Matemáticas IV

PREPARATORIAABIERTA'

El contenido académico de este texto es exclusiva responsabilidad delInstituto Tecnológico y de Estudios Superiores' de Monterrey y su índicepertenece al programa correspondiente al plan de estudiGs del nivel mediosuperior, para la materia de:

MATEMATICA

UNIDADESXIII-. XVI.AUTORES: Humberto Cantú Salinas,

Moisés Galicia Arrambide,Héctor Paz Estrada.

REVISO:

COMITEACADEMICO:

Jaime Navarro Cuevas.

Gustavo Mendo2;oGonzález,Humberto Cantú Salinas, .

Roberto García Martínez,.Moisés Galicia Arrambide,Héctor Paz Es'trada. .

COLABORO: Andrés Ramírez y Villa.

Laeducación. es una responsabilidad compartida y en consecuen-cia invitamos atentamente a toda persona interesada en colabo-rar para resolver la problemética educativa, a que remita suscomentarios, crfticas y sugerencias con respecto a esta Qbra a laDirección General de Educación Extraescolar de la SEP, CALLELAGOBANGUEOLONo. 24, COL GRANADADELEGACiÓNMI-GUELHIDALGO,C. P. 11620 MÉXICO,D. F.

Sus aportaciones seré n apreciadas en todo lo que valen y permiti-rén perfeccionar y adecuar perm8nenteménte estos materiales alas cambiante$ condiciones de la época actual.

@ SEP, 1983DERECHOS RESERVADOS

Indice

PROLOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '. 13Instruccionesparael Alumno ., 15

UNIDAD XIII. Funciones circulares ., 17Introducci ón '.. 19Objetivos Generales. '. . . . . . , . . . . . . '. . . . .' . . . , . . . . . . . . . .. 20Diagrama temática estructural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21Glosario. . . . . . . . . . . . . . .' . : . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22Módulo 1 'C' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 23

Objetivos Espec íficos' ' 23Esquema-Resumen. . ; . . . . . . . ! . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. 23Contenido:1.1. Lacircunferenciaunitar:ia l' .. 24

1-..1.1. Distanciaentre dos puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 241.1.2. Circunferencia unitaria , 30

1.2. Funcionescirculares. . . . . . . . . . . .''. . . . . . .'. . . . . . .. 321.2.1. Localizaciónpuntos en C ' ,. . . . . .. 35

1.3. Definiciónde seno y coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . ',' .. 391.3.1. Signos de las funciones circulares en cada uno de

lo~cuatro cuadrantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 42Reactivos de Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43

MóduIo 2 ,. 47ObjetivosEspecíficos. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47Esquema-Resumen. '. . .,' . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47Contenido: .

.' 2.1. Valores de las funciones circulares para los números realesO,

: ' 1T, 321T, 21T.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 482.2. Valor de las funciones circulares para arcos y sus múltiplos 522.3. Dado el valor de una función encontrar el valor de tod9s las

demás funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62Reactivosde Autoevaluación la

Módulo 3 73ObjetivosEspecíficos- 73E.squema-Resumen 73Contenido: '

3.1. Grá'ficade lasfuncionesseno y coseno. . . . . . . . . . . . . .. 74Módulo 4 '. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81

. ,Objetivos.Específi,cos , 81

Esquema-Resumen o o o o o o o o o o . . o o o . o o . . . o . . , ", . o . ., 81Contenido:4.1. Identidades Fundamentales. . . o . . . . . . . . . . o . . . . . o. 82Reactivos' de Autoevaluación 'o... o . . . . o . . . . ."o . . o . . .. 88Bibliografíade la Unidad 0 "0... o . . o o 90Paneles de verificación. . . . . o . . . . . . . o . .. . . . . o . . o o . . o. 92

UNIDAD XIV. Funciones Circulares de suma y diferencia de números,reales o... o . . , . . . . . o . . . . . . . . . . . . . o o . . . o o o . . . .. 101

Introducción. o . . . . . o . o o . . . . " . o . . . o . . o o . . . . o . . . . o . . " 103Objetivos Generales" o . . . . . . o . . o . . . o o . ", o . o . o . . . . . . o o . ,. 104Diagrama Temático Estructural. . o o . o . . o . o o o . o . . o . o o o o o .' 105Glosario o o . o . o . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o. . . . .. 106Módulo 5 o . . o . . . . o . . . . . . . . . . o o .". . . . . o . . o o . . , .107

ObjetivosEspecíficos. . . o . . . o . o o . . o o ." o o . . . . . . . . o . o 107Esquema-Resumen o . . . . . o . . o . o . . o o 108Contenido:5.1, Coseno de la diferencia de dos números. o . . . o . o . . . . o . 108 .5.2. Cofunciones ... o . . . o . . . . . . , . o . . . o . . o o o . . . . o. 112

5.2.1. Funciones de (- ~) en términos de ~ o... 114Reactivos de Autoevaluación ... o . o , . . . . . . . . . . . . o . . . o 117

Módulo 6 '.. o . . . o . . . . . . . : . o . . . . . o . . o. . . . . . . . 119ObjetivosEspecíficos o o. o'. 119Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . o . . o o . . . . . . . . . . . 120Contenido:6.1. Funciones circulares de la suma de números reales. . . o . . o 1216.2. Fórmulas de reducción. . . . o . . . . .'. . . . . . o . . . . . . . o 12JReactivosde Autoeváluación o . . . . . . . . . o . . . . 132

Módulo 7 . ~ . . . . . . .' . . . . . . . . . . . . . . . . . . o. . . . . . o. . . . o 135Objetivos Espec íficos . o o . . . . . . . . . . . o . . . . . . . ... , . , o o 135Esquema-Resumen o, o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . o o . .. 135Contenido:7.1. Funciones circulares del doble de un número. . . . . . . . . o 1367.2. Funciones circulares de la mitad de un número en términos

del número. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . oo. . . . . . . . . .. 137"Reactivosde Autoevaluación o. . . . . . . . o . 140

