Los mires por donde los mires, siempre suman lo mismo. Esta es la filosofa de los cua-drados mgicos, una construccin matemtica antiqusima cuyos orgenes se remontanal 2200 a.C., cuando el emperador chino Yu crey ver en el caparazn de una tortu-ga el cuadrado mgico ms antiguo del que tenemos referencia, el lo-shu. En estosdas en los que el sudoku hace furor entre todos, conviene hacer un poco de historiay hablar de estos objetos matemticos ntimamente relacionados con el pasatiempoms de moda. La prxima semana seguiremos hablando de ellos.

por Lolita Brain

LA MAGIA DE LOS CUADRADOS I

MELANCOLA (1514)

CUADRADO MGICO IMPAR DEORDEN 3 Y CONSTANTE 51.

CUADRADO DE ORDEN 4 YCONSTANTE 68.

La constantemgica del cua-drado es 34. Filas,columnas y dia-gonales sumanpor tanto 34.

QU ES UN CUADRADO MGICO? EL CUADRADO MS MGICO Y MS FAMOSO

U n cuadrado mgico es un cua-drado subdividido en n filas y ncolumnas que dan lugar a n2casi-llas, en cada una de las cuales hayun nmero distinto. Es mgico en elsentido de que los nmeros de cadafila, de cada columna y de las dosdiagonales principales suman lamisma cantidad, que se suele deno-minar constante mgica. El ordende un cuadrado mgico es el nmerode filas o de columnas. As hablamosde cuadrados de orden 3, de orden4, etctera. El orden de un cuadradodetermina muchas de sus propieda-des.

T TAMBIN PUEDES CONSTRUIR UN CUADRADO MGICO DE CUALQUIER ORDEN IMPAR

P ara generar un cuadrado deorden impar, pero slo de esteorden, se utiliza el mtodo deSimon de La Loubre publicadoen 1691, llamado tambin elmtodo siams, un sistema yaconocido por los astrlogos orien-tales. Para ello nos imaginamosun cuadrado de orden 5 cuyoslados estn unidos, el superiorcon el inferior y el derecho con elizquierdo. El mtodo consiste enir colocando nmeros consecuti-vos en los cuadrados que resultande moverse a la casilla superiorderecha de la que nos encontre-mos, de modo que cuando en undesplazamiento nos salgamospor arriba del cuadrado, nos dirigi-remos abajo, y si nos salimos porla derecha, iremos a la izquierda.

A lberto Durero, el gran pintor yterico del arte renacentista, esel autor del primer cuadradomgico conocido en el arte occi-dental. El grabado, repleto demetforas matemticas, contieneun fascinante cuadrado mgico enel que casi todas las formas sumanla constante 34. Vemoslo.

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

Las cuatro esquinas sumantambin 34.

Los cuatro cua-drados menoresdel cuadradoprincipal tambinsuman 34.

El cuadrado central tambinsuma 34.

Las casillas delos extremos delas filas centralessuman 34. Tambin las delas columnascentrales.

En la obra de Corne-lius Agripa, Deocculta Philosop-hia libri tres, de1533, aparecen cua-drados mgicos deorden 3 y de orden9. La imagen laTabula Saturni dedicha obra presentaun cuadrado deorden 3 y de cons-tante 15.

E n la fachada de la Pasin de la Sagrada Familia deBarcelona, obra de J. Subirachs, aparece un cua-drado mgico de orden 4 con constante 33, la edadde Cristo. Es el mismo que el de Durero pero invertidode arriba a abajo y se ha restado una unidad al 11, 12,15 y 16, con lo que se repiten el 10 y el 14.

Las dos casillasinferiores del cen-tro anan 1514,que es la fecha deejecucin del gra-bado.

