7/25/2019 Aula de Matemticas II de 'El Mundo'

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AULAD E E L M U ND O

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Te proponemos esta sema na unos se ncillos problemas que necesitarn d e tu inge-

nio pa ra que los resuelvas. Dos d e ellos , el del zumo y el de los tring ulos s on de

sentido comn. El problema d el cubo ha ce uso d e una sencilla propiedad de los

cuad rados pa ra su solucin. La respuesta a l enigma del marido q ue se a delanta en

su vuelta a ca sa es a lgo ms difcil pero solo necesita que pienses detenida mente

en el recorrido propuesto, y por ltimo, e l prob lema del autob s s lo nece sita de tu

obs ervacin. Que te diviertas.

DEL TRABAJO A CASA

Roberto sale de la oficina todos los das a las 17:30. Tras ac ercarse a la estacin de

tren a pie, coge el tren de las 18:00 y llega a la estacin de Alcal donde vive, a las

18:30. Su espo sa Ana sale todas las tardes d e su ca sa e n coche y llega a la esta-

cin exactamente a las 18:30, hora a la q ue recoge a Rob erto del tren para llevarle a

cas a.Un da Roberto sa le a ntes de la o ficina y decide toma r el tren de las 17:30 que

lleg a a la esta cin de Alca l a las 18:00. Al llega r Ana no e st e n la esta cin y dec ide

echarse a anda r al encuentro de su mujer. Ana co mo es no rmal, sale de c asa a la mis-

ma hora q ue todos los das. En un punto del camino encuentra a Roberto caminan-

do, le recog e, da media vuelta y se d irigen a cas a a la que llega n 10 minutos antes

que cualquier da. Si los trenes son complementamente puntuales Cunto tiempoestuvo andando Roberto hasta que le encontr su esposa?

LA MITAD DEL CUBO

Dos hombres es tn frente a un cubo d e meta crilato relleno con cierta

cantidad de ag ua. S e preguntan cmo averiguar s in utilizar instru-

mentos de medidas, si el cubo est lleno

exactamente a la mitad de s u capaci-

dad o si bien est a menos de lamitad o a ms. Puedes

ayudarles aresolver su pro-blema?

DIVIDIENDO TRINGULOS

En la siguiente figura hay

exactamente dieciseis

trin gu los idnticos . Te

pedimos que averigues encuntas partes iguales hayque dividir el rectngulopara que en cada una de

ellas haya exactamente el

mismo nmero de tring ulos. LOS NUEVOS AUTOBUSES

En la parada del autobs, Laura o bserva a contraluz los nuevos autobuses de turis-

mo pa ra jovenes q ue ha e strenad o el Ayuntamiento de Madrid. Al obs ervar deteni-

damente lo que ve, se siente incapaz de averiguar hacia qu lugar se mueve.

Puedes decirle si se desplaza hacia la izquierda o hacia la derecha? Por qu?

LlamemosAalpuntodeencuentro.Elahorrodelos10minutosprocedenexclusiva-

mentedeltrayectoquevadesdeelpuntoAhastalaestacinydelaestacinaA,

pueselrestodelcamino-decasaalpuntoA-lorealizacomotodoslosdas.Supo-

niendoqueseinviertelomismodeAalaestacinquedelaestacinaA,desdeel

puntodeencuentroalaestacinseinvierten5minutos.ComoAnallegatodoslos

daspuntualmente

alas6:30alaesta-

cin,hatenidoque

recogerasumarido

alas6:25.Portanto

Robertohaestado

andando25minu-

tos.

Loqueesseguroesquealautobstienealgunapuerta,peroLauranoaprecianingu-

nacomoseveenlafoto.Portantolapuertahadeestardelotroladodelautobs,la

quenoseve.PuestoqueenMadridseconduceporladerecha,elautobssedirige

hacialaizquierda.

Bastacondividirelrectnguloendospartescomolosdelafigura.

Nadiedijoquelostringulostuvieranquesertodosiguales!.

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PENSAR TAMBINES ENTRETENIDO

po r L olita Brain

Luis se ace rca a la cafetera d e su insti-

tuto y pide un zumo de tomate. El

camarero le pregunta Normal o

espec ial?. Cul es la diferencia entre

ellas?, le responde Luis. El normal cues-

ta 90 cntimos y el especial 1 euro le res-

ponde de nuevo el camarero. Entonces

tomar uno es pecial le co ntesta Luis d ejan-

do una moneda de 1 euro sobre el mostra-

dor.De pronto entra e n el bar B eatriz y d ice:

Un zumo de tomate, por favor, mientras

deja un euro sob re la barra. El camarero sin

dudarlo le pone un refresco especial sin pre-

guntarle nada . Cmo pudo saber el cama-

rero que Beatriz quera un refresco espe-cial?

