aula de matemáticas xix de 'el mundo

7/21/2019 Aula de Matemáticas XIX de 'El Mundo'

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po r L olita Brain

En un artículo de 1726, el genial Leonhard Eulerpropuso -y resolvió- el primer pro-blema topológico de la historia: el de ‘Los puentes de Königsberg’. Aparente-mente era un reto geométrico, pero él observó que las distancias no eran relevantesen él. Nació así la Topología, que es la ‘geometría de posición’ como la habíabautizado Leibniz. La Teoría de Grafos es una parte esencial de ella y estudialos ‘caminos’ en una red. Es fundamental en el diseño de redes eléctricas, en elenrutamiento de Internet e incluso para la geometría de las moléculas.

AULAD E E L M U ND O

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EL INSPECTOR DE CARRETERAS Y SU PROBLEMA

CÓMO ENCONTRARLA SOLUCIÓN GENERAL

NO SIEMPRE HAY UNA SOLUCIÓNLA SOLUCIÓN

Imaginemos un inspector de carreterascuyo trabajo consiste en viajar por lasvías que comunican una serie de ciu-

dades para determinar desperfec-tos, el estado del firme o la coloca-ción de las señales viales. Esevidente que para optimizar sutiempo y economizar kilómetros, sumáximo interés reside en disponerde una ruta que le permita revisarun determinado sistema de carre-teras sin pasar dos veces por lamisma vía. En sutrabajo, irá deuna ciudad aotra intentan-do pasar unasola vez por cadavía: ¿podrá hacerlo así encualquier red de carrete-ras?

No todos los sistemas de carreterastienen una solución a nuestro pro-blema. Existen configuraciones de

redes en las que obligatoriamentenuestro inspector deberá pasar almenos dos veces por un mismo tramopara realizar la inspección.

EL PROBLEMA DELINSPECTOR DE RUTAS

La ciudad alemana de Königsberg esmuy peculiar: tiene dos islas centra-les sobre el río Pregel que se unen

a tierra firme por siete puentes. El pro-blema sugiere la siguiente pregunta:¿es posible recorrer los siete puentessin pasar dos veces por ninguno deellos? A pesar de que la pregunta pa-rece trivial, no lo es en absoluto. Eulerobservó que aunque parece un proble-ma de geometría, no intervienen dis-tancias, longitudes o medidas. Observóque lo importante era la relación exis-tente entre los puntos y los caminos.

La solución de Euler al problema de los puenteses negativa: no es posible cruzar los siete puen-tes sin pasar dos veces por alguno de ellos. Delmapa de los puentes pasamos al esquema su-perior y de él podemos obtener la red de la de-

recha. En ella hay cuatro nodos de grado impar,y por tanto, sobre ella, no tiene solución el pro-blema del inspector de carreteras.

Comenzamos por cualquierciudad y realizamos cualquier

circuito. Por ejemplo el marcadoen verde.

A partir de cualquier ciudaddel camino anterior cubri-

mos otra parte del recorrido.

Estos dos caminos puedenunirse en uno solo que cubre

parte del recorrido total.

Repetimos el proceso anteriorcubriendo un circuito por el que

no hayamos pasado.

1

4

56

Para resolver este tipo de problemas, loprimero que hacemos es construir un dia-grama simple de la situación real. Las c iu-dades se convierten en nodos y lascarreteras en segmentos rectos oarcos. Para el caso propuesto, lasolución es pasar por las ciudadesen el orden numérico indicado.

Busquemos una ruta que solucione el problema del ins-pector de carreteras para la siguiente red que tiene todassus ciudades de grado par y por tanto solución.

En este caso es ine-vitable pasar dosveces por la carrete-ra que lleva al nodo

ao al

b

2

3

a

b

EL GRADO DE UNA CIUDAD

[email protected]

LO S P UEN TE S D E KÖN IGSBERG

1

2

3

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6

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ALGUNOS RESULTADOSIMPORTANTES

Si una ciudad tiene grado impar, elinspector debe necesariamentecomenzar o finalizar su trayecto enella.

RESULTADO 1

Si hay más de dos ciudades de gra-do impar en una red, el problema delinspectorno tiene solución.

RESULTADO 2

No puede existir una red de carrete-ras que tenga una sola ciudad degrado impar. Si tiene una, por lomenos existe otra.

