matemÁticas iv
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MATEMÁTICAS IV
BLOQUE I. RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON
DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES.
1.1 Funciones y relaciones.
El concepto de función nace como una herramienta para describir la dependencia entre dos o más
variables relacionadas (distancia y tiempo, cantidad y costo, dimensión y área o volumen, etcétera);
tal dependencia se traduce a un par de conjuntos y a una correspondencia entre sus elementos,
construyéndola siempre desde el primer conjunto al segundo.
1.2 Relación y función.
Los conceptos matemáticos de relación y función están estrechamente ligados. Se asocian elementos
en dos conjuntos. Existe, una diferencia radical entre ellos: la relación permite que a cada elemento
del primer conjunto se le asocie uno o más elementos del segundo; no existen límites para ello. En
una función, para cada argumento existe una única imagen asociada a él. Así, las funciones pueden
ser llamadas también relaciones, pues lo son, pero no todas las relaciones son funciones.
EJERCICIOS
Escribe en el recuadro correspondiente función o relación, según se trate.
x Y
-3 -3
-2 -2
-1 -1
0 0
1 1
2 2
3 3
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno
Un tanque de gasolina de un auto es de 50 litros, y cuando se viaja en carretera se vacía en 4 horas
(240 min). Si el comportamiento es regular, ¿cuál es la función que relaciona la cantidad de gasolina
C en el tanque con el tiempo t (min) de viaje transcurrido? Considera el caso del auto saliendo de la
gasolinera con el tanque inicialmente lleno. También construye su gráfica.
Considera que para gastos recibes semanalmente $250 y los gastas de manera uniforme a lo largo de
cinco días que asistes a la escuela. Escribe la representación analítica de la cantidad C de dinero que
posees por día en función del tiempo t (días) al término de la jornada escolar, en el supuesto de que
lo gastes completamente en ese periodo regular. Construye su gráfica.
1.3 Representación de funciones.
Existen cuatro diferentes tipos de representar una función, las cuales poseen ventajas y desventajas,
mencionadas en la siguiente tabla:
Representación Descripción Ejemplo
Sagital o tabular Hace visible el dominio,
contradominio y rango,
además de la relación de
correspondencia entre
argumentos e imágenes. Su
limitante es que no siempre
puede representarse el
dominio completo.
Gráfica Ser muy visual es su principal
ventaja. Quedan a la vista el
dominio y rango en forma de
intervalos. La principal
desventaja es lo complejo que
puede resultar construir la
gráfica y la falta de precisión
en su lectura.
A B
-3
3
0
0
3
-3
Analítica o ecuación Generalmente es el último
paso al que se lleva la función
y permite clasificarla dentro
del campo de la matemática,
con la ventaja de aplicarle
propiedades inherentes a la
forma de la ecuación. No es
tan visual como la gráfica,
aunque es relativamente fácil
construir esta última desde la
ecuación.
𝑓(𝑡) = 3𝑡
Verbal Es descriptiva; generalmente
la construcción de una función
en un contexto específico
comienza con esta forma. Pero
trabajar con ella y determinar
los conjuntos dominios y
rango que genera implica
llevarla a otra representación.
Asociar el tiempo (segundos) la
distancia (Km) a la que cae el
relámpago.
El empleo combinado de las diferentes representaciones de una función Es lo que permite visualizar
sus propiedades, por ello la necesidad de transitar entre ellas de manera eficiente.
1.3.1 Dominio, contradominio o rango.
Se llama dominio al conjunto de números reales que se le puede asignar a la variable que expresa la
regla de correspondencia de la función y que producen un resultado definido.
La variable que participa en la regla de correspondencia de la función se le conoce como variable
independiente.
Por lo tanto, al dominio de una función se le puede definir como “el conjunto de valores que se le
puede asignar a la variable independiente y para los cuales queda definida la función”.
En la función 𝑓(𝑥) =3
𝑥−4, el dominio estará formado solamente por los valores de "𝑥" que produzcan
un resultado definido, por lo que se excluirá el caso cuando 𝑥 = 4, pues no es posible la división entre
cero.
Entonces, en las funciones racionales se debe excluir los valores de "𝑥", para los que se anula el
denominador.
En la función 𝑔(𝑥) = √9 − 𝑥2, el dominio estará formado por los valores de "𝑥" que produzcan el
resultado no negativo en el radicando (9 − 𝑥2); en este caso, el dominio está formado por todos los
valores de "𝑥", que sean menores o iguales a 3 y mayores o iguales a -3. Entonces, se concluye que:
“Las funciones que en su regla de correspondencia contienen un radical, el dominio estará
formado por el conjunto de valores que no produzcan un resultado negativo en el radicando”
Si la regla de correspondencia que define a la Función es un polinomio, entonces el dominio quedará
formado por todos los números reales, pues su estructura no presenta restricciones.
Ejemplo: La función 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 5𝑥 + 1 acepta a su dominio a todos los números reales.
“Se le contradominio o rango de una función al conjunto de valores que se obtienen cuando los
elementos del dominio son sustituidos en la regla de correspondencia de la función”.
El contradominio está formado por los valores que alcanza la función, o sea, por el conjunto de todos
los valores que toma la variable dependiente.
Una función se puede comparar con un procedimiento en el que cada uno de los valores de entrada
(dominio) se somete a una regla 𝑓(𝑥) para producir un valor de salida (contradominio o valor de 𝑦).
EJERCICIOS
Anota bajo cada gráfica si se trata de una relación o de una función.
Halla el dominio de cada una de las siguientes funciones algebraicas.
𝑓(𝑥) =𝑥
𝑥 − 2
𝑓(𝑥) = √𝑥
𝑓(𝑥) = √𝑥3
𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4
𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2
2𝑥𝑦 + 8𝑦 = 5
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 4
Grafica cada una de las funciones anteriores y escribe su contradominio.
1.4 Clasificación de las funciones.
Las funciones pueden clasificarse de diferentes maneras, según el tipo de operaciones que se tienen
que realizar para obtener sus valores, se clasifican en algebraicas y trascendentes; las primeras se
refieren a aquellas cuyas reglas de correspondencia puede ser expresada por medio de un polinomio,
una expresión racional o una expresión radical.
Las funciones trascendentales son aquellas cuyas reglas de correspondencia no es algebraica, como
las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
De acuerdo a la gráfica, las funciones se pueden clasificar en continuas y discontinuas. Para probar
que una función es continua, al momento de graficar esta, el lápiz no se levanta al momento del trazo,
ejemplo de ello es la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 y su gráfica es la mostrada en la figura.
En cambio, la gráfica de la función 𝑦 =1
𝑥, se observa que es la de la función racional, discontinua en
𝑥 = 0
Las funciones crecientes nos indican, que conforme crece 𝑥, los valores de 𝑓(𝑥) también crece.
Que una función se decreciente, significa que los valores de 𝑓(𝑥) decrecen conforme 𝑥 crece.
EJERCICIOS
Resuelve lo que se pide.
1. Investiga el significado de trascendente y explica cómo se relaciona este significado con relación
a las funciones algebraicas.