Módulo 8 oo o . . . . o . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . 143Objetivos Específicos. . . . . o . . o . .. o . o. . , . . . o . . . oo . . . 143Esquema-Resumen . o . . . . . . . . . . . . . . . o . . , o . . . . . . . o . 143Contenido:8.1. Transformación de productos a sumas y viceversa" 144Reactivos de Autoevaluación . o '. . . . . . o o . . . . . . . . . . . . o , 148Bibliografía de la Unidad. . . . . . o. . . . . o. . . . . . . . . o. . . . 150

')

Paneles de Verificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '151

UNIDAD XV. Función Exponencial y Función Logarítmica 155Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . .. 157Objetivos Generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .". . . . . . . . . .. 158Diagrama Temático Estructural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Glosario.. ' , 160Módulo 9 -.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 161

Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 161Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 162Contenido:'9.1: Funciones Exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . 163

9.1.1. .Funci.ones Exponenciales 1639.2. ProgresionesGeométricas , 166

9.2.1. / ProgresionesGeométricasInfinitas. . . . . . . . . . . . . ., 170Reactivo$de Autoevaluadón '. . . . . . . . . . . 172

Módulo 10 175Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . 175Esquema-Resumen' . ',' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Contenido:10. LFunción Logarítmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . .. 176

10. 1.1.Propiedades de la función logarítmica 179Reactivos de Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182

Módulo 11 . . . . . . ,. . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 185Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . .. 185Esquema-Resumen. . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 186Con tenido: .11. 1.Logarítmos Comunes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 187

11. 1.1. Regla para obtener la característica del 10-garitmo de un número. . . '. . . . . . . . . . . . .. 188

11.1.2. Uso de la tabla para obtener la mantisa del 10-garitmo de un número. . . . . . . . . . . . . . . .. 189

~l.1.3. Dado el logaritmo de un número, obtener el .

número. . . . . . . . . . . , . . . . . . . . '. . . . . .. 19011.2. Logaritmos de las funciones trigonométricas 19011.3. Uso de los logaritmos comunes en operaciones aritméticas. 192Reactiyos de Autbeval.uaci6n 197

Módulo 12 199ObjetivosEspecíficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .! . . . . . . . .. 199Esquema-Resumen. . ~. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 199Contenido:'12. Aplicacionesde la función exponencial 200

12.1. Interés compuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 200

12.2. Crecimiento natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20312.3. Cálculo del Jogaritmo de u'n número respecto a

Gualqu1!3rbase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20512.4. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 206

ReactivosdeAutoevaluación .' .,..208

Bibliogra,fía de la Unidad.'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Paneles de Verificac,ión ...' ,211

, UNIDAD XVI. Resolución de triángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217Introducción : 219ObjetivosGenera'les '.. . . . .-' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 220Diagramatemático estructural. . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Glosario. . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : 222 '

Módulo 13 , ',' .. ... .. . .'.. . .'.. ., .. . . . 223Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . . . . 223Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '. . " . . . . . . . . 224Contenido:13.1. Valores de las funciones circulares de un número real cual-

quiera. '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . 22513.2. Manejo de tabla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : 22613.3. Aplicaciones de las funciones Gircularesa ángulos. . . .', . 23113.4. Medidasde ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Reactivosde Autoevaluación . . . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . 237

Módulo 14 241Objetivos i=specíficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241Esquema-Resumen- ..." 241Contenido:'14.1. Fuocionescircularesde ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24214.2. Interpretación geométrica de funciones circulares de án-

, gulos.,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24'8Reactivosde Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25l

Módulo 15 ' -. . . . . . . . . . . . . 255ObjetivosEspecíficos . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . 255Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Contenido:15. Aplicación de las funciones circulares a la resolución de

triángulos. . . . . . . . . . . . '.'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25615.1. Teore'made lossenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25615.2. Resoluciónde triángulosrectángulos. . . . . . . . . . 258

Reactivosde Autoevaluación 263Módulo 16 : '. . . . . . . . . . . . . '. . . 265

ObjetivosEspecíficos . . . '. . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . 265Esquema-Resumen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

Contenido: '

16.1. Teoremq de los cosenos .......................16.1.1. Solución de triángulos oblicuángulos . . .

16.2. Primer teorema de las tangente~ :........16.3. Resolución de triángulos cualesquiera: . . . . . . . . . . . . .Reactivos de Autoevaluación " . -'o. . . . . . . . . . . . . . . .Bibliografía de la unidad. \. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .Panelesde verificación. . . . . . . . . . . . . . . " . . . . . . . . . . . .Apéndice': . . . . . . . . . : . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tabla 1. Logaritmos de los Números. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .Tablq 11.Antilogaritmos de los Números. . . . . .:. . .'. '. . . . . .Tabla 111.Valores de las Funciones Trigonométricas ........T~bla IV. Logaritmos de'las Funciones Trigonométricas ......

266,267269270276278

, 279 - .285285287289294

Prólogo

Es interesante hacer notar que un número real tiene muchas y muyvariadas interpretaciones. Puede representar la distancia entre dos semáfo-ros, el tiempo transcurrido entre la salida y puesta 'del sol, así como elárea de un círculo, si en cada caso el número se acompaña de la unidad demedida, la cual puede ser de tiemp,o,longitud o área, etc. '

Existe una relación entre el número real uSpdo para representar elárea de un círcu'lo y el número real asignado a la longitud de su radio.Ejemplos de este tipo nos conducen a la idea de "Relaci6'n" de la cual la"Función" es un caso especial.,

Aunque en el ejemplo se menciona una asociación entre númerosreales, podemos generalizar y considerar asociaciones entre elementos dedos conjuntos cualesquiera.

