1 matemáticas iv

Cuarto Semestre

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA

Gua de Actividades del Alumno para el Desarrollo de Competencias

COLEGIO DE BACHILLERES DEL

ESTADO DE BAJA CALIFORNIA

FRANCISCO ARTURO VEGA DE LAMADRID

Gobernador del Estado de Baja California

MARA DEL ROSARIO RODRGUEZ RUBIO

Secretaria de Educacin y Bienestar Social y Directora General del ISEP del Estado de Baja California

MARCO ANTONIO ESPONDA GAXIOLA

Subsecretario de Educacin Media Superior, Superior, Formacin Docente y Evaluacin

ARCELIA GALARZA VILLARINO

Directora General del CBBC

IVN LPEZ BEZ

Director de Planeacin Acadmica del CBBC

MATEMTICAS IV

Edicin, febrero de 2012

Diseado por:

Fs. Norman Edilberto Rivera Pazos

Apoyaron en la revisin: Ing. Enrique Correa Estrella Arq. Juan Ramn Islas Sambrano M.C. Jos Alejandro Andaln Estrada Lic. Gastn Santos Cabrera Profra. Mara Lorena Mariscal Bobadilla

Actualizado por:Q.I. Melquiades Gaxiola Brambila

Edicin, febrero de 2014

Apoyaron en la revisin:

Lic. Alejandra Snchez Muuzuri Lic. Gastn Santos Cabrera Ing. Raquel Lauren Almanza Ing. Juan Andrs Vargas Rodrguez

En la realizacin del presente material, participaron:

JEFA DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS Teresa Lpez Prez

EDICIN, FEBRERO DE 2015 Gerardo Enrquez Niebla Diana Castillo Cecea

La presente edicin es propiedad del

Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California.

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra.

Este material fue elaborado bajo la coordinacin y supervisin de la

Direccin de Planeacin Acadmica del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California.

Blvd. Anhuac #936, Centro Cvico, Mexicali, B.C., Mxico.

www.cobachbc.edu.mx

En el marco de la Reforma Integral de la Educacin Media Superior, Colegio de Bachilleres del

Estado de Baja California (CBBC), se ha propuesto la meta de formar y consolidar el perfil de egreso en el

bachiller, poniendo a disposicin del alumno los elementos necesarios que le permitan crecer y

desarrollar conocimientos, habilidades, actitudes y valores para poder enfrentar los retos de un mundo

globalizado, vertiginoso, competitivo y complejo. Por tanto, es importante que el proceso educativo

implemente estrategias que contemplen actividades de aprendizaje en diversos contextos y escenarios

reales, donde el estudiante con creatividad, habilidad y destreza sepa desarrollar, movilizar y transferir

las competencias adquiridas.

En virtud de lograr lo anterior y consciente de la dificultad para que el alumnado tenga acceso a

una bibliografa adecuada, pertinente y eficaz con el entorno socio-econmico actual, el CBBC brinda la

oportunidad a los estudiantes de contar con materiales didcticos para el ptimo desarrollo de los

programas de estudio de las asignaturas que comprende el Plan de Estudios Vigente. Cabe subrayar

que, dichos materiales son producto de la participacin de docentes de la Institucin, en los cuales han

manifestado su experiencia, conocimientos y compromiso en pro de la formacin de los jvenes

bachilleres.

Los materiales didcticos se dividen en dos modalidades: Gua de Actividades del Alumno para el

Desarrollo de Competencias, dirigida a las asignaturas de los Componentes de Formacin Bsica y

Propedutica, y Gua de Aprendizaje; para las capacitaciones del Componente de Formacin para el

Trabajo. Cabe sealar que, los materiales se encuentran en un proceso permanente de revisin y

actualizacin por parte de los diferentes equipos docentes as como del equipo editorial. Las guas se

pueden consultar en la pgina Web del CBBC: www.cobachbc.edu.mx en la seccin alumnos / material

didctico.

Es necesario, hacer nfasis que la gua no debe ser tomada como la nica herramienta de trabajo

y fuente de investigacin, ya que es imprescindible que los estudiantes lleven a cabo un trabajo de

consulta en otras fuentes bibliogrficas impresas y electrnicas, material audiovisual, pginas Web,

bases de datos, entre otros recursos didcticos que apoyen su formacin y aprendizaje.

