antologia comentada matemáticas iv sd2 2015

21 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015

Propsito de la secuencia didctica:

Analiza los elementos de las funciones algebraicas y las clasifica de acuerdo a su forma y presentacin analtica, su grfica y variacin; posteriormente efecta operaciones con funciones.

Competencias genricas y atributos que se promueven:

1. Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

1.4 Analiza crticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de

medios, cdigos y herramientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o grficas.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus

pasos contribuye al alcance de un objetivo.

5.2 Ordena informacin de acuerdo a categoras, jerarquas y relaciones.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de inters y relevancia general, considerando otros puntos de

vista de manera crtica y reflexiva.

6.1 Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfico y discrimina entre ellas

de acuerdo a su relevancia y confiablidad.

6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nueva evidencias, e integra

nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.

6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sinttica.

7. Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida.

7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta

dentro de distintos equipos de trabajo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y

prcticas sociales.

10.2 Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la

ubicacin de sus propias circunstancias en un contexto ms amplio.

Bloque 2 Funciones

Grfico de x2 y2 en tercera dimensin


SSEECCUUEENNCCIIAA DDIIDDCCTTIICCAA 22:: FFUUNNCCIIOONNEESS

LECTURA 1: FUNCIONES MATEMTICAS CONCEPTOS

BSICOS

2.1 ELEMENTOS DE UNA FUNCIN

Las funciones matemticas, en trminos simples,

corresponden al proceso lgico comn que se

expresa como depende de. Este proceso lgico

se aplica a todo lo que tiene relacin a un

resultado o efecto sea este medible o no en

forma cuantitativa.

Las funciones matemticas pueden referirse a

situaciones cotidianas, tales como: el valor del

consumo mensual de agua potable que depende

del nmero de metros cbicos consumidos en el

mes; el valor de un departamento que depende

del nmero de metros cuadrados construidos; la sombra proyectada por un edificio que depende

de la hora del da; el costo de una llamada telefnica que depende de su duracin; el costo de

enviar una encomienda que depende de su peso; la estatura de un nio que depende de su edad.

A modo de ejemplo, cul sera la regla que relaciona los nmeros de la derecha con los de la

izquierda en la siguiente lista?:

1 --------> 1

2 --------> 4

3 --------> 9

4 --------> 16

Los nmeros de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado": x -------> x2.


Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de

funcin). f es la regla "elevar al cuadrado el nmero".

Usualmente se emplean dos notaciones

x --------> x2 f(x) = x2

As, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16 f(a) = a2, etc.

Consideremos algunos ejemplos que constituyen funciones matemticas.

A) Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Cada persona (perteneciente al conjunto X) constituye lo que se llama la

entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y)

constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que

una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos tambin

que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

B) Correspondencia entre el conjunto de los numero reales (variable independiente) y el mismo

conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del nmero ms 3".

x -------> 2x + 3

Algunos pares de nmeros que se corresponden por medio de esta regla son:

X Y -1 ------------> 1 0 -------------> 3 1 -------------> 5 2 - ------------> 7

Estos ejemplos van introduciendo la nocin de funcin: se pretende que todos y cada uno de los

elementos del primer conjunto estn asociados a un y slo a un elemento del segundo conjunto.

Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente

elemento en Y. Un y slo a un significa que a un mismo elemento en X no le puede corresponder

dos elementos distintos en Y.

X Y

Pablo 88

Jorge 88

Marcela 55

Sergio 62

Ren 90


Ahora podemos enunciar la siguiente definicin formal:

Una funcin f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X exactamente un

elemento, llamado f(x) de un conjunto Y.

Otra definicin equivalente es: Sean X e Y dos conjuntos.

Una funcin de X en Y es una regla (o un mtodo) que asigna un (y slo un) elemento en Y a

cada elemento en X.

Usualmente X e Y son conjuntos de nmeros.

Podemos comparar una funcin con una mquina a la cual

se le introduce el elemento x y cuya salida

correspondiente es f(x).

Generalizando, si se tiene una funcin f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota

f : A -----> B (, usando X por A e Y por B f : X -----> Y)

El primer conjunto A se conoce como DOMINIO (Dom) de la funcin y

B es el CODOMINIO o CONJUNTO DE LLEGADA.

f(x) denota la IMAGEN de x bajo f, mientras que x se llama la

PREIMAGEN de f(x).

En el ejemplo B) anterior el nmero 3 es la imagen del nmero 0 bajo

f; 1 es la preimagen del nmero 5.

El RANGO o RECORRIDO (Rec) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen

cuando x vara en todo el dominio de la funcin.