RESULTADO 3

Si una red de carreteras no tieneninguna ciudad de grado imparsiempre hay una solución para elproblema. Además, el inspectorpuede comenzar por la ciudad quedesee y terminará en ese mismolugar.

RESULTADO 4

Si una red tiene exactamente dosciudades de grado impar, el proble-ma del inspector tiene soluciónsiempre que la ruta escogidacomience en alguna de esas dosciudades.

RESULTADO 5

1

4

3

2

El grado de una ciudad, ode un nodo, es el número decaminos que llegan o salende él. Así, el orden de la ciu-dad de la imagen es dos.Nos interesa distinguir si elgrado de una ciudad de unared es par o impar. Esto va adeterminar cuándo el pro-blema del inspector derutas tiene o no solución.

Una ruta solución es la marcada porla serie numérica.




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P ara representar la co rrespond encia entre tres a ctrices y su co lor de o jos, los ma temáti-cos construyen lo q ue llama n el PROD UCTO CARTESIANO del conjunto A= {C ame ron Diaz,J ennifer Connelly, Liv Tyler} y el de O= {o jos a zules, ojos verdes} , que se representa co n

el siguiente diag rama q ue recoge todos los po sibles empa rejamientos entre ellos.

¿CÓMO SE REPRESENTA UNA RELACIÓN?

Las relac iones e ntre ob jetos o e ntida des son b as e fundamental de nuestro mundo. Cuandodecimos q ue una persona tiene los ojos a zules, q ue el número de lados que tiene un pentág o-no son cinco, o cuando a soc iamos a un país su número de ha bitantes, es tamos es tableciendorelaciones entre conjuntos con elementos distintos. Los matemáticos se preocuparon deenc ontrar un mod elo, una teoría q ue pudiera representar esta s co nexiones entre objetos y atri-butos. A estas estructuras se las d enominó correspondencias, q ue son la ba se d e las funcio-nes, sin las que la ma temática no sería lo que es.

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APLICACIONESDE CONJUNTOS

Conjunto original Conjunto final

Elementoimagen deCameronDiaz y Liv

Tyler

Elementoimagen deJenniferConnelly

ACTRICES OJOS

CON DIAGRAMAS DE VENN Si incluimos a Audrey Tau-tou, ella no tiene IMAGEN

asociada, pues sus ojosson neg ros. Tampo cotenemos una APLICACIÓN.Es una CORRESPONDENCIA.

Inyectiva (pero no sobreyectiva)

Todos los ojostienen parejaCameron y Livtienen ojos azulesCameron y Jennifertienen ojos difrentes Los ojos negrosno tienen pareja

Cameron Diaz

Verdes

Azules

Jennifer Connelly Liv Tyler

Sobreyectiva (pero no inyectiva)

( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , )( , )

( , ,=

{Actriz-ojos

},) (, )

(, )

Si asoc iamo s los ojos con las a ctricesno tenemos una APLICACIÓN porquelos ojos azules están en correspon-dencia con dosactrices.O tra forma de representar una correspondencia es con diagramas

de Euler-Venn. Los conjuntos se representan con ó valos q ue co n-tienen los elementos y se trazan flechas q ue unen los elementos

que están relacionados. En es te caso , la correspondencia establecela relac ión tiene el color de ojos... en el seno d el conjunto de a ctrices.

So bre el diagrama del producto ca rtesiano, seleccionamo s (en verde) los pa res que es tablecen la relación que s e dese aexpresar: a ca da a ctriz le as ociamos e l color de sus ojos. Esta es la correspondencia Actriz-color de ojos seg ún el formalis-mo de la teoría de co njuntos.

De todas las correspondencias, las que nos interesan son aque-llas en las que todos los elementos iniciales tienen una pareja enel conjunto final y sólo una. Son lasAPLICACIONES.

VENN Y LA LÓGICA

J OHN VENN

(1834 - 1923)

Existen muchas for-mas de a cercarse alconcepto de fun-

ción en matemáticas.Nosotros va mos a utili-zar una que entroncacon lo que se deno mi-nó matemáticas modernas y que sin serla que históricamenteaconteció, si es unaformulación modernaque involucra conjun-tos, elementos y rela-ciones. Fue d esa rrolla-da po r los pa dres de lalógica moderna, losbritánicos Boole yVenn, a medio ca minoentre la lógica y lasmatemáticas.