2. Presenta una gráfica que represente una función continua y en otra, una discontinua.
3. Determina para qué valor de 𝑥 la siguiente función es discontinua.
𝑓(𝑥) =𝑥2 − 16
𝑥 − 4
1.4.1 Funciones uno a uno, sobreyectivas y biyectivas y el significado de la correspondencia
biunívoca.
En los diferentes tipos de funciones, cuando se considera la forma como está asociado el dominio con
su rango, se pueden clasificar en:
Funciones uno a uno o inyectivas.
Sobreyectivas.
Biyectivas o biunívocas.
Una función es inyectiva si cada valor del dominio está relacionado con un solo valor del rango.
La función lineal 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 es un ejemplo de una función uno a uno, porque para dos valores
diferentes de su dominio se tienen exactamente dos valores diferentes exactos de su rango o
contradominio.
Por ejemplo, si 𝑥 = 1, se tiene que 𝑓(1) = −1, y si 𝑥 = 3, se tiene que 𝑓(3) = 3
Una función será sobreyectiva cuando un mismo valor del rango se corresponde con al menos
un valor del dominio.
Cuando se conoce la gráfica de una función, una manera de saber cómo están asociados los valores
de su dominio con los del rango, es aplicando la prueba de la recta horizontal, para ver en cuantos
puntos corta esta a la gráfica.
Si corta cuando menos en un solo punto a la gráfica, esta será inyectiva, en caso contrario, si corta la
gráfica en más de un punto, la función será sobreyectiva, en la cual, se asocia cuando menos un valor
del dominio.
Cuando una función cumple con las condiciones dadas tanto para las inyectivas como las
sobreyectivas, reciben el nombre de biyectivas, ejemplo de ello es la función lineal, cuya gráfica es
una recta.
Esta gráfica es:
Inyectiva porque cada valor del dominio está asociado con un valor del rango.
Sobreyectiva porque cada valor del rango está asociado con un valor del dominio.
Por lo tanto es: Biyectiva.
EJERCICIOS
Resuelve lo siguiente.
1. ¿Es biyectiva la función 𝑦 = 𝑥3? Justifica tu respuesta apoyándote con la gráfica correspondiente.
2. Clasifica cada una de las siguientes funciones como inyectivas, sobreyectivas o biyectivas según
sea el caso.
𝑦 = √𝑥 + 2
𝑦 = 9 − 𝑥2
𝑓(𝑥) =1
𝑥
𝑦 = 2𝑥3 + 1
1.5 Operaciones con funciones.
Las operaciones con funciones quedan definidas mediante las operaciones con imágenes relacionadas
con el mismo argumento.
La suma
Sean 𝒇 y 𝒈 dos funciones y supongamos que 𝑫𝒇 y 𝑫𝒈 denotan sus dominios respectivamente. La
función 𝒇 + 𝒈 estará definida por:
(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)
Así el dominio de 𝒇 + 𝒈 es 𝑫𝒇 ∩ 𝑫𝒈.
Ejemplo:
Sean 𝑓(𝑥) = 𝑥 y 𝑔(𝑥) = √𝑥. Entonces (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + √𝑥. El dominio de 𝑓 es (−∞, ∞) y el de
𝑔 es [0, ∞). Así el dominio de 𝑓 + 𝑔 es 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = (−∞, ∞) ∩ [0, ∞) = [0, ∞).
La diferencia.
Sean 𝒇 y 𝒈 dos funciones y supongamos que 𝑫𝒇 y 𝑫𝒈 denotan sus dominios respectivamente. La
función 𝒇 − 𝒈 estará definida por:
(𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)
Así el dominio de 𝒇 − 𝒈 es 𝑫𝒇 ∩ 𝑫𝒈.
Sea 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 y 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 4. Entonces (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = √𝑥 + 1 − √𝑥 − 4. El dominio de 𝑓
es [−1, ∞) y el dominio de 𝑔 es [4, ∞). El dominio de 𝑓 − 𝑔 es 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = [−1, ∞) ∩ [4, ∞) =
[4, ∞).
Multiplicación.
Sean 𝒇 y 𝒈 dos funciones y supongamos que 𝑫𝒇 y 𝑫𝒈 denotan sus dominios respectivamente. La
función 𝒇 ∙ 𝒈 estará definida por:
(𝒇 ∙ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙)
Así el dominio de 𝒇 ∙ 𝒈 es 𝑫𝒇 ∩ 𝑫𝒈.
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2. Entonces (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 𝑥2 + 4. El dominio de
𝑓 es (−∞, ∞) y el dominio de 𝑔 es (−∞, ∞). El dominio de 𝑓 − 𝑔 es 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = [−∞, ∞) ∩
(−∞, ∞) = (−∞, ∞).
División.
Sean 𝒇 y 𝒈 dos funciones y supongamos que 𝑫𝒇 y 𝑫𝒈 denotan sus dominios respectivamente. La
función 𝒇/𝒈 estará definida por:
(𝒇/𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙)/𝒈(𝒙)
Así el dominio de 𝒇/𝒈 es 𝑫𝒇 ∩ 𝑫𝒈, excluyendo los valores de 𝒙 para los cuales 𝒈(𝒙) = 𝟎.
EJERCICIOS
Tomando en cuenta las funciones componentes, elabora la operación correspondiente y grafica.
𝑓(𝑥) = 𝑥2, 𝑔(𝑥) = 1, (𝑓 + 𝑔)(𝑥) =¿ ?
𝑓(𝑥) = 𝑥2, 𝑔(𝑥) = 1, (𝑓 − 𝑔)(𝑥) =¿ ?
𝑓(𝑥) = 𝑥2, 𝑔(𝑥) = 2, (𝑓 + 𝑔)(𝑥) =¿ ?
𝑓(𝑥) =1
𝑥, 𝑔(𝑥) = 3, (𝑓 + 𝑔)(𝑥) =¿ ?
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 , 𝑔(𝑥) = 𝑥, (𝑓 + 𝑔)(𝑥) =¿ ?
BLOQUE II. APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y
TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS.
2.1 La función inversa.
Una función uno a uno asegura la formación de una segunda función al invertir los pares ordenados.
Ejemplo:
Se considera la función 𝑓: {(0,1), (1,2), (2,5), (3,10), (4,17)}, la cual es uno a uno; por lo tanto, se
puede definir la función 𝑓−1: {(1,0), (2,1), (5,2), (10,3), (17,4)}.
A esta segunda función que resulta del intercambio de su dominio y rango, se le conoce con el nombre
de función inversa.
2.1.1 Obtención de parejas ordenadas y de la regla de correspondencia.
La función y su inversa, gráficamente muestran una simetría con respecto a la recta 𝑦 = 𝑥. Así, se
expresa la función 𝑦 = 3𝑥 + 5 como un conjunto de parejas ordenadas se obtiene 𝑓 ={(−2, −1), (−1,2), (0,5), (1,8), (2,11)}, por lo tanto, las parejas ordenadas que definen a su
correspondiente función inversa son 𝑓1: {(−2, −1), (2, −1), (5,0), (8,1), (11,2)}, gráficamente
quedarían de la siguiente forma:
El procedimiento para invertir el dominio y el rango, cuando la función está definida como un
conjunto de pares ordenados, sugiere:
1. Cambiar el nombre de las variables, quedando entonces expresada la función en la forma 𝑥 =
𝑓(𝑦).