Ejemplo 1. Suponga que el conjunto A es A = {1,2,3} y que el conjunto B (de llegada) es B =

{0,4,6,8,10,12} y que la relacin de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada


elemento su cudruplo". Examine y decida si esta relacin es una funcin de A en B y determine su

dominio y recorrido.

Solucin. A los elementos 1,2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los

elementos 4,8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un nico elemento

de Y, la relacin de dependencia es una funcin (funcin de A en B).

Dominio = {1,2,3} Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}

Ejemplo 2. Sea X = {-4, -1, 0, 4, 9}, Y = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia

es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raz cuadrada". Determine si esta regla

constituye funcin de X en Y.

Solucin. Se aprecia que los nmeros 0, 4, 9 tienen imagen en Y, pero a los nmeros -4 y -1 no les

corresponde elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con

elementos de Y, esta relacin no es funcin de X en Y.

COMENTARIO PARA EL ESTUDIANTE

Una funcin del conjunto A en el conjunto Y , es una relacin que asocia a cada elemento x del

conjunto A un nico elemento del conjunto Y . Si f es una funcin de A en Y, definimos f : A Y .

Si al elemento x A la funcin f le asocia el elemento y Y , entonces definimos f(x) = y.

Si f : A Y es una funcin entonces llamamos a A dominio de la funcin f, y al conjunto

Im(f) ={ y Y / f(x) = y para alguna x A }

rango o imagen de f. En este semestre estudiaremos solamente funciones cuyo dominio e imagen

son subconjuntos de R.

Por ejemplo el dominio e imagen de la funcin f(x) = x2 son los conjuntos R y [0,)

respectivamente.


VALORACIN CRITICA

Es importante recordar que para hallar el dominio no est permitido,

A. Dividir por cero.

B. Extraer races de orden par de nmero negativos.

Ejemplo del caso 1: Dividir por cero

Dado que x=1 anula al denominador, lo hace cero, por ello x=1 no se contempla en el dominio.

Ejemplo del caso 2: Extraer races de orden par de nmero negativos.

Para determinar el dominio, en problemas aplicados, es necesario considerar las

restricciones fsicas propias del problema.

Llamaremos dominio fsico al conjunto de argumentos permisibles del problema.

Por ejemplo, si A(r) = r2 es el rea de un crculo, el dominio es R, pero el dominio fsico

es el conjunto (0,), ya que no consideramos radios negativos.


Instrucciones: Subraya las ideas principales de la Lectura 1: Funciones matemticas conceptos

bsicos, y en base a lo subrayado realiza un mapa conceptual. Guate de la rbrica de mapa

conceptual para realizar tu tarea y anexa la rbrica al entregar esta actividad para que se te

califique.

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ACTIVIDAD 1


LECTURA 2: OPERACIONES CON FUNCIONES MEDIANTE

FRMULAS, TABLAS Y GRFICAS

Introduccin

La oficina de personal de una compaa cuenta con estas dos funciones:

As, para realizar el pago a los empleados necesitamos una nueva funcin: h(x)=f(x) g(x)

Como sabemos, la tasa de impuestos en artculos diferentes cambia. Por ejemplo, la leche no tiene

impuestos. La caja de una tienda se conecta a una computadora que tiene dos funciones:

Para indicar al cliente cunto tiene que pagar por un artculo, creamos una nueva funcin :

h(x)=f(x) + g(x)

Dadas dos funciones f y g, en ocasiones necesitamos nuevas funciones que consisten de

f + g, f - g, fg f/g

Operaciones de Funciones mediante Frmulas

Sean dos funciones f y g, la suma, la diferencia, el producto y el cociente para todos los valores de

x comunes a ambos dominios, se definen de la siguiente manera:

Suma (f+g)(x)=f(x)+g(x)


Diferencia (f-g)(x)=f(x) - g(x)

Producto (fg)(x)=f(x)g(x)

Cociente F/g = f(x)/g(x ) , g(x)0

Ejemplo: Hallar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las funciones

f(x)= x + 2 y g(x)= x - 2.

1. f+g

(f+g) (x) = fx + gx = (x+2) + (x-2) = x+2 + x-2 = 2x

2. f-g

( f - g ) ( x ) = f x - g x = ( x + 2 ) - ( x - 2 ) = x + 2 - x + 2 = 4

3. fg

( f g ) ( x ) = f x g x = ( x + 2 ) ( x - 2 ) = x 2 - 4

4. f/g

f/g = (x+2) /(x-2) = (x+2) /( x-2)

Operaciones de Funciones representadas como Tablas

Considere la siguiente tabla de valores que corresponde a las funciones f y g.

x -2 -1 0 1 2

f(x) -2 0 -1 -1 1

g(x) 1 1 0 2 2

Ejemplo: Usar los valores de f y g en la tabla anterior para obtener : f + g, f - g, fg y f/g .

