7/25/2019 Aula de Matemticas XV de 'El Mundo'

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La pa sa da sema na co nocimos a la cicloide. Vimos q ue era una curva muy

esp ecial que se d ibuja mec nica mente al moverse una rueda . Hoy te

traemo s otra importantsima curva que tambin se g enera de un modo

mec nico. Nac i de la imag inac in de Huygens en 1692, quien le puso

de nomb re trac triz o tra ctrix. Despu s, Leibniz y los Bernoulli siguieron es -

tudiando sus propieda de s en p rofundida d. A finales d el siglo XIX, Bel-

trami encontr una a plica cin insos pecha da de e lla e n la s eudoe sfera.

AULAD E E L M U ND O

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LA SEUDOESFERA DE BELTRAMI

Desde q ue Lobac hevski demos trara que la Geome -tra Eucldea, en la que la suma d e los ngulos deun tringulo es de 180

o

, no era la nica posible,sino que perfectamente poda existir la Geometra

Hiperblica en la que lostres ngulos de un tringu-lo suman menos de 180

o

,los matemticos se pusie-ron a busca r modelos rea-les en los que la nuevageometra funcionara. Nofue un camino fcil. El ita-liano Beltrami encontr, en1868, que la seudoesferaera un espacio para la ge o-metra hiperblica. Mstarde, Klein encontr otromodelo.

Esta es la imag en de la tractriz. Como ves tiene dos ramas, s egn elmovimiento se realice ha cia la izquierda o hacia la d erecha. Larecta en rojo se d enomina as ntota de la tractriz, ya que la curva s e

aproxima a ella pe ro nunca llega a c ontactarla. En e l caso del tren dejuguete, la asntota s era la a cera por la que se desplaza la personaque tira d e l. Esta curva se hizo famos a por el problema propuestopor Leibniz: C ul ser la c urva que d ibuje un reloj de b olsillo sobreuna mesa, cuando, ma nteniendo tensa su ca dena, se desplaza elotro de sus extremos por una recta?

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EUGENIO BELTRAMI

(1835-1900)

AS SE GENERA LA TRACTRIZ

Un modo mec nico y sen-cillo de g enera r la tractrizes co mo sigue: si alguien

tira de un tren de juguete alque lleva sujeto por unacadena tensa y comienza acaminar por el borde deuna acera rectilnea, el tre-necito de juguete se des-plaza r tal y como ves en eldiagrama . El juguete dibu-jar una tractriz.

T TAMBIN PUEDES HACERLO

S

i quieres dibujar mec nicame nte una tractriz, slo nec esitas cinta a dhesi-va, una chincheta con ca beza grande , un bolgrafo, una tira de ca rtn condos a gujeros, uno en ca da uno d e sus e xtremos, y una hoja de pa pel (ima-

gen 1). Coloca la hoja de papel en la que s e dibujar la tractriz sobre unamesa , cuidand o de a justar sus bordes con la hoja. Sujtala a la mes a concinta adhe siva. C oloca la tira de c artn perpendicularmente sob re el papel.

Pincha la c hincheta e n uno de sus a gujeros e introduce el bolgrafo en el otro(imagen 2). Desliza suavemente la chincheta hacia la derecha sin permitirque s e se pare del borde de la mesa . Al hacerlo, no presiones con e l bolgra-fo, djalo de slizar suavemente s egn m ueves la chincheta (imag en 3). Con-forme d eslizas la chincheta, sta arrastrar la tira de papel y e l bolgrafo d ibu-jar en la ho ja una tractriz (imag en 4).

Si hacemos girar una tractrizalrededor de su asntota,obtenemos una superficie

de revolucin que tiene c ur-vatura negativa (se curvahacia adentro) en todossus puntos. Es laseudoesfera.

Si colgamos una cadena por susextremos, la forma que adoptaes de una ca tenaria. Cortando la

cadena por el punto inferior, supunto medio, el extremo d e ca da

brazo de la misma dibujar pre-cisamente una tractriz. Ello seproduce porque la tractriz esla evoluta de la catenaria. Laasntota de la tractriz es portanto la mxima altura que lacadena no alcanza cuandose corta.