2. Se despeja la ecuación con tal de que 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Dominio y rango.
El dominio de la función dada se convierte en el rango de la función inversa, y el rango de la función
dada es el dominio de la función inversa. Toda función biunívoca tiene inversa.
EJERCICIOS
Resuelve lo siguiente.
Para cada una de las siguientes representaciones de una función determina si su inversa es también
una función.
a)
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5
c)
X -1 0 1 2 3 4
y 0 1 2 3 4 5
Traza la gráfica de las siguientes funciones y la de su correspondiente función inversa, empleando el
mismo sistema de coordenadas.
𝑥2 + 𝑦 = 1
𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2
𝑦 = 5
Dibuja la inversa de la siguiente función a partir de su rango y dominio.
2.2 Funciones especiales.
Dentro del grupo de las funciones algebraicas existen cuatro tipos que pueden clasificarse especiales,
las cuales son: la función constante, idéntica, valor absoluto y escalonada.
2.2.1 Función constante, idéntica y valor absoluto.
Una función constante es sobreyectiva, ya que el mismo valor del rango o contradominio queda
asociado con todos los valores del dominio.
Ejemplos:
𝑦 = 3, 𝑓(𝑥) = 5, 𝑦 = −2
La característica principal de las gráficas de esta función es que siempre se dibujan de forma
horizontal, por lo tanto, son paralelas al eje x; su ecuación queda de la forma 𝑦 = 𝑘.
Se llama función idéntica o identidad a la función biyectiva, cuya ecuación es 𝑦 = 𝑥. Recibe este
nombre porque su dominio es idéntico al rango o contradominio, para lo cual, su gráfica corresponde
a una recta que pasa por el origen, formando un ángulo de 45° con respecto al eje 𝑥.
La función valor absoluto tiene por ecuación 𝑦 = |𝑥|, y tiene la propiedad de que todos los elementos
del contradominio o rango siempre son positivos (𝑦 ≥ 0), esto se refiere a que los valores negativos
del contradominio cambian a valores positivos en el rango.
Obtenida de la forma tabular:
X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 4 3 2 1 0 1 2 3 4
La función escalonada se define por partes, donde cada parte corresponde a una función constante, su
representación gráfica es la siguiente:
La gráfica presenta una discontinuidad de saltos, representado por una función constante. En otras
palabras, la función escalonada se describe como aquella cuyas gráficas se forman por partes de rectas
horizontales, lo que hace se presenten la discontinuidad de saltos.
Existe otro tipo de función escalonada llamada función máximo entero, cuya gráfica está formada por
una serie de segmentos unitarios (longitud uno), faltándole a cada uno su extremo derecho, como se
muestra en la siguiente gráfica:
La función máximo entero se expresa como 𝑓(𝑥) = ⌈𝑥⌉, donde el símbolo ⌈ ⌉ denota el máximo
entero menor que, o igual a 𝑥. Por ejemplo [3.2] = 3 porque 3 es el máximo entero menor o igual a
3.2, [0.64] = 0 porque 0 es el máximo entero menor o igual a 0.64.
2.3. Funciones compuestas.
Las funciones compuestas se pueden crear cuando en la variable independiente de una de las
funciones se sustituye la regla de correspondencia de la otra función.
Por ejemplo, con la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 y la función 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1, se pueden crear diferentes
funciones compuestas, dependiendo de la función que sea tomada como la nueva variable
independiente.
1. Si la función 𝑔 se sustituye en la regla de correspondencia de la función 𝑓.
𝑦 = 𝑓[𝑔(𝑥)] = 2(𝑥2 + 1) + 3
2. Si la función 𝑓 se sustituye en la regla de correspondencia de la función 𝑔.
𝑦 = 𝑔[𝑓(𝑥)] = (2𝑥 + 3)2 − 1
3. Si la función 𝑓 se sustituye en su misma regla de correspondencia.
𝑦 = 𝑓[𝑓(𝑥)] = 2(2𝑥 + 3) + 3
4. Si la función 𝑔 se sustituye en su misma regla de correspondencia.
𝑦 = 𝑔[𝑔(𝑥)] = (𝑥2 − 1)2 − 1
La función compuesta creada por una función y su inversa siempre dará como resultado la función
identidad.
La función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5 tiene como inversa 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 − 5.
𝑓[𝑓−1(𝑥)] = (√𝑥 − 5)2
+ 5
= 𝑥 − 5 + 5
𝑦 = 𝑥 Función identidad.
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios indicados.
Traza la gráfica en cada caso e identifica el tipo de función.
a) 𝑓(𝑥) = 5
b) 𝑦 = {𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
c)𝑦 = {𝑥, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 3
3 , 𝑠𝑖 𝑥 > 3
Con la función 𝑓(𝑥) =1
3𝑥 + 5 y su correspondiente inversa, obtén la función compuesta y
comprueba que el resultado es igual a la función identidad {𝑓[𝑓−1(𝑥)] = 𝑥}
¿La gráfica del inciso b del ejercicio 1 se corresponde con la del valor absoluto? Justifica tu respuesta.
2.4 Transformación de gráficas de funciones.
Las transformaciones de las gráficas de una función ocurren cuando estas se desplazan en el plano o
se refleja con relación a una recta. El desplazamiento o reflexión produce un cambio en la regla de
correspondencia de la función, transformándola a otra que contiene valores constantes que se
identifican con el nombre de parámetros.
2.4.1 Traslaciones verticales y horizontales.
Si la función 𝑓(𝑥) se cambia por 𝑓(𝑥) + 𝑐, el parámetro c produce una traslación vertical de la gráfica
de 𝑓(𝑥). La nueva función se conocerá como 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑐
Comparando ambas gráficas, se concluye lo siguiente:
1. Si 𝑐 > 0 la gráfica se traslada hacia arriba c unidades.
2. Si 𝑐 < 0 la gráfica se traslada hacia arriba c unidades.
Si 𝑓(𝑥) se cambia por 𝑓(𝑥 + 𝑐), la gráfica 𝑓(𝑥) se desplazará horizontalmente hacia la izquierda o a
la derecha, dando origen a la formación de la nueva función transformada 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑐).
1. Si 𝑐 > 0 la gráfica se desplaza hacia la izquierda c unidades.
2. Si 𝑐 < 0 la gráfica se desplaza hacia la derecha c unidades.
2.4.2 Reflexión con respecto a los ejes y a la recta a 45°.
La ecuación de una función puede ser transformada cuando introducimos en ella el signo menos.
Existen dos formas de introducir el signo menos en la regla de correspondencia de una función.
a) Cuando se cambia 𝑓(𝑥) por 𝑓(−𝑥).
En este caso la función 𝑓(𝑥) se refleja con respecto al eje 𝑦.
b) Cuando se cambia 𝑓(𝑥) por −𝑓(𝑥)
En este caso la función 𝑓(𝑥) se refleja con respecto al eje de las 𝑥
c) La reflexión de 𝑓(𝑥) con respecto a la recta de 45°.
Se produce cuando en el mismo sistema de coordenadas se grafica la función junto con su inversa.
Si se grafica la función 𝑓(𝑥) =1
2𝑥2, en el dominio 𝑥 ≥ 0, la gráfica de su inversa será la imagen
reflejada con respecto a la recta de 45°.