COMPETENCIAS DISCIPLINARES BSICAS DEL CAMPO DE

MATEMTICAS

1. Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos

aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de

situaciones reales, hipotticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y

los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos,

analticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las

tecnologas de la informacin y la comunicacin.

5. Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para

determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del

espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o

fenmeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y

cientficos.

BLOQUE I

RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES

CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES

CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

2 RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

Ejercicio cardiovascular

Una definicin sencilla del ejercicio cardiovascular, es todo ejercicio que aumenta la frecuencia cardaca a un

nivel donde an es posible hablar pero se empieza a sudar un poco.

Un mnimo de 20 minutos de ejercicio cardiovascular tres o cuatro das por semana tpicamente es suficiente

para mantener un buen nivel de condicionamiento fsico. Cualquier tipo de movimiento es bueno, incluso la

limpieza del hogar y la jardinera. Pero si desea adelgazar, deber realizar algn tipo de ejercicio cardiovascular

durante 30 a 45 minutos o ms, cuatro o ms das por semana.

Utiliza los criterios que definen a una funcin para establecer si una relacin dada es funcional o

no.

Describe una funcin empleando diferentes tipos de registros y refiere su dominio y rango.

Emplea la regla de correspondencia de una funcin y los valores del dominio implcito o explicito,

para obtener las imgenes correspondientes.

Aplica diferentes tipos de funciones en el anlisis de situaciones.

Utiliza operaciones entre funciones para simplificar procesos a travs de nuevas relaciones.

Aplica las nociones de relacin y funcin para describir situaciones de su entorno.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR:

Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetos que

persigue.

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin

de medios, cdigos y herramientas apropiados.

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores,

ideas y prcticas sociales.

Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos


situaciones reales hipotticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los

contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

OBJETOS DE APRENDIZAJE:

Funciones

Relaciones

Dominio

Contradominio

Imagen

Regla de correspondencia

3BLOQUE I

El programa de ejercicio cardiovascular ideal comienza con 5 a 10 minutos de precalentamiento, que incluye

movimientos suaves que aumentan levemente la frecuencia cardaca.

Luego, gradualmente pasa a realizar unos 20 minutos o ms de algn ejercicio cardiovascular, tal como

gimnasia aerbica, trote sobre tapiz rodante o caminata, hasta alcanzar lo que se denomina frecuencia

cardaca de entrenamiento. (La tabla a continuacin lo ayudar a encontrar su zona de frecuencia

cardaca deseada o zona de entrenamiento).

La frecuencia cardaca de entrenamiento es una pauta que puede ayudarlo a medir su nivel de

condicionamiento fsico antes de iniciar su programa de ejercicio y a medir su progreso tras iniciar el programa.

La frecuencia cardaca de entrenamiento tambin te indica la intensidad del ejercicio. Al comenzar un programa

de ejercicio, lo aconsejable es mantenerse cerca del lmite inferior de su zona de entrenamiento. Si haces

ejercicio con regularidad, puedes hacer ejercicio a una intensidad suficiente como para mantenerte cerca del

lmite superior de la zona de entrenamiento.

Para asegurarte de mantenerte dentro de tu zona de entrenamiento, debers tomarte el pulso cada tanto al

hacer ejercicio. Podrs encontrar el pulso en 2 lugares: en la base del pulgar de cualquiera de las dos manos (lo

que se denomina pulso radial) o de un lado del cuello (lo que se denomina pulso carotdeo). Coloca los

dedos ndice y medio sobre el pulso y cuenta el nmero de latidos en un espacio de 10 segundos. Multiplica esa

cifra por 6 para calcular el nmero de latidos por minuto. Por ejemplo, si contaste 20 latidos durante los 10

segundos, tu frecuencia cardaca ser de 120 latidos por minuto.

Haz una grfica que muestre los valores mnimo y mximo de % del ritmo cardaco mximo que es aconsejable para

un buen acondicionamiento fsico. Inserta los datos de la tabla en el mismo plano cartesiano.

