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E l teorema se aplica slo a unas figu-ras muy particulares del plano: lostringulos rectngulos, que sonaquellos que tienen un ngulo recto, esdecir, dos lados perpendiculares lla-mados catetos. El tercero de los ladosse denomina hipotenusa y es elmayor de los tres. Estos tres segmen-tos encierran una prodigiosa relacinque ya era conocida antes de Pitgoras por egipcios, babilonios y chinos, aunque encasos particulares. Fue el griego el primero que observ la generalidad entre todos lostringulos rectngulos.

Uno de los procesos ms importantes de las matemticas es probar la verdad de los teo-remas que enuncia. Demostrar se convierte as en la principal tarea de los matemticos. Dehecho, el reconocimiento de los grandes matemticos se debe, a menudo, a sus pruebasde los teoremas que se han resistido incluso siglos enteros. Pero con frecuencia es posi-ble confirmar la evidencia de grandes principios sin necesidad de un aparato formal im-portante. Se suele decir entonces que se ha comprobado una verdad, pero no que se hademostrado. Para muchos, estas comprobaciones son ms que suficientes.

po r L olita Brain

COMPROBAR

SIN FORMULAR

PITGORAS DESAMOS(S. VI A.C.)

SOLUCIN DEL PUZLE DEPERIGAL

EL TEOREMA DE PITGORAS

P erigal dise otra demostra-cin del teorema que nos ocu-pa an ms sencilla que la deOzanam. Su idea consiste en tra-zar, por el centro del cuadradosobre el mayor de los catetos, unarecta perpendicular y otra paralelaa la hipotenusa. Eso divide el cua-drado en los cuatro trapezoidesnumerados 2, 3, 4 y 5. Con ellosms el cuadrado levantado sobreel menor de los catetos -el 1 en lafigura- se puede componer el cua-drado construido sobre la hipote-nusa. Es decir, la suma de los cua-drados levantados sobre loscatetos equivale al de la hipotenu-sa.

QU DICE EL TEOREMA?

E l teorema se explicasencillamente con laimagen adjunta. Siconstruimos tres cuadra-dos, uno sobre cada ladode cualquier tringulorectngulo, se verificaque el rea del cuadradogrande, construido sobrela hipotenusa, es idnticaa la suma de las reas delos otros dos cuadradospequeos levantadossobre los catetos. Estotan simple nos permite,entre otras cosas, calcu-lar la longitud de un seg-mento inclinado si pode-

mos medir los dos ladosperpendiculares.

Infografa y textos: Lolita Brain - www .lolitabrain.com

hipotenusa

cateto

cateto

O zanam, matemtico delsiglo XIX y gran divul-gador de esta cien-cia, obtuvo un senci-llo puzle con el quedemostrar el Teo-rema de Pitgoras.Se trata de cons-truir el esquema delteorema y trazar elsimtrico del cuadra-do sobre la hipotenu-

sa respecto de esta mis-

ma, obteniendo las particio-nes numeradas del 1 al 5

en los cuadrados meno-res. Comprobar laveracidad del teore-ma de Pitgoras esslo cuestin derecortar las cinco pie-zas numeradas yconseguir cubrir con

ellas todo el cuadradosuperior.

EL PUZLE DE OZANAMEL PUZLE DE PERIGAL

S in duda alguna, el Teore-ma de Pitgoras es proba-blemente el ms conocidopor todos. Lo aprendemos enla escuela y lo recordamos alo largo de toda la vida. Aun-que olvidemos muchasnociones de matemticaspertenece a nuestro acervocultural. Y es que es un teo-rema que por elemental nodeja de ser importante. Todolo contrario: su universalidad

y su gran valor utilitario loconvierte en un resultadoimprescindible. Recordemosen primer lugar lo que nosdice el teorema y luego

juguemos a ser matemticoscomprobando su veracidad.

EN ESTE EJEMPLO ES MUY SENCILLO DECOMPROBAR YA QUE LOS RESPECTIVOS

CUADRADOS TIENEN9, 16 Y25 CUADRADITOS PEQUEOS

Y POR TANTO ES FCIL

VER QUE: 25 = 16 +9.PEROY EN OTRAS

SITUACIONES?

SOLUCIN AL PUZLE DEOZANAM

D e este teorema existen ms de un millar de demostraciones dis-tintas. Algunas sencillas y otras harto complicadas. Pero hayuna coleccin de ellas que utilizan lo que podemos llamar la tc-nica de las tijeras y el papel. Se trata de partirlos cuadrados cons-truidos sobre los catetos y comprobar que con los trozos obtenidospodemos completar el cuadrado construido sobre la hipotenusa.Es por tanto un asunto de resolver un puzle.