Si A es el conjunto de automóviles registrado en un municipiodeterminado y 'B el conjunto de números de registro,en'tonces cada carroen A está asociado a un número en B. También con cada automovilistaregistrado está, asociado el' número de licencia del conductor o con cadaindividuo, sus huellas digitales, etc.

Nuestro objetivo fue abstraer de estos ejemplos un concepto que fueestudiado por sí mismo, sin referencia a una aplicación espec íficq, y endonde se estableció un tipo de asociación entre los elementos de dosconjuntos A y B, donde A y B son conjuntos de números reales. Enparticular estudiaremos funciones expo'nenciales, logarítmicas y circulares.

Debemos tomar en cuenta que existe otro tipo de funciones como lashiperbólicas, las de B€3Sel,las,de Legendre, etc., que desde un punto devista más amplio o sea de Matemática Superior; se pueden clasificar comoalgebraicas y trascendentes, citando entre estas últimas las circulares, conlas cuales vamos a iniciar esta parte del curso.

A medida que vaya avanzando en Matemática, su repertorio defunciones conocidas será mayor, así como el conocimiento de sus propie-dades y aplicaciones.

Una de las características ,importantes del concepto de función está

13

en su clasificación de tal manera que podamos deriva.r teoremas válidospara todas las funciones de una clase particular. Entonces en el futuro,cuando conozc'a una nueva función de esa clase, no necesitará ¡:nvertirhoras, días, semanas, meses o aun años, para Ile.gar a familiarizarse conella; porque ya conoce las propiedades de esa familia.

A pesar de sus variadas aplicaciones, la idea de función ~s en símisma, extraordinariamente simple como podrá comprobarlo al seguirestudiando Matemática.

HISTORIA

Tales de Mileto vivió durante la primera mitad del siglo VI antes qeCristo, y se dice que la primera parte de su vida transcurrió siendo élmercader y amasó una fortuna tan grande que tuvo oportunidad de pasarel resto de su vida en viajes y estudio. A él se le acredita el haberdescubierto una forma de encontrar la altura de la gran Pirámido deEgipto. Dijo haber puesto en el. suelo una estacay espe.rarhélsléJque lalongitud de la sombra de la' estaca y la eStaca fueran iguales. En estemomento Tales razonó, la longitud de la sombra de la pirámide sería iguala la altura de la pirámide y fue así que pudo determinar I'aaltura de ésta,por medio de este proceso de medición indirecta.

Muchos historiadores pretenden que la Geometría Demostrativa seinició con Tales de Mileto y a él se le reconoce el mérito de haber logradogran número de descubrimientos elementales' cómo estos:

Los ángulos de fa base de un triángulo isósceles.son iguales.Un ángulo Inscrito en un semic(rculo, es un ángulo recto.Cualquier diámetro de un círculo, biseca ese círculo.

14

, I

Instrucci,ónparael alumno

El presente texto ha sido elaborado tomando en cuenta los diferentesaspectos que caracterizan a los' alumnos dé Sistemas Abiertos de Enseñan-za.

El texto ,ha sido estructurado de ',tal forma que le facilite al máximosu estudio. Cuenta con varias unidades, cada una de las cuales contiene:,

1)

2)

o bjetivos generales: que le informan acerca' de lo que sepre~ende lograr' con el estudio de dicha unidad. 'Una introducción: independientemente de I~ que aparece dedica-da al tex to.Un glosario:, que le indica el significado de los términos técnicosempleados en el desarroll o de la un¡dad.Not,ació.n: en los textos referentes a las ciencias naturales yformales, tales como la Matemática, 'se encontrarán expl icacionesrelacionadas con la simbología empleada (fórmulas, 'tablas,

, \

simQolos, etc.).

3)

~.)

Para el estudio del curso la unidad se ha dividido' en ,partes llamadasmódulos. Cada texto consta siempre de 16 módulos. De esta manera,estimamos que es posible aprobar las asignaturas del plan de estudios' deun. semestre, en las' 18 semanas. 'El ,módulo de cada asignatura estáprogramado para ,que lo estudie en un tiempo promedio de 3 a 4:30 horaspor sema'na. Sin embargo, se le recomienda que dedique a cada 'módulo, eltiempo que usted considere necesario, de acuerdo con sus posibflidádes. '

El módulo cuenta con:

1)' Objetivos específicos: que desglosan el objetivo general de launidad.' ,

.2) Esquema-resumen: donde ,se le presenta el contenido de cada/ módulo, en forma'sinóptica. .

3) Contenido: se refiere al desarrollo del tema o de los temas. .

4) Actividades complementarias: le servirán de refuerzo en elaprendizaje de una unidad q u'n módulo específico.

5) Reactivos de ~utoevaluación: al final de cada módulo, se le danuna serie de pregl.Jntas de autocomprobación, para que puedaverificar por sí mismo, en qué grado ha logrado los objetivos

15

(propuestos al principio del módulo). Las respuestas correctas lasencontrará al final de cada un'idad o, en otros casos, al final dellibro.

En la parte final del libro, podrá encontrar, cuando se estimenecesario, apéndices que le ayudarán a la ampliación y profund"ización dealgún tema.

Además, se le da en las unidades o al final del texto, una bibliografíacon la que puede complementar sus estudios o ampliar su horizon"tecultural, de acuerdo con sus inquietudes.

ADVERTENCIA:

Le recomendamos la "lectura cuidadosa y la comprensión de losobjetivos específicos al empezar cada módulo, para que tenga presente loque se espera de usted, con el trabajo que reaiice,con cada uno de ellos.

16

, .

'. U.NIDAD XIIIFUNCIONESCIRCULARES

17

Introducció.n.

. .En los cuatro módulos que comprende la.presente unidad, se presenta

el cOrlcepto de circunferencia unitaria y las funciones -circulares de un. ángulo. .

Además se inicia el estudio de las identidades trigonornétricas funda-mentales 'y su empleo en las expres.iones matemáticas.

