aula matemáticas ''el mundo'' láminas33

7/25/2019 Aula Matemáticas ''El Mundo'' Láminas33

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AULADE E L MU NDO

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Lo que aparentemente es sólo un juego puede convertirse en un valioso modelodonde estudiar dificIles temas matemáticos. Un caso estrella es el del juego de lasTorres de Hanoi inventado en 1883 por el matemático francés Edouard Lucas. Alabrigo de una preciosa leyenda inventada por Lucas, se hizo muy famoso a finalesdel siglo XIX. Con el tiempo la computabilidad hizo uso del juego para estudiar nadamenos que la eficiencia de algoritmos.

por Lolita Brain

¿CUÁNTO DURARÁ

EL MUNDO?

www.lolitabrain.com

En Benarés, en la India,cuenta la leyenda queel Dios creador Brah-

ma entregó a los monjestres vástagos diamanti-nos sobre una base debronce. Ensartó enton-ces 64 discos de oro,todos de dimensionesdistintas, en uno de lasvarillas, dispuestas demodo que el mayor estu-viera en la base y los dis-cos fueran decreciendo en tamaño. Y ordenó entonces a losmonjes que moviesen toda la Torre de Brahma a otro de los vás-tagos de modo que en cada traslado sólo un disco dorado fuesemovido, y de modo tal que nunca un disco tuviera bajo sí otro demenor tamaño. Al final sentenció: “Cuando hallais acabado latarea el mundo se vendrá abajo como montaña de polvo”.

Pn ara que comprendamos por qué este juego puederesolverse recursivamente, vamos a fijarnos en unaTorre de Hanoi con cuatro discos y vamos a solucionarlo

utilizando el procedimiento que conocemos para el de 3discos. De este modo, para resolver una torre de 4, senecesita solucionar la de 3 discos. A su vez la solución de latorre de 3 discos, se reduce a la de 2. Esta es la recursión.

Según la leyenda, el mundo duraría el tiempo inverti-do por los monjes en resolver una Torre de Hanoide 64 discos. Si bien, solucionar el juego no es muy

difícil, el número de movimientos necesarios parahacerlo crece exponencialmente conforme aumentael número de discos. Contemos utilizando la recursi-vidad de la solución.

Un procedimiento se llama ALGORÍTMICO si puede mecanizarse através de un conjunto finito de instrucciones elementales y fijados deantemano. Por ejemplo, la forma que inventó Euclides para calcularel máximo común divisor o cómo preparar un plato culinario.

El proceso algorítmico se denomina RECURSIVO cuando su ejecuciónrequiere de la repetición similar de pasos, en cada uno de los cualesel procedimiento se llamaa sí mismo para ejecutarse pero sobre valo-res menores de algún parámetro. Es similar a los fenómenos autorre-ferentes.

Este es el estado inicialdel juego con 4 discos.

Tras siete movimientosconseguimos movertres discos a otro vásta-go. La pieza mayor nose ha movido todavía.

En un movimiento lle-vamos el disco mayoral vástago vacío.

Con siete movimientosmás llevamos la pila detres discos sobre eldisco mayor. El juegoha terminado.

¿TENÍA RAZÓN BRAHMA?

K URT GÖDEL

(1906 -1978)

¿POR QUÉ ES RECURSIVO ESTE JUEGO?

An continuación pue-des ver una soluciónde las Torres de

Hanoi, para el caso detres discos. Son

necesarios sietem o v i m i e n t o scomo mínimopara resolvereste sencillo

caso.

ASÍ SE JUEGA

Nº DE DISCOS Nº MÍNIMO DE MOVIMIENTOS

1=20

Estado inicial. Llevar la torre a unvástago vacío.

El primer movimiento es obvio.

El segundo también esta decidido.

Hacemos sitio para mover el mayor

Movemos el disco mayor. ¡Por fin!

Ahora volvemos al paso uno.

Repetimos el paso dos y ¡ya está!

2 TORRES DE 2 + 1 MOVIMIENTO

DEL DISCO MAYOR


DEL DISCO MAYOR


DEL DISCO MAYOR

3+1+3=7=23-1

7+1+7=15=24-1

15+1+15=31=25-1

7 mvtos.

7 mvtos.

1 mvto.

LA RECURSIVIDAD Y LA LÓGICACuando desde el primer ter-cio del siglo XX, losmatemáticos se adentraronen la computabilidad y en laautomatización del razona-miento, encontraron un tipoespecial de funciones, lasllamadas FUNCIONES RECUR-SIVASPRIMITIVASa partir de lascuales es posible construirtodo el acervo matemáticocomputable. Por supuestoestas funciones son recursi-vas no sólo por su nombre.