Y TAMBIN EN LA SAGRADA FAMILIA

1.-Colocamos el 1 en la casilla central superior. Nos movemos a la de arriba y a la derecha para poner el 2. Como nos sali-mos del cuadrado lo llevamos a la fila inferior. 2.-Desde el 2, volvemos a ir arriba y a la derecha. Situamos el 3. 3.- Cuando intentamos poner el 4, nos salimos del cuadrado por la derecha. Se coloca entonces a la izquierda 4.-Ubica-mos el 5 y cuando vamos a poner el 6, la casilla est ocupada por el 1. Situamos el 6 bajo el ltimo nmero, el 5.

5.-Seguimos colocando el 7 y el 8. Como el 9 cae en una casilla superior, lo llevamos a la fila inferior. Al poner el 10, salepor la derecha y lo mandamos a la columna de la izquierda. 6.-De nuevo, al intentar situar el 11, la casilla que le correspon-de est ocupada por el 6, y por tanto lo colocamos bajo el 10. 7.- Ubicamos sin problemas el 12, 13, 14 y 15. 8.-Al poner el16, ste cae en la esquina superior derecha. Deberamos situarlo donde est el 11. Y por tanto lo colocamos bajo el ltimonmero escrito, el 15. Ahora te toca a ti continuar con los restantes nmeros hasta el 25.

1 2 3 4

5 6 7 8

En la ltima entrega de este curso continuamos explorando esas mgicas crea-ciones matemticas denominadas cuadrados mgicos. Si la pasada semana te en-seamos a crear tus propios cuadrados de orden impar, hoy te mostraremos comoconstruir cuadrados de orden par. Tambin te contamos qu son los cuadrados la-tinos, cul es su origen y qu utilidad tienen ms all de ser parientes prximosde los sudokus. Nos despedimos de este modo por este curso que esperamos hayaservido para acercarte las Matemticas a tu universo.

por Lolita Brain

LA MAGIA DE LOSCUADRADOS Y IICMO HACER UN CUADRADO MGICO PAR EL SUIZO UNIVERSAL

UN CUADRADO LATINO 4X4

Existe un procedimiento para crear un cuadrado mgico deorden par tal que sus filas o columnas sean mltiplos de 4. Sedenomina el mtodo de las X y consigue crear cuadradosde orden 4, 8, 12, 16... Es muy sencillo y te permitir asombrara tus amigos. Vemoslo con un cuadrado 8x8.

ADEMS DE PASATIEMPOS SON TILES

Ms all de ser un mero divertimento, los cuadrados latinostienen utilidad en la vida prctica. Imagina un campo agr-cola en el que ha de probarse la eficiencia de cuatro abo-nos distintos sobre cuatro tipos de trigo. Para ello se divide laparcela en 16 cuadrantes y en cada uno se planta un tipo de tri-

go, de modo que no coincida enfilas y columnas el mismo tipo desemilla. Se evita as la influenciade la propia tierra en la experien-cia. Hecho esto, se mezclan delmismo modo los cuatro tipos deabono de forma que a cada cua-drante con cada tipo de semilla sele administre un tipo distinto deabono. La configuracin ptimapara el experimento es la de uncuadrado latino de orden 4. Enrealidad son dos cuadrados, el delas semillas y el de los abonosentremezclados.

Los cuadrados latinos sonuna invencin del irrepeti-ble suizo Euler. Son crea-ciones ligeramente ms sen-cillas que los cuadradosmgicos, ya que en ellos, sibien tambin se parte de unaconfiguracin cudradada divi-dida en casillas, slo se exigeque en cada fila y en cadacolumna exista un elemento tomado de entre dos categoras sin que se repita ninguna. El primerproblema propuesto al respecto proviene de Euler, quien propuso en 1782 el problema de losoficiales.

E l problema de los 36 oficiales es muy sencillode plantear pero no de solucionar. Suponga-mos un desfile militar en el que participan 36oficiales de seis regimientos distintos y conseis graduaciones diferentes. El problema quepropuso Euler lanza la siguiente pregunta:ser posible disponerlos en formacin cua-drada de modo que en cada fila y en cadacolumna haya un oficial de cada regimiento yde cada graduacin?