Cul es el valor mnimo y mximo de edad para los cuales es til esta grfica?

Los valores obtenidos, representan el dominio o el rango de la grfica?

Cules seran los valores mximo y mnimo de % de ritmo cardaco para una persona con 28 aos?

Pregunta a tu profesor la edad que tiene y determine los valores correspondientes del % de ritmo cardaco.

4Pregunta al mdico de la escuela cul es ritmo cardaco mnimo y mximo recomendable para la

actividad fsica de jvenes de 15, 16 y 17 aos? O busca en Internet u otra fuente de informacin y agrega

estos datos a la tabla y modifica la grfica.

Si el mdico les ayuda, midan la frecuencia cardiaca de cinco de sus compaeros despus de hacer una

actividad fsica moderada (dos vueltas a la cancha corriendo o subir escaleras con paso rpido).

Ana

Yolanda

Conchita

Karla

Laura

Sofa

101 M

102 M

103 M

104 M

105 M

106 M

Equipo de volibol Grupos

Ana

Yolanda

Conchita

Karla

Laura

Sofa

101 M

102 M

103 M

104 M

105 M

106 M

Equipo de volibol Grupo

Argumentos

(elementos)

Imgenes

(elementos)

RANGO

(conjunto)

Una funcin es la regla de correspondencia que asocia cada elemento del dominio con slo un valor del

contradominio, es decir que para cada valor de y.

RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

5Toda funcin es una relacin, pero no todas las relaciones son funciones.

Grficamente quedara:

Despus de analizar los esquemas podemos concluir que:

BLOQUE I

6Formas de representar una funcin

Utilicemos el siguiente diagrama para encontrar la relacin de correspondencia entre los estados de la

repblica y sus capitales.


Si usamos la regla de correspondencia , de tal manera que A es un Estado de la Repblica y

B su capital, tendremos las parejas ordenadas:

(Michoacn, Morelia), (Jalisco, Guadalajara), (Hidalgo, Pachuca), (Sinaloa, Cualiacn), (Nayarit,

Tepic).

Su dominio est dado por los estados:

(Michoacn, Jalisco, Hidalgo, Sinaloa, Nayarit)

Su rango es:

(Morelia, Guadalajara, Pachuca, Cualiacn, Tepic)

Su contradominio es:

(Morelia, Guadalajara, Pachuca, Culiacn, Tepic, Monterrey, Coahuila)

Observa que el rango est formado por los nicos elementos que se encuentran relacionados con el

contradominio, por lo que el rango es un subconjunto del contradominio.

Por lo que podemos decir que el ejemplo anterior es una funcin, ya que a cada elemento del dominio

le corresponde nicamente un elemento del contradominio.

En las funciones se presentan 2 tipos de variables:

Variable independiente (x).

Variable dependiente (y).

Del siguiente ejemplo de pares ordenados, determinaremos si es relacin o funcin:

(-9,7), (-8, 8), (-7, 9), (-6, 10), (-5, 11).

Como en este caso los valores de la primera coordenada, que es (x) no se repiten, por tanto es una

funcin.

7BLOQUE I

a) La relacin de los datos (x, y) es una funcin?

b) La relacin de los datos (y, x) es una funcin? Explica por qu usando la regla de

correspondencia:

c) De la relacin de los pares ordenados, su dominio es:

d) De la relacin de los pares ordenados, su rango es:

Ahora mediante pares ordenados identificars si es una relacin o funcin, as como

dominio y rango:

a) (-9,7), (-8, 8), (-7, 9), (-6, 10), (-5, 11).

Como en este caso los valores de la primera coordenada, que es (x) no se repiten, es

una funcin.

b) (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6).

Funcin o relacin: _______________________


c) (6, -3), (6, -5), (4, 0), (4, -8), (5, 3).

Funcin o relacin: _______________________

d) (1, 2), (4, 2), (7, 2), (10, 2)

Funcin o relacin: _______________________

e) (5, 0), (5, 8), (5, 4), (5, -3).

Funcin o relacin: _______________________

f) (8, 7), (9, 7), (11, 7), (13, 7), (15, 7)

Funcin o relacin: _______________________

g) (2,-1), (3, -4), (5, 0), (5, 2), (6,1).

