MATEMATICAS IV – CALCULO DIFERENCIAL

UNIDAD 1

OBJETIVO: Que el estudiante aplique conocimientos matemáticos en la resolución de problemas de distintos contextos (social, natural, científico y tecnológico, entre otros)..

INDICE PRE-CALCULO:

Antecedentes del Calculo Diferencial

Los números reales y su clasificación

Intervalos: clasificación, notación y propiedades

Desigualdades

Videos y páginas web recomendados para esta unidad

Anexos

Bibliografía

UNIDAD I – PRECALCULO

1

La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar con piedras e incluso algunos historiadores la definen como “piedra en el zapato”. Desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del cálculo, o de las matemáticas. Sus orígenes se remontan a unos 2,500 años por lo menos, hasta los antiguos griegos, quienes hallaron áreas aplicando el "método de agotamiento".

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante conocer el desarrollo de todos estos conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento.

TAREA No. 1 :LOS ANTECEDENTES HISTORICOS DEL CÁLCULO DIFERENCIAL

1era parte: Realizar un resumen en Word de los antecedentes del cálculo diferencial. El resumen debe tener un mínimo de dos a un máximo de cinco cuartillas (incluyendo portada), su bibliografía correspondiente e interlineado sencillo. 2da parte: Crear un cuadro sinóptico del mismo en una cartulina para exponerlo en clase

(Rubrica de cómo será evaluada esta tarea se encuentra en la parte de Anexos de este cuadernillo)

FUENTES DE APOYO

Conamat (2009), Cálculo diferencial Primera edición, México: Editorial Pearson.El descubrimiento del Calculo:

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem/calculo.pdfAntilogía del Cálculo, CECYTEC:

http://www.cecytebc.edu.mx/HD/archivos/antologias/antologia_de_calculo.pdf

LOS NUMEROS REALES SE CLASIFICAN EN:

ENTEROS POSITIVOS NEGATIVOS RACIONALESIRRACIONALESREALES = R FRACCIONARIOSNUMERICAS O ABSOLUTAS

CONSTANTES ARBITRARIAS O PARAMETROS

VARIABLES INDEPENDIENTE O ARGUMENTO

DEPENDIENTE O FUNCION

2

REALES: son todos los números que podemos representar en la recta numérica y pueden ser: TAREA No. 2 INVESTIGUE LA DEFINICION DE LO SIGUIENTE:

NUMEROS ENTEROS:

LOS NÚMEROS POSITIVOS

LOS NÚMEROS NEGATIVOS

NÚMEROS RACIONALES:

NÚMERO IRRACIONAL

FRACCIONARIOS:

CONSTANTES Y VARIABLES

CONSTANTES En las expresiones y A= π Los numero 2 y π son constantes ya que nunca cambian. Por eso cada una se llama CONSTANTE ABSOLUTA y se le designa con números.

En la ecuación de la recta y = mx+b las constantes son las letras m y b, a las cuales se les asigna valores que permanecen durante la solución de un problema especifico y se les conoce como CONSTANTES ARBITRARIAS O PARAMETROS

VARIABLESEn las expresiones:

a las literales A y r se les llama variables

34x + 2y + 4 a las literales x y y se les llama variables

Si los valores de una variable , por ejemplo de y, depende de los de otra, por ejemplo de x.Una vez realizadas las operaciones que se indiquen, si a cada valor asignado a x le corresponde una o mas y, decimos entonces que hay una relación entre x y y.

A la variable x se le llama VARIABLE INDEPENDIENTE y a la variable y se le llama VARIABLE DEPENDEIENTE

3

EJERCICIO Clasifica los números:

Ejemplo: -6, número real, negativo, entero y racional

Definición de intervalo

Se l lama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre dos NUMEROS dados, o un número dado y el “ inf inito”

NOTA : A los números dados se les denomina extremos del intervalo

En este caso a y b que son los extremos del intervalo .

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b .

El intervalo cerrado INCLUYE a los extremos

[a, b] = a ≤ x ≤ b o bien b ≥ x ≥ a

a=numero menor b = numero mayor en una recta numérica

Ejemplo con números reales:

[-1, 3] = -1 ≤ X ≤ 3 O BIEN [ -1, 3] = 3 ≥ X ≥

4

EJERCICIOS:

1. [0, 7]

2.

