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La concavidad y la convexidad son d os trminos q ue hab itualmente utilizam os. P ero sonconce ptos relativos. Esc her, del que ha blamos la pa sa da sema na, lo sab a y lo utiliz opor-tunamente en la litografa q ue vamos a e xaminar. Estos trminos e stn b ien definidos enmatemt icas , aunque en a lgunas oca s iones t ambin generan ambigedad . P ero nohace falta ac udir al formalismo ma temtico pa ra apreciar el problema que plantean a nues-tra pe rcepcin. Con slo cam biar la po sicin de un ob jeto, o sus s ombras o remarcar unaslneas en luga r de otras, lo que nos pa rece cnca vo pasa a se r convexo y viceversa.

por Lo lit a Bra in

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QU ESCONDE EL GRABADO?

CNCAVO Y CONVEXO DEPEN

Estas dos imgenes son exactamente la misma.Correspond en a la superficie lunar, y la nica d ife-rencia que hay entre ellas es que estn giradas

180o

una respecto de la o tra. S in duda , en la de laizquierda vers dos montculos c oncavos que salen de la superficie, mientras que en la de la derechaobse rvas con nitidez dos crteres que se meten ha cia e l interior.

El sector izquierdo presentaun punto de vista superior.La bveda del templete seobserva desde el tejado, laseora baja por un puentesob re un lag o y un seo r dormi-ta apoyado sobre una pared.Las columnas no van hac ia fue-ra sino que estn horadada s enla fachad a. El dibujo no presen-ta problemas .

Del mismo modo, el ladoderecho es normal, aunqueest visto desde abajo.Vemos el suelo al que sube elseor de la escalera desdeabajo, se aprecia la columna yla bveda desde su parte infe-rior y la bandera aparece col-gada razonablemente bajo la

arcada. Observa que lascolumnas sa len hacia fuera.La zona central es la que ms perturba nuestra percepcin.Conviven simultneamente una pa rte c onvexa (imag en de laizquierda) con una cncava (a la derecha) que se mezclan

en el centro del graba do.

Para entender el grab ad o de Escher tenemos que recorrer su escena rio deizquierda a d erecha. As comprobamos que la se ora que lleva la ces tapuede b ajar las esca leras hasta llegar al rellano, pero si contina sub ien-do por los siguientes peldaos se ca er al vaco! porque la esca lera es una

bveda . Del mismo mo do el trompetista d e la izquierda pod ra s altar por laventana y estara sobre una b veda, pero el que toca la trompeta a la dere-cha, s i saltas e por la ventana, ca era ta mbin al vaco. P ara e studiarlo mejorhemos pa rtido en tres zona s el grab ad o.

Este grabado d e M.C.Escher es una desus creaciones enlas que el autor buscacrear en el espectadorun autntico shock . Elgrabado representa unescenario aparente-mente sencillo, casisimtrico respecto dela vertical central. Sinembargo un mnimoexamen nos envolveren la confusin. Si loobservamos detenida-mente veremos queab ajo se transforma enarriba y fuera pasa aser dentro. Es un espa -cio imposible.

CONVEXO Y CNCAVO, li tog rafa 195 5

LA MAGIADE LA MIRADA

EL HOMBRE SESIENTA SOBRE LASUPERFICIE

EL TROMPETISTASALTARA SOBRELA BVEDA EL TROMPETISTASALTARA AL VACO

LA CONCHASE PUEDEVER COMOUNA FUENTECONVEXAVACA

LA BVEDA SEVE DESDE SUEXTERIOR

LA VENTANASE APRECIADESDE ARRIBA

LA VENTANA SEAPRECIA DESDEABAJO

LA BVEDA SEVE DESDE SU

INTERIOR

LA CONCHATAMBIN SEPUEDE VER

COMO UNPLAFN

CNCAVO QUECUELGA DEL

TECHO

PERO LACERMICA CUELGADEL MISMO PLANO

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Que las matemticas son un galimatas para muchsima gente no es ninguna novedad.Entre las muchas razones que podramos aducir en ese sentido, se encuentra el formulis-mo de sus expresiones: si no conocemos la simbologa en la que estn escritas lasmatemticas es muy difcil que podamos entenderlas. Pero lejos de ser una mana de losmatemticos o de responder a un inters por ocultar sus conocimientos, la simbologa onomenclatura con la que se expresan ha evolucionado a lo largo del tiempo, buscandosiempre claridad y universalidad. En algunas ocasiones, una determinada simbologa ha ayu-dado al avance de sus conocimientos.