Almenoshaydosformasderesolverelenigma.Unoestrazarconcuidadolasdiagonalesdeunadelas

carasdelcubo.Unavezhalladoelcentrodelcuadradodeuncara,sisteseencuentraalineadoconla

superficielibredellquidosteestarllenoexactamentehastalamitad.Sielcentroquedapordebajodel

aguaestarllenomsdelamitadysiquedaporencimadellquidoestarallenomenosdelamitad.Sepue-

deconseguirelmismoefectosinmsquegirar45elcuboenlugardedibujandolasdiagonales.

LOS REFRESCOS Y EL CAMARERO ADIVINO

Esmuyfcil:Beatrizsacdesubolsillotres

monedasde25cntimos,dosde10cnti-

mosyunade5cntimos,queentotalsuma-

banlacantidadde1euro.Sihubieraqueri-

dounrefresconormalde90cntimos

habradejadosobreelmostradorlacanti-

dadexactayaquedisponadecambiosufi-

ciente.

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AULAD E EL M U N DO

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por Lol ita Bra in

Como cada ao, al llegar estas fechas navideas en las que estars cansado de estu-diar y de preparar los examnes, te regalamos unos cuantos problemas de ingeniopara que los resuelvas con tus compaeros. Esta vez hemos escogido una seleccinde enigmascaracterizada por el modo en el que se resuelven: casi todos tienen varioscasos posibles y es suficiente coger lpiz y ppel y estudiarlos. Tambien te ayudarhacer suposiciones: que pasara si... De modo que ponte a ello para que no se duer-man tus neuronas.

E N I G M A SO L G I C A ?

E L S AN D W IC H D E N AI P E S

El Sandwich es un juego de naipespara tres personas. Se separan lascartas del 1 al 9 de u n palo de la

baraja , y luego se repar ten ent rel o s t re s j ugado res . En sec re t o ,cada uno suma sus tres naipes,y gana el que tenga la suma queest justo en el me dio . El ta-hr recibe sus tres cartas y sinver las de sus rivales sabe inme-diatamen te que ya gan la partida. Qucartas recibi? Sirecibes4,5y6,quesuman15,conlas

cartas1,2,3,7,8,9slopuedenformarseconjuntosquepierden.

Entotalsuman30,luegosilosdividesendosconjuntosigualessumaran15cadauno.Sinoloconsigues,unosumarms

de15yotromenosde15conloqueeljugadorqueobtuvoel4,5y6sabequehaganado.Puedenobtenerse15puntoscontrescartasdelconjunto1,2,3,7,8,9?Evidentementeno:Sitomasdoscartasdelgrupodelasmasaltas,quesumanalmenos15,altomarotramstehaspasado.Sitomasdoscartasdelgrupodelasmasbajas,altomarotradelotrogruponollegasalos15.

Porlotanto,recibilascartas4,5y6.

SOI S

T ODOS UNOS

MENTIROSOS!

lolitabrain@hotmail.com

Evidentementenotodospuedensermentirosos,yaquetodosparadjica-menteestarandiciendolaverdadal

referirsealosdemscomomentiro-sos.Porlotantounoporlomenosesveraz.Yefectivamentealserunoveraz,todoslosdemssonmentirososporquealacusarloaldementirosomienten,sololdicelaverdadalacusaralosdemsdementirosos.

R E T R I C O S Y S O F I S T A S

Como todo el mun do sabe, entr e los ejecutivos de Wall Stre-et hay dos clases de person as: los RETRICOS que slo ha-cen p regun t a s cuya re spues t a ya saben y l o s SOFISTAS

que slo hacen preguntas cuya respuesta no saben.

Tres brokersse encuentran en la calle. No se conocen de an -tes, pero saben qu e trabajan en Wall Street. Se escucha lasiguiente conversacin entre ellos:Entre nos otros tres ha y algn retrico? pregun ta elprimero.

Usted es retrico? dice el segun do, dirigindose altercero.Entre n osotros tres h ay algn sofista? pregun ta eltercero.

Puede saberse de qu clase es cada uno?

Elprimeropuedeserindistintamenteretricoosofista.Siesretrico,sabadeantemanoquehabaunretrico,lmis-

mo.Ysiessofista,comonoconocaalosdemsnosabadeantemanolarespuesta.Elsegundoessofista,porquenopuedesaberdeantemanoqueseltercero.Elterceroesretrico,porqueyasabequeelsegundoessofistaporladeduccinanterior.Porlotantoslosepuedededucirlaespeciedelosdosltimos,peronodelprimero.