La siguiente tabla muestra los resultados de efectuar las operaciones requeridas. Para obtener los

valores para un valor de x, simplemente aplicamos la operacin a los valores dados en la tabla de

f(x) y g(x).


f(x) g(x) (f+g)(x) (f-g)(x) (fg)(x) (f/g)(x)

-2 -2 1 -1 -3 -2 -2

-1 0 1 1 -1 0 0

0 -1 0 -1 -1 0 No definido

1 -1 2 1 -3 -2 -1

2 1 2 3 -1 2 1

Operaciones de Funciones mediante Grficas

Es posible realizar operaciones con funciones utilizando sus

grficas. Lo que hacemos es evaluar ambas funciones en los

puntos correspondientes y aplicar la operacin

correspondiente.

Ejemplo: Usar las grficas de f y g en la siguiente figura para

obtener f + g, f - g y fg.

En la seccin anterior encontramos la tabla de valores de estas funciones. Podemos utilizar estos

valores para graficar las funciones.

x f(x) g(x) (f+g)(x)

-2 -2 1 -1

-1 0 1 1

0 -1 0 -1

1 -1 2 1

2 1 2 3

x f(x) g(x) (f-g)(x)

-2 -2 1 -3

-1 0 1 -1

0 -1 0 -1

1 -1 2 -3

2 1 2 -1


x f(x) g(x) (fg)(x)

-2 -2 1 -2

-1 0 1 0

0 -1 0 0

1 -1 2 -2

2 1 2 2

Dominio y Campo de Valores

Cuando estudiamos funciones aprendimos a obtener el dominio y campo de valores de funciones.

Como al combinar funciones obtenemos nuevas funciones, estas tambin tendrn su dominio y

campo de valores. Recordemos que para combinar aritmticamente las funciones, estas deben

tener un dominio comn.

El dominio de la funcin que resulta de combinar aritmticamente dos funciones f y g, depende

del dominio de f y g, como se muestra en la siguiente tabla:

dominio de f+g dominio comn a f y g.

dominio de f-g dominio comn a f y g.

dominio defg dominio comn a f y g.

dominio de f/g dominio comn a f y g, excluyendo los valores donde g(x)=0.

Ejemplo: Dadas las siguientes funciones, f(x)= 2x, g(x)= x - 4, h= . Hallar:

1. f+g

(f+g) (x) = f(x) + g(x) = 2 x + ( x - 4 ) = 2 x + x - 4 = 3 x - 4

dominio de f Todos los nmero reales

dominio de g Todos los nmero reales

dominio de f+g Todos los nmero reales

campo de valores de f Todos los nmero reales

campo de valores de g Todos los nmero reales

campo de valores de f+g Todos los nmero reales


2. f+h

(f+ h ) (x) = f(x) + h(x) = 2 x + = 2 x +


dominio de h Los nmero reales positivos y el cero

dominio de f+h Los nmero reales positivos y el cero

campo de valores de f Todos los nmero reales

campo de valores de h Los nmero reales positivos y el cero

campo de valores de f+h Los nmero reales positivos y el cero

3. f /g

f/ g = (2x)/ ( x - 4 )


dominio de g Todos los nmero reales

dominio de f g Todos los nmero reales excepto x=4

En el tutorial de funciones racionales se cubre con detalle la forma de obtener el campo de

valores de este tipo de funciones.


En la lectura vimos operaciones de funciones con frmulas, tablas y grficas. A veces nos conviene

poner una relacin en forma de una mquina con entrada y salida.

Por ejemplo, cuando realizamos compras en una tienda, sabemos que hay una relacin entre el

producto y su precio. El cajero necesita esa relacin en forma de una mquina donde l escanea el

cdigo del producto y la mquina devuelve el precio de este producto.

Observa que el dominio en las operaciones suma, resta y multiplicacin es la interseccin del

dominio de las dos funciones; pero en la divisin el dominio resultante ser todos los reales


excepto aquel nmero que haga cero al denominador, D(F + G) =(D F D G) {X /

G(X) = 0}.

VALORACIN CRTICA

A lo largo de tu vida has aprendido a sumar, restar, multiplicar y dividir nmeros reales, haces

estas operaciones todos los das en una variedad de situaciones. En secundaria aprendiste a

realizar estas cuatro operaciones bsicas en expresiones algebraicas. Entonces, aunque no

necesitas calcular 3x2 /10x muy a menudo, sabes cmo hacerlo.

Si sabes cmo realizar las cuatro operaciones bsicas en polinomios, entonces a travs de esta

lectura te dars cuenta que puedes sumar, restar, multiplicar y dividir funciones. La notacin se

ver diferente al principio, pero luego te dars cuenta que es simplemente algebra.