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BILLETE DE 10 FRANCOS SUIZOS EN HONOR ALEONHARD EULER (1707- 1783)

Es muy sencillo entender los cuadrados lati-nos. Para ello hazte con el 1, 2, 3 y el 4 decada uno de los palos de una baraja de cartas.El juego consiste en disponer los 16 naipes enun cuadrado de modo que no coincidan en cadafila ni en cada columna dos cartas del mismopalo o dos del mismo nmero. Te atreves?Euler demostr que era posible hacerlo.

Desde la esquina superior izquierda, escribe por orden cadauno de los nmeros del 1 al 64. Divide el cuadrado de 64 casi-llas en cuatro cuadrados menores. Traza las diagonales decada cuadrado como en el dibujo.

Los nmeros que no han sido tocadospor las diagonalesdeben permanecer en la misma casilla. En cambio, las casillaspor las que pasan las diagonales se han de intercambiar consus simtricas respecto del centro del cuadrado. As el 1 y el 64intercambian su posicin, lo mismo que hacen el 14 y el 51.Observa la figura en la que los elementos intercambiados sehan marcado con el mismo color. El resultado es un cuadradomgico en el que filas, columnas y diagonales suman 260. PERO EULER

SE EQUIVOC

Euler difcilmente seequivocaba. Su forma-lismo y su rigor creescuela en el mundomatemtico... pero nadiees infalible. Leonharddemostr que siemprese puede construir uncuadrado latino que ten-ga orden impar o que seamltiplo de cuatro, lo quel denominaba par declase par. Pero l fueincapaz de crear un cuadrado de orden 6, lo que le llev a afirmar que No dudo concluir que esimposible hallar un cuadrado completo de 36 casillas ni en hacer extensiva tal imposibilidad a loscasos n = 10, n = 14, etctera.. Es decir, supuso que no existan cuadrados de orden par que nofueran mltiplos de 4. Como en 1901 Gaston Tarry demostr que no se poda crear un cuadradolatino de orden 6, la conjetura de Euler pareca fortalecerse. Pero en 1959 Bose, Shrikande yParker, de la Universidad de California, hallaron un cuadrado grecolatino de orden 10, eso s,con la ayuda de una potente computadora SWAC. Adems probaron que salvo para el orden 6,la conjetura de Euler era falsa. Euler, por una vez, se haba equivocado.

EL PROBLEMA DE LOS OFICIALES

EL CUADRADO DE ORDEN 10 DE PARKER

AULADE EL MUNDO

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La idea de infinito ha sido siempre uno de los temas de mayor dis-cusin en el seno de las Matemticas... y no slo en ellas. La Filo-sofa ya desde los remotos tiempos de la Grecia clsica discutisobre el concepto de infinito, su significado y su existencia. Ya ZE-NN DE ELA, 400 aos antes de Cristo, sembr el pensamientocon curiosas paradojas que tienen como eje central el infinito.Hasta finales del siglo XIX, no se abord con rigor matemtico el an-lisis de lo que significaba este concepto. Se encontraron sorpre-sas inimaginables que dividieron el mundo de las Matemticas.Hablamos de la obra de George Cantor.

. . . U N 0 , D O S ,T R E S . . . I N F I N I T O

por Lolita Brain

lolitabrain@hotmail.com

Durante siglos los griegos exploraron el apeiron -lo ilimita-do- y su presencia en el universo. Demcrito, Epicuro ysobre todo Lucrecio, fueron defensores de la existenciade lo infinito. Lucrecio lleg a hablar de un nmero ili-mitado de mundos infinitos. Aristteles defini un infi-nito en potencia, que se piensa como algo finito en con-tinua expansin, pero que no se puede alcanzar. En cam-bio, entiende que no puede existir realmente un infinitoen acto,que pueda ser pensado, ya que al ser inconcluso-no acaba nunca- no puede definirse.