Las dos corres-p o n d e n c i a ssiguientes sona p l i c a c i o n e sdiferentes. Enuna, a elemen-tos distinos seles asocianimágenes dis-tintas. Es unaINYECCIÓN. En laotra, todos loselementos delconjunto finaltienen algunapareja del con-junto inicial. Esuna SOBREYEC-CIÓN.




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L o primero que hemos detener en cuenta es que laciencia estudia los fenóme-

nos que cambian, o si se quiere,los cambios que sufren losfenómenos. Aquello que esinmutable se puede definir,pero sin cambio no hay análisis.Sin embargo, los procesos delUniverso, de la materia o de laenergía que varían, en generalcon el transcurso del tiempo,son los que preocupan a loscientíficos. Y para estudiarlosse asignan a cada momento o acada estado el valor de la mag-nitud que se estudia.

D isponemos de un litro de agua calentado a una cierta temperatura,pongamos 60

o

C. Conforme pasa el tiempo, el agua irá perdiendocalor y su temperatura descenderá progresivamente hasta estabili-

zarse en un valor, supongamos que 20o

C al cabo de 50 segundos. Acada instante de tiempo que consideremos oportuno podemos asig-narle la temperatura que tiene el agua en dicho momento.En este ejemplo:a) El dominio son los 50 segundos en los que transcurre el fenómeno.b) La imagen es el conjunto de temperaturas observadas

entre 60o

C y 20o

C.c) La regla es “la temperatura del agua en cada instante”.

Lo que es realmente difícil esencontrar la forma en la que

se pierde el calor, es decir, laexpresión de la regla que nos permi-

te poder saber cómo transcurre el fenómeno.Esta es y ha sido la labor permanente de los físicos.

UN EJEMPLO CALÓRICO

UN EJEMPLO MECÁNICO

Veíamos la semana pasada el modelo que los matemáticos utilizan para representar las rela-ciones entre entidades: las aplicaciones. Muy en especial, las aplicaciones que establecen rela-ciones entre números son capitales para poder entender nuestras matemáticas y la forma enque son útiles para explicar el mundo. Es importante recordar que, entre otras, las ciencias físi-cas y químicas estudian los cambios de las magnitudes: la cambiante posición de un móvil a lolargo del tiempo, la variación de temperatura de un cuerpo que se enfría, etc. Todos los cambiosse representan en matemáticas a través de las funciones.

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¿QUÉ ES UNA

FUNCIÓN?

0 segundos

20 segundos

50 segundos

60o

C

40o

C

20o

C

Cauchy realizó una extraor-

dinaria labor para sistemati-

zar el concepto de función.

Pero no es el único.

AUGUSTIN CAUCHY

(1789-1857)

Lagrange fue un impulsor

de la teoría formalizada

de funciones escrita en su

‘Mecánica Analítica’.

JOSEPH-LOUIS LAGRANGE

(1736-1813)

LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Si pudiéramos tomar una serie de fotografías a alta velocidad delmovimiento del balón, obtendríamos lo que se denomina la gráfi-ca de la función. Es la representación en el plano de las distintas

parejas (tiempo , altura ) que dibuja el movimiento del balón. En estecaso, esta gráfica es una curva parabólica, motivo por el que sole-mos decir que el balón “describe una parábola ”.

C uando un portero de fútbol saca de puerta, el balón asciende hasta una determi-nada altura y luego comienza a caer. Podemos asignar, a cada instante en elque el balón está volando, la altura a la que se encuentra. Esto es una función

en la que:a) El dominio son los segundos que hay en el intervalo de tiempo que tarda el

balón en caer al suelo.b) La imagen sería el conjunto de alturas, medidas desde el suelo, a las que se

encuentra el balón sucesivamente en su desplazamiento.c) La regla que asocia tiempos (segundos) a alturas (metros) es la altura a la quese halla en cada instante el balón.

¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN?

C on estas premisas, los matemáticos han construido la idea de función. Esteconcepto se fue gestando a lo largo de la historia, con la participación demuchos matemáticos y va desde un uso más o menos intuitivo __ pero útil __ has-

ta la generalización de la que hoy hace gala.Con brevedad, una función está constituida por tresobjetos :a) Un conjunto de partida llamado dominio(D )b) Un conjunto de llegada llamado imagen( I )c) Una regla (f ) que asigna, a cada elemento del dominio, uno y sólo un elementodel conjunto de imagen.