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios indicados.
Tomando como base la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 grafica cada una de las siguientes funciones.
𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2
𝑦 = (𝑥 − 3)2
ℎ(𝑥) = −𝑥2 + 3
Traza la reflexión de la gráfica de la función 𝑦 = 𝑥3 con respecto a la recta de 45°.
¿Cuál es la ecuación que corresponde a la gráfica reflejada en el ejercicio anterior?
BLOQUE III. EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO CERO, UNO Y DOS.
3.1 Concepto de función polinomial.
Una función polinomial tiene la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 donde todos los
exponentes de 𝑥 son números enteros no negativos y 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1, … , 𝑎1 + 𝑎0 son números reales.
La representación general de la función poliniomial indica que, de acuerdo a la existencia del término
de la potencia con mayor exponente, se determina el grado del polinomio que forma parte de su regla
de correspondencia, así de:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 se genera:
1. La función constante (grado cero); 𝑓(𝑥) = 𝑎0, cuando 𝑛 = 0.
2. La función lineal (grado uno); 𝑓(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎0, cuando 𝑛 = 1
3. La función cuadrática (grado dos); 𝑓(𝑥) = 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, cuando 𝑛 = 2
En una función polinomial se le llama coeficiente principal al término que contiene la potencia con
el mayor exponente. Ejemplo, en la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 5𝑥2 + 7, el coeficiente principal es el
número 4 por corresponder al término de tercer grado, que es el de mayor exponente.
El dominio de las funciones polinomiales es el conjunto de los números reales. Cuando se sustituye
un valor de x en la regla de correspondencia, se obtiene un número real, pero el rango de las funciones
polinomiales no siempre será todo el conjunto de los reales, como sucede con las funciones
cuadráticas.
3.2 La función polinomial constante como caso particular de la función polinomial.
Cuando el mayor grado de la función polinomial es cero, se tiene presente un caso conocido como
función constante. Esto se debe, a que para cada valor de 𝑥 se obtendrá el mismo valor de 𝑦, lo que
asegura que la gráfica será una línea paralela al eje de las 𝑥.
Ejemplo: Si se tiene la función 𝑓(𝑥) = 4, su gráfica será una recta paralela al eje 𝑥, que dista de él 4
unidades.
3.3 La función lineal como caso particular de la función polinomial.
Cuando el polinomio de mayor exponente de una función polinomial es igual a la unidad (𝑛 = 1),
entonces se toma la función lineal 𝑓(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎0 donde 𝑎1 es el coeficiente principal.
La forma estándar de la función lineal empleada en geometría analítica es de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏,
donde el parámetro 𝑚 hace referencia a la pendiente de la recta, el cual está asociado con la
inclinación de la recta con respecto al eje 𝑥.
Simboliza la razón de cambio o de variación de los valores de la función con respecto a los de 𝑥,
como se muestra en la siguiente tabla.
X 1 3 5 9
y 1 5 9 17
El valor de la razón de cambio corresponde a 𝑚 = 2, dado que los cocientes que se obtienen entre
los incrementos de dos valores de 𝑦, con los incrementos correspondientes de 𝑥 es siempre igual a 2.
La función lineal tiene como dominio el conjunto de los números reales, al igual que como rango.
La gráfica de una función lineal corresponde a una línea recta, en la cual, se distinguen dos cantidades
fijas, conocidas como la pendiente y la ordenada en el origen que son los correspondientes parámetros
𝑚 y 𝑏 respectivamente.
3.3.1 Modelos lineales.
Las funciones lineales modelan situaciones donde se presentan variaciones directamente
proporcionales entre dos cantidades, como se observa en el ejemplo:
Si el precio de la gasolina es de $5.45, más 15% de impuesto, esto implica que el costo por litro de
gasolina es 5.45 + 0.15(0.45) = 6.27 representa la razón de cambio unitario o pendiente 𝑚 esto es:
𝑦 (𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑠𝑜𝑙𝑖𝑛𝑎)
𝑥 (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠)= 𝑚(𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜), es decir: 𝑦 = 6.27𝑥
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios indicados.
Considera la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 12𝑥 + 13
a. El grado de la función polinomial es: _________.
b. El coeficiente principal es: ___________.
c. La función corresponde a una cónica llamada: ____________.
Expresa la anterior función dada su forma estándar.
En el mismo sistema de coordenadas, indica los efectos de los parámetros obtenidos en el ejercicio
anterior, sobre la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2.
3.3 La función cuadrática, como caso particular de la función poliomial.
La funciones polinomiales de grado dos o cuadráticas, al igual que las funciones lineales son útiles
para formular problemas. Las gráficas de esta función tienen la forma de una parábola, como se
muestra en la imagen.
3.3.1 Forma estándar de la función cuadrática.
La forma estándar de una ecuación cuadrática se produce cuando la función se expresa en la forma
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, donde ℎ y 𝑘 son los valores de las coordenadas del vértice de la parábola.
Para obtener la forma estándar de la función cuadrática, a partir de la forma polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 +
𝑏𝑥 + 𝑐, se completa el trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo:
Si se quiere determinar las coordenadas del vértice de la parábola 𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥 − 2, bastará con
obtener su forma estándar, de la siguiente manera:
𝑦 = 3(𝑥2 + 2𝑥) − 2
𝑦 = 3(𝑥2 + 2𝑥 + 1) − 2 − 3(1)
𝑦 = 3(𝑥 + 1)2 − 5
De donde (−1, −5) son las coordenadas del vértice. Como 𝑎 = 3 , la parábola se abre hacia arriba y
las coordenadas del vértice corresponden a un punto mínimo.
El dominio de la función cuadrática está formado por el conjunto de los números reales. Esto significa
que la función queda definida para todo valor de x En cambio, el rango de una función cuadrática
corresponde al conjunto de valores mayores o iguales que la ordenada del vértice, si la parábola se
abre hacia arriba. O bien, al conjunto de valores menores o iguales que la ordenada de su vértice, si
se abre hacia abajo.
La gráfica de una función cuadrática se obtiene si se considera el efecto que los parámetros producen
sobre la gráfica de 𝑦 = 𝑥2, para dar origen a la nueva función transformada, así, cuando se conoce la
ecuación de la función cuadrática en la forma polinomial, es necesario escribirla en la forma estándar,
para considerar los efectos de los parámetros correspondientes.
Ejemplo:
Para graficar la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 5𝑥 + 2, se escribe en su forma estándar 𝑓(𝑥) = 2 (𝑥 +5
4)
2−
9
8
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios indicados.
Escribe en la forma estándar la función cuadrática, y grafica considerando los parámetros respectivos
2𝑥2 − 3𝑥 − 10
Reduce a la forma estándar la función 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
a. La abscisa del vértice de la parábola corresponde a la expresión _________________.
Simplifica la regla de correspondencia de la siguiente función polinomial de segundo grado 𝑓(𝑥) =1
2𝜋𝑥2 + (750 − 𝜋𝑥)(𝑥)
3.3.2 Problemas sencillos de máximos y mínimos y modelos cuadráticos.
La forma estándar de la función cuadrática es muy útil en la solución de problemas de máximos y
mínimos que se modelan con una función polinomial de segundo grado, por lo tanto, al pasar a la
forma estándar una función cuadrática, se obtienen las coordenadas del vértice de la parábola y en
consecuencia, su valor máximo o mínimo según que esta se abra hacia abajo o hacia arriba.