AL CORTAR UNA CADENA

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TIRANDO DEL TRENSURGE UNA GEOMETRA

La catenaria y la tractrizestn ntimamente ligadas .Se dice que la trac triz es la

evoluta de la catenaria: si encada punto de la tractriz tra-zas su tangente y una rectaperpendicular a ella, la llama -da normal, la curva queenvuelve esas normales es

una ca tenaria. Al revs, si por cada punto P de la ca tenaria trazas su tangente y s obre ella llevas la distancia que se para a P d elvrtice d e la ca tenaria -el extremo inferior-, se traza una tractriz, que es la involuta de la c atena ria.

LA TRACTRIZ Y LA CATENARIA

po r L olita Brain

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AULADE E L MU NDO

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Los matemticos acostumbran a estudiar conceptos que aparentemente son intiles. Susestudios se quedan dormidos en bibliotecas durante siglos esperando una oportunidadpara despertar. Uno de los casos ms famosos y brillantes es el estudio de las curvas pla-nas que aparecen cuando se corta un cono con un plano. Tres siglos antes de nuestra era, APO-LONIODE PRGAMO escribi Las Cnicas: una reflexin completa y exacta de todas estas curvas.Objetos poco tiles para su tiempo y los siglos venideros, permanecieron dormidos hasta elsiglo XVII, cuando Galileo y Kepler los despertaron.

por Lolita Brain

NO ES PERFECTAPERO ES TIL

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LA ELIPSE

Uno de los procedi-mientos ms fci-les para dibujar unaelipse es el llamado del jar-dinero. Clava dos chin-chetas sobre un papel. Ataa cada chincheta cadapunta de un hilo de cuer-da fina. Con un lpiz tensael hilo. Mueve el lpiz sidejar de mantener el hiloen tensin. Se dibujar so-bre el papel una elipse.Los jardineros las dibujanas con estacas en lugarde chinchetas, para darforma elptica a los parte-rres y jardines.

Si la bola se coloca en unfoco y se dispara, rebotary pasar por el otro foco.Estar eternamente rebo-tando de un foco al otro. Alos pocos rebotes, sin em-bargo, la trayectoria se con-

funde con el eje longitudinal.

Si la bola no se coloca en unfoco, y se dispara de modoque no pase entre los fo-cos, la bola rebotar eter-namente dibujando unpolgono tangente a otraelipse ms pequea perocon los mismos focos.

Si la bola no se coloca en un foco,y se dispara de modo quepase entre los focos, la bolarebotar eternamenteacercndose a ellos pero

sin rebasar una hiprbolacon los mismos focos

La sombra que arrojauna esfera iluminada esuna elipse, obtenida apartir del cono de luz que laenvuelve y que tiene su vr-tice en el punto de luz. La es-fera contacta con la sombraen uno de los focos. El otrofoco sera el punto de con-tacto con una esfera colo-cada bajo el plano y envuel-ta por los rayos luminosos.

LAS SOMBRAS Y LA ELIPSE

LA CONSTRUCCIN DEL JARDINERO

Veamos la propiedad fun-damental de una elipse.Para ello marca dos pun-tos en un plano separadospor ejemplo 4 centmetros.Les llamaremos los FO-COS de la elipse. Escojeahora un nmero mayorque 4, pongamos 10. La fi-gura que resulta de colec-cionar todos los puntoscuyas distancias a los fo-cos es 10 es una elipse.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL

LA ELIPSE, LA ASTRONOMA Y LA FSICA

Vamos a jugar al billar en una mesa muy especial con formade elipse, lo que nos proporcionar sorpresas inimaginables.Nuestra mesa adems es tan especial que no t ienerozamiento, con lo que la bola no dejar de moverse. Laspropiedades especiales de esta mesa de billar, proceden delas propiedades de los focos de la elipse.

EL BILLAR ELPTICO

PLANO QUECORTA ALCONO

CONO DEDOSHOJAS

ELIPSE

ELIPSE

RAYOSDE LUZ

HASTA EL SIGLOXVII, las cnicas eran cono-cidas y apreciadas a travs de la obra deAPOLONIO DE PRGAMO. Pero no fue hastael siglo XVII cuando GALILEO GALILEI (1564-1642)prob que los proyectiles se mueven segn tra-yectorias parablicas. JOHANNES KEPLER (1571-1630) por su parte explic con elipses el movi-miento de los planetas alrededor del Sol,zanjando un debate de siglos. Su PRIMERA LEY pu-blicada en su ASTRONOMIA NOVA, afirma que los pla-netas se mueven alrededor del Sol segn tra-yectorias elipticas, en las que el Sol est en unfoco. Pero nunca pudo explicar por qu. so seralabor de Isaac Newton.