Richard Dedeking, un matemtico solitarioy tmido, pero muy riguroso, fue el padre delos nmeros tal y como los conocemos hoy,creando una teora que construye los nmerosnaturales, y con ellos todos los dems. Amigode Cantor, con el que se carte durante 27 aos,es el primer autor -junto a ste- en pasar del in-finito en potencia aristotlico al infinito en acto.Ambos encontraron el modo de definir el in-finito.

George Cantor (1845 San Petersburgo,Rusia -1918 Halle, Alemania) es el pa-dre de la Teora de Conjuntos, deno-minada intuitiva. Tras desarrollar losconceptos que hoy usamos sobre los con-juntos, se interes por el nmero de ele-mentos de stos, lo que se llama la CAR-DINALIDAD del conjunto. Y comenz a es-tudiar los conjuntos con infinitoselementos hasta desarrollar la Teora de

los Nmeros Transfinitos, una delas teoras ms desafiantes parael pensamiento humano, com-parable al desafo intelectual delas Geometras no Eucldeas -enrelacin al espacio- o de la Re-latividad -en relacin con el

tiempo y el espacio-. Su teora desafiaba el con-cepto de infinito.

EE LL TT OO DD OO

YY

LL AA SS PP AA RR TT EE SS

>>>>>>En un conjunto infinito, haypartes tan numerosas comoel mismo.>>>>>>Los nmeros decontar, los enteros (po-sitivos y negativos), lasfracciones, los nme-ros pares, los nmeroscuadrados, los primos,etc. tienen todos ellosla misma cantidad deelementos: el nmerotransfinito ALEF-CERO.>>>>>>Para saber si un conjunto

tiene ALEF-CERO elementos hayque emparejar cada uno de

sus elementos con unnmero natural demodo que no quedeninguno sin pareja.>>>>>>Cuando unconjunto tiene ALEF-CERO elementos, se

dice que es NUMERA-BLE.

>>>>>>Hay conjuntos infi-nitos con ms elementos

que ALEF-CERO.

Cantor comenz en-tonces a estudiaralgunas partes -subconjuntos- delconjunto de los natu-rales. Por ejemplo,

los nmeros PARES (2, 4,6, 8 ...) estn contenidos en

los NMEROS DE CONTAR(1,2,3,4...). Todos estaramos

tentados a decir que los pares sonexactamente la mitad. Sin embar-

go no es as. Es facilsimo ver en el dia-grama cmo cada nmero de contar se

puede emparejar con un nmero par, su do-ble. Y cada par tiene su pareja, su mitad.

Como en los granos de arena, ambos conjun-tos -por extrao que nos parezca- tienen los mis-mos elementos. Cuntos? Alef-cero elementos.

Cantor y Dedeking ra-zonaron del modo si-guiente: si para con-tar conjuntos finitos uti-lizo el emparejamiento,por qu no utilizar estemecanismo con los con-juntos infinitos? De estemodo, razona Cantor, si

me siento entre dosmontones de arena,y tomo con cadamano un grano de cada montn, por muchos

granos que haya, si acabo antes el montn dela izquierda que el de la derecha, esto vendr a

decirnos que ese mon-tn tena menos granosque el otro. Pero si aca-bo los dos montones ala vez, por fuerza nopodremos afirmar sinoque los dos montonestenan igual nmero degranos de arena. Can-tor y Dedeking llamar-an a este empareja-miento una CCOORRRREESSPPOONN--DDEENNCCIIAA BBIIUUNNVVOOCCAA entre

los montones de arena. Hoy lo llamamos igual.

Y lo primero quehizo Cantor fue fi-jarse en el CONJUN-TO INFINITO del que se tiene la primera intuicin: el conjunto de

los nmeros naturales o enteros positivos, es decir, los nmerosde contar 1, 2, 3, 4, ...Todos entendemos que este conjunto es infinito. Cada nmero tie-ne su sucesor. Es su esencia. Cantor afirm que no existe nin-gn conjunto infinito con menos elementos que ste. Dicho de otromodo, los nmeros de contar son el conjunto infinito ms pe-queo. Al nmero de sus elementos le llam AALLEEFF CCEERROO (Alef esla primera letra del alfabeto hebreo).