Funcin o relacin: _______________________

9BLOQUE I

Actividad 1:

11BLOQUE I

13BLOQUE I

14

Existen diferentes formas de representar a una funcin, de tal manera que estas son:


15

que

BLOQUE I

16

I. De los siguientes ejercicios determina en la recta numrica los intervalos de

manera grfica:

II. Del siguiente ejemplo de pares ordenados determina el dominio y rango.

a) (-9,7), (-8, 8), (-7, 9), (-6, 10), (-5, 11).

Su dominio es: D=[-9, -8, -7, -6, -5]

Su rango es R=[7, 8, 9, 10, 11]

b) (-2, 1), (-2, 4), (-2, 6), (-2, 8), (-2, 10), (-2, 13)

Su dominio es: D=

Su rango es R=


17

c) (2, 8), (3, 9), (4, 10), (-2, 11), (-3, 12), ( -4, 13)

Su dominio es: D=

Su rango es R=

d) (0, 1), (1, 0), (-1, 0), (2, 1), (-3, 0), (-4, 1).

Su dominio es: D=

Su rango es R=

e) (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)

Su dominio es: D=

Su rango es R=

f) (2,-1),(3, 0), (4, 1), (4,2), (5, 3), (6, 5)

Su dominio es: D=

Su rango es R=

g) (-3, 4), (-2, 2), (-1, 0), (0, 2), (1, 4), (2, 6)

Su dominio es: D=

Su rango es R=

Para encontrar los valores del Dominio y Rango en una grfica se toma en consideracin lo siguiente:

1. Para el Dominio, se toma en consideracin los valores que se tienen en el eje horizontal, es decir

desde -x a x.

2. Para el Rango, se toman los valores que hay en el eje vertical, desde los valores mnimos hasta

los mximos, es decir -y a y.

BLOQUE I


Por ejemplo:

19

Actividad 2:

Las funciones se clasifican de acuerdo con la informacin que se puede obtener de ellas: por su

representacin grfica, pueden ser algebraicas o trascendentes, por la forma de sus grficos:

continuas o discontinuas, por su monotona: crecientes o decrecientes.

Funciones algebraicas o trascendentes:

Segn la forma en que se representan matemticamente, podemos clasificarlas en:

1. Algebraicas: son aquellas que pueden formarse usando simplemente operaciones algebraicas.

2. Trascendente: Son aquellas que no son algebraicas. A esta clasificacin pertenecen las funciones

trigonomtricas, logartmicas, exponenciales, por ejemplo:

BLOQUE I

21

Segn por el comportamiento las podemos clasificar en continuas y discontinuas.

3. Continua: Son aquellas que se presentan cuando no hay ruptura para cierto valor en x.

Por ejemplo:

4. Discontinua: Son aquellas que se presentan cuando hay ruptura, un caso especial sera cuando

la funcin presenta en cierto valor de x una divisin entre cero.

Por ejemplo:

BLOQUE I

23

Tambin se da clasificacin de las funciones respecto a la relacin que existe entre dominio y

contradominio, stas son inyectivas, sobreyectivas, biyectivas.

Observa la siguiente figura:

Para saber grficamente si una funcin es de este tipo, se traza una lnea horizontal y si cruza

nicamente un slo punto se dice que la funcin es uno a uno, ejemplo de ello es la funcin lineal.

BLOQUE I

24

B. Funciones sobreyectivas: En estas funciones los valores del dominio tienen su imagen en

el contradominio; incluso ms de una imagen, pues no queda un solo valor en y sin que est

relacionado por lo menos con uno de x.

La funcin es sobreyectiva, ya que todo valor de y proviene de por lo menos una x.

Esta funcin no es inyectiva puesto que existen tres valores diferentes de x que al sustituirlos en la

funcin dan el mismo resultado, como se observa en el cruce de la funcin con el eje de las x, por

mencionar un ejemplo de ello.

C. Funciones biyectivas: Una funcin de este tipo es cuando es inyectiva y sobreyectiva a la

vez, es decir, el dominio solamente se tiene un solo valor en el contradominio y ningn valor del

contradominio sobra.