CMO PROBARLO?ELCUADRADO

MAYOR ES

IGUAL QUE LA

SUMA DE LOS

CUADRADOS

MSPEQUEOS.

5 1

2

3

4

Frdric Ozanam(1813 - 1853)

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Hoy en da estamos acostumbrados a disponer de precisos y complejos instrumentos demedida. Pero no siempre fue as. Si repasamos la capacidad instrumental de los ma-temticos de hace ms de dos mil aos, comprobaremos que sus herramientas demedida eran rudimentarias. Sin embargo, babilonios, egipcios y griegos llevaron acabo mediciones que an hoy nos asombran. Dos ejemplos muy significativos son los deEratstenes y Tales, quienes con tan slo un bastn y mucha geometra fueron capa-ces de calcular con gran precisin medidas que hoy nos siguen asombrando.

po r L olita Brain

CON UN BASTN,BASTA

ERATSTENES DECIRENE(275 -194 A.C.)

A pesar de la exactitud de su clculo, ste contiene algunos pequeoserrores de medicin: Alejandra y Syena no estn en el mismo meridianoy estn algo ms cerca que la distancia utilizada por Eratstenes.Adems, Syena no est exactamente en el Trpico de Cncer, y portanto, el Sol no incidira perpendicularmente en el solsticio de verano. Porltimo, el ngulo de la sombra en Alejandra es algo menor que 7 o 12.

Tales de Mileto, uno de los Siete Sabios de Grecia, saba que dos tringulos rectngulos con ngulos igualesson semejantes. Es decir, uno de ellos se obtiene del otro por ampliacin, como al fotocopiar imgenes. Eneste caso la relacin de tamao que existe entre los catetos, los lados perpendiculares, de cada uno de ellos

es la misma. Con esto, ingeni un sencillo mtodo para determinar la altura de la Gran Pirmide de Kops. Clavun bastn en el suelo y observ que el tringulo que forma la altura de la pirmide y su sombra era semejante alformado por el bastn y la suya. En la imagen los tringulos ABC y MNP.

De este modo se cumple que el nmerode veces que el palo es mayor o menorque su sombra

coincide con las veces que la altura de lapirmide es mayor o menor que susombra.

Midiendo entonces la longitud del bastn,la de su sombra y la sombra de la GranPirmide, la altura de sta se obtiene conel sencillo clculo:

que le proporcion un admirableresultado aproximado de 152 metros en

lugar de los 146 m que mide en realidadhoy, aunque la altura de la pirmide havariado con el tiempo.

UNA LECCIN DE INGENIO

EL MTODO DE ERATSTENES

TALES, SU BASTN Y LA PIRMIDE

Aunque Aristteles y Arqu-medes haban dado algu-nos valores poco afortu-

nados del tamao de laTierra, Eratstenes de Cire-ne, hacia el ao 240 a.C.,realiz la primera medidaprecisa de la longitud de lacircunferencia terrestre.Como director de laBibl ioteca de Alejandratuvo acceso a muchainformacin para poderresolver este problema.Pero sobre todo, su mtodoes un modelo de ingenio

que an hoy nos asombra.Su experimento siguesiendo considerado hoycomo uno de los 10mejores de toda la Historia.Necesit poco ms que unaestaca para calcular lalongitud de la Tierra. Sumedida fue esencialmentela que es, unos 40.000 km.

Eratstenes, por supuesto, supona que la Tie-rra era redonda. Saba que todos los aos almedioda del solsticio de verano, cuando

comienza esta estacin, el Sol iluminaba el inte-rior de un pozo en Syena, en la actual Assuan,Egipto. Esto le hizo pensar que los rayos del Soleran perpendiculares al suelo en ese momento yen ese lugar.En cambio, en Alejandra, que se encontraba deSyena a 50 jornadas a camello (de 100 estadioscada uno, es decir, a unos 760 km de distancia),los obeliscos s arrojaban sombra al medioda delsolsticio.

Supuso que los rayos del Sol son paralelos yclav una estaca en Alejandra dicho medioda.Midi el ngulo que formaba la sombra quearrojaba y lo estim en unas 50 veces menorque una vuelta completa de circunferencia(unos 7o 12). Concluy entonces que lalongitud de la circunferencia de la Tierra era 50veces la distancia que separaba Syena yAlejandra... o sea 39.000 km Sencillamentegenial!