Hemos considerado de gran importancia, que el alumno aprenda agraficar las funciones circulares así como hallar su valor para un ciertoángulo y la -interpretación de su signo dependiendo del cuadrante en dondese localice.

19

Objetivosgenerales

Al terminar de estudiar esta unidad, el alumno:

1.2.3.4.

5.

. .Manejará el concepto de circunferencia un ¡taria.Determinará las funciones circulares de un ángulo dado. . .Construirá gráficas de funciones circulares.Describirá las propiedades de las funciones circulares a partir de sugráfica. .

Justificará la validez de expresiones matemáticas utilizando las identi-dades trigónpmétricas fundamentat~s.

20

Diagramatemáticoestructural

Función

Igualdad

Funciones'Circulares.

Manejo delas funcionescirculares.

Ecuación.

Identidad.

Identidadestrigonométricas.

Ap Iicac i ones.

21

Trigonometría:

o istancia entred,os puntos:

CircunferenciaUnitaria:

Glosario

Rama de la matemática que estudia las propiedades yaplicaciones de las funciones circulares o trigonométri-caso

Son dos puntos cualesquiera la distancia des~á dada po r:

d= Pl P2 = ~(Xl - X2)2+ (Yl -- Y2)2I

Circunferencia con centro en el origendefinida por el conjunto

~~(:1y) IX2 + y2 ='1}

entre ellos

y radio 1,

Funci6n Circular: La función P: 8 ... P (8) cuyo recorrido es elconiunto de todos los puntos o pares ordenados

t(x, y) I x2, + y2 = 1} .

Función Seno: Sen: (J + y donde y es la ordenada de P (8) o seay =. sen 8

Funci6n Coseno: Cos: (J x donde' x es la abscisa de P (8) b sea. x = cos 8

Funci6n Tangente: Si el punto terminal P (O) tiene las coordenadas'rectangulares (x, y) entonces

Gráfica de unaFunci6n: .

22

tan 8 = 'ix (x *" O)

Empleo de un sistema rectangular de coordenadas para'mostrar la asociación ent.re dos var.iables'cualesquiera(x I y) en el caso de una función parti9ular.

M6dulo1

OBJETIVOSESPECIFICOS

Al terminar de estudiar este m6dulo, el alumno:

lo2.'3.

, .4.

Calculará la distancia entre dos puntos, dadas sus coordenadas.Explicaráel concepto de circ~nferenciaunitaria. .

Demostratá algunas propiedades de figuras geométricas dada"s,aplican-" do la fórmula de la distancia entre dos puntos.

Localizará sobre la circunferencia unitaria el punto terminal de un, arco de longitud dada. .

Identificará el signo de las funciones circulares en cada uno de loscuatro cuadrantes. .

5.

ESQUEMA- RESUMEN

23

Coordenadas Distancia Propiedadesde un punto .. entre dos ..

de figuras.... ...

en un plano. epuntos. geométricas.

,Ir

Circunferen- Localización

cia .... del pun to... termi nal deunitaria.

un arco.

, .Identificación

- .Funciones del signo de.- -.., circulares. ... las funciones

circulares.

¿Qué significatrigonometrfa?

El dominiode las funciones

trigonométricas85...

¿Por qué senecesita conocerla distancia entre

dos puntos?

24

1.1 LA CIRCUNFERENCIAU,NITARIA.

¿Qué es la Trigonometría? Trigonometría significa"medici6n del triángulo" .y los antecedentes históricos desu estudio surgieron de la necesidad de medir y delimitar.tierras. Estudiaremos seis funciones trigonométricas quellegaron a tener muchas otras aplicaciones, y en laMatemática avanzada, de la que forma parte el cálculo,apenas sé les reconoce que estén relacionadas con eltriángulo.

Con excepción de la Geometría, los ángulos tienenescasa importancia en la Matemática y las funcionestrigonométricas que tienen un conjunto de ángulos comodominio, se reemplazan por las funciones circulares quetienen como dominio al conjunto de los números reales.Actualmente la Trigonometría es el estudio de las funcio-nes circulares que son funciones de números reales, sobrenúmeros reales. La razón para Ilamarlascircul,aresse haráevidente a medida que progrese en -el estudio de estelibro, y para que pueda iniciar ese estudio, es necesarioobtener la fórmula para la distancia entre dos puntos,9uyas coordenadas rectangularesse conocen, así como faecuación de la circunferencia unitaria con centro en elorigen de un plano cartesiano, ya que estos dos concep-

. tos le serán 'de mucha utilidad., .

1.1.1DISTANCIAENTREDOSPU'NTOS.

Tomemos dos puntos cualquiera en el plano carte-siano A(XI,yd y B(X'2,Y2) (y el segmento que los une);para localizar estos puntos en el plano hemos utilizado lamisma escala en ambos ejes de coordenadas (ver Figura1).

v

/BIX2. y21A (XI, yd

Ox

Figura 1

Tracemos un segmentq de recta paralelo al eje X yque pase por A (ver 'Figura 2).

y

Xo

Figura 2

Después, tracemos otro segmentQ de recta, paralelo. al eje V y que pase por B (ver Figura,3).

V

Xo

Figura 3

. Si superponemos las dos figuras anteriores tendre-mos la siguiente figura, en la' que podemos ver que lasdos rectas que trazamos paralelas a los ejes por lospuntos A y B, sé intersectan en D formando un ángulorecto cuyas coordenadas son (X2,vd.

