antologia comentada matemáticas iv (secuencia 1 - 2015)

8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)

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ANTOLOGIA COMENTADA DEMATEMÁTICAS IV

(INTRODUCCIÓN ALCÁLCULO)

CURSO AL UE PERTENECE MATEMATICAS IV

...

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

Recopilado y Presentado por:

MM Carlos Hernández García

[email protected]

Ing. Kenninseb Lucía Ruiz Gamboa.

[email protected]

LCC Azucena América Álvarez Montejo

[email protected]

Cd. del Carmen, Campeche, 9 de Febrero de

Ciclo Escolar:

Febrero – Julio 2015

mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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1 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 2

OBJETIVO ................................................................................................................................................. 3

LECTURA 1: “ORIGEN DE LOS NÚMEROS” ...................................................................................... 5

1.1 CONJUNTOS ............................................................................................................................................... 5

COMENTARIO PARA EL ESTUDIANTE .................................................................................................. 9

VALORACIÓN CRÍTICA ......................................................................................................................... 11

Actividad 1 .............................................................................................................................................. 12

LECTURA 2: “ESCRIBIENDO, RESOLVIENDO Y GRAFICANDO DESIGUALDADES DE UNA

VARIABLE” ............................................................................................................................................. 13

1.2 DESIGUALDADES ...................................................................................................................................... 13

COMENTARIO PARA EL ESTUDIANTE ................................................................................................ 18

VALORACION CRÍTICA ......................................................................................................................... 18

Actividad 2 .............................................................................................................................................. 19

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OBJETIVO

Brindar a los estudiantes diversos elementos para conocer textos de carácter informativo y

científico, reflexionar sobre los temas de curso con el fin de aumentar su acervo cultural en el área

de Matemáticas IV (Introducción al Cálculo). Fundamentándonos en el Modelo Académico basado

en Competencias, que parte de los principios del Marco Curricular Común (MCC) establecidos en la

Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS) .

Esperando que esta Antología comentada sea de gran utilidad los docentes de Matemáticas IV

hemos realizado este producto con la finalidad de promover el gusto de la lectura esperando que el

estudiante adquiera un conocimiento básico que le permita comprender y despertar el interés sobre

los temas del área de matemáticas de este curso.


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Propósito de la secuencia didáctica:

Utiliza los números reales para resolver problemas de conteo, mediante operaciones con conjuntos;además representa la solución de las desigualdades de diferentes tipos y representa su solución de maneragráfica y por medio de intervalos. También analiza los elementos de una ecuación, con el fin de trazar sugráfica.

Competencias genéricas y atributos que se promueven:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

1.4 Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización demedios, códigos y herramientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de suspasos contribuye al alcance de un objetivo.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntosde vista de manera crítica y reflexiva.

6.1

Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entreellas de acuerdo a su relevancia y confiablidad.

6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nueva evidencias, e integranuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.

6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.8.2

Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta

dentro de distintos equipos de trabajo.

Bloque 1Operaciones con los números reales


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LECTURA 1: “ORIGEN DE LOS NÚMEROS”

1.1 CONJUNTOS

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones

comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del

500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por

Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números

irracionales. Los números negativos fueron ideados

por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente

reinventados en China poco después, pero no se

utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las

soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo

se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió

con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números

reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica

matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los

números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos

utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de George Cantor

(encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el

análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y

cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la

sistematización de los números reales en la historia, no de manera

espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y

pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann,

Cauchy y Weierstrass.