Se identifican como modelos cuadráticos a las funciones polinomiales de segundo grado que resultan
del planteamiento de un problema.
Las funciones de segundo grado describen las variaciones del problema que modelan. Por ejemplo:
Si la función 𝑦 = −𝑥2 + 7𝑥 − 10 representa el modelo de un problema:
a. ¿Para qué valores de x la función es igual a cero?
b. ¿En qué intervalos la función es creciente?
c. ¿En qué intervalos la función es decreciente?
d. ¿Para qué valor de x la función alcanza su valor máximo?
Para poder resolver este tipo de problemas es necesario seguir este esquema:
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios indicados.
La potencia que genera el alternador de un automóvil queda determinada por la función 𝑃 = 14𝑖 −
0.20𝑖2.
a. ¿Para qué valor de la intensidad de la corriente 𝑖, el alternador genera la potencia máxima?
b. ¿Cuál es el valor máximo de p?
c. Traza la gráfica de la función que modela el problema.
BLOQUE IV. UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE
GRADO TRES Y CUATRO.
4.1 Funciones polinomiales grado tres y cuatro.
Las funciones polinomiales de grado mayor que dos, también modelan situaciones problemáticas, de
manera similar como ocurre con las de primer y segundo grado.
Para el bosquejo de una gráfica es importante distinguir que el cero de una función equivale a
determinar el correspondiente valor de 𝑥, por donde la gráfica cruza a ese eje. Por ejemplo, la gráfica
de la función 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥, cruza al eje 𝑥 cuando 𝑓(𝑥) = 0; lo cual ocurre para valores de 𝑥 = 1, 𝑥 =
0 o 𝑥 = −1, como se observa en la gráfica.
En los intervalos donde la función es positiva, su gráfica está por arriba del eje 𝑥, 𝑦 en los intervalos
donde es negativa, su gráfica está por debajo del eje 𝑥. El signo de la función antes de cruzar al eje
𝑥, cambia después de cruzarlo.
En el ejemplo anterior, los ceros de la función se obtuvieron al resolver la ecuación que resulta cuando
𝑓(𝑥) = 0, es decir, cuando 𝑥3 − 𝑥 = 0.
Factorizando la ecuación 𝑥(𝑥2 − 1) = 0
𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0
Igualando cada factor a 0, el valor queda de la siguiente forma 𝑥 = 1, 𝑥 = 0 o 𝑥 = −1.
Los ceros reales de una función son todos los valores de x, tanto racionales como irracionales, para
los cuales la función se hace cero. Al igualar a cero la función, se genera una ecuación. A los
resultados que se obtienen al resolver la ecuación, se les conoce con el nombre de raíces de la
ecuación.
La división sintética es una técnica abreviada para dividir cualquier función 𝑓(𝑥), entre un binomio
de la forma (𝑥 − 𝑟).
Ejemplo:
Para dividir 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6 entre (𝑥 − 3), se escribe el siguiente arreglo.
El cociente de esta división es 𝑥 + 2, entonces la función dada se puede expresar en términos de sus
factores como 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2)
Factores y residuos.
Un binomio (x – r) se considerará factor de un polinomio p(x), si al dividirlo produce un residuo igual
a cero.
El binomio 𝑥 − 3 es un factor del polinomio 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 5𝑥 − 3 porque al dividirlo se produce un
residuo cero, lo que se puede comprobar evaluando el polinomio para 𝑥 = 3, o realizado la división
sintética.
Los factores del polinomio son (𝑥 − 3)(2𝑥 + 1)
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios indicados.
Realiza lo que se indica para cada una de las siguientes funciones.
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 27, 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 10𝑥2 + 9
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2, 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 64
a. Determina sus raíces.
b. Traza su gráfica.
c. Marcada en cada gráfica con rojo los valores extremos máximos y con azul los extremos
locales mínimos.
BLOQUE V. UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
5.1 Ceros racionales.
Son los números racionales que resultan de la comparación por división de los factores, del término
independiente con los factores del coeficiente principal, (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎0
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑛) para los cuales la función
polinomial se hace cero.
Ejemplo: para hallar los ceros racionales de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 4𝑥2 − 2𝑥 + 4 donde el
término constante 𝑎0 = 4 y el coeficiente principal 𝑎4 = 1 formaremos todos los posibles cocientes
que se forman con sus factores los cuales tendrán la forma de (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 4
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 1) =
±4,±2,±1
±1, los coeficientes
conducen a estos casos.
±4, ±2, ±1
Si hacemos la prueba para cada uno de ellos por medio de la división sintética, encontraremos que de
los seis posibles casos anteriores, sólo 𝑥 = 1 y 𝑥 = −2 son ceros racionales del polinomio que define
a la función dada, lo cual se muestra mediante la división sintética:
De acuerdo con los resultados se tiene que 𝑥 − 1y 𝑥 + 2 son factores de 𝑓(𝑥).
Para obtener todos los factores hacemos divisiones sucesivas con los factores encontrados:
El cociente que se obtiene es 𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 − 4, el cual se divide por el otro factor, 𝑥 + 2
El cociente que se obtiene es 𝑥2 − 2.
Concluimos entonces que la forma factorizada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 4𝑥2 − 2𝑥 + 4 es
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥2 − 2) y los ceros racionales son 𝑥 = 1 y 𝑥 = −2
El factor (𝑥2 − 2) da origen a dos ceros irracionales, los cuales se producen cuando se le iguala a
cero, obteniéndose los valores ±√2.
La gráfica es la siguiente:
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios indicados.
Encuentra los ceros racionales de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 10𝑥 − 8 mediante el empleo de la
división sintética.
a. Escribe la función en su forma factorizada.
Determina cuál de los factores que se indican son ceros de la función 𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 −
6𝑥…{𝑥1=0, 𝑥2 = 5, 𝑥3 = 2 }
a. Encuentra los ceros de la función.
b. Escribe la función en su forma factorizada.
Encuentra los ceros racionales de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥2 − 4
5.2 Ceros y raíces complejas.
Las funciones polinomiales pueden tener ceros no-reales, como sucede con la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 +
4, cuyos ceros resultan de las raíces de la ecuación 𝑥2 + 4 = 0, correspondiendo a los números
imaginarios 𝑥 = ±√4. Entonces los números 𝑥 = √−4 y 𝑥 = −√−4 son ceros de la función dada.
5.2.1 Números de ceros de una función polinomial.
Los ceros de una función resultan al resolver la ecuación correspondiente. Así, una ecuación de grado
1 tiene justamente una solución, una cuadrática dos, una cúbica 3, una cuártica 4, etcétera.
5.2.2 Factores lineales y multiplicidad.
Con relación al número de ceros de una función polinomial podemos considerar que: si r es un cero
de una función polinomial 𝑓(𝑥), entonces 𝑥 − 𝑟 es un factor de 𝑓(𝑥) concluyendo entonces que:
“Un polinomio de grado 𝑛 tiene exactamente 𝑛 factores lineales”.
“La multiplicidad de un cero de una función o de la raíz de la ecuación correspondiente, es el número
de veces que se repite como tal”.
