7/25/2019 Aula de Matemticas v de 'El Mundo'

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A lo largo de estas pginas ya nos hemos acostumbrado a descubrir aspectos de la Matemtica quean nos sorprenden hoy. La intuicin nos resulta a menudo suficiente para comprender el mundo enel que vivimos y solemos resistirnos a cualquier interferencia con ella. La Matemtica nos enseaque lo que debera ser y lo que esno siempre coinciden y que el precio a pagar por no aceptarlos lugares donde nos lleva la lgica, el rigor y el formalismo de la Matemtica es muy caro. No esfcil aceptar unas partes de esta disciplina que nos ayudan a entender el Universo y no aceptar otras.Hoy te hablaremos del control del infinito que los matemticos han aprendido a tener en aras de me-jorar nuestra vida.

SUMANDO

EL INFINITOZEN N DE ELE A, UN VIS ION ARI O AQU ILE S Y LA TOR TUG A

LA PARADOJA DE LA DICOTOMA

EN QU SE EQUIVOCABA ZENN?

Z enn de Elea (s. V a.C.) es unacontrovertida figura de nuestrafilosofa occidental. Discpulo deParmnides, sus famosas parado-

jas, hoy en da falsas, han llegadointactas hasta nosotros como unmanifiesto de que el movimiento vaen contra de la dox (la opinincomn). A travs de sus argumen-tos lgicos, y usando las ideas pita-gricas de un espacio compuestode cmulos de puntos discretos,trat de demostrar la imposibilidaddel movimiento.

Zenn propuso ensencillos argu-mentos profundasideas que conectancon la continuidad denuestro espacio ocon la imposibilidadde resultados finitosa travs de procesosinfinitos. Expuso susteoras en cuatrofamosos argumen-tos. En la Dicotomay en Aquilessostieneque la subdivisin

continua del espacioimposibilita el movi-miento. En la Flechay en Estadio, algoms difciles de tra-tar, prueba que el movimiento es imposible si sub-dividimos el tiempo y el espacio en indivisibles.

A quiles el de los pies ligeroscompite en una carrera con unatortuga. Como l es mucho ms rpido, le da una cierta ven-taja. Zenn argumenta que Aquiles no alcanzar nunca a latortuga. Cuando el griego llega a la posicin que ocupa inicial-mente el quelonio, ste se ha desplazado un cierto espacio.Cuando Aquiles llega a esta segunda posicin, la tortugahabr avanzado a un tercer punto, que cuando es alcanzadopor el veloz guerrero ya no estar ocupado por la tortuga.Siguiendo este razonamiento ad infinitum, Zenn pretendedemostrar que Aquiles nunca alcanzar a la tortuga y por tantono ganar la carrera.

L a paradoja de la Dicotoma es similar a la de Aqui-les pero utiliza la subdivisin de modo regresivo,en lugar de progresivo. Zenn nos dice que si uncorredor desea llegar del punto A al B, necesaria-mente tendr que alcanzar previamente el punto C

que se halle exactamente en la mitad del recorrido.Pero para llegar a ese punto C deber recorrer antesel espacio que separe A de D, punto que se encuen-tra en la mitad de AC. Y para alcanzarlo, deber lle-gar previamente a E, situado en la mitad de AD.

Este razonamiento lleva a pensar a Zenn que elcorredor deber recorrer infinitas posiciones paraalcanzar la meta, lo que no es posible que realice yaque no se pueden recorrer infinitos espacios en untiempo finito.

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

E l problema con sus paradojas, es que Zenn se encontraba incmodo con lasuma de infinitos trminos numricos. Su principal argumento era que sisumamos infinitas cantidades, independientemente de cmo fueran stas,debemos obtener una cantidad infinita. Si esta consideracin fuera cierta, elproblema propuesto de Aquiles y la tortuga le dara la razn, y Aquiles perderala carrera. Pero la realidad nos informa de que Aquiles, obviamente, adelanta ala tortuga en su carrera. Cmo negar por tanto lo que parece un slido argu-mento propuesto por Zenn? Cuando el clculo de infinitesimales entra en jue-go, cuando el lmite de una suma se observa como consistente en el mundo de

la Matemtica, la razn y la intuicin se abrazan para quitar a Zenn la razn.Pero no lo olvidemos, fueron necesarios siglos de pensamiento para conse-guirlo. La Matemtica mostr -y demostr- que sumar infinitas cantidades pue-de ser un proceso de resultado finito.