George Cantor

http://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egiptohttp://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egiptohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipciahttp://es.wikipedia.org/wiki/1000_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/1000_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/1000_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/500_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/500_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Greciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Greciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Greciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativohttp://es.wikipedia.org/wiki/Indiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Indiahttp://es.wikipedia.org/wiki/600http://es.wikipedia.org/wiki/600http://es.wikipedia.org/wiki/Chinahttp://es.wikipedia.org/wiki/Chinahttp://es.wikipedia.org/wiki/Europahttp://es.wikipedia.org/wiki/Europahttp://es.wikipedia.org/wiki/Europahttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantorhttp://es.wikipedia.org/wiki/1871http://es.wikipedia.org/wiki/1871http://es.wikipedia.org/wiki/1871http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cortaduras_de_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cortaduras_de_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrangehttp://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Weierstrasshttp://es.wikipedia.org/wiki/Weierstrasshttp://es.wikipedia.org/wiki/Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrangehttp://es.wikipedia.org/wiki/Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Cortaduras_de_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/1871http://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantorhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Europahttp://es.wikipedia.org/wiki/Chinahttp://es.wikipedia.org/wiki/600http://es.wikipedia.org/wiki/Indiahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Greciahttp://es.wikipedia.org/wiki/500_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/1000_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egipto


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Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución

de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se

consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones

armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que lesinspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima

«todo es número».

En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables

si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos

sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una

unidad común para la que las dos magnitudes tengan una

medida entera. El principio pitagórico de que todo número es

un cociente de enteros, expresaba en esta forma que

cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.

Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante

el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues

no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un triángulo rectángulo cuyos

catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide :

Si √ 2 =

es un número racional donde

está reducido a sus términos mínimos (sin factor

común) entonces 2 = .

La expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también, es decir, p=2m.

Sustituyendo obtenemos 2q²= (2m)²= 4m² , y por tanto q²=2m².

Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un

número par, esto es, q=2n. Más esto es imposible, puesto que p y q

no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor

de ambos).

Por tanto, la suposición misma de que es un número racional

debe ser falsa.

Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico:

todo número era racional, más la hipotenusa de un triángulo rectángulo

Eudoxo

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_en_el_Antiguo_Egiptohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_babil%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_babil%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_en_el_Antiguo_Egipto


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isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes

geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo

consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes. Los griegos

desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacerreferencia a valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas

inconmensurables, como la teoría de proporciones de Eudoxo. Así, los números irracionales

permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética puesto que sólo podían ser tratados

mediante el método de infinitas aproximaciones.

Por ejemplo, los pitagóricos encontraron (en

notación moderna) que si

es una aproximación a

entonces p=a+2b y q=a+b son tales que

es

una aproximación más precisa. Repitiendo el

proceso nuevamente se obtienen mayores números

que dan una mejor aproximación. Dado que las

longitudes que expresan los números irracionales

podían ser obtenidas mediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo

mediante procesos de infinitas aproximaciones, originó que durante 2000 años la teoría de losnúmeros reales fuese esencialmente geométrica, identificando los números reales con los puntos

de una línea recta.

Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el

desarrollo de la notación algebraica, lo que

permitió la manipulación y operación de

cantidades sin hacer referencia a segmentos y

longitudes. Por ejemplo, se encontraron fórmulas

para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado

de forma mecánica mediante algoritmos, los cuales

incluían raíces e incluso, en ocasiones, «números

no reales» (lo que ahora conocemos como

Los pitagóricos

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_proporciones_de_Eudoxo&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_proporciones_de_Eudoxo&action=edit&redlink=1


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COMENTARIO PARA EL ESTUDIANTE

De la lectura anterior existen muchos aspectos a reflexionar los cuales se mencionaran a

continuación:

La primera pregunta que uno se puede realizar al iniciar la lectura es ¿Por qué surgieron los

números? Los números han surgido a lo largo de la historia como una herramienta para resolver

problemas de conteo, medición, ordenación, etcétera satisfacen una necesidad, por ejemplo, el

hombre primitivo al volverse sedentario tuvo la necesidad de contar su ganado, la cantidad de frutos

o granos que tenía y a lo largo de los años sus necesidades sociales y de supervivencia se volvieron

más complejas, es decir, la necesidad de contar y administrar sus bienes se volvió sustancial.