Laprimeravezquesecruzan,entrelosdosrecorrenunavueltacompleta.Noimportacuntorecorricadauno;loqueimportaesquesumanunavueltaexactaentreambos.Lasegundavezquesecruzan,entreambosrecorrendosvueltasexactas.Laterceravezquesecruzan,entreambosrecorrentresvueltasexactas.Yas.sucesivas.Entonces,lacantidaddevecesquesecruzanesequivalentealacantidaddevueltascom-pletasquedanentrelosdos.Comounodio11vueltasyelotro7,entrelosdosdan18vueltas.Porlotanto,secru-zan18veces.(O17,sinoconsideramoscomocrucealltimoen-cuentro.)

Ha r ry y P o t t e rson dos pat ina-dores sobre hie-

lo. Entrena n en unci rcui to c i rcular.Un da, empiezan apa t i na r en e l m i s -m o m o m e n t o ydesde e l m i sm opunto , Harry en elsentido de las agu-ja s de l r el oj y P ot -t e r en e l sen t i doopues t o . Ju s t o a lmedioda vuelven acoincidir en e l pun-to de inicio: Har ryha dad o 11 vueltascom pl e t a s m i en -tras que Potter sloha com pl e t ado 7vuel tas. Cun t a sveces se cruzaron?

L O S P A T I N A D O R E S C R U Z A D O S

En un cong reso de econom i s t a s sehan reun ido 100 personas. De pron-to el que tiene la palabra les increpa

a todos: Sois todos unos mentirosos!.Del asombrado au di torio se a lza o t ravoz que dice S, todos m ents. Unatercera voz se oye emit iendo el mis-mo men saje...As hasta que todos losasistentes ha repet ido la m isma fraseacusatoria a todos los dems.S i sabemos que todos los econom is-t a s e s t n hechos de t a l p a s ta que , obien siempre dicen la verdad o siempr emienten Cuntos economistas ve ra -ces hay en el congreso, si es que hay al-guno?

Losresultadosdelospartidosfueron:A1B0A1C0A1D0B1C0B2D1C3D2

Deestemodo,Aganatrespartidos,Bganados,CganaunoyDnogananinguno,ycadaunohizotresgoles.

C U A D R A N G U L A R D E F T B O L

Cuatro equipos participan de un torn eo cuadran-gular de ftbol, jugando una vez contra cada ri-val. Al final del torneo, cada equipo m eti exac-

tamen te tres goles y cada equipo gan una can tidaddiferente de partidos. Cules fueron los resultadosde los partidos?

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AULA.710.12.99EL MUNDOViernes cultural. Lmina coleccionable

por Lolita Brain

L O S N U M E R O S . . . V A Y A H I S T O R I A !

Seguro que si te preguntaran cul es el concepto matemti-co ms simple, t responderas que el nmero. Sin embar-

go, no es tan sencillo como parece. De hecho, el hombretard bastante en asimilarlo y los sistemas para simbolizar

cantidades no fueron siempre los mismos que ahora.

Aunque no lo sepas, 2.000 aos a.C. los babilonios inventa-ron un sistema de representacin para los nmeros similaral nuestro y... al de los ordenadores! El cero por ejemplo,no se conoci hasta el siglo VI en La India. En esta pgina tecontamos el porqu de cmo contamos

TUS PREGUNTAS POR LA RED:

www.dailan.com/verenet/lolitabrainCORREO ELECTRONICO: lolitabrain@hotmail.com

EN LA TECNOLOGIA DIGITAL,los nmeros se representan

tambin en un sistema posicional, pero como en el ordenador (en laRAM o en el disco) slo se distinguen dos estados (apagado y encendi-do o, lo que es lo mismo, ony off). El problema que surgi fue cmopoder representar los 10 primeros nmeros cada uno de los cualestiene un smbolo diferente, disponiendo de slo dos estados. Lasolucin fue simple: se utiliz un sistema binario en el que las distintasposiciones, lejos de valer 10, 100, 1.000, valen 2, 4, 8, 16, etc. Porsupuesto, slo existen dos dgitos: el 1 y el 0. Claro que as, los nmerosson ms largos de escribir.

EL SISTEMA DE NUMERACION ROMANO otorga smbolos distintos a algunascantidades especiales (1=I, 5=V, 10=X, 50=L, 100 =C, 500=D, 1.000=M) yrepresenta los restantes nmeros por adicin (11=10 +1, XI=X+I) o sustraccin(9=10-1; IX= X-I). Los clculos con este sistema de numeracin son especialmen-

te complicados y dificultan el desarrollo de la aritmtica.