25

y

"

xo

Figura4, ,

La figura que se ha f,ormado es un triángulo rectán-gulo con catetos AD y BD e hipotenusa AB; podemos'u.sar el Teorema de Pitágoras para encontrar la distanciaAB que es la que nos interesa. Encontramos primero lasdisÚmcias AD y BD que son los catetos del triángulorectángulo; puesto que B y D ,tienen la misma abscisa, ladistanciade B a D será: '

y puesto que A y D tienen la misma ordenada, ladistaÍ)cia de A a D.será:

AD = .J(X2 - XI)l ó AD = IX2 - X¡ I '

Recordemos ahora el Teorema de P'itágoras queap'licado al triángulo de la figura dice:

,(ABf = (AD)2 + (8D)2

Si sustituimos AD y BD en la expresión anterior, setiene: .'

y puesto qu~(X2 - XI)2 = (XI - X2)2

AD significa la distancia del punto A al punto 'S.

, 26

también se puede escribir:

(AB)2= (XI - X~)2 + (YI - Y2)2

Como puede verse, no importa en qué orden se Ordende lastomen las diferencias de las abscisas y la diferencia de las diferenc'iasordenadas, la distancia AS es la misma. A esta expresión de abscisasse acostumbra escribirla de la siguiente ma'nera: V ordenadas.

y se conoce ~omo fórmula de la distancia entre dospuntos en el pianO'cartesiano.

Ejemplo 1. Encontrar la distancia entre los puntosA (2,3) 'y B (5,7).

Solución:

Tomando A como punto 1 y B como punto. 2tenemos:

AS = .J (5. - 2)2 + (7 - 3)2

= .J 32 + 42

= ,,' 9 + 16

=

= 5

invirtiendo el 'orden de los puntos se tiene:

AS = .J (2 - 5)2 + (3 - 7)2

= J (-3)2 + (-4)2

..¡ 9 + 16=

=

= 5

Como se puede ver, ambos resultados son iguales.

27

28

Ejemplo 2. Encontrar la di.stancia entre los pun tosA h-3, -2) Y B (4, 6).

Solución:

AB = J [4 - (-3))2 + [6 - (-2))2

= J (4 + 3)2 + (6 + 2)2

= J 72 + 82

= J 49 + 64

Tomados en otro orden:

AB = J (-3 -4)2 + (-2 7G)2

J (-7)2 + (-8)2

= J 49 + 64

= J113

Ejemplo 3. Encontrar la distancia enue los puntosA(5, -2) Y B(-4, 7)

Solución:

AB = J (-4 -5)2 + [7 -(-2)]2

= J (-4 -5)2 + (7 + 2)2

= J (-9)2 + (9)2

= .J. 81 + 81 ~

= J162

= 9 J-Y

Tomados en otro orden:

AS = -Jl5n~(-4)]2 + (-2 -7)2

= ,,/ (S + 4)2 + (-2 -7)2

= v 81 + 81

= v'162

9..[2=

Ejemplo 4. Encontrar la distancia del origen O (O, O)~a un punto cualquiera P (x, y). ~Solución:

OP .=. v' (x - 0)2 + (y - 0)2

= v' X2 + y2

Ejemp'lo 5. Demostrar que el triángulo cuyos vérti-ces son A(S, S), 8(2,1) Y' (-2, 4) es isósceles. (Figura5).

Solución:

e (-2,4)-'

-5 -4 -3 -2 -1

y.

6

5

1S (2, 1)

O 1 2 4

Figura 5

A (S, S)

5x

6

29

Unconjuntode puntos 'es.. .

Circunferenciaunitaria.

30

AC = J (5 -(-2)]2 + (5-4)2

= J49+1

AB = ~ {5-2)2 +' (5-1)2

= J 9 +:,16

= 5 . I

BC =. J [2 -{-2~)2 + (1-4)2

.J 16 + 9 .=

= 5

'puesto ql,.le A.S y BC son iguales eJ triángulo ABC esisósceles. .

1.1.2CIRCUNFERENCIAUNITARIA.

Una curva es un conj~nto de puntos que satisfacenuna cierta 'condición y viceversa, todo punto que satisfa-ce dicha condición pertenece a la curva. .

Definición: . .La circunfereneia es el conjunto de 'puntos del

plano que están, a una misma distancia (radio) de únpunto fijo Il,amado centro'.

La circunferencia que nos interesa es conocida comounitaria, y como su nombre lo indica, su' radio es iguala.uno, por conveniencia el cen tro lo consideramos en elorigen de los ejes coordenadas. '

Si usamos la fórmula que hemos deducido para la Empleodedistancia entre dos puntos, podemos obtener la ecua- lafórmúlación* de la circunferencia unitaria. parala distancia

, entre dospuntos.

Tornemos el centro como el punto O (O,O) Y elradio como 1 (Figura 6).

y

x

.

Figura6

Ent9nces, la condición que debe satisfacer cualquierpunto P(x, y) que pertenezca a la circunferencia es

OP = 1

pero como OP= .J (X-0)2 + (Y-0)2 por la fórmula de ladistancia entre dos puntos, tenemos que

.J (x-O)2 + (y-O)2 :c: 1

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igual- Ecuacióndedad y simplificando, obtenemos f,malmente lacircunferencia

unitaria.X2 + y2 = 1

Ecuación, es una igualdad que es verdadera para las coordenadas detodos los puntos de la curva que representa.

31

UnpuntoPdescribeunarcodecircunferencia.

Unarcoolongitudseindicamedianteunnúmeroreal.

32

que es la ecuación de la circunferencia unitaria concentro en el origen. (Esta ecuación representa la condi-ción que deben s~tisfacer las, coordenadas de todos lospuntos que pertenecen a la circunferencia).

Si' usamos la notación de conjuntos, el conjun.to

e = {(x, y) I x:z + y'l = 1}

representa ,la circunferencia unitaria con centro en elorigen de los ejes coordenados.

1.2 FUNCIONESCIRCULARES.

Consideremos una circunferencia unitaria con centroen el origen O de un sistema de coordenadas rectangula-res y un punto P que puede desplazarse sobre la circunfe-'rencia, iniciando cada desplazamiento en el puntp A(1,O); en cada desplazamiento el punto.,P describe un arcode circunferencia, cada uno de estos arcos tiene unalongitud Q, ('Q E R~. Representaremos por Q tanto al arcocomo a su longitud. Si. un~arco, o su longitud se indicamediante un número real, está convenido que este núme-ro es po~itivo si el punto P se mueve en el sentidoanti-horario (contrario al de las manecillas de un reloj).(Ver Figura 7).

y

-.....