Actualmente a los números los vemos como algo que ha existido siempre; sin embargo a través de

la lectura se ve que en cada época, cuando se introdujo algún número nuevo o grupo de números

nuevos, a menudo se suscitaban polémicas muy fuertes y estos números tardaban muchos años en

ser aceptados por la comunidad en general. Tales son los casos del cero, de los números negativos,

los números irracionales, etcétera.

Aunque no se menciona los primeros números que surgieron históricamente fueron los números

naturales , , , , ... que nos sirven para contar. Aunque el cero apareció después, es más

práctico considerarlo dentro de los números reales. Denotamos por N al conjunto de los números

naturales, es decir, 1,2, 3, 4, 5, etc.

En la lectura se habla de que a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de

las ecuaciones y la pregunta es ¿Por qué no aceptaban la existencia de otros números? Una razón

es que aún no conocían los números negativos; lo mismo sucede en nuestros días en el proceso de

aprendizaje en un niño, por ejemplo, cuando un niño está aprendiendo a restar se le dice que 2 – 3

es una operación que no se puede realizar, o sin sentido. Lo que sucede es que la respuesta no es

un número natural por lo tanto se le tiene que enseñar la existencia de otro conjunto de números.

Para poder restar cualquier par de números naturales es necesario introducir los números enteros

negativos que junto con los números naturales constituyen los números enteros, recuerda que los

números enteros se representan a través de la letra .

http://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIII


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Debes saber que los números negativos son útiles en la vida cotidiana para representar cantidades

como temperaturas por debajo del punto de congelación del agua ( C), deudas monetarias y

profundidades con relación al nivel del mar de zonas que están por debajo de éste, situaciones

contables o administrativas entre otras cosas.

En la antigüedad se enfrentaron al problema de no poder restar si se tiene sólo números naturales,

también enfrentaron al problema de no poder dividir si se tiene sólo números enteros, esta traba

es del que habla la lectura como “Proyecto pitagórico” . Por ejemplo, al dividir 7 entre 2 no se obtiene

un número entero, por lo que es necesario ampliar el conjunto de números. Por ello surgió un nuevo

conjunto de números llamados números racionales, que son aquellos que pueden escribirse como

cociente de dos números enteros, donde el denominador no es el cero.

Observemos que como todo número entero se puede escribir como el cociente de él mismo entre

uno, =

1, entonces todo número entero es un número racional.

También se menciona a los números irracionales donde los pitagóricos, se dieron cuenta de que

con una regla y un compás se podía construir segmentos cuya longitud no se podía expresar como

cociente de dos enteros. Se hace mención que en el triángulo rectángulo cuyos catetos miden , la

hipotenusa mide y este número no se puede escribir en la forma con p y

q enteros; es decir, no es un número racional gráficamente se puede

plasmar como en la imagen derecha.

Todos los números racionales pueden identificarse con puntos en una recta. El hecho de que, por

ejemplo no sea un número racional, significa que hay un punto en la recta al que no se le ha

asociado ningún número racional; de hecho, hay una infinidad de dichos puntos, por lo que es

necesario inventar otros números, llamados números irracionales, para los puntos de la recta a los

que no se les ha asociado ningún número racional. Los números irracionales algunos autores lo

representan con la letra I o Q´ Es así como surgen los números reales, que son la unión de los

números racionales e irracionales.


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Podemos observar que en la lectura se comenta la existencia de “Números no reales” estos se

originan al tratar de obtener raíz cuadrada de los números negativos; por ejemplo, no existe

ya que no hay ningún número real “X” tal que x2 = -4. Por esto, es necesario introducir más números;

y surge el conjunto de los números complejos representado por la letra C, para poder, ahora sí,

obtener la raíz cuadrada, o cualquier otra raíz, de todo número real, o más en general, de todo

número complejo.

