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AULAD E E L M U ND O

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P ara representar la co rrespond encia entre tres a ctrices y su co lor de o jos, los ma temti-cos construyen lo q ue llama n el PROD UCTO CARTESIANO del conjunto A= {C ame ron Diaz,J ennifer Connelly, Liv Tyler} y el de O= {o jos a zules, ojos verdes} , que se representa co nel siguiente diag rama q ue recoge todos los po sibles empa rejamientos entre ellos.

CMO SE REPRESENTA UNA RELACIN?

Las relac iones e ntre ob jetos o e ntida des son b as e fundamental de nuestro mundo. Cuandodecimos q ue una persona tiene los ojos a zules, q ue el nmero de lados que tiene un pentg o-no son cinco, o cuando a soc iamos a un pas su nmero de ha bitantes, es tamos es tableciendorelaciones entre conjuntos con elementos distintos. Los matemticos se preocuparon deenc ontrar un mod elo, una teora q ue pudiera representar esta s co nexiones entre objetos y atri-butos. A estas estructuras se las d enomin correspondencias, q ue son la ba se d e las funcio-nes, sin las que la ma temtica no sera lo que es.

por Lo lita Brain

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APLICACIONESDE CONJUNTOS

Conjunto original Conjunto final

Elementoimagen deCameronDiaz y Liv

Tyler

Elementoimagen deJenniferConnelly

ACTRICES OJOS

CON DIAGRAMAS DE VENN Si incluimos a Audrey Tau-tou, ella no tiene IMAGENasociada, pues sus ojosson neg ros. Tampo cotenemos una APLICACIN.Es una CORRESPONDENCIA.

Inyectiva (pero no sobreyectiva)

Todos los ojostienen parejaCameron y Livtienen ojos azulesCameron y Jennifertienen ojos difrentes Los ojos negrosno tienen pareja

Cameron Diaz

Verdes

Azules

Jennifer Connelly Liv Tyler

Sobreyectiva (pero no inyectiva)

( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , )( , )

( , ,=

{Actriz-ojos

},) (, )

( ,)

Si asoc iamo s los ojos con las a ctricesno tenemos una APLICACIN porquelos ojos azules estn en correspon-dencia con dosactrices.O tra forma de representar una correspondencia es con diagramasde Euler-Venn. Los conjuntos se representan con valos q ue co n-tienen los elementos y se trazan flechas q ue unenlos elementos

que estn relacionados. En es te caso , la correspondencia establecela relac in tiene el color de ojos... en el seno d el conjunto de a ctrices.

So bre el diagrama del producto ca rtesiano, seleccionamo s (en verde) los pa res que es tablecen la relacin que s e dese aexpresar: a ca da a ctriz le as ociamos e l color de sus ojos. Esta es la correspondencia Actriz-color de ojosseg n el formalis-mo de la teora de co njuntos.

De todas las correspondencias, las que nos interesan son aque-llas en las que todos los elementos iniciales tienen una pareja enel conjunto final y slo una. Son lasAPLICACIONES.

VENN Y LA LGICA

J OHN VENN(1834 - 1923)

Existen muchas for-mas de a cercarse alconcepto de fun-

cin en matemticas.Nosotros va mos a utili-zar una que entroncacon lo que se deno mi-n matemticasmodernasy que sin serla que histricamenteaconteci, si es unaformulacin modernaque involucra conjun-tos, elementos y rela-ciones. Fue d esa rrolla-da po r los pa dres de lalgica moderna, losbritnicos Boole yVenn, a medio ca minoentre la lgica y lasmatemticas.

Las dos corres-p o n d e n c i a ssiguientes sona p l i c a c i o n e sdiferentes. Enuna, a elemen-tos distinos seles asocianimgenes dis-tintas. Es unaINYECCIN. En laotra, todos loselementos delconjunto finaltienen algunapareja del con-junto inicial. Esuna SOBREYEC-CIN.

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por Lo lita Brain

Vivimos e n una s ociedad en la q ue los temas econmicos tienen una importancia c a-

pital. Necesitamos el dinero para c as i toda s nuestras a ctivida des. Desde que el mer-

ca ntilismo hizo s u apa ricin en la Historia, s e crea ron dos tipos de relaciones entre

los q ue tenan g randes d epsitos monetarios y los q ue neces itaba n del vil metal. Por

un lad o, q uien nece sita d inero puede ped irlo prestado a los b anc os, d ebiendo d evolver,

ade ms del capital adelantado, los intereses o ga sto por el riesg o a sumido por q uien

lo presta. De otro, los q ue disponen de ca pitales ahorrados lo invierten pa ra g enerar ms.

DE CAPITALESE INTERESES

LOS PORCENTAJES

Todo proces o de prstamo de dinero conlleva el uso de un tipode inters que supone la base de clculo para determinarcunto produce e l dinero que se ha invertido o cunta c anti-

dad ha de devolverse por el dinero que se recibe e n concepto de

prstamo. Este tipo es un porcentaje. Indica la cuanta que por

cad a cien unidad es monetarias se ha de de volver o se ha de per-

cibir. Si la b ase de c lculo se proporciona s obre una unidad y no

sobre cien, se llama tanto por unoen lugar de porcentaje.