Q> OQ "\

\\

A (1, O)x

Figura 7

El arco o su longitud se indica con un númerQ,realnegativo si el punto p se mueve en el sentido horario'(sentido en el que se mueven las manecillas del reloj).(Ver Figura 8).

y

Q < O

IA(1,0)'I

//,~ /

"' Q--."".

Figura 8

¿Quésignotienesisemuevecontrarioa lasmanecillasdelreloj?

x

Si el punto P no se desplaza ni en" sentido positivo' Esunarconi en sentido negativo, debemos pensar en él como un de longitudarco de longitud cero. (Ver Figura 9). . cerocuando..~

y

Q = O

A(1, O)x

F¡gura 9

33

Lalongituddeuna~ircunferenciaes...

Longituddeunacircunferenciaunitaria.

34

La longitud de una circunferencia está dada por laexpresión e = 211'r,donde "r" es la medida del radiocorrespondiente; esta expresión nos permite determinar lalongitud de la circunferencia unitaria sustituyendo en ellaa "r" por 1.

e = 211'. 1 unidades

e = 211'unidades

Siendo 211'unidades la longitud de la circunferencia,unitaria, un' arco de longitud la I > 211' (a > 211"Ó a <-211') se genera cuando p después de recorrer las 211''unidades de la circunferencia continúa su movimientohasta completar las a unidades en el único punto termi-nal correspondiente a a. (Ver Figura 10).

Cada arco (a) en la circunferencia unitaria tiene unpunto terminal; designémoslo por P(a}, (P de alfa). (VerFigura 11).

v v

Figura 10

- - ---..... '-.. /............ - .......", -- -....... "/' " \ Q > O // ',a <o/

I \ \ I / \I

\I \, X

\ I I X\ I \ I I, / " \ /1 I

/ " .; /........ - ....... ..... - /'......- _/

y

Figura 11

Habrá notado que dicho punto se simboliza de lamisma manera que hizo con un elemento del contradomi-

'n,io de una función, yeso es precisamente lo querepresenta.

Cada arco. tiene un punto termi nal y cada arco serepresenta por un único número real; entonces a cadanúmero real le podemos asociar el único punto terminaldel arco correspondiente, generando así una funcióncuyo domi nio es el conjunto de los números reales (a ER), Y su contradominio el conjunto de puntos en lacircunferencia unitaria [P(a:)]. Con esto, estamos estable-ciendo dos formas distintas de representar a los puntosde la circunferencia unitaria: .a) mediante un par ordena-do (x, y) que nos indica su posición respecto a los ejescoordenados, b) por la notación funcional p(a) que ubicacada punto indicando que su distancia a (1, O) (medidasobrela circunfere.nciaes) la I . Esto lo podemos resumirmediante la igualqad p(a) = (x, y).

1.2.1 LOCALIZARPUNTOSEN C.

1f es un número irracional y no tiene representación

..

x

A cada puntoterminal 10

podemosasociar con un

número real. '

Establecemos

dos formas

distintas de

representar lospuntos de lacircu nferencia.

35

1res un númeroirracional.

36

decimal exacta; en aplicaciones prácticas se acostumbra.representarlo por alguna "aproximación" racional, esdecir por urt número racional "próximo" a 1r. Dichonúmero racional depende de la exactitud requerida encada aplicación, así, en ocasiones 1r = 3.1416, otras '3.14,

otras 22 Sea cual sea el número racional util izado. debe7

quedarnos claro que la única manera de representarexactamente este número, es mediante el símbolo 1r;cualquiera otra representación numérica del mismo essólo una "aproximación"..

Ejemplo 1: localizar' en qué cuadrante se encuentrael punto terminal del arco con longitud ex;:: 2, o "sea 'P.(2), (P de dos).

Solución: . antes que nada debemos recordar que lalongttud ,de la circunferencia unitaria es e = 21r (VerFigura 12). ,

y

11~ /'-

/

/I '

I

'" "\

\ ex= 21r\

"1I

//

/'-

x,

\. \ ." ."......-

111 IV

Figura 12

. Ahora bien, los' ejes coordenados dividen la circunfe-rencia en cuatro partes iguales por lo que la medida del

d.

f .d d 2-rr 1T

arco e clrcun erencla en ca a cua rante es '4 = "2

(Ver Figura 13).

y

'11'

2

'11'

2

/-'11' /2" /

I

xI

/ '11'/ 2

./-

Figura 13

y estos puntos terminales sobre los ejes coordena-das son los indicados en la siguiente figura:

y

Pbr)

pea)P(21T)

x

Figura 14

37

. 'IrSi 'Ir = 3.1416. '2 = 1.5708 Y como 1.5708

< 2 < 3.1416 el punto P(2) es un punto en el segundocuadrante (Ver Figura 15). También si dividimos 2 entre

~.= 1.5708 tenemos que 2 = 1 x 1.5708 + 0.4292.

y y

'a = 2,\

\, x x

Figura15I .

Ejemplo 2: localizar el punto pC:")

Solución: en este caso el punto P se mueve en elmismo sentido que lo hacen las manecillas del reloj, yaque el número es' negativo. Para locarizar el punto

-5 Jr 5 ft' Jr .P(4) observe que "4 = 5 . 4"' o sea CinCOveces

} ; también 'Ir es la medida de una semicircunferencia,luego cada una de las semicircunferencias se divide encuatro partes iguales y a partir de A (1,0) contamos 5

de ellas para llegar a p(- !!.). (Ver Figura 16).4 .