Sin embargo el estudio de los números complejos e

imaginarios que son un subconjunto de los complejos no se

contempla en el plan curricular del nivel medio superior.

Pero en la facultad quizás los estudies ya que los números

complejos son la herramienta de trabajo del álgebra,

análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y

aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales,

aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran

importancia.

VALORACIÓN CRÍTICA

Los números surgen dada la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un

conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño, la cantidad de maíz, dividir un pan entre los

integrantes de una familia, etc) y de asignar un símbolo a una determinada cantidad de objetos. Y

han sido la base para el desarrollo de las ciencias exactas y la tecnología.

En la vida diaria tenemos que enfrentarnos a situaciones que nos exigen habilidad en el manejo de

los números a la hora de tomar decisiones en el hogar, el estudio, el trabajo, etc.

Donde la matemática “con el número” como elemento fundamental, es la base para buscar y

encontrar soluciones a muchos de los casos a los que se debe como ser racional y social.

Deberíamos hacer uso de nuestro conocimiento numérico matemático en la toma de decisiones de

nuestra vida para evitar problemas, por ejemplo: en el uso de tarjetas de crédito, manejo de

ingresos y egresos en el hogar, comprar la cantidad de tela suficiente para realizar una cortina.


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Instrucciones: Contesta lo que se te pide en base a la lectura “Origen de los números”.

1.- ¿En qué siglo se utilizó al conjunto de los números reales sin una definición concisa?

2.- ¿Quiénes hacían uso de las fracciones en la resolución de problemas prácticos?

3.- ¿Quiénes descubrieron que las que las relaciones armónicas entre las notas musicales

correspondían a cocientes de números enteros?

4.- ¿Qué desarrollaron los griegos sin hacer referencia a valores numéricos?

5.- ¿Cuál es el ejemplo que marca la lectura de un número irracional?

6.- ¿De cuántos tipos de números reales habla la lectura?

7.- Elabora una línea del tiempo apoyándose de las TICS, en el que presentes los acontecimientos

más importantes de toda la lectura.

Nombre: ________________________________________________

Grupo: ___________ Fecha: _________________ S.D. #1

ACTIVIDAD 1

PEGA EN ESTA SECCION LA LINEA DEL TIEMPO


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LECTURA 2: “ESCRIBIENDO, RESOLVIENDO Y GRAFICANDO

DESIGUALDADES DE UNA VARIABLE”

1.2 DESIGUALDADES

Introducción

Algunas veces encontrar un rango de valores

posibles para una situación es más apropiado que

encontrar un valor individual. Cuando vas

conduciendo por la autopista y ves la señal

"Límite de Velocidad 65", sabes que no significaque debes conducir a 65 mph. Podrías ir a 64 o

incluso a 59.5. A una velocidad de 55 tal vez te

toquen algunos bocinazos y gestos enojados, pero nadie te multa. Hay todo un rango de velocidades

a las que tienes permitido conducir, no sólo una. En casos como este donde hay más de una

respuesta correcta, usamos desigualdades, no ecuaciones, para representar la situación.

Las desigualdades son declaraciones matemáticas que definen un rango de valores. Son fácilmente

reconocibles porque contienen los símbolos , o ≥.

Desigualdades y Ecuaciones

Las desigualdades sin distintas a las ecuaciones, aunque puedes aplicar lo que sabes de ecuaciones

para ayudarte a entender desigualdades. Las desigualdades y las ecuaciones son ambas

declaraciones matemáticas que comparan dos valores.

Una ecuación contiene el símbolo =, que liga dos expresiones que tienen el mismo valor. Ya este

familiarizado con ecuaciones como estas: 26 = 21 + 5 y = 3 x + b, 5t = 2(t + 3). Incluso sin resolverlas,

sabes que la cantidad de lado izquierdo del signo igual tiene el mismo valor que la cantidad del lado

derecho.


