AULADE EL MUNDO

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LOS CHAKRAS SON CENTROSDE ENERGÍA SITUADOS EN ELCUERPO HUMANO.PROVIENEN DE UNA PALABRASÁNSCRITA QUE SIGNIFICARUEDA O VÉRTICE Y HACENREFERENCIA A LOS SIETECENTROS DE ENERGÍA QUECOMPONEN NUESTRO SISTE-MA NERVIOSO.LOS PODEMOSENCONTRARSITUADOS ENLA BASE DELA COLUM-NA VERTE-BRAL, ENLOS GENITA-LES, EN ELESTÓMAGO,EN ELPECHO,EN LAGARGAN-TA, EN LAFRENTE Y EN LA CABEZA.

P S I C O A N A L I S I S A L O S N U M E R O S ( I I )Tal y como te prometimos, continuamos contándote la psicología de la fa-milia cardinal. Hoy es el turno del divino siete, del indispensable 10, deldivisible 60 y del ascético nueve. Como verás, están todos cargados de sim-bologías religiosas y algunos como el 40, tienen un protagonismo inusualen la Biblia, en la que los números pares son los indiscutibles protagonis-tas. En cambio, en algunas religiones orientales, como el hinduismo, sonlos impares los que organizan la pureza del espíritu y los que marcan losestados del alma hasta alcanzar la pureza plena. Como te dijimos, el ex-traño cero, más que número antinúmero, tiene una historia tan extensa yparticular, que le dedicaremos una próxima entrega.

por Lolita Brain

lolitabrain@hotmail.com

S iete es un número mágico: al ob-

tenerse de la adición del 3 (la DI-

VINIDAD) con el 4 (lo TERRENAL) re-

presenta la TOTALIDAD.

Los pecados capitales del catoli-

cismo son siete. Siete son los brazos

del Menorah, y siete los días de la

semana. Para la filosofía hindú, los

chakras son siete estadios de la es-

piritualidad humana localizados a lo

largo del

cuer-

po.

LOS TEMPLOS HINDUISTAS TIENEN

FORMA DE PAGODA, CON TECHOS ES-CALONADOS EN TANTOS TEJADOS

COMO SEA EL NIVEL ESPIRITUAL DEL

TEMPLO. EN LA FOTO PUEDES VER

UNA PAGODA DE 9 NIVELES, QUE RE-PRESENTA EL CIELO, JUNTO A OTRA

DE 11, LA PLENITUD O EL NIRVANA.

El nueve, siendo tresveces tres, represen-ta la máxima perfec-ción. En especial paralas religiones escan-dinavas: ODÍN perma-neció colgado enel árbol Ygg-drasil nuevedías paraalcanzarla sabidu-ría. En Oc-cidente, la

tradición afirma queson nueve las esferascelestiales e inferna-les (como se puedeleer en La Divina Co-media) Para los tao-

ístas, en su ma-yoría chinos,

simbolizala pleni-tud, es eln ú m e r odel YING-

YANG.

E l 12, obtenido como cuatro veces

(número femenino) tres (mascu-

lino), representa el orden espi-

ritual y terrenal. Además, como es

divisor de 60, medidor univer-

sal del tiempo, es uno de los nú-

meros más temporales que

existen: 12 son los meses del

año, las horas del día, 12 las de

la noche. 12 son las constela-

ciones del zodiaco. Y está re-

pleto de simbología judeocris-

tiana: 12 fueron los discípulos, 12

las tribus de Israel, 12 son los días

de la Navidad. ¡Ah! Y los Caballeros

de la Tabla Redonda también eran 12.

E l número 60es de los quemás cabal-

mente han sidoadoptados his-tóricamente. Sugran virtud esque posee unaenorme canti-dad de diviso-res: 1, 2, 3, 4, 5,6, 10, 12, 15, 20,30 y 60 lo que leconvierte en elcampeón de losdivisores, y por

tanto un candidato a medir lo que había que dividir muchas veces:el tiempo. Así lo entendieron los babilonios hace nada menos queunos 5.000 años. Hasta la fecha.