La fascinacin por elmundo de las para-dojas de Zenn y laincertidumbre lgicaque encierran, cautiva Charles L. Dodgson,Lewis Carroll, a escribirvarios atrevidos cuen-tos inspirados en laparadoja de Aquiles,

en los que una liebre yuna tortuga discutende temas de lgica.

A

A B

D C BE

AQUILES DA DE VENTAJA A LA TORTUGA LA DISTANCIA AB

PERO CUANDOAQUILES LLEGA AB, LA TORTUGA YAEST ENC...

A B C

LEWIS CARROLL(1832-1898)

LAS PARADOJAS

po r L olita Brain

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Ge neralmente a soc iamo s las Matemticas con la exac titud, la precisin y la raz n.

Pero pocos sa ben q ue, al igual que todas las ciencias , es una aproximacin a la

realida d. Es m s, uno de los funda mentos d e la Matem tica , la c uantifica cin de la

realida d y por tanto la teora d e los nmeros, se d esa rrolla s obre entida des , algu-

nas d e las cua les s on impos ibles de co nocer completamente. Se trata d e un tipo

de nmeros denominados nada menos que irracionales sin los que sera impen-

sa ble entender lo m s s imple de nuestro Universo. La ma gia d e la Matemtica per-

mite manipular objetos que s ab e q ue nunca pod r conoc er por entero.

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po r L olita Brain

LA IRRACIONALIDAD

MATEMTICALOS NMEROS RACIONALES QU SIGNIFICA SER IRRACIONAL?

LA IRONA DEL DESTINO

L os nmeros racionales o btienen s u denomi-nacin de la idea de los griegos clsicos,influidos por la filosofa de los pitag ricos , deque el universo e ra reducible a nmeros y a las

relaciones entre ellos. P ensa ban q ue la realidad

se poda explicar a travs de las relaciones

exactas entre se gmentos. Los nmeros racio-nales se expresa n por fracc iones, c on nmeros

decimales con finitas cifras o con infinitos dgi-

tos dec imales a unque peridicos.

U n nmero es irracional si es decimal y tiene infinitas cifras decimales sin que exista un patrn o formaperidica en e llas . De este mo do no nos es pos ible conocer dichos nmeros, puesto que sera nec esa rioinvertir un tiempo infinito en c onoc er sus interminab les cifras . A pes ar de e llo, los ma tem ticos son c apa -ces de traba jar con e stos nmeros, y los ingenieros y los fsicos puede n utilizarlos tomando slo una pa rte de

sus cifras.

L os pitagricos se dieroncuenta de l hecho de que siconstruimos un c uadradocuyo lado es la unidad, su

diagona l mide raz cuadrada

de 2 y este nmero era irra-

cional. Expresaron esto

diciendo q ue el lado del cua-drado y su diagonal son seg-

mentos inconmensurables.

Qu significa esto? Que si

utilizamos como patrn de

medida el segme nto del lado

de ese cuadrado e intenta-

mos me dir con l la diagona l,

nunca aca baremos el proce-

so, es decir, que siempre

quedar una peq uea parte

de la diago nal sin medir. Habitualmente sospecha mos q ue con cualquier

segmento podemos acabar por medir cualquier otra parte dada, pero

como vemos , esto no es siempre cierto.

Fraccin Decimal exacto

Fraccin Decimal peridico

La circunferencia y su dimetro son segmentos inconmensurables. El dimetro cabe PI veces en su longitud.

El famossimo nmero PI es un nmero irracional. Manifiesta la relacin que existe entre la longitud deuna circunferencia y su dimetro.En la direccin de Internet http://we bs .a da m.e s/rllorens/pi.htm puedes encontrar las 16.000 primerascifras decimales de este omnipresente nmero.

PITGORAS(h. 582-h. 500 a.C.)L a e strella de cinco puntas ob tenida apartir de un pentgono , el pentngu-lo, fue el smbolo de los pitagricos.