3. 5 ≥ X ≥ -2

4. [-11, -3]

5. [1, 8]

6. 2 ≤ X ≤ 4

5

Intervalo abierto

Intervalo abierto , (a, b) , es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b .

El Intervalo abierto NO INCLUYE a los extremos

(a, b) = a < x < b o bien b > x > a

a=numero menor b = numero mayor en una recta numérica

EJEMPLO CON NUMEROS REALES

(-1, 3) = -1 < X < 3 O BIEN ( -1, 3) = 3 > X >

EJERCICIOS:

1. (0,5)

2. -3<X<4

3. 5>X>2

4. 6

EJERCICIOS

1. (-1,4)

2. [-1, 5]

3. -2<X<3

4. 3 ≥ X ≥ -6

5. [0, 8]

6. 3 ≤ X ≤ 7

7. 5>X> 0

7

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda , (a, b] , es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b .

El valor de a no esta incluido en el intervalo el de b si pues es cerrado

(a, b] = a < x ≤ b o bien b ≥ x > a

CON NUMEROS REALES (2, 5]

2<X≤5 O BIEN 5≥ X > 2

EJERCICIOS

1. (-1, 6]

2. -1<X≤4

3. 8 ≥ X > 3

4.

8

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha , [a, b) , es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b .

El valor de a SI esta incluido en el intervalo el de b no

[a, b) = a ≤ x < b o bien b > x ≥ a

CON NUMEROS REALES [2, 5)

2≤X<5 O BIEN 5> X ≥ 2

EJERCICIOS

1. [-4, -1)

2. -7≤X<0

3. 7>X ≥ -1

4.

9

TAREA 3

1. [-3, 2)

2. -2<X≤3

3. 0≤X<4

4. 8 ≥ X > 2

5. 6>X ≥ -2

6.

7. (-7, 6]

8.

10

Intervalo infinito abierto no contiene a su extremo izquierdo

Intervalo infinito abierto (a,+∞) no contiene a su extremo izquierdo, pero se extiende indefinidamente a su derecha.

Los extremos NO están incluidos en el intervalo NOTA: EL INFINITO SIEMPRE VA A SER INTERVALO ABIERTO

(a, +∞) = a < x o bien x > a

CON NUMEROS REALES ( 2, ∞ )

2 < X o bien X > 2

EJERCICIO

1. (-1, ∞ )

2. 3 < X

3. X > - 5

4.

11

Intervalo infinito abierto no contiene a su extremo derecho

Intervalo infinito abierto (-∞, b) no contiene a su extremo derecho, pero se extiende indefinidamente a su derecha.

Los extremos NO están incluidos en el intervalo

(-∞, b) = x < b o bien b > x

CON NUMEROS REALES (- ∞, 2 )

X < 2 o bien 2 > X

EJERCICIO

1. (- ∞, -3 )

2. X<-1

3. 3 > X

4.

TAREA 4

12

1. (- ∞, 9 )

2. - 6 < X

3.

4. X< -6

5. 7 > X

6. (9 , ∞ )

7. X > - 8

8.

Intervalo infinito cerrado que contiene a su extremo izquierdo “a”

13

Intervalo infinito cerrado [a,+∞) que contiene a su extremo izquierdo “a”, pero se extiende indefinidamente a su derecha.

El extremo a Si esta incluido mientras que el infinito No

[a, +∞) = a ≤ x o bien x ≥ a

CON NUMEROS REALES [2, ∞ )

2 ≤ X o bien X ≥ 2

EJERCICIO

1. [-6, ∞ )

2. 9 ≤ X

3. X ≥ - 1

4.

Intervalo infinito cerrado que contiene a su extremo derecho “b”

14

Intervalo infinito cerrado (-∞, b] que contiene a su extremo derecho “b”, pero se extiende indefinidamente a su derecha.

El extremo de b si esta incluido el infinito negativo No

(-∞, b] = x ≤ b o bien b ≥ b

CON NUMEROS REALES (- ∞, 2 ]

X ≤ 2 o bien 2 ≥ X

EJERCICIO

1. (- ∞, 0 ]

2. X≤ -7

3. 2 ≥ X

4.