po r L oli ta Brain

UN UNIVERSODE SMBOLOS

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LA DIVISIN

LA SUMASMBOLOS PARA ENTENDERNOS

LA MULTIPLICACINPRIMER TEXTO IMPRESO DE LOS SMBOLOS+ Y - ENLA OBRADE JOHANNES WIDMAN

B EHENNDE VND HPSCHE R ECHNUNG .EDICINAUGSBURG DE1526

Del mismo modo que el lenguajeest escrito con letras, las mate-mticas se escriben con smbo-los. stos no las convierten en crp-ticas; muy al contrario, el uso deuna simbologa matemtica comnpara todos los cientficos ha apor-tado a la Ciencia la universalidadque sta necesita para crecer. Laadopcin de 10 dgitos para losnmeros fue una de las primerassimbologas acertadamente esco-gidas. Disponer de smboloscomunes para representar las ope-raciones entre ellos fue fundamen-tal para que todos los matemticosse entendieran.

NICOLS DE ORESME (1323-1382)fue probablemente el primero enusar la cruz (+) para la suma en sulibroAlgorismus proportionum , es-crito supuestamente entre 1356 y1361. Anteriormente+ se escribaet , en latn y. Despus tambin seus p (plus ).

LaXpara representar el produc-to de dos cantidades fue usadapor primera vez porWILLIAMOUGHTRED(1574-1660) en suobra Clavis Mathematicae.

El asterisco para representarla multiplicacin proviene deJ OHANN RAHN (1622-1676),quien en 1659 lo us en sulibroTeutsche Algebra .

El punto () para simbolizar elproducto fue introducido porGOTTFRIED W. LEIBNIZ(1646-1716). El 29 de julio de 1698 es-cribi una carta a su amigo Jo-hann Bernoulli en la que le ex-plicaba:

No me gusta lax para simboli- zar el producto porque se con- funde con la variable x; [...] a me- nudo simplifico el producto de dos magnitudes mediante un punto entre ellas como en ZCLM. Sin embargo, para de- signar la razn entre ellas utilizo los dos puntos (:) que tambin uso para la divisin .

La divisin ha sufrido mltiples cambios en su sim-bologa a lo largo de la historia debido, entre otrasrazones, a sus distintos significados:divisin entera (con resto),divisin decimal , razn de mag-nitudes, etctera.El parntesis de cierre (y al revs) fue utilizado porMICHAELSTIFEL(1487-1567 ) en suArithmetica inte- gra , completada en 1540 y publicada en 1544 enNuremberg. Observa que escribe la divisin 12:6 alrevs.

El smbolo se utiliz por primera vez comorepresentacin para la divisin porJOHANN RAHN,tambin conocido porRhonius , en su obra de1659 Teutsche Algebra .

Nuestros comunesdos puntos se usaron en 1633en el texto tituladoAritmtica de Johnson en dos

volmenes . Aunque para escribir fraccionesJohnson tambin usaba el parntesis. As paraescribir2/3 notaba 2:3).Leibniz emple los dos puntos tanto parafracciones como para divisiones, en el ao 1684,en su Acta Eruditorum.

PGINA DEL TEXTO DERAHN EN EL QUE APARECENIMPRESOS MLTIPLES SMBOLOS ALGEBRAICOS Y

POR PRIMERA VEZ

raz cuadrada

raz cuadrada parntesis

Anterior a laSumma de Arithmetica,de LUCAPACCIOLI, en la quese fundamentan muchas expresiones complejas entre opera-ciones, en 1484 NICOLAS CHUQUET(1445?-1500?), en su libroLe Triparty en la Science des Nombres , escribe entre otras expre-siones la que aparece sobre el texto. Observa la diferencia entrenuestro modo actual y el suyo, y cmo nosotros no necesitamosdel parntesis.