E l 10 se obtiene de la

suma 1+2+3+4 , y por

eso repre-

senta la TOTALI-

DAD y la visión

E X H A U S T I V A .

Por ejemplo, la

obe- diencia

del pueblo de

Israel a la vo-

luntad de YAH-

VEH se expresó en los DIEZ

MANDAMIENTOS. Para los pi-

tagóricos significaba la

plenitud. Tradicionalmen-

te se ha representado por

un triángulo con 10 puntos.

La cúspide está reservada

para el UNO, el principio

activo. En se-

gundo lugar es-

tán los dos prin-

cipios de los

que dependerá

el resto, que

proceden direc-

tamente del

Uno. Los tres

órdenes –terrenal, celestial

e nfernal– ocupan el si-

guiente nivel. Por último, la

Tierra se refleja en el cuar-

to: cuatro elementos, cuatro

estaciones.

E l ocho es el primer nú-

mero cúbico (2x2x2 =

8) y por eso siempre le

ha rodeado un halo de

perfección. Especialmen-

te para los chinos, cuya

vida se gobierna con este

número: los dientes salen

a los 8 meses y se caen a

los 8 años, a los “dos ve-

ces ocho” (16) años el

niño se convierte en hom-

bre y a los 64 (8x8) se

pierde la fertilidad. Para

los budistas simboliza los

caminos para alcanzar la

iluminación

EL MENO-RAH, BAJO ES-

TAS LÍNEAS, ESEL CANDELABRO

QUE UTILIZAN LOSJUDÍOS EN SUS SER-VICIOS SAGRADOS.LAS FORMAS EN“U” REPRESEN-TAN LA SABIDU-RÍA, LAFUERZA YLA BELLE-

LOS SIE-TE PECADOS

CAPITALES SONLA CONTRAPAR-TIDA DE LAS TRESVIRTUDES TEOLÓGI-CAS Y LAS CUATRO CAR-

Es un número que, aso-ciado a la unidad, hasido muy recurrente en

la Biblia. Moisés pasó 40días y 40 noches en elMonte Sinaí. Jesucristopasó 40 días de penitencia

en el desierto. El DiluvioUniversal duró 40 días.Los grandes reyes judíosSalomón y David reinaron40 años, los mismos que elpueblo judío estuvo erran-te en el desierto.

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P S I C O A N A L I S I S A L O S N U M E R O S ( I )Uno, dos, tres, cuatro... Todos conocemos los números de contar, que son in-dispensables para la vida del hombre. Pero a lo largo de la Historia, y pormúltiples causas, los números se han impregnado de significados religiosos,esotéricos, místicos o estéticos. Así, muchísimas religiones han dotado a lodivino de tres principios, y el universo ha estado asociado al cuatro; el sietees un número mágico y el seis es diabólico. Sea por superstición, por tradi-ción o por la persistencia de pensamientos perennes, el caso es que cadanúmero está asociado a ideas que no han cambiado a lo largo de los tiem-pos. Conoce la personalidad de los números en ésta y la siguiente lámina.¡Ah! El cero, como es muy especial, tiene una historia muy, muy larga... y la mássingular, así que le dedicaremos la lámina que se merece.

Uno es lo PRIMI-

TIVO por ex-

c e l e n -

cia. De él

provienen

los demás

números,

que se ob-

tienen a

partir de él por

adición.

Símbolo del

principio acti-

vo, del ser en

estado puro,

también simbo-

liza la VERTICA-

LIDAD del hom-

bre que lo con-

vierte en nexo

entre la tierra y

el cielo. Ade-

más es el pri-

mer ORDI-

NAL, de

modo que

se asocia a

lo mejor, a

la victoria...

El cuatro,asociadoal cuadra-

do (la esta-bilidad) y lacruz, es el

símbolo del Uni-verso creado y

estable. Según la tradición, cuatro son los elementos esen-ciales que componen el universo: aire, fuego, tierra y agua.Cuatro son también los puntos cardinales. Y cuatro son los hu-mores corporales de Empédocles: flemático, sanguíneo, co-lérico y melancólico. Las fases de la Luna y las estacionesdel año también son cuatro.