Y

,. \ '

\.'.,

'.....-

I A(1.0)I

I/

/."- "'".

x

Figura16

38

1.3 DEFINICIONDE SENOY COSENO

Con cada a E R, está asociado un punto termi nalp'(a) en la drcunferencia unitaria; cada punto termina,lestá definido por un único par ordenado con componen-tes reales (x, y). Si a cada ex(número real) se le asocia laún ica "x" (abscisa) del punto termi nal del arco corres-pondiente se genera una función llamada coseno (cos),que tiene como dominio al conjunto de los números,reales y como contradominio al conjunto de las "x" delos puntos en la circunferencia unitaria; estas '.x" (absci-sas) indican la separación entre cada punto de la circun-\

ferencia y el eje vertical, siendo la longitud del radioigual a 1 (r = 1) es fácil comprender que los puntos de lacircunferencla más alejados del eje "v" (vertical), puntosA(1, O) Y E(-1, O), están a una unidad del mismo, deah í que el contradomi nio de esta' función sea{x E R 1-1~ x ~ 1} (Ver Figura 17).

v

E(-1.0tx

A(1,ot

Figura 17

Un elemento del contradominio de una ,función, sepuede representar mediante un símbolo que combina elnombre de la fu~ción con su correspondiente elementodel dominio; así, si f es el nombre de la función, y a un

, elemento del dominio "f(a)" (efe de alfa) es el elemen-to del contrado"minio asociado con a. Dado que coseno

Unparordenadodefinealpunto terminal.

Funci6ncoseno.

,39

Funciónseno.

40

se abrevia "cos" y que ex representá a cualquier elemen-to del dominio de esta función, entonces "cos (a)"(coseno de alfa) es el elemento del .cOntradominio asocia-do con ex . .

Definición: Si P(exl=.(x, y) ~s un punto de lacircunferencia unitaria

x = cos (cx) cxE R - 1 ~ cos(ex)~ 1

es la ecuación que define a la. función coseno.

E.ri la práctica se presciende del paréntesis. quecontiene a la variable del dominio. quedando

x = cos ex ,exER

si ~I arco o su longitud está precedido de signo negativoes necesario escribirlo dentro tlel paréntesis.

Si ahora,' a cada número real cx, se le asocia con la"v" (ordenada) del punto terminal que le corresponde,obtenemos la función llamada Seno (sen) cuyo dominioes también el conjunto de los números reales (R) y sucontra dominio está constituido por las "y" (ordenadas)de los puntos en la circunferencia un itaria, para .estafunción; si cxes un elemento del dominio,. "sen ex," (s~node. alfa) es su correspondiente elemento en el .Gontrado-minio. .

Definición: Si P(cx)= (x, y) es un punto de lacircunferencia unitaria

y = sen ex , cx E R

es la ecuación que define a la función seno.

De la figura 18 podemos notar que los valores de yvarían desde 1 en el punto D hasta 1 en el punto B.

v

Figura 18'

o sea que - 1 :5 y :5 1 ó - 1 :5 sen a :5 1

Definición: Si P(a) = (x, y) , es un punto dela circunferencia unitaria tga ="t x =1=Ox'

es la ecuación que defi(1e a la función tangente

Como para todo p(a) en la circunfetencia unitaria,x = COSQ, y = sen a, la' ecuación que define a la

función tangente puede escribirse también como

I tg '" = se" '" cos '" " O Icos o: . \.

tg o: no está definida cuando x = O Ócoso:= O, enestos casos decimos que tga no existe,' ya que ladivisión entre Eero no es un número real.

Otras tres funciones circulares llamadas cotangente{cot}, secante (sec), y cosecante (csc), son defi nidas enseguida.y al igual. que las tres primeras, estas définicionesestán dadas en términos de las coordenadas del puntoterminal P(a)

.V la funcióntangente es. . .

Podemosdefinirotras tresfunciones.

41

B(O, 1)

-1-'

./ ,/1 "-/ . \

¡Ivl< 1. \I l. I .. X

\ III

\ Ivl<1 /" 1/" ".-- -

D(O, - 1)

Determinacióndelasfunciones.recíprocas.

xcota=y

1seca="

y 4= O

.1

csca=y y 4=O

como x = cos a, y = sen a

x cosa 1 -1-cot a = y = sena = sen a = qp

cosa

El principio de sustitución nos permite expresarestas igualdades de la siguiente manera:

Enquecondiciones'lasfuncionestrigonométricassonpositivas,.

negativaso cero.

42

Estas deti'niciones nos permi ten entender por qué aestas funciones se les llaman 'funciones recíprocas.

1.3.1 SIGNO DE LAS FUNCIONESCIRCU.LARESEN CADAUNO DE LOS CUATROCUADRANTES.

Considerando que a las fun<;iones circulares lashemos definido en .términos de las coordenadas de un

" punto en el plano cartesiano, es fácil notar que losvalores de estas funciones son números reales, negativos,cero o positivos. Esto depende del cuadrante en que seencuentre el punto considerado. Presentamos una tablacon el cuadrante en que está el punto p(a) y los signosque corresponden a las funciones seno, coseno y tangen-te. Los signos de las funciones recíprocas los obtenemosfácilmente si recordamos que un número y su recíprocodeben tener el mismo signo para que su producto puedaser 1.

Si sen a 4= O;cos a

Ó1

cot a = SiñQ cota=-o tg a cot Q = 1tgQ

Si COI Q 4= O;1

Ó I8C Q= 1I8C a = COS'Q COS Q.

Si sen Q 4= O;1

Ó esc Q = 1esc Q = le" a sen Q

REACTIVOSDE AUTOEVALUACION

L-a) Encontrar la distanCia r:>ntrelos puntos dados.