Esto sucede cuando se producen factores lineales repetidos que se expresan como una potencia. Por
ejemplo, si (𝑥 − 3)2 resultara ser factor de una ecuación polinomial, entonces 3 será una raíz de
multiplicidad 2.
5.2.3 Resolución de ecuaciones polinomiales factorizables.
Si la ecuación polinomial es factorizable, entonces se resuelve con la propiedad del producto cero,
que consiste en igualar a cero cada uno de los factores obtenidos y resolver la ecuación formada.
Cuando se tienen ecuaciones que permiten una factorización inmediata, se evita la prueba del cero
racional.
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios indicados.
Encuentra todos los ceros de la función 𝑓(𝑥) = −6𝑥3 − 2𝑥2 − 6𝑥 − 2.
a. Los ceros racionales encontrados. _____________________
b. Los ceros no racionales encontrados. ___________________
Expresa en factores lineales la regla de correspondencia de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 7𝑥2 − 144.
a. Indica la multiplicidad de los factores encontrados.
b. Construye gráfica de la función.
Factoriza directamente por agrupación de términos, la regla de correspondencia de la función 𝑓(𝑥) =
𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥 − 10.
a. Encuentra y clasifica los ceros de la función dada.
BLOQUE VI. APLICAS FUNCIONES RACIONALES
6.1 Concepto de función racional.
Una función racional es el cociente de dos polinomios cuando éste no puede simplificarse porque los
polinomios no poseen factores comunes, y el denominador no es el polinomio cero.
Una función racional se escribe en la forma 𝑓(𝑥) =𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) donde 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) son dos funciones
polinomiales.
La función 𝑓(𝑥) =𝑥2−1
𝑥−1, no es racional puesto que 𝑥 − 1 es factor común de los dos polinomios, por
lo que se puede simplificar a 𝑥 + 1.
En cambio, las funciones 𝑓(𝑥) =1
𝑥2+1;
𝑥3+𝑥2+1
𝑥5+7𝑥 son racionales, pues los polinomios que las definen
no tienen factores comunes, por lo que no pueden simplificarse, asegurando con ello que la variable
figure en el denominador.
6.1.1 Dominio, rangos e intervalos.
Una función racional queda definida si su denominador no es el polinomio cero, lo que nos indica
que el dominio excluye los valores de la variable para los cuales el denominador se hace cero.
Los ceros del polinomio del denominador delimitan los intervalos que definen al dominio, es decir,
los valores para los cuales queda definida la función racional.
Ejemplo: el dominio de 𝑓(𝑥) =2𝑥
𝑥−2 es el conjunto de todos los números reales, excepto 𝑥 = 2
entonces los intervalos que se definen son: “El conjunto de valores menores que 2, (−∞, 2) y El
conjunto de valores mayores que 2, (2, ∞).
El rango es un subconjunto (intervalo de números reales), que corresponde a los valores de salida de
la función, el cual se visualiza en la gráfica de la función.
6.2 Gráficas de funciones racionales.
Para la gráfica de una función racional resulta útil saber que los valores que se excluyen al definir su
dominio representan rectas verticales a las que se aproxima la gráfica de la función sin tocarlas nunca.
El comportamiento local de la gráfica de una función, se puede mostrar con la ayuda de una tabla de
valores cercanos, en el entorno de los valores excluidos del dominio de la función, por ejemplo, si
queremos conocer el comportamiento local de la gráfica de la función𝑓(𝑥) =2𝑥
𝑥−2, se construye la
siguiente tabla para valores alrededor de x=2.
X 1.5 1.9 2.1 2.5
y -6 -38 42 10
Para conocer el comportamiento en infinito de la gráfica se tabulan algunos valores grandes de |𝑥|, tanto a la izquierda como a la derecha del origen de coordenadas.
X -200 -100 100 200
y 1.98 1.96 2.04 2.02
Los resultados de las tablas proporcionan información que es de utilidad para trazar la gráfica de la
función:
1. La gráfica baja para valores a la izquierda y cada vez más próximos de x=2, mientras que
para valores más próximos a x = 2, pero que están a su derecha, la gráfica sube.
2. La gráfica se aproxima a y = 2, para valores de x alejados del origen.
6.3 Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
Las asíntotas son rectas a las cuales se aproxima la gráfica, sin llegar a alcanzarlas por más grandes
que sean los valores de x o de y, según el caso, de ahí su significado “no encontrable”.
Asíntotas horizontales
Son rectas de la forma 𝑦 = 𝑘 , que se obtienen evaluando la función para grandes valores de 𝑥, y así
poder visualizar a qué valor constante se aproxima la variable 𝑦, para determinar las ecuaciones de
las rectas que corresponden a las asíntotas horizontales.
Asíntotas verticales
Son rectas de la forma 𝑥 = 𝑘 , que se generan con los valores que se excluyen del dominio de la
función.
Ejemplo:
Para obtener las asíntotas de la siguiente función racional 𝑓(𝑥) =2𝑥+1
𝑥2−𝑥−2=
2𝑥+1
(𝑥+1)(𝑥+2) primero
construimos una tabla como la que se muestra, evaluando la función para valores grandes de |𝑥|.
X -1000 -500 500 1000
y -0.0019 -0.00039 0.004 0.002
En ella se visualiza que los valores de “y” se aproximan cada vez más al cero, tanto por la izquierda
como por la derecha, de donde se concluye que la función tiene una asíntota horizontal, cuya ecuación
es y = 0.
Enseguida se toman los valores que se excluyen del dominio, por ser ceros del polinomio del
denominador, los cuales corresponden a las ecuaciones de las asíntotas verticales. En este caso son:
x = -1 y x = 2.
Las asíntotas obtenidas se muestran en la gráfica de la función dada.
EJERCICIOS
Determina las asíntotas horizontales y verticales de cada función y compruébalo gráficamente.
𝑦 =4
𝑥2 + 1
𝑓(𝑥) = −2𝑥2
6𝑥 + 1
𝑦 =2𝑥2 − 1
𝑥2 − 16
Asíntota oblicua
Son rectas inclinadas que se generan en las gráficas de las funciones racionales donde el grado del
numerador es una unidad mayor que el del denominador.
Para determinar estas asíntotas, se reescribe la función como la expresión que representa al algoritmo
de la división, una vez que ésta se realiza, y luego verificando el comportamiento de la función para
valores de x continuamente crecientes.
Por ejemplo, para determinar la asíntota oblicua de la función 𝑦 =𝑥2−𝑥+1
𝑥, primero hacemos la
división para expresar su algoritmo, quedando en la forma 𝑦 = 𝑥 − 1 +1
𝑥 , luego verificamos qué
sucede cuando los valores de “x” crecen continuamente.
Encontramos que para un crecimiento continuo de los valores de x, los valores de y se aproximan a
𝑥 − 1, pues 1
𝑥 tiende a cero. Entonces 𝑦 = 𝑥 − 1 que es la parte entera de la división sintética, se toma
como la asíntota oblicua, como se muestra en la gráfica.
Cuando en una función racional el grado del polinomio del numerador sea una unidad mayor que el
del denominador, al aplicar la división y su algoritmo, invariablemente se producirá un término que
tenderá a cero, cuando los valores de “x” crezcan continuamente.