Infografa y textos: Lolita Brain - www .lolitabrain.com

LONGITUD DEL PALOLONGITUD DE SU SOMBRA

L. DEL PALO

ALTURA DE LA PIRMIDELONGITUD DE SU SOMBRA

A. DE LA PIRMIDE= X (L. SOMBRAPIRMIDE)L. DE SU SOMBRA

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AULADE E L MU NDO

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La geometra elemental unida al ingenio constituye una herramienta extremadamentetil, especialmente para poder tomar medidas. En los orgenes de la filosofa griega, Tha-les de Mileto ingeni un procedimiento sencillsimo para determinar la distancia de unbarco a la costa sirvindose de una escuadra, Eratstenes de Cirene calcul el radiode la Tierra con poco ms que un bastn y Euclides de Alejandra averiguaba la alturade las torres con un espejo. Es una cuestin de economa de medios e inteligencia.

por Lolita Brain

TRINGULOS CONINGENIO

LA SOLUCIN DE EUPALINOS

HERN, famoso matemtico del siglo I, sugiri el siguiente proce-dimiento como el seguido por EUPALINOS. El problema de geo-metra consista en, una vez fijados los puntos de las bocas A y

B, determinar la direccin de excavado que viene determinadapor la direccin de la recta que los une.

THALESDE MILETO (hacia 640 - 560 a. C.)es considera-do uno de los primeros filsofos y matemticos deOccidente. Su famoso Teorema de Thales fue siem-

pre una herramienta prodigiosa. Con slo una escua-dra de madera y algunas medidas sencillas Thales eracapaz de determinar la distancia a la que se encontra-ba un barco en la lejana.

Hacia el ao 550 a C. el tirano POLYCRATES regidor de laciudad de Samos (al sur de la pennsula italiana),encarg al ingeniero EUPALINOS la construccin de un

tunel que atravesara el monte Kastron a cuyos pies se des-plegaba la ciudad. El tunel conectara con un manantial

asegurando as elsuministro de agua.Para acelerar suconstruccin POLY-CRATES oblig a rea-lizar la obra comen-zando por las dosbocas simultanera-mente, lo quesupona un serioreto. EUPALINOS

construy un tunel de 1.036 metros de longitud. Las dosramas que deban juntarse en el centro se desviaronmenos de 1%. Asombroso.

EUPALINOS uni los puntos A y B con una lnea poligo-nal exterior APQRB trazada de modo que los ngulosen P, Q y R fueran rectos. Imagin asimismo las para-lelas por A y B a los lados PQ y RQ para obtener elpunto T.

Euclides de Alejandra ingeni un sencil loprocedimiento para medir la altura de un objeto,como una torre, cuyo pie es accesible.

El clculo f inal de Thales para hallar ladistancia de la costa al barco es:

SE COLOCA UN ESPEJO ENTRELA TORRE Y EL OBSERVADOR

EUCLIDES SE MOVA HASTAVER LA C SP IDE DE LA

TORRE EN EL ESPEJO.

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LA DISTANCIA DE UN BARCO A LA ORILLA

TH AL ES S E C OL OC AB A E N U NATORRE Y APUNTABA CON LA

ESCUADRA A LA PROA DELBARCO.

LA L NE A VI SU AL DET ERM IN A ELT RI NG U LO D E V R TI C ES AB CSOBRELA ESCUADRA.

LNEA DE TIERRAALTURA

A

LA

LINEA

DE

TIERRA

A

Q P

C

Los tringulos ABC y AQP sonsemejantes lo que permite calcu-lar la longitud del lado QP que esla distancia buscada.

CO MO E L R AY O R EF LE JA DO Y E LI NC ID EN TE F OR MA N E L M IS MO

NGULO , LOS TRINGULOSOCD YOAB SON SEMEJANTES.

B

Por ltimo prolongando el segmento AB hastaque corte a las rectas PQ y RQ obtuvo los pun-tos A

1y B

1. Utilizando la semejanza de tringu-

los y midiendo los lados del permetro externodibujado, es muy fcil calcular las distanciasxe y. Y conocindolas situar sobre elterreno los puntos A1 y B1 es tareasencilla. Problema resuelto.

C

EUPALINOS, UN INGENIERO INTELIGENTE

LA AL TU RA DE LA TO RR E SE CA LC UL AMULT IPLICANDO LA ALTURA DE LOS OJOS

(AB) P OR L A D IS TA NC IA D EL P IE D E L AT ORR E AL R EF LE JO D E L A C RU Z EN E L

ESPEJO (OC). DESPUS SE DIVIDE ENTREL A D IS TA NC IA D EL R EF LE JO A L P IE D E

EUCLIDES (OB).