P

P

Un mtodo muy curioso paradibujar una elipse utiliza slodobleces en un papel. Paraello, recorta un disco de papeldel tamao que quieras. Marcaen l cualquier punto que nosea su centro. Ahora slo tienesque doblar el disco de papel deforma que su borde toque elpunto que has sealado. Mar-ca bien cada doblez, y repiteesta operacin muchas veces.Los dobleces dibujan una elip-se en el disco.

SLO CON PAPEL Y DOBLECES

Las curvas que llamamosCNICAS surgen al cortarun cono con un plano.Segn la inclinacin y posi-cin del plano, la curva queresulta es diferente. Son tanimportantes que tienen nom-bres propios: las ms famo-sas son la CIRCUNFERENCIA, laPARBOLA, la HIPRBOLAy la ELIP-SE. El diagrama muestracmo se construye una elip-se: se debe cortar el cono conun plano inclinado respectode la base del cono. Elbor-de que aperece recortado enel cono es nuestra curva.

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AULA 726.11.99EL MUNDOViernes cultural. Lmina coleccionable

por Lolita Brain

E L E S Q U E L E T O D E L A S C O S A S

LOS FAROS de los vehculos, tienenforma de parablide, de modo

que los rayos de luz emitidospor la bombilla se reflejan y

se emiten concentrados,aumentando su

intensidad luminosa.La bombilla se

coloca en el foco.

S

upn que tienes un espejo con la forma de la su-perficie de la ilustracin: todos los rayos que entran

en la direccin del eje representado al reflejarse seconcentran en un mismo punto que llamamos foco.Esto hace que los ingenieros hayan diseado mlti-

ples objetos con esta forma. Se llama paraboloide de revo-lucin (un miembro de la familia de los paraboloides elpticos)porque se construye girando una parbola, la curva que des-cribe el baln de ftbol cuando saca el portero. Los mate-mticos lo representan con la ecuacin: z = x

2

+ y2

(ensu forma fcil). Gracias a ello, un ordenador puede di-bujarla o se puede calcular cunto pesar un radaro dnde se debe colocar la bombilla del faro deun coche.

LOS RADARESy las antenasparablicas estn diseados con

la misma forma porque su fin esesencialmente el mismo: re-coger las seales electro-magnticas. De ah su for-ma de parablide de revo-lucin. Las ondas quereciben se reflejan en lasuperficie de la antena y seconcentran en un mismopunto, que es el foco del pa-

rablide. En ese precisopunto se coloca un sensor

con el que se puede recoger laradiacin recibida con mayor

intensidad al haberse concentra-do toda en un solo punto.

El nombre de antena parablica provienede la curva de la que se obtiene su forma:

la parbola.

Una antena parablica, el faro de un coche o lachimenea de una central nuclear. Todos estos objetos

tienen formas muy caractersticas. Y no son fruto del capri-cho de los ingenieros. Muy al contrario, estn

perfectamente estudiados para que su funcionamiento sea

el ms eficiente. Estas superficies se denominan cudricasy los cientficos las conocen a la perfeccin. Poseen unaspropiedades especiales que las convierten en candidatasperfectas para dar forma a objetos comunes. Comprobars

que ests rodeado de parablides...

LOSTELESCOPIOS

reflectantes,como el inven-

tado por Newton,tienen un espejo

cncavo cuya super-ficie es un paraboloidede revolucin. Todos losrayos que partan de uncuerpo celeste y lle-guen paralelos a sueje se concentran enun solo punto permitiendo ser observa-dos con mayor precisin.

LOS PROGRAMAS DE ORDENADORde animacin en 3Dmodelan objetos utilizando las ecuaciones de estas

superficies para generar imgenes de sntesis.Los programas de dibujo vectorial tambin. En lafoto ves un paraboloide hiperblico o silla de

montar. Su ecuacin esz = x2- y 2.

EN LAREDhttp://www.dailan.com/verenet/lolitabrainlolita brain@hotmail.comhttp://www.vitalsoft.org.mx/Prometeo/ejemplos/mja3D.htmlhttp://www.frontiernet.net/~~imagingquads.html/