EJERCICIOS
Realiza las actividades que se piden a continuación.
Indica cuál de las funciones racionales presenta una asíntota oblicua y grafica.
𝑦 =𝑥2 − 4
𝑥2
𝑦 =2𝑥2 + 1
𝑥 + 1
Obtén la asíntota oblicua utilizando la división sintética.
𝑓(𝑥) =3𝑥2 − 21𝑥 + 7
𝑥 − 7
BLOQUE VII. UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS.
7.1 Función exponencial.
Una función exponencial es una función trascendente cuya ecuación es de la forma 𝑦 = 𝑏𝑥 , donde 𝑥
acepta cualquier valor real y 𝑏es un número positivo distinto de 1.
La ecuación 𝑦 = 𝐴𝑏𝑥 es la forma de representación más general de una función exponencial, donde
A representa su valor inicial, cuando x = 0.
Una función exponencial presenta las siguientes características:
1. Su gráfica puede ser creciente o decreciente.
2. Las gráficas de las funciones exponenciales son continuas y cortan al eje “y” en (0,1).
3. Tienen como asíntota al eje x.
El dominio de las funciones exponenciales está formado por el conjunto de los números reales,
mientras que el rango, por todos los valores de “y” mayores que cero, es decir que, la gráfica se
presenta siempre por encima del eje x, ya que éste es su asíntota horizontal.
La gráfica de la función exponencial puede ser creciente, si la base corresponde a un número mayor
que 1, o bien puede ser decreciente, si la base es un número menor que 1, (fracción).
7.1.1 Variación exponencial.
Cuando en una función exponencial, los valores de su exponente se incrementan en una unidad,
entonces el nuevo valor de la función equivale a multiplicar al anterior por el factor b;
[𝐴𝑏𝑥 + 1 = 𝐴𝑏𝑥(𝑏)].
Valores de x y constante de la función.
Se identifica un modelo como exponencial cuando a intervalos iguales se produce una variación en
un factor constante “b”, esto nos lleva a la siguiente afirmación: Entre dos valores consecutivos de la
función, la razón que se forma es constante e igual a “b”.
Obtención de la expresión simbólica correspondiente.
El criterio del cociente de dos valores consecutivos es útil para obtener la expresión que modela a una
función exponencial cuando conocemos un conjunto de datos, generalmente en una tabla de valores,
como se puede ilustrar con el siguiente ejemplo:
En un salón de clases, un alumno se enferma de gripe y contagia a cuatro de sus compañeros en una
semana. A la siguiente semana hay 16 contagiados en cinco salones. A las tres semanas, el virus lo
tienen 64 personas de la escuela. En cuatro semanas ¿cuántas personas se habrán contagiado de gripe?
Para obtener el modelo del problema, representemos los valores en su forma tabular:
T 0 1 2 3
y 1 4 16 64
Como en la tabla el cociente entre dos resultados consecutivos de “y”, siempre es igual a 4, entonces
el modelo del problema corresponde a la función 𝑦 = 4𝑡. Para 𝑡 = 4, se obtiene que 𝑦 = 44 = 256
personas contagiadas por el virus.
Tasa y factor de crecimiento.
Una tasa se identifica como un porcentaje de aumento o disminución de un valor inicial y se puede
expresar como un porcentaje. El término “tasa” es comúnmente utilizado en matemáticas financieras,
en el cálculo del interés compuesto, por ejemplo.
En la función exponencial 𝑦 = 𝐴𝑏𝑥; 𝑏 es el factor de crecimiento. La tasa o razón de crecimiento 𝑟
se expresa como 𝑏 − 1.
Ejemplo:
Si 𝑦 = 600(1.10)𝑥 expresa el valor en x años de un objeto cuyo valor inicial fue de 600 pesos,
entonces 1.10 expresa el factor de crecimiento, el cual se puede visualizar en la siguiente secuencia
de valores obtenidos para y:
1. Para 𝑥 = 0 se tiene que 𝑦 = 600
2. Para 𝑥 = 1 se tiene que 𝑦 = 600(1.10)
3. Para 𝑥 = 2 se tiene que 𝑦 = 600 ∗ 1.10 ∗ 1.10 = 600(1.10)2, etc.
En cambio, la tasa o razón de crecimiento se refiere al incremento de la función con respecto a su
valor inicial, así tenemos que para una variación de x=1 a x=2, la tasa de crecimiento se expresa
como:
𝑟 =600(1.10)2 − 600(1.10)
600(1.10)=
600(1.10)(1.10 − 1)
600(1.10)= (1.10 − 1)
Si 1.10 = 𝑏 entonces se puede escribir en forma general que 𝑟 = 𝑏 − 1, de donde 𝑏 = 𝑟 + 1, es
decir, que el factor de crecimiento es igual a la tasa de crecimiento aumentada en una unidad.
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios indicados.
Escribe una función exponencial que satisfaga las siguientes condiciones.
a. El valor inicial es igual a 32.
b. El factor de crecimiento es igual a 4.
Si la tasa de crecimiento de una función exponencial es igual a 0.15, entonces el factor de crecimiento
es igual a: ________________.
Si se invierten en una cuenta bancaria $2,500 al 20% de interés anual durante tres años, ¿cuál es el
monto que se genera en ese periodo?
7.1.2 El número 𝑒
El número e es un número irracional al igual que el número π. Se obtuvo como el resultado del límite
de una sucesión y su valor aproximado es 𝑒 = 2.718281828 … el cual se puede obtener con una
calculadora científica. Se emplea como base de los logaritmos naturales.
7.1.2.1 Función exponencial natural.
Cuando una función exponencial tiene como base al número e, se le conoce como la función
exponencial natural y se representa con la ecuación:
𝑦 = 𝐴𝑒𝑎𝑥 la cual es {𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑎 > 0
𝐷𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑎 < 0
En finanzas, cuando una cierta cantidad de dinero (monto) se capitaliza continuamente, se emplea la
función exponencial natural para determinar el monto total (S), al cabo de un cierto tiempo (t):
𝑆 = 𝐶𝑒𝑟𝑡
Ejemplo:
Si son invertidos $100 a una tasa anual del 5% capitalizado continuamente, ¿cuál es el monto al final
de 5 años.
El resultado lo encontramos si sustituimos en la fórmula de capitalización continua los datos del
problema, quedando:
𝑆 = 100𝑒0.05(5) = 100𝑒0.25 ≈ $128.40
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios indicados.
Con ayuda de la calculadora encuentra los resultados de la expresión (1 +1
𝑛)
𝑛, para los valores de
los exponentes que se indican.
n 10 100 1000 10,000
(𝟏 +𝟏
𝒏)
𝒏
Verifica que los resultados que se obtuvieron se aproximen cada vez más al valor del número 𝑒.
7.2 Función logarítmica.
La función logarítmica es trascendente, cuya ecuación tiene la forma 𝑦 = log𝑏 𝑥; donde b es un
número positivo diferente de 1, y “x” sólo acepta valores reales positivos.
La función logarítmica es la inversa de la exponencial, esto es, que se puede pasar de una notación a
otra. Ejemplo: si se tiene la expresión exponencial 23 = 8, podemos escribir la correspondiente
expresión inversa. Para ello, únicamente cambiamos la palabra exponente por logaritmo quedando en
la forma 3 = log2 8, (3 es el logaritmo de 8 en base 2).