Al ser dos veces 3, el sseeiiss es el nú-

mero del EQUILIBRIO y la RECIPROCI-

DAD. En la Biblia, su uso es contra-

dictorio: es el tiempo que tardó Dios en

crear el mundo, pro-

porcionando el ritmo

de seis como bue-

no; sin embargo,

en el

Apo-

calipsis se usa como el número del Anticris-

to con el que éste será marcado (con 666).

El hexágono, representación geométrica del

seis, se obtiene como dos triángulos entrelaza-

dos, que representa para los hinduístas la

unión de los contrarios, la armonía creado-

ra. Para los judíos, es su símbolo, la estre-

lla de David.

por Lolita Brain

Es el dos el núme-ro de la discordiay a la vez el delequilibrio. Es laesencia de la plu-ralidad.

En unas civiliza-ciones ha repre-sentado la duali-dad comooposición( b l a n -

co-negro, vida-muerte), mientrasque, en otras, esasmismas parejashan simbolizadola complementari-dad: el Ying y elYang de los taoís-tas.

Representala duali-

dad.

Cinco es el centro de la serie natural 1-2-3-4-5-6-7-8-9. Expresa unidad dinámica yenergía radiante.

El hombre con los brazos abiertos espentagonal. Los

dedos son cinco,como los sentidos.Para los hindúes,es el número deShiva, y lospitagóricos

usaban comosímbolo elpentagrama.Para los mayasrepresenta alDios del Maíz,los musulma-

nes rezancin-

co vecesal día, y cinco son los lugaressantos del Islam.

lolitabrain@hotmail.com

En la mayoría de

las culturas, el

número ttrreess

simboliza lo ACA-

BADO y CULMINA-

DO. Es, por ello,

un número sa-

grado para mu-

chas religiones

que represen-

tan la divinidad

como tríada,

manifestando

la PERFECCIÓN, la

COMPLEJIDAD y

la COMPLEMENTARIDAD, lo

que significa EQUILI-

BRIO. Así los cristia-

nos creen en la San-

tísima Trinidad

(Dios Padre, Hijo y

Espíritu Santo),

mientras que para

los hinduístas la di-

vinidad es expresada en

Brahma, Shiva y

Vishnú, quienes

mantienen la

vida en un

eterno retorno.

El tres, obteni-

do con el 1 y el

2, se asocia a la

vida y la expe-

riencia: es na-

cimiento, ser y

muerte o pre-

sente, pasado y

futuro.

Neptuno usa

un tridente, Shiva

lleva un tridente,

Satanás se repre-

senta con un tridente:

el poder.

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P E R F E C T O S , A M I G O S Y G E M E L O S

por Lolita Brain

Cuenta la leyenda que al

ser preguntado qué es un amigo, Pitágoras

respondió: “El que es el otro yo mismo, como

son 220 y 284”. Enigmática respuesta numérica como

era del gusto de Pitágoras..., pero ¿qué les sucede de es-

pecial a 220 y 284? Muy sencillo, si sumas los diviso-

res propios de 220, esto es 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 +

20 + 22 + 44 + 55 + 110, se obtiene ¡284! Pero aún

hay más, si haces lo mismo con 284 y sumas sus divi-

sores 1 + 2 + 4 + 71 + 142 se obtiene ¡220! ¿Se puede

pedir más comunión a dos amigos? Estos son los nú-

meros AAMMIISSTTOOSSOOSS más pequeños que existen.

Los DDIIVVIISSOORREESS PPRROOPPIIOOSS de un número dado nos

proporcionan las partes en las que, de modo

exacto, puede partirse dicho número. Por ejem-

plo, los divisores propios del 12 son 1, 2, 3, 4

y 6, y por tanto este número se puede partir en

2, 3, 4 o 6 partes iguales sin que sobre ni falte.