25BLOQUE I

27

Secuencia didctica 2

En cierta compaa farmacutica requieren una bandeja de nquel con dimensiones muy especficas, un

vendedor llega ofreciendo lminas de dicho metal con medidas de 40 x 20. El gerente le hace las

siguientes preguntas, mostrndole el diseo que se requiere:

a) Cul es el largo y ancho de la bandeja en funcin de la altura x?

b) Cul es la funcin que nos determina el rea de la base de la bandeja?

c) Qu funcin nos expresa el volumen de la bandeja?

BLOQUE I

28

Actividad 3:


29

Actividad 4:

perodo

BLOQUE I

BLOQUE II

APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y

TRANSFORMACIONES DE GRFICAS

32 APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRFICAS

APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y

TRANSFORMACIONES DE GRFICAS


Funcin inversa

Funcin escalonada

Funcin valor absoluto

Funcin identidad

Funcin constante

DESEMPEOS A DEMOSTRAR:

Representa el conjunto de parejas ordenadas que corresponde a funcin inversa de una funcin

dada.

Escribe la ecuacin de la relacin inversa de una funcin dada.

Seala si la relacin inversa corresponde a una funcin.

Utiliza la tabla y grfica de una funcin para trazar la grfica de su funcin inversa posible.

Resuelve problemas que involucren funciones inversas, escalonadas, valor absoluto, idntica y

constante.


Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetos que

persigue.



Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida.







Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.



Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o

estimar su comportamiento.

Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.

33BLOQUE II

La expresin h=0.42t+10 describe el crecimiento de una planta, donde t es el tiempo medido en semanas

y h se mide en centmetros. Estas plantas se cultivan en un laboratorio de Ecologa de una universidad y

estn listas para plantarse cuando tienen una altura de 10 cm.

Cul es el crecimiento de la planta 2, 4, 5, 8 y 12 semanas despus?

Cul es su grfica?

Unos bilogos han encontrado esa planta creciendo en forma silvestre en una regin aislada. Algunas de

las plantas miden 22 cm, 30 cm, 80 cm y 111 cm.

Cmo escribira una expresin matemtica para obtener el tiempo de vida (en semanas), a

partir de la longitud que han medido los bilogos?

Cul es la edad de cada una de esas plantas?

Cul es la grfica que describe el crecimiento de esas plantas?

Estas funciones son una segunda forma de obtener nuevas funciones a partir de una funcin ya

conocida. El proceso se usa comnmente para funciones trigonomtricas, logartmicas y exponenciales.

Sin embargo en funciones algebraicas tambin es posible dada una relacin F, si se intercambia el

orden de los elementos que forman cada pareja ordenada que pertenecen a F obtenindose una nueva

relacin que se denomina Funcin Inversa y se expresa como


Cualquier pareja de ordenadas de nmeros que satisfaga la ecuacin original al invertir su orden se

puede verificar.

35BLOQUE II

X y


f(x) f(x)

f(x) f(x)

Actividad 1:

37BLOQUE II

f(x) f(x)

39BLOQUE II

41BLOQUE II

43BLOQUE II

45BLOQUE II

Actividad 2:

47BLOQUE II

49BLOQUE II

51BLOQUE II

53BLOQUE II


Actividad 3:

BLOQUE III

EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES

DE GRADOS CERO, UNO Y DOS

56 EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS

EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE

GRADOS CERO, UNO Y DOS


Compara el modelo general de las funciones polinominales con los de funciones particulares y

determina si corresponden a dicha clase de funciones.

Identifica la forma polinominal de las funciones constante, lineal y cuadrtica, as como sus

grficas respectivas.

Determina si la situacin corresponde a un modelo lineal o cuadrtico empleando los criterios de

comportamiento de datos en tablas, descripcin de enunciados, tipos de grficas y

regularidades particulares observadas.

Emplea los modelos lineales y cuadrticos para describir situaciones tericas o prcticas que implican, o no, razones de crecimiento o de crecimiento constante que se asocian con dichos

modelos.


Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuanta los objetos que

persigue.

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de

medios, cdigos y herramientas apropiados.

Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos.







Formula y resuelve problemas matemticos aplicando diferentes enfoques.





Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y

las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

Elige un enfoque determinista o aleatorio para el estudio de un proceso o fenmeno, y argumenta

su pertinencia.



Modelo general de las funciones polinomiales.

Forma polinomial de funciones de grados: cero, uno y dos.

Representacin grfica de funciones de grados: cero, uno y dos.

Caractersticas de las funciones polinomiales grados: cero, uno y dos.

Parmetros de las funciones de grados: cero, uno y dos.

57BLOQUE III

Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contena 10% de

protena. La protena consista en levadura y harina de maz. Variando el porcentaje P de levadura en la mezcla

de protena se estim que el peso promedio ganado w (en gramos) de una rata en cierto perodo fue de

Construye la grfica de esta funcin. Segn la grfica, encuentra el mximo peso ganado, cul es la

cantidad de levadura que debe darse a las ratas para obtener el peso mximo?

Sugerencia: Toma valores entre 0 y 100, para P, usando el % sin convertirlo a decimal.

m

b

x

EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS58

59BLOQUE III

61BLOQUE III


se

63BLOQUE III

tp

65BLOQUE III

67BLOQUE III

69BLOQUE III

71BLOQUE III

Actividad 1:


BLOQUE III 73

Actividad 2:

BLOQUE III 75

77BLOQUE III

78

INSTRUMENTOS DE EVALUACIN DE COMPETENCIAS GENRICAS

UTILIZAS FUNCIONES

POLINOMIALES DE

GRADOS TRES Y CUATRO

UTILIZAS FUNCIONES

FACTORIZABLES EN LA

RESOLUCIN DE PROBLEMAS

80

UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE

GRADOS TRES Y CUATRO

BLOQUE IV

UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO

UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

DESEMPEOS A DEMOSTRAR (BLOQUE IV):

Reconoce el patrn de comportamiento grfico de las funciones polinomiales de grados tres y

cuatro.

Describe las propiedades geomtricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro.

Utiliza transformaciones algebraicas y propiedades geomtricas para obtener la solucin de

ecuaciones factorizables y representar grficamente las funciones polinomiales de grados tres y

cuatro en la resolucin de problemas.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR (BLOQUE IV):


persigue.



Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos.








Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta

con modelos establecidos o situaciones reales.

Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o

variacionales mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin

y comunicacin.




OBJETOS DE APRENDIZAJE (BLOQUE IV):

Modelo matemtico de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.

Propiedades geomtricas de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.

Mtodos de solucin de las ecuaciones factorizables asociadas a una funcin

polinomial de grados: tres y cuatro.

Comportamiento de la grfica de una funcin polinomial en funcin de los valores

que toman sus parmetros.

Representacin grfica de funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.

81BLOQUE IV, V

UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN

LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

BLOQUE V

DESEMPEOS A DEMOSTRAR (BLOQUE V):

Utiliza consecutivamente los teoremas del factor y del residuo, y la divisin sinttica, para hallar

los ceros reales de funciones polinomiales.

Emplea la divisin sinttica para obtener en forma abreviada el cociente y el residuo de la divisin

de un polinomio entre un binomio de la forma x - a.

Emplea la prueba del cero racional, el teorema fundamental del lgebra y el teorema de la

factorizacin lineal para hallar los ceros de una funcin polinomial factorizable.

Aplica y combina las tcnicas y procedimientos para la factorizacin y la obtencin algebraica y

grfica de ceros de funciones polinomiales, en la resolucin de problemas tericos o prcticos

COMPETENCIAS A DESARROLLAR (BLOQUE V):


persigue.



Sustenta una postura personal sobre temas de inters y relevancia general, considerando otros

puntos de vista de manera crtica y reflexiva.







Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o

variacionales mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la

informacin y comunicacin.




OBJETOS DE APRENDIZAJE (BLOQUE V):

Ceros y races de la funcin.

Teoremas del factor y del residuo.

Divisin sinttica.

Teorema fundamental del lgebra.

Teorema de factorizacin lineal.

Grficas de funciones polinomiales factorizables.

82UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO


BLOQUE IV, V 83

BLOQUE IV, V 85

BLOQUE IV, V 87



Actividad 1:

BLOQUE IV, V 89

BLOQUE IV, V 91

BLOQUE IV, V 93

BLOQUE IV, V 95

:

BLOQUE IV, V 97

Actividad 1:



Actividad 3:

Actividad 2:

BLOQUE IV, V 99

BLOQUE VII

UTILIZAS FUNCIONES

EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

122 UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALESY LOGARTMICAS


A partir de la expresin de la funcin exponencial decide si sta es creciente o decreciente.

Obtiene valores de funciones exponenciales y logartmicas, utilizando tablas o calculadora.

Traza las grficas de funciones exponenciales tabulando valores y las utiliza para obtener

grficas de funciones logartmicas.

Utiliza las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales y

logartmicas.



persigue.



Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida.











Funcin exponencial.

Funcin logartmica.

Grfica de la funcin exponencial y logartmica.

Propiedades de los exponentes.

Propiedades de los logaritmos.

Cambio de una expresin exponencial a una logartmica y viceversa.

Ecuaciones exponenciales.

Ecuaciones logartmicas.

123BLOQUE VII

Ser posible saber esta informacin a partir de la funcin mostrada?

Ayudara a responder alguna de esas preguntas o todas, la construccin de la grfica?

(Problema basado en uno propuesto en el libro Preclculo de Stewart, J., Ed. Thompson, 2001).

Son aquellas funciones en las que el exponente es una variable y se caracteriza por una constante + -

elevada a una variable (son biunvocas porque crece en exponente x y decrece en exponentes x ).

Su notacin est dada de 2 formas:

Un bilogo ha estudiado cierta poblacin de aves en una isla de Pascua (Sabe dnde est esa

isla?). Dicha poblacin est limitada de acuerdo al tipo de hbitat necesario para la anidacin. Segn

los datos que ha obtenido desde que lleg a la isla, la poblacin se puede calcular mediante la

expresin:

donde t se mide en aos.

De vuelta a la universidad, el bilogo les dice a sus estudiantes que obtengan:

a) La poblacin inicial de aves que haba en la isla a partir de la ecuacin.

b) El tamao al que tendera la poblacin al transcurrir los aos.

c) El tiempo en el que la poblacin se habr reducido a la mitad de la inicial.

UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS124

Este tipo de funciones tienen una amplia variedad de usos, tales como crecimiento de poblacin,

crecimiento en problemas de salud, entre otros.

Estas funciones exponenciales, se pueden representar de las siguientes maneras:

BLOQUE VII 125

am

an

am + n

am

an

am - n

1

am

a - m

BLOQUE VII 127

1a 0

(a )n

ma

n m

a n m

a n

m

a n

a n

1


BLOQUE VII 129


Actividad 1:

BLOQUE VII 131

BLOQUE VII 133

Qu relacin existe entre la forma de la curva y la funcin?

Cmo se puede determinar el crecimiento o decrecimiento de una funcin exponencial a

partir de su expresin algebraica?

2. En enero de 2010 adquiriste un automvil en $110,000.00. Si cada ao su valor se disminuye en

11%.

a) Encuentra la ecuacin que determina la depreciacin del automvil.

b) Cunto valdr el automvil para el ao 2015?

3. Un producto derivado de la familia de las cipermetrinas se usa para aniquilar parsitos que

destruyen a las plantas del jardn. La funcin proporciona la cantidad de

parsitos que sobreviven al cabo de t horas despus de la aplicacin.

a) Cul es la cantidad inicial de parsitos?

b) Cul es la cantidad presente despus de 4 horas


BLOQUE VII 135

BLOQUE VII 137

BLOQUE VII 139

BLOQUE VII 141

BLOQUE VII 143

++

+

0.6019


BLOQUE VII 145

Actividad 2:


( )

BLOQUE VII 147

2.- Encuentra lo que se te pide:

a) Usando las propiedades de los logaritmos, realiza los siguientes ejercicios:

BLOQUE VII 149

Actividad 3:

BLOQUE 2 MATEMATICASBLOQUE 3 MATEMATICASBLOQUE 4 Y 5 MATEMATICASBLOQUE 6 MATEMATICASBLOQUE 7 MATEMATICASBLOQUE 8 MATEMATICAS

1 matemáticas iv

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