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Las desigualdades son distintas. En una desigualdad, un lado de la desigualdad puede ser mayor o

menor que la cantidad del otro lado. Los símbolos matemáticos , y ≥ proveen información

sobre los tamaños relativos de las dos expresiones.

Notación Cómo Leerla Desigualdad Ejemplo

x < y “ x es menor que y ” 3 < 15

x ≤ y “ x es menor o igual que y ” número de personas presentes en la clase ≤ número de

personas inscritas en la clase

x > y “ x es mayor que y ” número de países en el mundo > número de continentes

en el mundo

x ≥ y “ x es mayor o igual que y ” 50 ≥ número de estrellas en la bandera de Estados

Unidos

Lo importante sobre las desigualdades es que tienen muchas posibles soluciones. Por ejemplo, la

desigualdad “50 ≥ número de estrellas en la bandera de Estados Unidos” es una declaración válida

para cada bandera Americana que ha ondeado — ninguna bandera ha tenido más de 50 estrellas.

También es cierto para la bandera diseñada en 1777 (13 estrellas, 50 ≥ 13), y como se veía en 1850

(30 estrellas, 50 ≥ 30), y como se ve ahora (50 estrellas, 50 ≥ 50).

Nota que la desigualdad x > y también puede escribirse como y < x . Los lados de cualquier

desigualdad pueden cambiar de lugar siempre y cuando el símbolo de desigualdad también sea

volteado.

Desigualdades en la Recta Numérica

Una forma de representar desigualdades es usando la recta numérica. En los ejemplos de abajo, losrangos de valores válidos para la desigualdad se muestran en rojo. Un punto abierto se usa para

representar relaciones ; este símbolo indica que el punto sobre la recta numérica NO está

incluido dentro del rango de valores posibles de la desigualdad. Un punto cerrado se usa para

representar ≤ y ≥, cuando los dos lados de la desigualdad PODRÍAN ser iguales. Ejemplos:


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Stan tiene más de $3.50 en su bolsillo.

La temperatura es mayor que -4º y menor que 12º.

t ≤ 19

Sumando y Restando Desigualdades

Al igual que con las ecuaciones, existen las Propiedades de la Desigualdad que nos permiten

trabajar con éste tipo de relaciones.

Empecemos con la suma y la resta de la

desigualdad simple a > b. Si queremos

sumar una cantidad C al lado izquierdo,

también tenemos que sumarla del lado

derecho para mantener válida la

desigualdad. Podemos escribir ésta propiedad como: Si a > b, entonces a + c > b + c.

La edad de las personas es un buen ejemplo para describir ésta propiedad. Por ejemplo, imagina

que conoces a dos personas: Edward y Bella. Sabes que Edward es mayor que Bella (pero no sabes

por cuántos años). Dentro de cierto número de años a partir de hoy, ¿Edward seguirá siendo mayor

que Bella? ¡Por supuesto! Edward es mayor y ambos envejecen al mismo tiempo. De forma

algebraica, podrías representar ésta desigualdad como:

Propiedades de Suma y Resta de la Desigualdad

Si a > b, entonces a + c > b + c

Si a > b, entonces a − c > b – c

http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/


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Grafiquemos en la recta numérica los enteros 5 y 2. Sabemos que 5 > 2. ¿Qué pasa si multiplicamos

ambos números por el mismo valor c=0.5? donde A=2 y B=5

Multiplicamos por .5

Nos dará el siguiente resultado:

Si tenemos que c = 0.5, podemos ver que 2.5 > 1, y AC > BC . La desigualdad se ha mantenido. A pesar

de que éste es un simple ejemplo, es válido para todos los valores donde c > 0. Esto normalmentese escribe como: Si a > b, entonces ac > bc, si c > 0.