15

Intervalo infinito

Intervalo infinito (- ∞, + ∞) se puede considerar abierto o cerrado, ya que puede contener o no contener a sus extremos a y b

Los extremos no están incluidos

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se uti l iza el signo (unión) entre el los.

EJERCICIOS

1. x < 1

2. x ≥ 1

3. x > 1

4. x ≤ 1

16

TAREA 5 :

1. (14, 65)

2. X<-13

3. [34, ∞)

4. 26 > X

5. [-1/2, 4]

6. 5≥ X > 0

17

EJERCICIO RESUELTO

SEAN A { X | -4 ≤ X < 1 }

B { X | -1 < X ≤ 4 }

C { X | 5 ≥ X > 2 }

1) ESCRIBIR EN NOTACION DE INTERVALO

A [ -4, 1) B ( -1, 4 ] C ( 2, 5 ]

2) REPRESENTE EN UNA LINEA RECTA A, B Y C

3) ESCRIBIR LA UNION Y REPRESENTACION DE A CON B CON C = AUBUC

[-4, 5] = -4 ≤ X ≤ 5 O BIEN 5 ≥ X > 4

4) ESCRIBA LA INTERSECCION DE A CON B, Y DE B CON C

A INTERSECCION CON B (-1, 1) = -1 < x < 1 = 1> x > -1

B INTERSECCION CON C (2, 4 ] = 2 < x ≤ 4 = 4 ≥ x > 2

5 ) ESCRIBIR LA UNION DE A + B - C

18

[ -4, 2 ) = -4 ≤ X < 2 = 2 > X ≥ 4

6) ESCRIBIR LA UNION DE A + C – B

[ -4, -1 ) = -4 ≤ X < 1 = 1 > X ≥ 4

[ 4, 5] = 4 ≤ X ≤ 5 = 5 ≥ X ≥ 4

EJERCICIOS

SEAN A { X | -2 ≤ X < 3 } , B { X | 0 < X ≤ 5 } Y C { X | 7 ≥ X > 1 }

1) ESCRIBIR EN NOTACION DE INTERVALO

2) REPRESENTE EN UNA LINEA RECTA A, B Y C

3) ESCRIBIR LA UNION Y REPRESENTACION DE A CON B CON C = AUBUC

4) ESCRIBA LA INTERSECCION DE A CON B, Y DE B CON C 19

A INTERSECCION CON B

B INTERSECCION CON C

5 ) ESCRIBIR LA UNION DE AUB - C

6) ESCRIBIR LA UNION DE AUC – B

SEAN A { X | X ≤ -1 } , B { X | 3 > X ≥ -3 } Y C { X | 2 < X ≤ 4 }

1) ESCRIBIR EN NOTACION DE INTERVALO

2) REPRESENTE EN UNA LINEA RECTA A, B Y C

3) ESCRIBIR LA UNION Y REPRESENTACION DE A CON B CON C = AUBUC

4) ESCRIBA LA INTERSECCION DE A CON B, Y DE B CON C

20

A INTERSECCION CON B

B INTERSECCION CON C

5 ) ESCRIBIR LA UNION DE A + B - C

6) ESCRIBIR LA UNION DE A + C – B

TAREA 6

SEAN A { X | X ≤ - 3} , B { X | 4 ≥ X > - 5 } Y C { X | X > 2 }

1) ESCRIBIR EN NOTACION DE INTERVALO

2) REPRESENTE EN UNA LINEA RECTA A, B Y C

3) ESCRIBIR LA UNION Y REPRESENTACION DE A CON B CON C = AUBUC

4) ESCRIBA LA INTERSECCION DE A CON B, Y DE B CON C

A INTERSECCION CON B

21

B INTERSECCION CON C

5 ) ESCRIBIR LA UNION DE A + B - C

6) ESCRIBIR LA UNION DE A + C – B

SEAN A { X | 2> X ≥ - 3} , B { X | 0 < X < 6 } Y C { X | 3 ≤ x }

1) ESCRIBIR EN NOTACION DE INTERVALO

2) REPRESENTE EN UNA LINEA RECTA A, B Y C

3) ESCRIBIR LA UNION Y REPRESENTACION DE A CON B CON C = AUBUC

4) ESCRIBA LA INTERSECCION DE A CON B, Y DE B CON C

A INTERSECCION CON B

B INTERSECCION CON C

5 ) ESCRIBIR LA UNION DE AUB - C

22

6) ESCRIBIR LA UNION DE AUC – B

DESIGUALDADES

Las desigualdades se usan todo el tiempo en el mundo que nos rodea — sólo debemos saber dónde buscar. Encontrar la manera de interpretar el lenguaje de las desigualdades es un paso importante para aprender a resolverlas en contextos cotidianos.

