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BUSCANDO LA PERPENDICULAR

PAREDES VERTICALES

Muchas ta reas a soc iad as a trabajos poco matem ticos req uieren de precisin ge omtri-

ca . Hablamo s, por ejemplo, de la construccin de edificios, una labo r en la que la exactitud

de las medidas e s funda mental para q ue las vivienda s no se venga n aba jo. Los eg ipcios,

mag nficos cons tructores, inventaron a lgunos instrumentos q ue a n hoy en da utilizamo s,

como la escuadra de 90o

y la del albail. Los lead ores tambin hac en uso d e uno de los

teoremas m s ma ravilloso s q ue se han d escub ierto nunca, pa ra que su vida no corra peli-

gro a l talar un rbol.

po r L olita Brain

TALES Y LOS LEADORES

El mara villoso e impres cindible Teore-ma d e Tales , siendo uno d e los pri-meros jams demostrado en Mate-

mticas, co nfirma su vala en toda s lascircunstancias. El leador que ha detalar un rbol neces ita conoc er para supropia seguridad, con cierta precisiny ba stante rapidez, la altura del troncoque se presta a derribar. Para ello lebasta con apuntar con su hacha a lacopa del pino y me dir la distancia quele sepa ra del pie del rbol. Con e l Teo-rema de Tales, ca lcula entonces sualtura de l siguiente mod o:

EL NIVEL PARA LA VERTICALIDAD

Este otro invento egipcio es un nivel vertical. Un interesante instrumentoque pe rmite determinar si las paredes son o no verticales. C onsta d e untablero co n otros dos colocado s perpendicularmente al mismo, por los

que pasa la c uerda de una plomada. Colocada sobre una pared, la plomadasea la la vertical, que coincidir o no con la que m arca la ta bla.

La escua dra de l albail, inven-tada por los egipcios y quean hoy usan los constructo-

res, consiste en una escuadrasimple con s us pies cortados enparalelo para que pueda apoya r-se e n la horizontal. Adem s llevasujeta una plomada que ma rcarsiempre la vertical. En el centrode la escuadra hay una marcaque se alinea con la plomadacua ndo e st e n la vertica l. Tienevarios usos muy importantes:dete rmina si los suelos o lostechos son horizontales y es unbuen complementopara la escua-dra simplec u a n d oq u e r e m o ssaber sipared ytecho so n perpendiculares.

La escuadra de 90

o

es uno de los instrumentos demedicin m s s imple q ue existe. Tenemos constan-cia de ella d esde el ao 1100 a.C., en restos ha llado s

en Teba s, la ca pital del imperio eg ipcio. Co nsiste endos trozos de madera perfectamente ensamblados,formando un ngulo recto, y que nos permite co mpro-bar si la pared y e l techo de una edificacin forman esemismo ngulo. Este ngulo, como sabes, mide 90

o

ydetermina c undo distintos planos s on o no perpendi-

culares. La perpendicularidades fundamental en toda cons-truccin ya que en ca so contra-rio las casas y los muebles sedesplomaran.

MEDIDAS PARALOS OFICIOS

En camb io, si estosdos elementos cons-tructivos es tn bienensamblados, amboslados de la escuadracoinciden con los pe r-files de la pa red y eltecho.

Si el techo es ho ri-zontal, la plomad acoincidir c on lamarca de uno de loslados. En cas o con-trario, la ploma da s edesplaza d e laescuadra.

Si la pa red no es

vertica l, la p loma-da nocaer deformaparalelaa latabla.

Apoya ndo laescuadra sobreun sue lo hori-zonta l la ploma -da s e alineacon la marcacentral.

Si el techo y la paredno forman un ng ulorecto, a l alinea r unlado de la escuadracon la pared apare-cer un ng ulo (enrojo) entre el instru-mento y el techo.

ALTURA= D*Hoja hacha

A= D*H

pLe basta c on aa dir a e ste valor calcu-lado la altura a la que s e encuentra suhacha (en azul).

Mango hacha

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po r L olita Brain

La presencia de los pueb los rabe s en la pennsula Ibrica desd e el siglo

VIII has ta e l XV supus o pa ra la civiliza cin o cc idental un enriquec imiento c ul-

tural nico. Es paa , q ue entonces no exista como tal, se convirti en un

luga r privileg iado po r el que se tuvo acc eso a los cls icos griegos y a la

tradicin a lgeb rista y as tronmica ms influyente de la poca : la q ue pro-

vena de Oriente. Figuras clave de l pensam iento na cieron y florecieron en

C rdoba , Toledo o S evilla. El rey cristiano Alfonso X el Sa bio fue permea -

ble a toda esa influencia.