EUCLIDES, LOS ESPEJOS Y LAS ALTURAS

7/25/2019 Aula de Matemticas XIII de 'El Mundo'

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BANDERASDEL MUNDO

Mediante estas representaciones, normalmente rectangulares, se identifican los colores, losescudos y los smbolos de cada pas. Las banderas existen desde hace mucho tiempo, puesse conocen evidencias del antiguo Egipto y de la poca de las doce tribus de Israel. En unprincipio, tenan un sentido mili tar que representaba a las dinastas de las casas reales, perocon la creacin de las naciones se fueron configurando en su forma actual, que heredaba cier-tos elementos de las anteriores. En el caso de Espaa, Carlos III adopt para sus naves unaensea de tres franjas horizontales con los colores y las dimensiones de la actual.

A FGANI S T N A LBANI A A LEMA NI A A NDORRA ANGOLA A NT IGU A Y BA RBUD A A RA BIA S A UD A RGELIA A RGENT INA A RMENI A

A US T RA LIA A U S TRI A AZ ERBA I J N BA H AMA S BAH RAY N BA NGLA DES H BA RBA DOS BLGICA BEL I CE BENN

BH UT N BI ELORRU S I A B IRM ANI A BOLI VI A BO S NI A -HERZ EGOV INA BOT S WANA BRAS I L BRU NEI BULGA RIA BU RKI NA FA S O

BU RU NDI CA BO VE RDE CA MBOY A CA MER N CA NA D CE NTRO AFRI CANA (REP .) CH AD CHECA (REP .) CHI LE CHI NA

CHIP RE COLOM BI A COMORES CO NGO (REP . DEL) CONGO (RE P. D EM. DE L) COREA (REP . DE) COREA (REP . DE. POP .DE) COS TA DE M ARFI L COS TA RI CA CROA CIA

CU BA DI NAM ARCA DJ I BO UT I DO MINI CA DOM INI CA NA (REP .) ECU A DOR EGI PT O EL S A LVA DOR EMI RA TOS RA BES (U NIN) E RI T REA

ES LOV A QUI A ES LOVE NIA ES PA A ES TA DOS UNI DOS ES TO NIA E TI OP A F I DJ I F I L IP IN AS FI NLAND IA FRANCI A

GA BN GA MBI A GEORGIA GHA NA GRA NA DA GRECIA GUA T EMA LA GU I NEA GU INEA -BI S S A U GUI NEA ECUA T ORI AL

GU YA NA HA IT H ONDU RA S HU NGRA IND IA INDO NES IA I RN IRA Q IRLA NDA I S LANDI A

IS RA EL IT A LIA J A MA ICA J A PN J ORDA NI A KAZ A J IS T N KE NYA KIRGU IZ I S T N KIRI BA T I KUWA YT

LA OS LES OT HO LET ONIA L BA NO L I BERIA L IB I A L I ECHT ENS TE IN L I TU A NIA LU XEMBU RGO MA CEDON IA

MA DAGA S CAR MA LA WI M ALA YS I A M ALD IV AS MAL MA LT A MA RRUE CO S M ARS HA LL MA U RICI O MA U RIT A NIA

MX ICO MI CRONES IA (ES T . FED. DE) MOLDA V IA MNA CO MONGOLI A MOZ A MBI QUE NA MIBI A NA URU NEP A L NI CA RA GUA

N GER NIGERI A NORUE GA NU EV A ZE LAND A OM N P A S ES BA JOS P A KI S T N PA LA OS P A NA M PA P A Y NU EVA GU IN EA

P A RA GU AY PE R P OLONI A P ORT U GAL QAT A R REIN O U NIDO RU A NDA RUM AN A RUS I A S AI NT K IT T S -NEV IS

S ALOM N S A MO A S AN MA RINO S . VICENTE Y LAS GRANADINAS S ANT A LU CA S ANT O T OM Y PR NCIP E S ENEGA L S ERBI A Y M ONT ENEGRO S EYCHELLES S IERRA LEONA

S INGA PU R S IRI A S OMA LIA S RI LA NKA S UD FRI CA (RE P. D E) S UD N S UECI A S U IZ A S URI NA M S WAZ I LAND IA

T A DZ HI KIS T N T A ILA NDI A TA I W N T A NZA NI A T IM OR ORI ENT AL TO GO T ONGA T RI NIDA D Y T OBA GO T NEZ T U RKM ENIS T N

T URQU A T UV ALU UCRA NIA U GAND A URU GU AY UZ BEKIS T N VA NU AT U V AT I CA NO (CI U DAD DEL) VENEZ U ELA V IET NA M

YEME N ZA MBI A Z I MBA BWE UNI N E UROP EA O NU U NES CO MED IA LU NA ROJ A CRU Z ROJA

AULADE EL M UN DO

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Texto: Manuel Irusta/EL MUNDO