Observa que, en la vida real, cuando com-

ponemos las partes en las que hemos dividido

un todo, obtenemos el total. ¿Pasará lo mismo con

los números? Pues NO.

Si tomamos el 12, por ejemplo, y sumamos sus

divisores, resulta 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, que

es mayor que 12. Decimos que 12 es un nú-

mero AABBUUNNDDAANNTTEE (como el 18 o el 20).

En cambio, si comenzamos con el 10,

cuyos divisores propios son 1, 2 y 5, al

sumarlos obtenemos 1 + 2 + 5 = 8,

que es menor que 10. Decimos que

10 es DDEEFFIICCIIEENNTTEE (como el 4, 8 o 9 ).

Pero ¿y si hubiéramos tomado el 6?

Veamos: el 6 se divide propiamente

por 1, 2 y 3. Realizando la suma de

antes obtenemos 1 + 2 + 3 = 6. ¡El

mismo número que de partida! Estos

son los números PPEERRFFEECCTTOOSS, algo así

como los top-models de los números.

En el mundo de los números, no

sólo hay amigos y perfectos. Los

gemelos también se encuentran y

con unos lazos familiares muy es-

trechos. Para que dos números sean

GGEEMMEELLOOSS, han de ser primos y ade-

más diferenciarse en dos unidades.

Por ello se llaman también PPRRIIMMOOSS

GGEEMMEELLOOSS. ¿Por qué los denominamos

así? Porque la diferencia entre dos

números primos es siempre mayor o

igual que dos (¡excepto el 2 y el 3!).

Por ejemplo, 3 y 5 son primos ge-

melos, y también las parejas 5 y 7, 17

y 19, 29 y 31,101 y 103. Pero pue-

den encontrarse parejas de gemelos

muy grandes, como 1.000.000.061

y 1.000.000.063, lo cual no deja de

ser sorprendente ya que los núme-

ros primos escasean cuando aumen-

tan. Se ha conjeturado que existen infinitas parejas de primos ge-

melos, pero este término no ha sido probado todavía.

Respecto de la divisibilidad,

el 60 es uno de los números

más divisibles que existen:

se puede dividir por 1,2,3,

4,5,6,10,12,15,20,30 y 60.

¡Nada menos que 12 divisores!

Muchos más que el 100 y que

otros números mayores. Por

ello con gran acierto los meso-

potamios lo escogieron como

base para su numeración.

Y para medir el tiempo.

Hasta la fecha se

conocen aproxima-

damente 1.000 pare-

jas de números ami-

gos, aunque su

hallazgo ha sido

tarea de miles de

años. Desde los

pitagóricos, hubo

que esperar hasta

1636 para que

P i e r r e

Fermat

encontrara la siguiente pareja de

amigos: 1177..229966 y 1188..441166, algo ale-

jados de 220 y 284. Fermat y

Descartes redescubrieron una

fórmula para calcular números

amigos que ya era conocida por

un astrónomo árabe en el siglo

IX. Descartes, usando dicha fór-

mula, encontró a la

pareja amistosa99..336633..558844 y 99..443377..005566. El

gran Euler tuvo un gaza-po en sus cálculos cuan-

do construyó una tabla

con 64 parejas de ami-

gos, de los que más

tarde se demostraría

que una pareja era de

falsos amigos. Resulta

m u y

curio-

so que en 1867 un joven ita-

liano de 16 años, descono-

cido científicamente,NNIICCOOLLÁÁSS PPAAGGAANNIINNII encontró

que 11..118844 y 11..221100 eran ami-

gos... los siguientes a 220 y

284 y se les pasó a todos los

matemáticos.

LL OO SS PP EE RR FF EE CC TT OO SS

lolitabrain@hotmail.com

Aunque conocemos desde la más tierna edad la clasificación delos números como pares e impares, y más adelante estudiamosen el colegio otros tipos de números especiales, como los pri-mos, lo cierto es que las categorías en las que se clasifican los nú-meros enteros son numerosas y atienden a diversos criterios, sien-do los que tienen relación con los divisores -su número y valor-de las más interesantes. Aparecen entonces los números per-fectos, los primos gemelos, los números amigos y muchos más.Hoy nos daremos un baño por este universo de los elementosde las Matemáticas: los números naturales y enteros.