126126

BABILONICO. Cuneiforme.Posicional de base 60. Sin 0.Cada cifrapesa las potencias de60.600=1601=10602=3.600...

2x60+6

EGIPCIO.Jeroglfico.Decimal iterativo noposicional.No conocian el 0.

100+20+6

ARABIGO. Occidental.Posicional de base 10.(decimal). Con 0.Base 10: cada cifrapesa laspotencias de 10.100=1101=10102=100103=1.000104=10.000...

1x100+2x10+6x1

ROMANO.

Aditivo capitular.No usaban el cero.

100+20+6

CXXVI

1111110

126BINARIO.Posicional debase 2(binario): cadacifrapesa laspotencias de 2.20=121=222=423=824=16...

1x64+1x32+1x16+1x8+1x4+1x2+0x1

COMO REPRESENTAMOS LOS NUMEROS? El sistema arbigo denumeracin, que realmente era hind y es el que utilizamos, es posicionalcomo el de los babilonios pero decimal. Esto quiere decir tres cosas:1.- Hay un smbolo especial para los 10 primeros nmeros (0, 1, 2, 3,...9);2.- Cada nmero tiene un valor determinado por el lugar que ocupa (cada 2

de 222 tiene un valor distinto: 2 20 200);3.- El sistema numera en base al 10,es decir, cada posicin representauna potencia de 10 (decenas =10,centenas = 100, millares =1000, etc.)

100

1 1 1

10

=1x4+1x2+1x1=7

=1x100+1x10+1x1=111

1

4

1 1 1

2 1

La primera referencia a un sistema decimalposicional apareci en elAryabhatiya(hacia 499), obra de Aryabhata, uno de los

grandes matemticoshindes del siglo VI. Sinembargo, la primera cifra

escrita en este sistema quenos ha llegado es una inscripcin

fechada en el ao 595, en la que apareceescrito el ao 346 en dicho sistema. Slo

200 aos despus es cuando tenemosreferencia del cero por primera vez. Fueron

pues los hindes los que, por un lado, asigna-ron un smbolo distinto a cada nmero del 1 al

9, y observaron que el valor de estos smbo-los poda cambiar slo por la posicin

relativa que ocuparan. Adems

fueron conscientes de la necesidadde asignar un smbolo al vaco(cunga), que as es como denomi-naron al cero. Haba nacido elque, an hoy, es nuestro sistemade numeracin.

EL IMPERIO BABILONICO, en elOriente Medio, desarroll unsistema de escritura en tablillasde barro sobre las que hacanmuescas con un palo: laescritura cuneiforme. Muchasde ellas registran desdeoperaciones numricasordinarias a clculos astron-micos.Los babilonios son los creado-

res de un sistema de represen-tacin de los nmeros similaral nuestro: el posicional. Ellosse dieron cuenta de que el mismosmbolo que representaba unnmero (1, 2, 3, etc.) poda tenerdistinto valor segn el lugar queocupara. Los nmeros del 1 al 59 serepresentaban de modo similar alque lo hacan los egipcios: tenan unsmbolo para el 1 (una muescavertical) y otro para el 10 ( unamuesca como un parntesis), y losrepetan hasta obtener el nmerodeseado. Los restantes dgitos

(desde el 60) los descomponan enmltiplos de 60, de 3.600 y assucesivamente. Los nmeros tenanun valor u otro segn la posicin enque estuvieran colocados. Noconocan el cero y, por lo tanto, dosdoses juntos podan representar 22 202 ambiguamente. Esta fue suprincipal limitacin.

El sistema de numeracinegipcio data de hace unos5.000 aos, es decir, alrede-dor del 3.000 a.C., y nos hallegado a travs de papiros

como el de Ahmes -o de Rhind-(Museo Britnico de Londres) oel de Mosc. Este sistema estababasado en el nmero 10 y en lse disponan de smbolosespeciales para el 1, 10, 100,1000... Estos smbolos se repet-an tantas veces como indicaranlas centenas, decenas, etc. Porsupuesto, no conocan el cero,pues la nada no necesitabasmbolo. Los nmeros se escrib-an de derecha a izquierda o alrevs. Estaban acostumbrados ausar nmerosgrandespara su poca, como atestigua una mazareal conservada en Oxford de ms de 5.000 aos de antigedad.En ella se recogen las cifras de 120.000 prisioneros y 1.422.000cabras capturadas como parte del botn de una campaa militar.

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AULADE EL MUNDO

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por Lolita Brain

BRAHMAGUPTAera de laopinin de que cero divi-dido por cero, es cero.