00NN OO LL OO OO LL VV II DD EE SS

RICHARD DEDEKING1831 Alemania - 1916 Alemania

AALLEEFF CCEERROO

La mxima que mejor recogela distincin aristotlica sobrelo finito y lo infinito es aque-lla que afirma que EL TODO ESMS GRANDE QUE LAS PARTES.Semejante intuicin perma-neci aceptada por todos loshombres. Es un asunto de sen-tido comn. En efecto, un gra-no de arena es menor que elmontn en el que se encuen-tra, dos manzanas son menosque el cesto de manzanas...una mano es menor que todoel cuerpo. Tras Cantor y De-deking las cosas ya no iban aser iguales.Sorprendentemente, observa-ron que en los conjuntos in-finitos existen partes conte-nidas en ellos con tantos ele-mentos como todo elconjunto. Esta propiedad estan difcil de asumir que adop-taron esta propiedad como ladefinicin de lo que significaque un conjunto tenga cardi-nal infinito. Raro? Mucho. En los diagra-mas que acompaan este tex-to puedes comprobar que, si eltodo es el conjunto de los n-meros de contar (1,2,3,4...) yque es infinito, el subconjun-to de los PARES o los IMPA-RES o los PRIMOS es tan nu-meroso como todo el conjun-to.Por supuesto, si un conjuntoes finito es vlida la mximaaristotlica.Sin embargo, sta era slo laprimera de las sorpresas quedeparaban estas ideas a Can-tor. En la prxima lmina tedesvelaremos la continuacinde su viaje por el infinito yms all...

AULADE EL MUNDO

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Habamos dejado en nuestra ltima lmina a Cantor y Dedeking explorandoel infinito. Nos haban contado la diferencia esencial entre un conjuntoinfinito y otro finito. En los conjuntos infinitos, el todo no siempre es ma-yor que sus partes. Son conjuntos tales que, por lo menos, contienen unsubconjunto con tantos elementos como l mismo. Adems nos ensea-ron un procedimiento para saber si dos conjuntos infinitos son o no igua-les. Resultados asombrosos que rompen nuestra intuicin: por ejemplo,todos sabemos que la mitad de los nmeros son pares, y la otra mitadimpares... Sin embargo, siendo infinitos son tan numerosos como todos losnmeros juntos, pares e impares. Preprate porque esto no ha hecho sinoempezar. Abrchate el cinturn y sumrgete en el infinito...

H A S T A E L I N F I N I T OY M A S A L L A

por Lolita Brain

Probablemente el ms grande de los hallazgos de Cantor fue que los infi-nitos no son nicos. Los nmeros reales eran ms numerosos

que los naturales, y a Cantor le asalt la pregunta de sihabr algn conjunto que teniendo ms elementos quelos naturales, sea menos numeroso que los puntos delplano? O dicho de otro modo, ser el infinito de lospuntos de una recta el siguiente infinito al de los nme-ros de contar, o habr entre ellos otro nmero infinito?,

ser el CONTINUO el siguiente nmero a ALEF CERO?Cantor pens que as era, que tras el menor de los

infinitos que conocemos -ALEF CERO- vena el conti-nuo, por lo que decidi llamarlo tambien AALLEEFF UUNNOO.

Pero esto era slo una hiptesis. Ni Cantor, ninadie tras l, ha conseguido probar que lascosas sean as. Ni tampoco se ha probado locontrario. La conjetura de Cantor se denomi-na HHIIPPTTEESSIISS DDEELL CCOONNTTIINNUUOO.

LL AA HH II PP TT EE SS II SS DD EE LL CC OO NN TT II NN UU OO

lolitabrain@hotmail.com

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