EL INTERS SIMPLE

El modo m s se ncillo de ca lcular el monto de d inero que se percibe por invertir un cap i-

tal es el llamado inters simple. Consiste en que el dinero invertido genera un inte-rs, fijado de antemano, en ca da periodo de tiempo que transc urre. El beneficio

depende del tanto por ciento es tipulado , que fija el dinero que se g enera ca da cien uni-

dad es monetarias invertidas . P uede calcularse anualmente, sema nalmente, trimestral-

mente, etctera, pero la c antidad de beneficio no de pende d e cund o se retire. En la

imagen te mostramos cmo se calcula lo que produciran 500 euros al 10 por ciento

anual. Por cad a a o se pe rciben 50 euros de be neficio.

INTERS SIMPLE CONTRA INTERS COMPUESTO

EL INTERS COMPUESTO

El modo m s ha bitual de ca lcular el bene ficio de un ca pital inverti-

do es el inters compuesto. Se diferencia del simple en quecad a vez que se ca lcula el beneficio, ponga mos cad a ao, s te

pasa a formar parte del capital, de modo q ue en e l siguiente periodo

de c lculo, junto al ca pital inicial, se dispo ne de los bene ficios. En

este ca so ha y mucha diferencia si los intereses se c alculan a nual-

mente, mensualmente, trimestralmente etc. ya que cuantas ms

ocas iones se calcule el beneficio, ms veces se ag regar a l capitalinicial el inters produc ido. En la imag en pued es ver el proces o de

cmo s e ca lculan los intereses que g eneran 500 euros, a l 10 por

ciento a nual, es de cir, cad a a o se recalcula e l beneficio.

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Los beneficios del inters compuesto se aprecian en las

dos g rficas , que muestran en qu ca ntidad es se convier-ten 500 euros a l 10 por ciento a lo largo d e 45 aos . Si el

inters es s imple, la g rfica es una recta, lo que indica que e l

bene ficio es resultado de multiplicar el inters por el nmero

de a os. En ca mbio, la grfica inferior muestra la variacin si

el inters e s co mpuesto. La lnea responde entonces a un

crecimiento exponenc ial y por tanto, e l idntico c apital inicial

nos propo rciona mucho m s be neficio en el mismo intervalo

de tiempo.

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Pocas veces en la Historia encontramos familias con una voca-cin tan decidida hacia cualquier rama del saber que las haga va-ledoras de los mayores mritos. Y mucho menos en Matemti-cas. Hubo, sin embargo, una familia de origen holands que, araz de las persecuciones dirigidas contra los protestantes por elDuque de Alba en 1576, huy a Basilea (Suiza) en 1583. Eran los

Bernoulli, una familia de comerciantes de especias y banqueros.El padre, Niklaus (Nicols), hizo todo lo posible para que sushijos no se dedicaran a las Matemticas. Sin embargo, en sufamilia hubo 11 miembros dedicados a las Matemticas y a laFsica. Tres de ellos ocupan puestos de honor: Jakob, su hermanoJohann y el hijo de ste, Daniel.

por Lolita Brain

L O S B E R N O U L L I

JOHANN BERNOULLI ocup la Ctedra de Ma-temticas en Groningen (Holanda) hastala muerte de su hermano Jakob en 1705,

fecha en la que tom posesin de su cargo enBasilea. Entusiasta de las Matemticas y aman-te de las controversias, mantuvo una rivalidadtenaz con Jakob, quien le adiestr en esta ma-teria, y con su hijo Daniel, a pesar que fue lmismo quien le haba inculcado el amor por estaciencia. Con Jakob mantuvo continuas dispu-

tas pblicas en diversas publicaciones, siempre motivadaspor el recelo profesional y la atribucin de los descubrimientos.

Se sinti muy herido porque Jakob, molesto por la habilidadde su hermano menor con el clculo diferencial, comentabasiempre con despecho de l es mi alumno. Tambin se cuen-ta que, en una disputa cientfica, falsific la firma de una de-mostracin realizada por Jakob para atribuirse la victoria.

Pero, sin duda, fue el problema de la BRAQUIS-TOCRONAel que ms fama le dio. Publicado en1696 en la revista de Leibnitz,Acta Eroditorun,Johann propuso encontrar la curva que debe-ra seguir un objeto que cayera desde un puntoa otro, bajo efecto de la gravedad, para emplear

el menor tiempo posible. l co-noca la solucin, y dio de plazoseis meses a los matemticospara resolverlo, pero el plazohubo de ampliarse, ya que no serecibieron soluciones. Al cabode un ao slo cuatro respues-tas se presentaron. Una era deJakob. Otra, annima. Johann,al leerla, exclam: "Reconoz-co al len por las garras". El au-

tor era nada menos que Newton. Segn el ama de llaves de ste,

Newton recibi el problema a las cuatro de la tarde, y lo re-solvi a las cuatro de la maana. El CLCULO DE VARIACIONEShaba nacido. Pero sa es otra historia.