MAHAVIRAdeca, en cam-bio, que un nmero per-manece inalterado cuan-do se divide por cero.BHASKARA, por su parte,pensaba que una canti-dad dividida por cero, esuna cantidad infinita.

La civilizacin maya, quefloreci entre 250 y 900, de-sarroll un sistema posicio-nal por repeticin (I, II, III,IIII...), de base 20, con unsmbolo para el cero. El ais-lamiento y la rpida desa-paricin de esta olvidadacultura hizo que su uso notrascendiera.

E

s conocida la labor de transmisin de los rabes de los co-nocimientos indios a Occidente. La obra de Al-Khawariz-

mi Sobre el arte hind del clculodescribe el sistema hindbasado en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0. Es el primer libro, escrito enel actual Irak, en que se usa el cero como indicador de posicin.Ibn Ezra en el siglo XII, escribi tres tratados que transmitie-ron el saber indio y el sistema decimal. l llamaba al cerogalgal(crculo o rueda)

Leonardo de Pisa, Fibo-nacci, fue el primeroen traer esas ideasa Europa. En suobra Liber Abaci,describa el siste-ma decimal y elclculo con l.Sin embargo,

el uso del cero era algo con-fuso, refirindose a l co-

mo signo o como n-mero. El Occidentemedieval, sin embar-go, necesit mucho

tiempo para di-gerir estos

cambios.La evolucin del conocimiento a partirde la introduccin del cero se aceleraunque hay que recordar, por ejem-

plo, que Cardano, en el siglo XVI, re-solvi la ecuacin cbica sin usar el ce-ro! Sencillamente no era parte de las ma-tematicas de su tiempo. Es posible que

su uso le hubiera facilitado el trabajo.

Una de las preguntas ms comunes acerca de las matemticas es: quin invent el cero?, re-conociendo en ella que, si bien los inventoresde los restantes nmeros deben ser importantes,la particularidad del cero hace resaltar a su inventor. Y la respuesta a esa pregunta es muy sen-cilla: nadie en particular, porque cada nmero no fue inventado por una persona. Son las cultu-ras las que han realizado estos avances, influidas por muchos acontecimientos.

De 0 a 9 (fragmento) JasperJonhns hacia 1930

LO S S I G N I F I C A D O S D E L C E R O

A diferencia de otros nmeros, al CE-

RO le corresponde un doble signifi-cado.CIFRA POSICIONAL: indica en las es-crituras posicionales la ausenciade decenas o unidades o centenas.Permite distinguir 205 de 25CANTIDAD: representa la asuencia decantidad, el vaco o la nada. Res-ponde al fenmeno de sustraer untodo de s mismo

A pesar de que losgriegos no utilizaronel sistema posicionalde numeracin y, portanto, no necesitaronel cero, los astrno-mos comenzaron autilizar una o como

marca en algunas co-lumnas vacias. Pto-lomeo, en su Alma-

gesto, tambin utilizeste recurso. Pero nose trata de un uso po-sicional y no trascen-di su uso.

El indio Aryabhata ingenia un sistema de numera-cin posicional sin cero. Llama kha a la posicin yms tarde este ser el nombre indio para el cero

Los indios BRAHMAGUPTA, MAHAVIRAyBHASKARAson los primeros en pensar elcero como nmero. Respondieron, a ve-ces con ideas equivocadas, a pregun-tas como cmo obtener cero? qu su-cede cuando se suma cero a una canti-dad? Y, cundo se multiplica un n-mero positivo por un negativo?

En las tablillas de KISH (Irak), losbabilonios marcaban el cero po-sicional con dos o tres muescas.

As, para diferenciar 34 de 304escriban 34. Nunca lo utiliza-ban al final de modo que escri-ban 34pero no 34.

El sistema de nota-cin posicional delos babilonios re-quera una muescaespecial que distin-guiera 34 de 304.Sin embargo, poresas fechas el con-texto sealaba la di-ferencia entre esascantidades.

QUIN TENA RAZN?

NINGUNODELOSTRES.0/0yn/0sondosoperacionesnodefinidas.Bhaskaraporsuparteaventuraunconceptoinfinitesimalalsugerirn/0=infinito.

1.700A.C.

700A.C.

130

500

850

1200

Retrato degentil hombre .

Annimo .

Detalle.

T A N T A

H I S T O R I A

P A R A N A D A

Primer registro fechado de la escritura del cero en In-dia: en un problema sobre un jardn en Gwalior, cercade Nueva Delhi aperecen inscritos los nmeros 270 y 50tal y como lo haramos hoy

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lolitabrain@hotmail.com

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