LA LEYENDA

1+1+1=3=22-1

2 TORRES DE 1 + 1 MOVIMIENTO DEL

DISCO MAYOR

Si los discos son 64, como en la leyenda, se necesitan264-1=18.446.744.073.709.551.615 movimientos.Invirtiendo 1 segundo por movimiento y dedicando 24horas al día se necesitarían casi 6.000 millones desiglos.



AULA .730 .05 .02EL MUNDO

Jueves cientí fico

Incluso el corazón de los matemáticos se siente tocado por el influ- jo primaveral , y antes de que se escape mayo no hemos queridodejar pasar la ocasión de relatarte algunas historias relacionadas conlos matemáticos y el amor. Si bien es verdad que a lo largo de lahistoria los matemáticos no han sido personajes especialmente es-candalosos, sino más bien personas tímidas y aisladas, tras rebuscaren las biografías de muchos de ellos hemos localizado algunos casosde soltería empedernida junto a otros esposos prolíficos. También hayhistorias de engaños y amantes, de homofobia y de apasionadosromances. Disfruta de esta crónica rosa de las matemáticas.

L A P R I M A V E R A L A S

M A T E M A T I C A S A L T E R A

por Lol ita Bra in

El que es considerado pad re de la computa bili-dad teór ica, el que descifró los códigos de los

nazis en la II Guerra Mund ial descodificando

la máquina Enigma, el que trabajó en el primer

centro de cálculo automá tico de Inglaterra con

el Mark I , e l mismo que fue conde -

co r ado nada m ás y nada m e-

nos que con la Orden del Im-

perio Británico en 1946,

fue víctima de un arcaico

sistema judicial que le

llevó al suicidio en

1954, cuando con taba

42 años. Nos referimos

a Alan M. Turing.

Perteneciente a una fa-

milia colonial británica,

Alan fue fruto del en cor-

setado sistema social

británico de la época vic-

toriana. Un mundo en el

que la doble moral estaba

al orden del d ía . De este

modo, las relaciones íntimas

eran repr imidas en pú bl ico y

consentidas en privado.

De igual modo suce día en las insti-

tuciones públicas de ens eñanza, dond e Alan se

educó. Primero en el Sherborn e College y después

en el Kings College de Ca mbridge, las relacio-

nes entre a lumnos se practicaban, disimulaban

y consentían mientras no salieran del campus.

Alan d escubrió su condición alrededor de 1928 al

conocer a Christopher Morcom, con quien man-

tuvo un amor platónico que le señalaría para siem-

pre. La desgracia llegó cuando Chris falleció con

18 años en 1930. Su muer te marcar ía aún m ás

la vida ya de por sí solitaria e introvertida de Alan,

quien, no obstante, man tuvo siempre su sexuali-

dad a ctiva. Hacia 1945, cuando traba jaba en el or-

denador Colossus , le ofreció matrimonio a una desus colegas en Bletchley Park, llamada Joan Clark,

la cual aceptó gustosamente. Turing hubo de re-

tractarse despu és del ofrecimiento, hablándole a

su prom etida acerca de su realidad. Aunque lo

peor estaba por llegar.

En la Na vidad de 1951, Turing

entabló una relación con un

jo ve n dese m ple ado de

Manchester . A pr inci -

pios de 1952, su casa

fue asal tada por un

amigo de su amante, y

Turing acudió a la po-

licía, sin revelar su re-

lación. Cuando se de s-

cubrió la historia com-

pleta , ar restaron a

Tur ing por indecencia ,

y le llevaron a juicio el 31

de ma rzo de 1952. En la

cor te , Tur ing no negó su

condición, y expuso una d e-

fensa de sus preferencias, que

manifestó haber mantenido du-

rante toda su carrera, incluso cuando

trabajaba para el gobierno en Mánchester.

Eso le valió ser conden ado a pr isión, pena q ue con-

mutó por un año de tratamiento con

estrógenos (hormonas femeni-

nas) que le causaron impo-

tencia, y le hicieron br otar se-

nos. Para él, que h abía sido

atleta toda su vida, corredor

de fondo -como buen solita-

rio, y casi participante en unos

JJOO-, la hum illación recibida

le llevó al suicidio con man zana s

envenadas con

cianuro.