+(plus )

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po r L oli ta Brain

Habitualmente, cuando pensamos en el lgebra lo hacemos en relacin con la resolucin deecuaciones y la manipulacin de letras y nmeros. La famosa letrax es la reina de esta vasta reade las matemticas. Pero en realidad las manipulaciones algebraicas que realizamos con estasletras (x , y , z, etctera) no nos causan grandes problemas porque son bsicamente representa-ciones de nmeros, y su manipulacin es resultado de las operaciones con nmeros. Pero existeun tipo de lgebra denominadaabstracta en la que los elementos que se manipulan ni tienen por quser nmeros ni suelen serlo. Constituye una de las reas ms ambiciosas de la Matemtica porser aplicable a infinidad de entidades abstractas. Losgrupos son la primera teora surgida en ella.

QU ES UNGRUPO? I

UN SENCILLO EJEMPLO

CMO OPERAMOS ESTAS TRANSFORMACIONES?

LA SUPERTEORA DE MATEMTICASQU ES UN GRUPO? LOS CREADO

Imaginemos tres naipes, sota,caballo y rey, extrados de unabaraja. A partir de una posi-cin de estas tres cartas pode-mos construir otras ordenacio-nes de ellas barajndolas demuchas formas. Podemosdejarlas como estn, o pode-mos cambiar la primera con laltima, o intercambiar la segun-da con la tercera. Sin embargo,por complicada que sea la for-ma de barajar las tres cartas,todas ellas se pueden obtenerpor combinacin de alguna delas seis manipulaciones quemostramos en el diagramaadjunto. En l se describen losresultados de realizar seistransformaciones bsicassobre la sota, el caballo y el rey.Este es un grupo en el que slohay seis elementos que llama-mos x1, x2, x3, x4, x5y x6.

Eddington deca a comienzos delsiglo XX que para entender elmisterio de lo desconocido deluniverso eran necesarias unassupermatemticas en las que lasoperaciones deberan ser tan des-conocidas como las cantidadessobre las que operasen. l habla-ba tambin de la necesidad de unsupermatemtico que no supieralo que realmente estaba haciendocuando realizara esas operacio-nes. Para l, esas supermatemti- cas eran laTeora de Grupos .

Ungrupo es un sistemade elementos, ya seafinito o infinito, en elque existe alguna reglaque permite combinar-los, operarlos, entre s.Adems, el resultado deestas combinaciones hade proporcionar siempreelementos del mismoconjunto. En realidad,para que tal sistema seaun grupo, se exigen doscondiciones ms queexploraremos en lasiguiente lmina.

La Teora de Grupos surgi a mediados del siglo XIX de la manode dos creativos matemticos: el malogrado francs Galois yel noruego Abel. Llegaron a la concepcin de esta estructuraestudiando la forma de resolver ecuaciones de quinto grado. Deeste modo, el lgebra Abstracta naci del lgebra Clsica.

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NIELS HENRIK ABEL

1802 - 1829

ARTHUR S TANLEYEDDINGTON

1882 - 1944

X1: accin de no barajar las cartas X2: resultado de intercambiar la primera yla segunda carta

X4: accin de intercambiar la segunday la tercera carta

X5: resultado de cambiar la sota con elcaballo, seguido de intercambiar sta conel rey.

X6: efecto de cambiar la primera con lasegunda carta, seguido de intercambiarla primera con la tercera.

X3: efecto de cambiar la sota con el rey

EVARISTE GALOIS

1811 - 1832

Veamos en primer lugar que podemos definir una manerade operar entre s estas formas de barajar los t res naipesy que al efectuar dicha operacin obtenemos alguno delos seis elementos de este grupo.Operar dos de estos ele-mentos, por ejemplo x2 con x3, supone aplicar la transfor-macin x2 a una ordenacin de las tres cartas y aplicar alresultado la transformacin x3. Es fcil comprobar que

obtenemos el mismo resultado que aplicando nicamentela transformacin x6. Decimos entonces que:

Del mismo modo podemos realizarvarias transformaciones, unadetrs de la otra, y as comprobar-amos que operar x2 con x3 y despusx4 produce el mismo resultado queaplicar directamente x3.