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AZARQUIEL EL ASTRNOMO

ALFONSO X EL SABIO

La obra fundamental de Alfonso X enas tronoma son las Tab las Alfonsesy los Libros del Saber de Astrono-

ma, que no so n muy originales, ya q uecompendian las o bservaciones rabesde la poca, muy en especial las deAzarquiel. Curiosamente, esta obra seesc ribi en la popular leng ua romanc e,y no en latn, y es la primera o bra cient-fica en lo que podramos llamar el ger-men del castellano. Fue decisiva parallevar la astronoma a Oc cidente.

TRADUCTORES PIRENAICOS

En el monasterio pirenaico deSa nta Mara d e Ripoll existidesde el siglo IX una impor-

tante escuela de traductores,donde rabes, judos y cristia-nos tradujeron a los clsicosgriego s y a los mejores a strno-mos d e Oriente, cas i todos pro-cedentes de la Casa de la Sabi-dura de Ba gdad .

Aza rquiel (h. 1030-h.1100), el de los ojosazules, era hijo de un

herrero toledano, cons-tructor de instrumentosastronmicos. Sin nisiquiera sa ber leer ni esc ri-bir, introdujo por su cuentauna mejora en un instru-mento en el que trabajabasu padre. Asombrad o, elcad Ibn Sa id le orden quefuera a su centro de as tro-noma donde aprendi aobservar el cielo, a realizaranotaciones en tablasastronmicas y es tudi delas mejores fuentes de lapo ca : Al-J uwa rizmi o Al-Mamud. Cua ndo Toledocay en manos cristianas,huy a Crdoba, donde seconvirti en uno de losmejores astrnomos noslo de su poca s ino tam-bin de los que haya dadonunca la pe nnsula Ibrica.

AZARQUIEL, ALFONSO XY LA ASTRONOMA

El astrolabio -aunque vari mucho con el tiempo- estformado por la ma dre o crculo fundamental gradua doen su borde. Sobre la madre se colocaba la lmina que

presentaba un diagrama de distintas lneas astronmi-cas fundamentales (el zenit, los trpicos, el ecuadorceleste). Sobre la lmina, la regla recortaba la eclptica(traye ctoria de la Tierra a lrede dor de l Sol) y otros p untoscardinales. Por ltimo, la alidada era un visor con el que

se a puntaba a una determinada estrella para calcular sualtura so bre e l horizonte. Su p rincipal limitacin co nsista

en q ue era nece saria una lmina distinta para ca da latitud enla que se realizaba la observacin.

LAS PARTES DE UN ASTROLABIO

EL INSTRUMENTO POR EXCELENCIA

El astrolabio fue hasta el telescopio el instru-mento fundamental para explorar el cielo.Conocido ya por los griegos, serva para

dete rminar la a ltura de las e strellas , fijar la ho rao realizar con precisin calendarios. Azarquielmejor notablemente el astrolabio creando laazafea, que permita simplificar su uso auncuando s e ca mbiara de latitud.

El dorsode la madretena g ra-badosmultitudde datosque pe rmi-tan rea li-zar los c l-culosobservadosen la madre.

Alfonso X cre e n Toledo una impor-tantsima esc uela de traductores enla que destac sobre otros G erardo

de Cremona. El inters del rey por laastrologa le llev a impulsar la astro-noma. Interesad o tamb in por el aje-drez y los juegos de m esa (El libro de lAjedrez). Su ob ra es tambin ca pitalen el derecho (Las siete partidas)y laliteratura (Las Cantigas de SantaMara).

Toledo

Ripoll

Crdoba

Las principales obras de Azarquiel sonLas Tablas Toledanas, Tratado de laazafea, Suma referente al movimien-to del Sol y Tratado de la lmina de lossiete planetas, en la que aventura que

la rbita de Mercurio es elptica, casiseiscientos aos antes que Kepler.

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por Lol ita Bra in

Cuando hablamos de geometra enseguida nos vienen a la memoria cuerpos geom-tricos, medidas y clculos sobre ellas. Se nos hace difcil poder imaginar una geome-tra en la que no se mida y en la que los nmeros estn prcticamente desterrados.Pero esa geometra existe, no es un ejercicio de imaginacin. En realidad acab sien-do tan diferente a la geometra habitual que se denomin Topologa, que viene a signi-ficar algo as como el estudio de los lugares. En ella no importa si dos figuras tienen ono el mismo tamao o la misma forma para que sean estudiadas como una sola.