Los ade ptos a dicha es cuela filosfica lo

llevaban colgado del cuello. Irnicamen-

te, esta

f i g u r a

contiene ml-

tiples veces un

famoso nmero irra-

cional: FI= 1,618..., que

relaciona el lado del pent-

gono con el de la estrella.

3 0,651

0,333...3

SON EXCEPCIONALES LOS IRRACIONALES?

Por extraos que puedan parecer

estos nmeros, resulta que s on msabunda ntes que ningn otro tipo de

nmeros. No s lo son infinitos s ino que

su nivel de infinitud e s s uperior a la infi-

nitud de los nmeros de contar. Esto

quiere de cir que no podemos contar-

los. Tamp oco tienen un suces or.

I gual que suced e entre el lado del cuadrado y sudiagona l, parece q ue la Naturaleza se e mpeaen que las relaciones entre los objetos seanirracionales. La circunferencia es una de las

figuras ge omtricas m s elementales. Sa bemos

que s u longitud es P I veces su dimetro y calcu-

lamos longitudes de circunferencias todos los

das. El significado de esto es que si cortamos

una c ircunferencia y la extendemos sobre d icho

seg mento podem os llevar PI veces el dimetro.

Pero como PI es irracional, sus infinitas cifras

decimales nos d icen que nunca ac abaremos el

proceso de llevar sobre la circunferencia trozoscada vez ms pequeos del dimetro. Siempre

nos s obrar una peq uea porcin sin medir.

EL LADO Y LA DIAGONAL DEL CUADRADO

Este nmero es decimal. Sabemos reconocer el patrn con el que se forma su parte decimal peroresulta obvio que sus cifras decimales no obedecen a un periodo que se repita constantemente. Es unnmero irracional.

PIY LA CIRCUNFERENCIA

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por Lolita Brain

La pasada semana presentamos un conjunto de nmeros muy especiales: los irra-cionales. De entre ellos, el conocido pi es uno de sus ms importantes repre-sentantes. Siendo irracional, pi es un nmero con infinitas cifras decimales que nosiguen ningn patrn peridico y que por tanto ser desconocido eternamente. Sucarcter mgico pero a la vez omnipresente en la Matemtica lo convierten enexcepcional. Son los caprichos de la Naturaleza los que ataron para siempre ala perfecta, la circunferencia, con un perfecto desconocido, pi.

lolitabrain@lolitabrain.com

P I , UN CAPRICHODE LA N ATURALEZA

La necesidad de calcular la longitud de una circunferencia fue primordial para todas las civilizaciones, yaque esta figura se ve envuelta en mltiples aplicaciones cotidianas . De ah que a lo largo de la historia losdistintos pueblos hayan encontrado distintos valores de pi que usaban para los clculos geomtricosms elementales.

En el Papiro Rhind, el escribaAhmes calcula el rea de un cr-culo de dimetro 9 usandopi = 3,1405.

La famosa frmula para calcular el rea de un cr-culo, debida a Arqumedes (rea crculo = Pi xRadio x Radio) nos dice que pi es tambin larelacin que existe entre el rea del crculo -enrojo en la imagen- y el cuadrado construido sobreuno de sus radios -en verde en la figura-.

P i representa la constante universal que existeentre la longitud de cualquier circunferencia y sudimetro. Es por lo tanto el factor por el que hayque multiplicar la longitud del dimetro de una circun-ferencia para calcular su longitud.

QU ES PI?

PI A LO LARGO DE LA HISTORIA

MTODOS DE CLCULO DE PI

Aunque aparentemente los nmeros primos y pi nodeberan tener nada en comn, un producto curiosopermite calcular pi utilizando la serie de los nmeros

sucesivos...

FRMULA DE WALLIS

Egipto1650a.C.

En el Libro de los Reyes secitan las dimensiones de un cilin-dro de fundicin con un valor depi igual a 3.

La Biblias. IIIa.C.

En Sobre la medida el crculo,el gigante de Siracusa, Arqu-

medes calculpi

con un valorentre 3,1412 y 3,1428. Un xitohistrico.