René Descartes (1596 -1650)

Pierre Fermat (1601 -1665)

Leonard Euler (1707 -1783)

Como hemos visto, el 6 es un númeroperfecto y además es el más pequeñoque existe. A partir deaquí los matemáticosse pusieron a la busca ycaptura de los siguien-tes perfectos, compren-diendo muy pronto queson números muy esca-sos y muy difíciles deencontrar. Los siguien-tes perfectos son 28,496 y 8128. Por otra parte, no se haencontrado ningúnPERFECTO IMPAR y esposible que no exista,pero es algo que nosabemos a ciencia cier-ta, por eso, al decir per-fecto solemos referir-nos a los numeros per-fectos pares. Fue, cómono, EEUUCCLLIIDDEESS el queestudió los númerosperfectos exhaustiva-mente en el LIBRO VIIIde sus Elementos. Fiela su sagacidad,Euclides postuló que siel número anterior auna potencia de 2 esprimo (por ejemplo, 7 es el anterior a

la potencia 23=8), entonces al multi-plicarla por lapotencia anteriordel 2 (en este caso,22=4) obtenemossiempre un númeroperfecto (observaque 4x7=28 es per-fecto). Otro ejem-plo, 25=32, 32-1=31,que es primo. SegúnEuclides, al multi-plicar la potenciaanterior de 2,24=16, por 31 seobtiene 496, ¡quetambién es perfecto!Dos mil años mástarde, otro genioque ya conoces,Leonard Euler,demostró que todoslos números perfec-tos pares se obtie-nen de la mismaforma.En la actualidad, seconocen 39 númerosperfectos, la mayo-ría de ellos calcula-dos con potentes

ordenadores, ya que muchos de ellosocupan cientos de páginas.

Euclides fragmento de “La Escuelade Atenas” (hacia 1510) Rafael

de Sanzio (1483-1520)

2n-1(2n-1) es PERFECTO si

2n-1 es PRIMO

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El año que acaba de comenzar, 2002, será el último capicúa quevivamos los que leemos este suplemento. El anterior fue 1991.Por eso, hoy vamos a contarte unas cuantas curiosidades so-bre estos números. Y como, además, existe la propiedad capi-cúa para los textos y las imágenes, te hablaremos también de lasexpresiones palindrómicas o los palíndromos.

C A P I C U A S Y P A L I N D R O M O S

por Lolita Brain

Los números capicúas, ya sabes, los que son iguales de izquier-

da a derecha que de derecha a izquierda, no presentan nada

especial bajo el prisma de las Matemáticas. No mantienen re-

gularidad alguna ni contienen ningún secreto y son mucho más po-

bres que los números perfectos o los primos. Sin embargo su es-

tudio está lleno de conjeturas. Es decir, se sabe cómo se compor-

tan en algunas situaciones pero no se tiene ni idea de qué sucede en

todos los casos.

Una de las más famosas con-jeturas sobre los números ca-picúas aparece en textos hacia

1930, pero es de origen desco-nocido. Afirma que, partien-do de un número entero cual-quiera, se le da la vuelta a suscifras y se suma con él. Si el re-sultado inicial no es capicúa, serepite el proceso con el nue-vo número. La conjetura aseguraque, de este modo, en un núme-ro de pasos finitos se encuentraun número capicúa. Aunque suveracidad es más o menos acep-tada, en 1967, el matemático ca-liforniano Charles Trigg, en-contró que en los primeros10.000 números hay 249 quetras repetir el proceso nada me-nos que 100 veces no apareceun capicúa. En 1975, Harry Saaltomó el 196, el menor de los nú-meros encontrados por Trigg ytras repetir 237.310 iteracionesno encontró un capicúa. Salvo las249 excepciones, los enteros me-nores de 10.000 producen capi-cúa antes de 24 pasos. Es más,sólo 89 y 98 necesitan las 24 ite-raciones. Hoy en día, Trigg pien-sa que es falsa.