G E O M E T R AD E C H I C L E

Las primeras menciones histricas auna geom et r a s i n m ed i das , p ro -cede de Leibni tz quien la l lam

Analysis Situs (geom etra de p osicin).Sin embargo quien realmente propusotopolgicamen te -y resolvi- el prime rproblema topolgico de la historia fueel suizo Euler en un ar tculo de 1726.En l resolvi el famoso problema deLos puentes de Kninsgber g. Poste-riorme nte encontr la valiossima Fr-mula de Euler entre otros r esultados.

La c i udad a l em anade Kningsberg esmuy pe culiar: tiene

dos islas centrales so-bre e l r o Pregel quese unen a tierra firmepor sie te puentes. Elp rob l em a sug i e re l as i gu ien t e p regun t a :Es posible recorre rlos sie te puentes s inpasar dos veces por elmismo puen te? A pe-sar de que la pregun-ta par ece trivial, no loes en a bsoluto. Eulerse d io cuenta de quea u n q u e p a r e c e u nproblema de geome-

tra, por ningn lado intervienen distancias, longitudes o medidas. Obser v quelo importante era la re lacin existente entre los pun tos y los caminos.

La solucin de Euler es n egativa: NO esposible cruzar los siete puentes sin pa-sar alguna vez dos veces por el mismo

puente . De hecho su solucin es m uchoms gener al , ya que afi rma que en todografo en el que haya a lgn vrt ice en elque confluyan un nm ero i m par de ca -minos, no podr recorrerse sin pasar dosveces por el mism o sitio.

Apar t i r de un e s -quem a de l o spuen t e s , Eu l e r

estudi el grfico

ad j un t o , en e l quelos puentes son vr-tices de un NUDO, yl o s cam i nos sonS EGMENTOS DECUERDA. As e l

p rob l em a pasa -b a a s e r d e

pun t o s ys e g m e n -

t o s .H a b a

nacido laTeo r a de

Grafos.

La fam os s i m a F R MU L A D E E ULER , naci delestudio que r ealiz ste de los poliedros. Re-sulta curioso que habiendo sido estudiados casi

al completo por Arqumedes, nadie hubiera cadoen el resul tado. La frmula da una relacin en-tre el nme ro de vrtices, aristas y caras de los po-liedros. Despus se demostr que sirve para m u-chos ms cuerpos y que este valor depende del g -nero topolgicode la figura

Uno de los aspectos que estu dia la to-pologa es el INTERIOR y el EXTERIOR delos cuerpos. Por ejemplo, si trazas una

circunferencia, sta d ivide el plano en dospartes: una interior y otra exterior a la cur-va. Parapa sa rde un ladoal otro, es nece-sario cruzar la circunferencia. Sin emba r-go en m ultitud de ocas iones la intuicin nosenga a. Por ejemplo, todos diramos queun chaleco est dentro de una chaqueta,y que sin quitarse la chaque ta, es imposibledeshacerse del chaleco. Seguro? Echaun vistazo a la secuencia de la izquierda.Como ves el hbil mago, demuestra lo quela topologa ya sab a: que el chaleco nun-ca estuvo en el interior de la chaqu eta.

LEONARDEULER(1707-1783)

F I G U R A S H O M E O M O R F A S

Una de las ideas fundam entales de la topologa es la idea de figuras HOMEOMORFAS. La idea intuitiva es

sencilla. Puesto que esta rama de las matemticas estudia una geometra en la que lo importante sonlas posisiciones re lativas entr e los puntos de los cuerpos , es claro que si imaginamo s los objetos geo-mtricos fabricados con plastilina, las deformaciones que h agamos con ellos -por estiram iento o com-pactamiento pero sin rotura- generan nuevos cuerpos en los que los puntos que estaban prximos en-tre s siguen estndolo. Para la topologa esos cuer pos son iguales y se les denomina h omeomorfos .

O R I E N T A C I N

LO S P UE NT ES D E KNINSBERG

Otro de los problemas qu e estudia la topo-loga es el de la orientacin de los espacios.La orientacin topolgica recoge la misma

idea que tene-mos todos: ha-bla de izquierday derecha o arri-ba y abajo. Peroen topologa seestudian cuer-pos asombrososen los que la de-recha puedeconvertirse e n laizquierda: porejemplo la Cin-ta de Mbius dela derecha es unespacio en elque una mano-pla diestra, trasrecorrer la cintacompletamente,se convierte enuna m anopla iz-

quierda slopor cambiar desitio en la cinta!.Asombroso.

Frmula de Euler

G N E R O 0

G N E R O 2

G N E R O 1

DODECAEDROCARAS (12) + VRTICES(20)= ARISTAS (30)+ 2