Erwin R. J.A. Schrö-

dinger (1887-1961),

padre de la Química

del s ig lo XX, se casó

con 37 años con Anny

Bertel.

Hacia 1933, y a pesa r

de se r católico, decidió

abandona r A l em an i a

avergon zado de vivir la per-

secución de los judíos.

Schrödinger recibió una so-

l ic i tud para t rabajar

en Oxford y pidió ,

de modo inexplica-

ble , la asisten-

cia de un colega,

Ar t hu r Mar ch . Y

es que Schrödin-

ger sent ía tanta

atracción por las

mujeres como por

los átomos y a la sazón

la esposa de Ar thur era su

amante , de la que se habr ía se-

parado si no hu biera ofrecido un

puesto a su marido.

P e r o l a r e l ac i ón m a t r i m on i a l de

Schrödinger con Anny no era muy

dulce: ella estaba acostum brada

a las amantes de é l , de las que

estaba a l cor r iente . . . pero es

que e l la f ue am an t e du r a n t e

años de uno de los colabora-

dores más cercanos de su ma-

r ido: Herm ann Weyl (1885-

1955). ¡Así, todo queda ba en el la-

boratorio!

E

variste Galois (1811- 1832) es el protagonista de

una de las historias más apasionadas de la His-toria de las matemáticas. Hijo de la Revolución

F r ancesa y de f enso r de l o s de r echos c i v il e s , e s

recordado por haber zanjado por completo uno

de los problemas más persistentes a lo largo de la

historia: la res olución d e las

ecuaciones. Su revolucio-

na r i a t eo r í a , denom i nada

Teoría de Galois, opera so-

b r e e l á l geb r a abs t r ac t a y

fue descubierta por él cuan-

do contaba apenas 20 años.

A l a e d a d d e 2 1 , e s t a n d o

preso y para evitar una epi-

dem i a de có l e r a , fue con -

ducido a un centro h ospitalario, donde con oció y se

quedó prend adó de Steph anie, hija del doctor Po-terin, quien le trataba. En seguida se e namora ron

(el pr imer am or de am bos sin duda ) , ta l y como

refleja Galois en algunas de s us cartas. Su situación

persona l era temible: preso, enfermo, luchand o por

ser aceptado por la Academia,

ayudado só l o po r e l am or de

S t ephan i e . P e r o , m eses des -

pués, ella le dejó para ca sarse

con un profesor de Lengua. Ga-

lois, descon solado, escribe a su

amigo Chevalier

¿Cómo pu edo con sol ar me

cuando, en un m es, he

agota do la m ás rica fuent e de

fel icidad que puede tener el hom bre, cuando la h e

agotado sin fel icidad, sin esperanza, cuando estoy cierto de haberla secado de por vida?

No sabemos si la causa fue la ruptura desespera-

da de Steph anie, pero el caso es que el 29 de abril

de 1832 Galois salió de la cárce l . El 30 de Mayo es -

cribió tres cartas: a todos los republicanos, a sus

buen os am igos N.L. y V.D y a A. Chevalier. En ellas

anun cia su muerte al día siguiente en un du elo al

que ha sido “impos ible negarme ” y aña de, “víctima

de una infame coqueta”.

Así fue: la mañ ana del 30 de ma yo Galois mor ía

en un duelo , por las her idas por p isto la empuña-

da por alguien que, aún hoy, se desconoce. Como

dejó escrito “...faltan cosas por comp letar en e sta

demostración. No tengo tiempo”. Tenía 21 años.

[email protected]

SRINIVASA RAMANUJAN

ERWIN SCHRÖDINGER

HERMANN W EYL

Casos bien distintos son los d e Nikolai I. Lobache vsky (1782-1856), ca-sado en 1832 con Lady Varvara Alexivna Moisieva, cuando ella era un a ado-lescente y él tenía 40 años . De es te matr imon io nacieron nada m enosque siete h ijos. Pierre Sim on Lapla ce (1749-1827) se casó en 1788 conMarie-Charlotte de Courty de Romanges, que era 20 años m ás joven queél. Laplace ten ía 39 años.Por el contrario, Srinivasa Ramanu jan (1887-1920) se casó con S. Jan a-ki Ammal cuan do él contaba 12 años y ella tan sólo nueve. La boda, porsupues to, fue un arreglo de su madre según la cos tumbre india. Rama-nujan n o vivió con su esposa hasta que ésta tuvo 12 años.

N IKOLAI I. LOBACHEVSKY PIERRE S IMON LAPLACE

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