:el tiempo. Así lo entendieron los babilonios hace nada menos queunos 5.000 años. Hasta la fecha.

E l 10 se obtiene de la

suma 1+2+3+4 , y por

eso repre-

senta la TOTALI-

DAD y la visión

E X H A U S T I V A .

Por ejemplo, la

obe- diencia

del pueblo de

Israel a la vo-

luntad de YAH-

VEH se expresó en los DIEZ

MANDAMIENTOS. Para los pi-

tagóricos significaba la

plenitud. Tradicionalmen-

te se ha representado por

un triángulo con 10 puntos.

La cúspide está reservada

para el UNO, el principio

activo. En se-

gundo lugar es-

tán los dos prin-

cipios de los

que dependerá

el resto, que

proceden direc-

tamente del

Uno. Los tres

órdenes –terrenal, celestial

e nfernal– ocupan el si-

guiente nivel. Por último, la

Tierra se refleja en el cuar-

to: cuatro elementos, cuatro

estaciones.

E l ocho es el primer nú-

mero cúbico (2x2x2 =

8) y por eso siempre le

ha rodeado un halo de

perfección. Especialmen-

te para los chinos, cuya

vida se gobierna con este

número: los dientes salen

a los 8 meses y se caen a

los 8 años, a los “dos ve-

ces ocho” (16) años el

niño se convierte en hom-

bre y a los 64 (8x8) se

pierde la fertilidad. Para

los budistas simboliza los

caminos para alcanzar la

iluminación

EL MENO-RAH, BAJO ES-

TAS LÍNEAS, ESEL CANDELABRO

QUE UTILIZAN LOSJUDÍOS EN SUS SER-VICIOS SAGRADOS.LAS FORMAS EN“U” REPRESEN-TAN LA SABIDU-RÍA, LAFUERZA YLA BELLE-

LOS SIE-TE PECADOS

CAPITALES SONLA CONTRAPAR-TIDA DE LAS TRESVIRTUDES TEOLÓGI-CAS Y LAS CUATRO CAR-

Es un número que, aso-ciado a la unidad, hasido muy recurrente en

la Biblia. Moisés pasó 40días y 40 noches en elMonte Sinaí. Jesucristopasó 40 días de penitencia

en el desierto. El DiluvioUniversal duró 40 días.Los grandes reyes judíosSalomón y David reinaron40 años, los mismos que elpueblo judío estuvo erran-te en el desierto.