Un PALÍNDROMO (del griego PALIN de nuevo y DROMOS carrera, andar) es una palabra (Ana)

o una frase (Amo la pacífica paloma) que se lee igual de izquierda a derecha, que de

derecha a izquierda. Existen en todos los idiomas y han interesado a personajes fa-

mosos, como a Lewis Carrol, el autor de Alicia en el país de las maravillas. Te dejamos

una pequeña muestra de algunos en castellano.

Este número tiene tres particularidades: es resultado de hacerel cuadrado de 836, 8362=698.896, que es el mayor número

de tres cifras, cuyo cuadrado da de resultado un capicúa. Ademáscualquier otro número que sea un cuadrado y además capicúa,es siempre mayor que él. Fíjate además que si le das la vuelta tam-bién es capicúa: 968.869

Dábale arroz a la zorra el abadA cavar a Caravaca

A sor Adela, Pepa le da rosa.A ti la sal y la salitaA tu rival, la viruta.Abusón, acá no suba

¿Acaso repelen leperos acá?Adán no cede con Eva, Yavé no cede con

nada.Al amanecer asaré cena mala.

Anás usó tu auto, SusanaArena mala me da de mala manera.

Así Mario oirá misa.Isaac no ronca así.

Lavan esa base naval.Ni nicotina ni tocinín

Nota épica: nací peatón.O sacáis ropa por si acaso.

Oír a Darío.Oiré la voz noble del bonzo Valerio

¡Oro! ... ¡Ya hay oro!Otro poseso José soportó¿Pirata me mata?... R.I.P.!

Raja barómetro por temor a bajar.Roba la lona, no la labor.

Roza las alas al azor.Yo de lo mínimo le doy

También existen imágenespalindrómicas. Son aque-

llas que tienen dos sentidos,cuando se las ve en una po-

sición y cuando se les da lavuelta o un giro. Te mostra-mos dos ejemplos: el caba-llo-rana y la joven-vieja.

+

11 22 ==11

1111 22 == 11 22 11

11 11 11 22 == 11 22 .. 33 22 11

11 .. 11 11 11 22 == 11 .. 22 33 44 .. 33 22 11

11 11 .. 11 11 11 22 == 11 22 33 .. 44 55 44 .. 33 22 11

11 11 11 .. 11 11 11 22 == 11 22 .. 33 44 55 .. 66 55 44 .. 33 22 11

.. .. ..

11 .. 11 11 11 .. 11 11 11 22 == 11 22 .. 33 44 55 .. 66 77 88 .. 99 88 77 .. 66 55 44 .. 33 22 11

LL AA CC OO NN JJ EE TT UU RR AA CC AA PP II CC UU AA

Los REPETUNOS son números formados sólo con la cifra uno. Cuan-do se elevan al cuadrado aparecen números capicúas con labrillantez de ir encontrando sucesivamente todos los números

desde el uno hasta el nueve. Sin embargo, a partir del repetuno111.111.111 no aparecen más capicúas.

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PP AA LL II NN DD RR OO MM OO SS VV II SS UU AA LL EE SS

Este número podría ser el primer capicúa que esté documenta-do. En la obra Ganitasarasamgraha (hacia 850 d.C.) del matemá-tico indio Mahaviracharya, aparece este número como resultadode unos cálculos, y lo define como ekadishadantani kramena hi-nani, es decir, la cantidad “QUE COMIENZA POR UNO Y AUMENTA HAS-TA SEIS, PARA A CONTINUACIÓN DISMINUIR ORDENADAMENTE...”. Históri-camente, lo más importante es que este documento nos dice que,antes de mediados del siglo IX, los indios ya conocían la nota-ción posicional. Los sistemas anteriores de numeración no podíanproducir capicúas.

¿ E L P R I M E R C A P I C U A ?1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

6 9 8 . 8 9 6

+

9559

144441585