Arqumedes215

a.C.

Este matemtico chino acot elvalor de pi entre 3,1410 y 3,1427que, aun siendo muy bueno, no loes tanto como el de Arqumedes.

Wang Fans. IIId.C.

La moderna computadoraENIAC, que ocupaba una habita-

cin, invirti 70 horas de proce-samiento para calcular las prime-ras 2.000 cifras de pi.

ENIAC1949

Usando un polgono inscrito denada menos que 2.832! lados,este matemtico que vivi enSamarcanda obtuvo pi con 17cifras decimales.

Al-Kashis. XVd.C.

GHIYATH AL-DIN

JAMSHIDMAS'UD AL-KASHI

(1380 - 1429)

ARQUMEDES DESIRACUSA

(287 - 212 a.C.)

PI Y LOS PRIMOS

E l mtodo que sigui Arqumedes para calcularuna excelente aproximacin de pi se basa en uti-lizar las reas de ciertos polgonos regulares ins-critos en un crculo. Las reas de estos polgonos

se aproximan al rea del crculo y esto permite cal-cular, y por tanto conocer, con mayor precisin api. Arqumedes utiliz la serie de polgonos de 6,12, 24, 48 y... 96 lados.

Adems de estos polgonos ins-critos se tienen que utilizar lospolgonos exteriores al crculocon el mismo nmero de lados.

De este modo calculamos pi porexceso.

CALCULANDO COMO ARQUMEDES

Para calcular el valor de pi se han utilizado mlti-ples mtodos, unos ms geomtricos y otrossencillamente curiosos. Te exponemos algunosde ellos.

Leibniz (1646 - 1716) encontr una bonita expre-sin de pi como suma de infinitos nmeros -loque se denomina serie numrica-. En sta deLeibniz se alternan sumando y restando, los inver-sos de los nmeros impares. No es una serie quese acerque a pi deprisa, lo que quiere decir que sehan de sumar muchos trminos para que el valorde pi obtenido contenga muchas cifras decimalescoincidentes con las de pi.

FRMULA DE LEIBNIZ

John Wallis (1616 -1703) encontr el valorde pi a travs de un pro-ducto con infinitos facto-res que multiplica lospares por un lado y por elotro los impares.

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Si hay un nmero que permanece unido a cada uno de nosotros desde la infancia es el mis-terioso tres catorce diecisisque aprendimos a escribir de nios en nuestra primera frmulaautntica: la que calculaba la longitud de la rueda de una bicicleta. El misterioso nmero es-taba bautizado con una letra griega, quiz la primera de nuestra vida, equivalente a la p. Ha-blamos del nmero PI, uno de los ms omnipresentes de toda laMatemtica. Su relacin con la circunferencia es la responsable de su ubicuidad, desdela Geometra hasta la Estadstica.

po r L olita Brain

ESE MISTERIOSO

NMERO PI

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PERO Q U ES PI?

A rqumedes de Sira-cusa (287 a.C.) mar-ca un antes y un des-pus tanto en la bs-queda de unaaproximacin del valorde PI como en la com-prensin del significadode esta constante. Ha-cia el 215 a.C. escribiSobre la medida del cr-culo, en la que utilizan-do la reduccin al ab-surdo y el mtodo deexhaucin de Eudoxollega a calcular sin cal-culadora! una aproximacin de un crculo por un polgonode nada menos que 96 lados, y concluye que PI est entre6.336/2.017 y 29.376/9.347, es decir, entre 31412989 y31428265, la mejor aproximacin de su tiempo y una de

las mejores de toda la historia.

Con el desarrollo del lgebra francs y la aparicin del ANLISIS a lo largo de los siglos XVII y XVIII, seencontraron frmulas asombrosas con sumas o productos de infinitos nmeros que proporcionan msy ms decimales de PI conforme se usan ms sumandos o factores.

La frmula deLeibniz essencilla: basta consumar y restaralternativamentefracciones con losimpares en eldenominador.Luego semultiplica porcuatro.