Escuchando el Lenguaje

Te encuentras con desigualdades matemáticas casi todos los días, pero tal vez no las notas porque te son familiares. Piensa en las siguientes situaciones: Límites de velocidad en la autopista, pagos mínimos en las tarjetas de crédito, el número de mensajes de texto que puedes enviar desde tu celular cada mes, el tiempo que te toma llegar a la escuela. Todas estas pueden ser representadas como desigualdades matemáticas. Y, de hecho, usas pensamiento matemático cuando consideras éstas situaciones cada día.

 

Situación Desigualdad Matemática

Límite de velocidad Velocidad legal en la autopista ≤ 65 millas por hora

Tarjeta de crédito Pago mensual≥ 10% de tu balance en el ciclo de tu factura

Mensajes de texto Número de mensajes permitido al mes ≤ 250

Tiempo de viaje Tiempo necesario para caminar hasta la escuela l ≥ 18 minutos

 Considera el siguiente problema:

Un camión de 18 ruedas se detiene sobre una balanza antes de pasar un puente. El peso límite del puente es de 65,000 libras. La cabina del camión pesa 20,000 libras, y la caja del camión pesa 12,000 libras cuando está vacía. En libras, ¿cuál es la carga que puede llevar el camión para que se le permita pasar el puente?

Este problema ofrece un límite superior — 65,000 libras — pero nos interesa encontrar todo el rango de posibilidades para el peso de la carga. Podemos representar la situación usando la siguiente desigualdad, donde c es el peso (en libras) de la carga del camión:

 

peso de la

+ peso de la caja

+ peso de la

≤ peso permitido

23

cabina carga

20,000 + 12,000 + c ≤ 65,000

 Resolviendo c en la igualdad, encontramos que c ≤ 33,000. Esto significa que el peso de la carga en el camión puede variar entre 0 y 33,000 libras y se le permitirá al camión cruzar el puente.

20,000 + 12,000 + c ≤ 65,000

20,000 + 12,000 + c – 32,000 ≤ 65,000 – 32,000

c ≤ 33,000

Entendiendo el Contexto

Cuando estás resolviendo o construyendo estas desigualdades, es importante saber qué símbolo de desigualdad vas a usar. Mira las siguientes frases que te darán una pista:

 Frase Desigualdad

“a es más que b” a > b

“a es por lo menos b” a ≥ b

“a es menos que b” a < b

“a es por lo menos b;” o

“a no es más que b”a ≤ b

 Sin embargo, muchos problemas no usan precisamente las palabras "por lo menos" o "es menos que". Entonces, ¿cómo saber qué símbolo usar en cierta situación?

 La clave consiste en pensar en el contexto del problema, y relacionar el contexto a una de las situaciones enlistadas en la tabla. El contexto se refiere a la situación cotidiana en la cual se desenvuelve el problema.

 Por ejemplo, piensa de nuevo en el problema del camión que ya resolvimos. El peso máximo permitido en el puente era de 65,000 libras. Podemos también pensar en esta relación usando el lenguaje de las desigualdades en la tabla: el peso total de la cabina, la caja y la carga no debe ser más que 65,000. Una vez que hemos identificado la relación entre las dos cantidades podemos determinar cuál es el símbolo apropiado.

Considera otro problema que requiere que pongamos atención al contexto:

Erykah ha encontrado tres pares de tenis para correr que le gustan, cuestan $150, $159, y $179. Ella ya tiene ahorrados $31, y tiene un empleo donde gana $8.50 la hora. ¿Cuántas horas debe trabajar para poder pagar cualquiera de los pares de tenis?

Nota que éste problema no nos está pidiendo encontrar el número de horas que Erykah debe trabajar para comprar cierto par de tenis — nos está preguntando por cualquiera de los pares de tenis. Ya que el par menos caro cuesta $150,

24

necesitamos crear una desigualdad que muestre cuánto debe ella trabajar para poder reunir "por lo menos $150" — o, en símbolos matemáticos, "≥ $150". Usaremos la variable h para representar el número de horas que ella trabaja.