Instrucciones: Hallar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las funciones

f(x)= x + 3 y g(x)= x +7 mediante frmulas. Anexa la grfica de cada operacin utilizando un

software graficador.

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ACTIVIDAD 2


LECTURA: APLICACIONES DE LAS FUNCIONES LINEALES Y

POTENCIALES

Funcin lineal

En la vida real existe un buen nmero de ocasiones en

que se pueden aplicar las funciones lineales. Las

aplicaciones ms comunes de las funciones lineales se

dan en el campo de la economa y especialmente en el

clculo de intereses y el clculo de descuentos.

En el primer caso, si un banco una cantidad

determinada a un 7% de inters, para calcular el monto total de los intereses se habr de

multiplicar el capital prestado por 7/100 = 0.07; por lo tanto la funcin ser I(x) = 0.07x pues por

un capital de 1000 euros debern pagarse I(1000) = 0.077 * 1000 = 70 euros.

De la misma manera, el clculo de descuento en unas rebajas se puede llevar a cabo mediante una

funcin lineal. Por ejemplo, si a un determinado artculo se le aplica un descuento del 25%, ello

significa que, para calcular el descuento, habr que multiplicar el precio del articulo por

25/100 = 0.25; es decir, si denominamos d(x) a la funcin de descuento, entonces d(x) = 0.25x. Por

lo tanto, si el precio del artculo fuera 160 euros, su descuento seria

d(160) = 0.25 * 160 = 40 euros.

Funcin potencial

Las funciones potenciales tienen una gran importancia

matemtica, puesto que pueden ser aplicadas en

muchos campos para describir una gran variedad de

fenmenos o procesos de crecimiento, razn por la

cual dichas funciones tambin se denominan, a

menudo, funciones de crecimiento. Por ejemplo,

aplicando funciones potenciales se pueden determinar

el crecimiento de una poblacin de bacterias en el

laboratorio, el crecimiento vegetativo de una

Funcin exponencial


determinada especie animal, el modo en que decrece la materia radiactiva o el proceso temporal

de la difusin de las enfermedades contagiosas. Las funciones potenciales tambin desempean

una importante funcin en el clculo de los intereses producidos por las cuentas bancarias, pues

mediante ellas se puede determinar, por ejemplo, el aumento monetario que experimenta una

determinada cuenta sujeta a intereses compuestos.

Una de las funciones potenciales principales es la que tiene como base el numero e, que es, como

sabemos, un numero irracional cuyos primeros decimales son: 2.71828182845904523... La funcin

ex se denomina funcin exponencial, y su aplicacin tiene especial importancia sobre todo, en la

determinacin de los procesos de descomposicin radiactiva.


Unos de los conceptos ms importantes en la matemtica es el de las funciones , ya que se

puede aplicar a numerosas situaciones de la vida cotidiana , y determinar las relaciones que

existen entre magnitudes tanto en matemtica, fsica, economa, y as poder calcular el valor

de una de ellas en funcin de otra de las que depende.

La funcin exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que el

aumento (o disminucin) en un pequeo intervalo de tiempo sea proporcional a lo que haba al

comienzo del mismo.

A continuacin se ven tres aplicaciones:

Crecimiento de poblaciones.

Inters del dinero acumulado

Desintegracin radioactiva.

VALORACION CRTICA

En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenmenos que se rigen por leyes de

crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a inters

continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, tambin las sustancias


radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegracin para producir otros tipos de

tomos y generar energa y radiaciones ionizantes.

Se llama funcin exponencial de base a aquella cuya forma genrica es f (x) = ax, siendo a un

nmero positivo distinto de 1. Por su propia definicin, toda funcin exponencial tiene por

dominio de definicin el conjunto de los nmeros reales R.

La funcin exponencial puede considerarse como la inversa de la funcin logartmica, por cuanto

se cumple que:

Un caso particularmente interesante de funcin exponencial es f (x) = ex. El nmero e, de valor

2,7182818285..., se define matemticamente como el lmite al que tiende la expresin: (1 + 1/n)n

cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este nmero es la base elegida para los

logaritmos naturales o neperianos.

La funcin ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su inters en las

descripciones fsicas y matemticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada


Instrucciones: Contesta lo que se te pide.

1.- Aplicaciones ms comunes de la funcin lineal:

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ .

2.- Una de las funciones potenciales principales es: _____________________________________

3.- En la funcin f (x) = ax, a representa un nmero positivo distinto de: __________

4.- El dominio de una funcin exponencial es: _______________________________

5.-El valor de e es: ____________________________________

6.- La funcin ex se llama: _____________________________________________________

7.- La funcin exponencial puede considerarse como la inversa de: __________________________

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ACTIVIDAD 3

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