Con frmulas similares a stas y el uso de computadores fue posible calcular un nmero anteriormente inimaginable de cifras de PI. Sus primeros 100.265 decimalesse obtuvieron en 1961 en un IBM 7090. William Shanks pasar a la historia como el ms perseverante calculador de cifras de PI. Pas 20 aos calculando sus pri-meros 707 decimales. Pero en 1945 la computadora ENIAC descubri que haba cometido un error en el dgito 528 y... en todos los siguientes. En 1949 el ENIAC in-virti 70 horas de procesamiento para calcular las primeras 2.000 cifras de PI.

La frmula deWallis es muy fcilde calcular. Semultiplican losnmeros paresconsecutivos y sedivide por losimpares, repetidosdos veces.

La frmula deVite, aun siendoalgo ms difcil decalcular que suscompaeras, tieneel mrito de habersido descubiertaantes de lasprimeras ideas delanlisismatemtico deWallis o de Leibniz.

E l siempre inteligentsimo y brillan-te Mr. Spock, de la serie futuris-ta Star Trek, consigui salvara la tripulacin de la maldad deuna diablica computadora.Spock le orden que calcularael valor de PI y como PI es irra-

cional la computadora se quedpresa de un proceso sin fin. Mien-tras ella calculaba... ellos esca-paban.

En la escuela aprendemos que la longitudde la curva ms primitiva y regular queexiste, la circunferencia, es la longitudde su dimetro multiplicada por PI; o quela superficie de un terreno circular con-tiene PI veces al cuadrado del radio. Ytodo esto qu significa? Sencillamente,que si trazas una circunferencia con ra-dio 1 m., el rea limitada mide PI m2. Se-mejante y poco intuitivo nmero ha sido

conocido desde siempre, ya que la cir-cunferencia interes y ha sido objeto depersecucina lo largo de los siglos.Y esque PI, para ser tan comn, goza de atri-butos muy particulares: es irracional, lo quesignifica que tiene infinitas cifras decima-les no peridicas, o dicho de otro modo,siempre ser un desconocido; y ademses trascendente, pero eso es otra historiamuy compleja.

En el Chiu Chang Suan Ching, Nueve Cap-tulos sobre el Arte Matemtico, del siglo IIa.C., se utiliza PI con el grosero valor de 3, quepermaneci en uso mucho tiempo en China. Hayque remontarse al 130 d.C. para encontrar comovalor de PI la Raz de 10=31622. A mediados

del siglo tercero, el astrnomo Wang Fan estimPI como 157/50= 314 exacto, y acot que PI es-taba entre 3141024 y 3142704, acotacin que,

aunque muybuena, es peorque la que dioArqumedes 500aos antes.

ARQUMEDES Y PI

PI EN CHINA

EL PI ANALTICO

JOHN WALLIS(1616-1703)

GOTTFRIED LEIBNIZ(1646-1716)

PI, PROTAGONISTA DEL CINE

Para los egipcios, la mo-tivacin del conoci-miento del rea del cr-culo era la construccinde silos de forma cilndri-ca para guardar el grano.Eso les llev inicialmente

a estimar PI como 3, aun-que se conocen mejoresaproximaciones egipcias,como la tradicional de lose s c r i b a sPI=256/81=31605 , bas-tante exacta. Otro valorms tardo esPI=3+1/7=31428 . En elproblema 48 del PapiroRhind, en la imagen, elescriba Ahmes nos expli-ca cmo calcular el reade un crculo con dime-tro de nueve unidades.En su solucin se usa31405.

LOS EGIPCIOS Y PI

En el Libro de los Reyes (s. III a.C.) de la Biblia se recogeel pasaje:

Reyes 1.7.23. Hizo asimismo un mar de fundicin,de diez codos del uno al otro lado, redondo, y decinco codos de alto, y cealo en derredor un cor-dn de treinta codos.Si lo piensas bien, el valor que se utiliza para PI es de 3, se-guramente de origen egipcio. En el Talmud judo se si-gue considerando el mismo valor de PI, hecho asombrososi tenemos en cuenta que se escribi a partir del siglo IIId.C., y por tanto varios siglos despues de Arqumedes.

PI EN LA SAGRADA BIBLIA

FRANOISE VITE(1540-1603)

AULAD E E L M U ND O

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