La imagen del elemento x

se calcula como

su doble más 1

¿QUÉ ESTUDIAMOS DE UN FENÓMENO FÍSICO?



A veces las ideas que transforman profundamente las ciencias son tan sencillas que conla vista puesta en el pasado sólo se puede exclamar: “¡Es imposible que no se le ocurrieraantes a nadie!” Una de esas ideas revolucionarias es la incorporación de un sistema decoordenadas para estudiar la Geometría. Aunque algunos matemáticos griegos comoApolonio de Pérgamo o Ptolomeo de Alejandría intuyeron de algún modo esta posibilidad,hubo que esperar al fecundo siglo XVII para que se hiciera realidad. Ésta es su historia.

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LA GEOMETRÍACON NÚMEROS

Si hemos de buscar antecedentes históricos a lossistemas de coordenadas, debemos recordar aApolonio de Pérgamo, que en su estudio de lassecciones cónicas intuye el uso de números para suplir

a puntos. Y por supuesto, no podemos olvidar al granastrónomo Ptolomeo, que en su afán de crear un mapade la Tierra utiliza ideas similares a las de Descartes yFermat para posicionar puntos terrestres.

LOS CREADORES

SISTEMA DE COORDENADAS

¿CÓMO SE UTILIZAN?

ANTECEDENTES

RENÉ DESCARTES

(1596-1650)

La idea elemental de Descartes y Fermat fue la siguiente. Elplano está compuesto por un conjunto de puntos. Tracemosun par de rectas perpendiculares que se cortarán en un puntoque llamaremos origen (O ). Llamemos a una de las rectas ejede abscisas (X ) y a la otra, eje de ordenadas (Y ). Por último,tomemos una unidad de distancia sobre cada uno de estosejes. Ya tenemos un sistema cartesiano de coordenadas.

Esta otra ecuación representa a larecta que pasa por el punto (0,-3)y tiene una pendiente de 3, mayorque la anterior.

Hecho esto, cada punto P del

plano, una entidad geométrica,queda asociado a una parejade números, una entidadalgebraica: sus coordenadascartesianas.Para ello, se trazan paralelas alos ejes OX y OY que cortan enlos puntos R y S a cada uno deellos. La distancia que separaa R del origen O es lacoordenada X (o abscisa de P )y la correspondiente distanciade S al origen, su coordenadaY (u ordenada).

Si observas eldiagrama, el punto P se corresponde con

la pareja de puntos(2,3), mientras queel punto Q está encorrespondenciacon la pareja (-3, 2).A partir de estossupuestos, lasacciones geométricas conellos se realizan através deoperaciones con lasparejas de números(2,3) y (-3,2).

MAPA DELA TIERRA, DE PTOLOMEO DE ALEJANDRÍA.

Independientemente, ambos dieron un saltocualitativo en la Geometría al comprender queera posible conocer las figuras geométricasestudiando los números y las ecuaciones.Hasta ellos, la Geometría era heredera de latradición griega, y el Álgebra, de la matemáticababilónica y árabe. Con ellos, ambos mundos,el de los números y el de las figuras, intimarontanto que acabaron por ser la misma cosa.

¿QUÉ INVENTARON DESCARTES Y FERMAT?

PIERRE DE FERMAT

(1601-1665)

A dos gigantes de la matemática, yno sólo de ella, debemos la creaciónde la que con el tiempo pasó allamarse Geometría Analítica yGeometría Algebraica. Ellos sonnada menos que el filósofo raciona-lista por antonomasia, Descartes, y elirrepetible matemático enamorado delos números, Fermat, del que recor-daremos tan sólo su famoso ‘TercerTeorema’, que trajo decabeza a toda la matemática hastahace unos pocos años, cuando sedemostró su conjetura.

¿Y AHORA QUÉ HACEMOS?Una vez que tenemos definido elsistema de coordenadas, lasfiguras geométricas se conviertenen ecuaciones con las incógnitasX e Y .

RECTASEstos elementos fundamentalesde la Geometría se expresan através de ecuaciones de primergrado.

Esta ecuación representa a larecta que pasa por el punto (0,3)y tiene una pendiente (inclinación)de 2.

Si resolvemos este sistema deecuaciones como se hace en

Álgebra, determinaremos el puntoen el que se cortan las dos rectas,¡sin necesidad de dibujar!

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