EN SU V IA JE a Pars de 1692,

Johann conoci al in-fluyente CONDE DE

LHPITAL. Trasadiestrarle en el cl-culo diferencial deLeibniz, Johannacord con l que leenviara sus descu-brimentos a cambiode un estipendio. Aslo hicieron, pero cul fue

el asombro de Johann cuandocomprob que LHpital

haba publicado sus re-sultados en suAnaly-se des infiniment en1696. En dicho textoaparece la REGLA DELHPITAL, que to-dos los estudiantes

de Bachillerato cono-cen. Pues es de Ber-

noulli!

J A K O B ( I )

N I K L A U S ( I )

J O H A N N ( I )

JAKOB, el quinto de una familia de10 hermanos, fue catedrtico en

Basilea desde 1687 hasta su muer-

te, en 1705. Fue de los primeros en

usar el clculo diferencial, reciente-

mente descubierto por Newton y Leib-

niz, respecto del cual adopt la nota-

cin de este ltimo. Foment su uso

para la resolucin de problemas geo-

mtricos. Fue el primero en recomen-

dar a Leibniz el trmino INTEGRAL

J O H A N N ( I I )

N I K L A U S ( I I )

N I K L A U S ( I I I )

1654 1705

1662 1716

1667 1748

1687 1759

1782

1790

1807

1700

1744ASTRNOMO REAL Y DIRECTOR DE ESTUDIOS MATEMTI-COSE N LAACADEMIA DE BERLIN CON 19 AOS

PROFESOR EN BASILEA, VERONA YSAN PETERSBURGO

CTEDRA DE MATEMTICAS EN BASILEA

1695 1726

Hizo inscribir en su tumba una spira mi-rabilis (espiral logartmica) con el texto

Eaden mutata resurgo (aun siendo mo-

dificada, surjo de nuevo la misma)

J A K O B ( I I )

CTEDRA DE MATEMTICAS EN BASILEA

J O H A N N ( I I I )

1710

UNO DE LOS GRANDES descubrimientos deDaniel es la conocida como LEYDE BER-NOULLI, que es el principio por el que los

aviones pueden volar. El principio vienea decir que cuanto mayor sea la velocidadde un fludo (un gas o un lquido), menores la presin que ejerce sobre un objeto in-merso en l. Las alas, en su movimiento ypor su forma, hacen que el aire superior semueva ms rpido y que, por tanto, ejer-za menor presin que el aire inferior. Elaire empuja entonces al ala y favorece elvuelo. Tambin estudi la forma que de-bera tener el perfil de las alas

DANIELfue uno de los treshijos de Jo-hann de-

dicados alas Mate-m t icas .Con mu-cho, elms bri-llante. Igualque hizo supadre con l, Jo-hann trat de convertir a Da-niel en un comerciante e im-pedir que se hiciera matem-tico. A los 13 aos, Danielhaba pasado mucho tiempocon su padre y haba apren-dido de l Matemticas, peroste le impuso estudiar Medi-cina. As hizo, aunque noabandon nunca las Mate-mticas. Fue amigo ntimodel gran Euler, alumno de supadre. Ambos tienen el r-cord de haber recibido cinco

premios especiales de laAca-dmie des Sciences de Pars

MANTUVO CON SU PA -DRE una fuerte riva-lidad. En 1734, am-

bos recibieronun premio de laAcadmie des

Sciences de Pa-rs por un tra-bajo sobre lasaplicaciones delas probabilida-des a las rbi-tas planetarias.Johann, heridoporque su hijo fuera unigual, le ech de casa.

Cuando en 1738 publi-c la Hydroynamica, lofirm como Daniel Ber-

noulli, hijo deJohann en unintento de re-conci l iacincon su padre.Sin embargo,Johann publicun ao des-pus, su Hy-draulica, muyparecido al tex-

to de su hijo. Plagio ocolaboracin?

Junto a Euler, Danielestudi la presin san-guinea. Descubri unsangriento mecanismo

para medirl a que seus durante el XVIII.

17081623N I K L A U S

D A N I E L ( I )

En el Arte dela Conjetura,recopila sus co-nocimientos

sobre las pro-babilidades. Enl aparecen losfamosos N-MEROSDEBER-NOULLI, su-mas de infinitos

trminos (se-ries) y plantea

el inters conti-nuo...y la Ley

de los GrandesNmeros

Jakob fue un apasio-nado de las curvas.Plante y resolvi elproblema de la curvaISCRONAe invent lacurva LEMNISCATA DEBERNOULLI. Pero su

gran pasin fue la ES-PIRAL LOGARTMICA:descubri que las cur-

vas asociadas a ella(su evoluta, su pedal,etc.) vuelven a ser es-pirales logartmicas

Lemniscata de Bernoulli Espiral logartmica

1759 1789

AIREALA

presin ejercidapor el aire con movimiento lento

presi

n ejerci

daporelmovimientorpido