 

Salario por hora •

Número de horas

trabajadas+ Dinero

ahorrado ≥ Precio de los tenis más baratos

($8.50 • h) + $31 ≥ $150.00

 

Podemos resolver ésta desigualdad así:

 

Ejemplo

Problema 8.5h + 31 ≥ 150

  8.5h + 31- 31 ≥ 150 – 31

  8.5h ≥ 119

   

≥

Solución h ≥ 14 

 

Erykah necesita trabajar por lo menos 14 horas para poder pagar alguno de los pares de tenis. Si ella trabaja más horas, podrá permitirse los modelos más caros.

OPERACIONES CON DESIGUALDADES

Las desigualdades lineales se resuelven exactamente como las igualdades, con una importante excepción: al multiplicar o dividir por una cantidad negativa, el signo de desigualdad se invierte.

El conjunto solución lo escribimos así: S = (--13/7]

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El conjunto solución lo escribimos así: S = (-3/8)

El conjunto solución lo escribimos así: S = (30/17, +)

Ejercicios: Resolver las siguientes desigualdades

1) 4 + 9x > –2 + 7x

2) 5 – 3x < 13 + 3x

VIDEOS Y LIGAS RELACIONADOS CON ESTA UNIDADTEMA VIDEOS EN MATH2ME Y YOU TUBE

26

Historia del cálculo diferencial

https://www.youtube.com/watch?v=wsBRrE46NUE

Newton y Leibnitz, sobre hombros de gigantes (Episodio 7, El Universo Matemático, TVE)

https://www.youtube.com/watch?v=8aDzE3-PcUo

Clasificación de los Números Reales

https://www.youtube.com/watch?v=KxFTic7DfFA

Intervalos http://www.math2me.com/playlist/pre-calculo/intervaloshttp://www.math2me.com/playlist/pre-calculo/representar-graficamente-intervaloshttp://www.math2me.com/playlist/pre-calculo/representar-matematicamente-intervalos

Desigualdades http://www.math2me.com/playlist/algebra/introduccion-a-las-desigualdadeshttp://www.math2me.com/playlist/algebra/resolver-algebraicamente-una-desigualdad-lineal-con-una-constante-e1http://www.math2me.com/playlist/algebra/resolver-algebraicamente-una-desigualdad-lineal-racional-ejercicio-1http://www.math2me.com/playlist/algebra/inecuacion-7-menor-5x-8-menor-9

ANEXOS

27

ECA1_2015Asignatura: Cálculo Diferencial Instrumento de evaluación: Lista de cotejo 1 para evaluar el

Reporte solicitado en la TAREA 1(resumen de la historia del calculo diferencial)

Alumno: Plantel: CETis No. 47

Grupo:

Profesor: Fecha: Puntaje obtenido:

Competencia a evaluar: 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

CRITERIOS A EVALUAR SI NOResumen en Word:1. El resumen se presenta sin errores gramaticales, ortográficos y de puntuación.2. La redacción tiene secuencia, claridad y precisión

3. El trabajo se entrego a tiempo. 4. Todas las fuentes de información son confiables, actualizadas y citadas correctamente Cuadro sinóptico:5. El diagrama destaca la estructura del la historia del cálculo diferencial, con categorías que permiten sintetizar la información

6. El cuadro se elaboro en forma secuencial, con coherencia, limpieza y precisión

Exposición 7.El expositor logra captar la atención de sus compañeros, con una introducción efectiva del tema 8. El expositor demuestra dominio del tema9. Los argumentos son presentados con seguridad, utilizando un tono de voz claro y pausado siempre viendo a su auditorio.

10. Complemento su exposición con comentarios y opiniones de lo expuesto en su presentación

Observaciones: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ponderación: Excelente (10 pts), 10 a 9 Si---- Bueno ( 8 pts), 8 a 7 Si---- Regular ( 6 pts), 6 Si --- Deficiente ( 5 pts), 5 a menos -----

BIBLIOGRAFIA:

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Conamat (2009), Cálculo diferencial Primera edición, México: Editorial Pearson.

http://www.vitutor.com/di/re/r4.html

https://www.amschool.edu.sv/Paes/c4.htm

http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/primeras/tema5.pdf

29