La función exponencial 𝑦 = 𝑏𝑥 tiene como función inversa a 𝑥 = log𝑏 𝑦.
Para pasar de la notación exponencial a la logarítmica y viceversa es fundamental identificar quien
es el exponente, ya que su nombre cambiará al de logaritmo cuando se le despeja.
Considerando que la función exponencial y la logarítmica son inversas entre sí, la gráfica de una
función de este tipo es la reflexión con respecto a la recta 𝑦 = 𝑥 de la gráfica de la función
exponencial.
Por ejemplo, si queremos graficar la función 𝑦 = log2 𝑥, podemos emplear su inversa 𝑦 = 2𝑥.
El dominio de una función logarítmica es el conjunto de los números reales positivos. El rango de la
función logarítmica es el conjunto de los números reales.
7.2.1 Logaritmos comunes y naturales.
Los logaritmos que se emplean con mayor frecuencia son:
Los logaritmos en base 10 también llamados comunes o de Briggs. La notación empleada para estos
logaritmos es “Log”, con la cual se sobreentiende que son en base 10, y los logaritmos de base e,
también llamados Naturales o Neperianos. La notación empleada para estos “Ln”, tomado de las
primeras letras de las palabras latinas logarithmus naturalis.
Con la ayuda de una calculadora podemos obtener los valores de salida para la función logarítmica
que se obtienen a partir de los valores asignados a la variable “x”. Por ejemplo, para graficar 𝑦 =
log10 𝑥, se tienen los resultados que se muestran en la tabla:
X 𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
1 2 3 4 5
y -0.3010 -0.1249 0 0.3010 0.4771 0.6020 0.6989
7.2.2 Definición y propiedades básicas.
En una expresión exponencial, cuando se quiere despejar su exponente, las reglas conocidas del
algebra no funcionan, pues se trata de una expresión clasificada como trascendente, se requiere para
el despeje del exponente de la expresión, la definición de logaritmo, esto es, cambiamos el nombre
de exponente por el de logaritmo para indicar que éste ya no estará colocado en la parte superior
derecha de la base de la potencia.
Las propiedades de los logaritmos se derivan de las propiedades de los exponentes de potencias de la
misma base, teniendo entonces que:
Ejemplo:
Despejar 𝑥 de log6 𝑥 − log6 3 = 2
Solución:
log6
𝑥
3= 2
𝑥
3= 62 = 36
𝑥 = 108
7.2.3 Cambio de base.
Para calcular el valor de logaritmos en una base distinta de 10, debemos de emplear la siguiente
fórmula:
Si queremos calcular el log25 216 con la calculadora, entonces es útil la fórmula mostrada, quedando
el resultado:
log25 216 =log 216
log 5=
2.33
0.69= 3.34
7.3 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Para resolver este tipo de ecuaciones que contienen expresiones logarítmicas y exponenciales, se
aplican las propiedades de exponentes y logaritmos, así como su relación como operaciones inversas.
Ejemplo: para resolver la siguiente ecuación exponencial 5𝑥 + 1 = 106, se procede de la siguiente
manera:
Para resolver la ecuación logarítmica ln 𝑥 + 4 = 3, se procede de la siguiente manera.
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios indicados.
Si la siguiente tabla de valores corresponde al dominio y rango de una función exponencial, escribe
la tabla que corresponde a una función logarítmica.
X 0 1 2 3
y 1 2 4 8
Haz las representaciones gráficas correspondientes a los valores de cada tabla, en el mismo sistema
de coordenadas y comprueba que son simétricas con relación a la recta. y = x
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:
𝑒𝐿𝑛(𝑥2−𝑥) = 6
1
2𝑥+1= 64
2𝑥−1 = 8
9𝑥2−𝑥 = 243
Traza la gráfica de las siguientes funciones:
𝑓(𝑥) = 4𝑥−1
𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 1
BLOQUE VIII. EMPLEAS FUNCIONES PERIÓDICAS.
8.1 Funciones periódicas.
En matemáticas, el movimiento periódico sólo puede modelarse a través de una o más funciones
periódicas. Aquéllos que describen un movimiento armónico simple (MAS) son particularmente
importantes y relativamente fáciles de comprender, ya que emplea, como posible modelo, sólo dos
funciones trigonométricas: el seno o el coseno.
Trazar el esbozo gráfico de una senoide es relativamente sencillo; basta con determinar la longitud
de su periodo para repetir a la izquierda y derecha la porción gráfica en éste. Existe también una
regularidad entre las raíces, los máximos o mínimos. Por ejemplo, las raíces están separadas entre sí
medio periodo, y de una raíz a un máximo o un mínimo existe una distancia de la cuarta parte de un
periodo.
8.2 Amplitud.
La gráfica de las funciones seno y coseno poseen siempre como rango el intervalo [−1,1]. La
introducción de un coeficiente como factor de la función amplía éste a [−𝐴, 𝐴], de forma que nos
permita modelar con esta función situaciones con diferente amplitud.
8.3 Periodo, frecuencia y fase.
Las funciones senoidales son características del movimiento armónico simple en específico. Tal
movimiento es a su vez la piedra angular para el estudio del movimiento ondulatorio, sea cual fuere
su naturaleza.
El caso de la frecuencia f en el campo de la física representa al número de ciclos que ocurren en la
unidad de tiempo (un segundo); en cambio, en el ámbito matemático sólo se visualiza como el
recíproco del periodo.
Para
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝐵𝑥, 𝑔(𝑥) = cos 𝐵𝑥
Se tiene:
𝑇 =𝐵
2𝜋, 𝑓 =
2𝜋
𝐵
Fase
𝜃 = 𝐵𝑥
En realidad la conceptualización que se da de periodo en el campo de la matemática no es equivalente
al concepto físico. Por ejemplo, para el caso de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, el periodo es 2𝜋 desde el
ámbito de la física. Pero en el contexto matemático, 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝑇) es correcta para los casos en
que 𝑇 = 2𝜋, 4𝜋, 6𝜋… Incluye el caso en que se define en física, pero es más general que la
conceptualización.
Concluyendo se tiene:
1. La fase se corresponde con el ángulo (radianes).
2. La diferencia de fase indica la longitud entre dos fases. Se obtiene restando éstas.
3. La amplitud representa la mitad de la distancia vertical que va desde el punto más alto al más
bajo de la senoide. En la ecuación aparece siempre como el valor absoluto del coeficiente de
ésta (función seno o coseno).
4. El periodos se asocia al tiempo en completar un ciclo. Gráficamente es la longitud del
intervalo que representa un ciclo completo de la curva.
5. La frecuencia es el recíproco del periodo.
EJERCICIOS
Para las siguientes funciones determina su amplitud, periodo y frecuencia.
𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑦 =2
3𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝑦 = −5 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 − 1)
𝑦 = 2 cos 𝑥 + 4
Bibliografía Eusebio Pillado Hernández. (2007). Matemáticas IV. Sonora: Colegio de Bachilleres del Estado de
Sonora.
Vásquez, P. S. (2011). Matemáticas 4. Xalapa: Nueva imagen.