Si tomamos los mismos dos números y los multiplicamos por -0.5, sucede algo distinto. El valor

resultante de AC =-2.5, queda más hacia la izquierda que el valor de BC =-1. La desigualdad se ha

invertido, y AC < BC . Ese patrón es válido para todas las desigualdades — si son multiplicadas por un

número negativo, la desigualdad se voltea. Esto se escribe formalmente como:

Si a > b, entonces ac < bc, si c < 0.

La Propiedad de División de la Desigualdad funciona de la misma manera. Si dividimos ambos lados

entre un número positivo, la desigualdad de conserva. Matemáticamente:

Si a > b, entonces, si c > 0.

Si dividimos ambos lados de la desigualdad entre un número negativo, la desigualdad se invierte. Si

a > b, entonces, si c < 0.

Ejemplo. Una mujer de negocios está comparando el valor de dos acciones, Goodman Rent-a-Car

(GRC) y Harris Home Construction (HHC). El lunes, GRC es más cara que HCC, pero el martes, ambas

acciones caen a la mitad de su valor. ¿Cuál es la relación que ella podría esperar entre las dos

acciones al final del martes?

A > B

A=2 B=5

A*0.5 > B*0.5

2 *0.5 5*0.5

AC > BC

B*C = 1 A*C = 2.5


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A) El valor de GRC > el valor de HHCB) El valor de HHC > el valor de GRCC) El valor de HHC = el valor de GRCD) El valor de GRC − el valor de HHC = 0

(Respuesta: Inciso A)

COMENTARIO PARA EL ESTUDIANTE

En resumen una desigualdad expresa que

dos valores no son iguales. Los símbolos >, ” indica mayor que, por ejemplo: x > 5 se lee “x mayor que 5”,

Se anexa una imagen para clarificar mejor este punto que al estudiante le causa dudas a la hora de

resolver sus ejercicios.

VALORACION CRÍTICA

Las desigualdades son de gran importancia para solucionar problemas del mundo real y se usan todo

el tiempo. Encontrar la manera de interpretar el lenguaje de las desigualdades es un proceso un

poco tedioso al principio, porque en el nivel medio superior es la primera vez que como estudiante

abordas el tema, sin embargo, es un paso importante para aprender a resolverlas en contextos

cotidianos.

Las desigualdades pueden ser usadas para modelar situaciones cotidianas. Cuando interpretes ese

tipo de problemas, empieza por identificar cómo las cantidades se relacionan una con la otra, y

luego elige el símbolo de desigualdad que sea apropiado a la situación. Cuando resuelvas estos

problemas, recuerda que la solución será un rango de posibilidades ya que las desigualdades no nos

dan sólo una respuesta, como lo hacen las ecuaciones.


20/20


Instrucciones: Expresa con desigualdades los siguientes enunciados

1.

El interés I no es mayor a $120: ______________________________________________________________

2. La distancia d es mayor que 12km, pero menor que 18km: ________________________________

3. Las edades x de los niños están desde 3 años y hasta 8 años: ______________________________

4.

El área de un terreno es mayor que 2 ha, pero menor que 3 ha: ___________________________

5.

El voltaje V es mayor o igual a 110 voltios: __________________________________________________

6.

El intervalo de temperatura, en grados Celsius, en el que se encuentra el agua en

estado líquido, a una atmósfera de presión: _________________________________________________

7. Para ángulos agudos muy cercanos a cero, los valores de su tangente son cercanos a

cero y cuando el ángulo es próximo a 90 grados, los valores de la tangente tienden a

infinito que se representa con el símbolo "∞". Por tal motivo, los valores posibles

para la tangente de un ángulo agudo son: ___________________________________________________

Contesta lo que se te pide.

8. En notación de intervalo > 7 se representa como ___________________________________ y

su representación gráfica es:

9.

Representa en forma descriptiva el siguiente intervalo [-4,2): ____________________________

10. Representa en forma descriptiva el siguiente intervalo [0,∞): _____________________________

Nombre: ________________________________________________

Grupo: ___________ Fecha: _________________ S.D. # 1

ACTIVIDAD 2