1) (5,7) Y (3,1)2) (-1>, 3) Y (2, -3)3) (-4 -5) Y (3; 7)4) (-3, 5) y. (4, -2)

b) Demostrar que' los puntos A(2, -1), 8(6, 1) Y C(-2, 7) son losvértic8s de un triánqulo rectángulo. ¿Cuál es su área?-

c) Demostrar que los puntos A(-1, 6), 8(2, 2) Y C(3, 3) son los vérticesde un triángulo isósceles.

d). Enc0ntrar las longitudes de las diagonales del cuadrilátero cuyosvértices son A(-4, 5), 8(0, 10), C(4, 1) y D(1, -7).

e) Encontrar las abscisas de los puntos cuya ordenada es 4 y cuyadistancia al origen es 10.

f) Demostrar que los puntos A(1, 1), 8(6, 2) Y C(-4. O) están sobre lamisma recta.

g) Encontrar las coordenadas del punto sobre el eje V que equidista delos puntos A(-5, 5) Y 8(5, 10).

h) Considérese una circunferencia c;on centro en el origen y radio igual a1. ¿Por cuál de los siguientes puntos pasa?

(- 1 .,. ) (1 J3 ) ( 1 1)

'

(1, O), JT ' -.JT ' 2' z- ' -, - --= . '. ~ ~ 2

(- .J2 -L ).

2 ' ~ .

43

Cuadranteen que tga=,x* Ose localiza P(a) sena=y cosa = x

I + + +

11 + -111 - +

IV - +

2,- Localizar aproximadamente los siguientes puntos en la circunferenciaunitaria:

~.

'\'?

"\

~ .) t\ :(\1."

,\

l --

1..~,"/"

\

Haciendo" = 3.1418 localizar aproximadamente los siguientespuntos: ---....

i) P (7) I1

.. '1.

a) p()

b) p(- i) ,

c) P(34") -

d) p(211r)

e) p( - 7;),"

f) p(21t)

j). P(-15).

,-

k) P (- 5J

1) P (32)

m) P (- 4)

n) P (9)

44

o) P (27)

3.- En la siguiente tabla, llene los huecos con el signo correspondiente acada función,

4.- Ubique aproximadamente cada uno de los siguientes puntos en lacircunferencia u~itaria y determine los signos de sus funcjones circulares

45

11' 11' 11' 211' 311' 5" 711' 511' 411' 5/1' 7n 11n

6 ¡ 3 3 4 6 6 4 3 3 4 6

- :. - -I Sl'no J

-Coseno

- +Tangente

-'1 -Cotanentl' I

--+

Secante -r +Cosecanle ""1 -

a) P (0.5)

b) P'(3)

c) P (3.27)

. d) P(- 6.33)

e) P (- 0.9)

f) P (17.32)

g) P (- 10.54)

Módulo2

OBJETIVOSESPECIFICOS

Al terminar de. estudiar este módulo, el aj~mno:

1.2.

5.

Calculará los valores de las funciones circulares de arcos cuadrantales.Calculará las coordenadas de puntos terminales de arcos cuyas longitu-des son múltiplos o submúltiplosde 1T.

Determinará el valor' exacto de la función de un arco, conocidas lascoordenadas correspond.ientes del punto terminal en la circun'ferenciaunitaria, asociado, al arco de longitud dada.Determinará el valor de las seis funciones circulares para el respectivovalor del ángulo, conociendo .el punto de intersecciQn de la recta queune el origen con el punto indicado y la circunferencia unitaria.Determinará el valor de las cinco funciones circulares faltantes paraun 'ángulo, c9nociendo el valor de una de ellas y el cuadrante en quequeda localizado el punto terminal.

3. '

4.

ESQUEMA- RESUMEN

Funcionescirculares.

Funciones

+1 circularesde arcosmúltiplos de 1T

Determi nacióndel valor exactode las func'ionescirculares.

Cálculo delas coordena-das de s.uspuntos termi nales.

Determi nacióndel valor detodas las ecuacionescircu lares de unarco dado.

47

2.1 VALORESDELASFUNCIONESCIRCULARESPARALOSNUMEROSREALES

O ' 1f 31f 2, 2' 1f, '2' 1f.

Paracadanúmeroreal{3seasociau,nparde

. coordenadas.

Siel puntoterminalcoincideconuno delosejescoordenados.. .

48

Antes de establecer asociaciones entre ciertos ele-mentos del dominio (nú,meros reales) de las f~..Jncionescirculares, con los de su contradominio (números reales)es importante que recuerde que para cada número real(J existe un par de coordenadas (x, y) asociadas al puntotermi nal del arco (Jque parte de A (1, O) en la circunfe-rencia unitaria. Por tanto, las coordenadas x y y son losvalores funcionales del número real (J~donde cos(J=x~ .

sen (J=y. (Ver Figura 1).

v

A(1,O) x

Figura 1

Ahora vamos a calcular los valores de las funcionescirculares de arcos cua~rantales. Este nombre lo recibenpor' encontrarse el punto termi nal en la frontera de 2cuadrante~ (coincide con uno de l-osejes coordenados).

Tomando en cuenta que la longitud de la circunfe-rencia unitaria es igual a 211',vemos"como ilustración que

cuando la longitud del- arco (l = .¡ ,su pu.nto terminal asociado es P(O, 1). (Ver Figura 2L

y

P(13) = (0',1)

A(1, O) x

Figura.2

En la figura 3 se localizan los puntos terminales3 '

cuando (3 = 0,11", ¡ 11", Y 211".

y y

A(1, O)..xP(O)

P(n) A(1, O)X

y y

A(1, O)X

A(1, O)

X

pe2") = (1,0) ., FIgura 3

mediante las cuales puede verificar los valores que se danen la siguiente tabla:

49

Ejemplo 1. Encontrar el valor .exacto de t 9 11'.

Solución: primeramente establecemos las coordena-~as del punto terminal en la circunferenGia unitariacorrespondiente a una longitud del arco de 11'unidadescomo se muestra en la Figura 4.

v

P(lI') = (-1, O) X.

Figura 4

Ahora mediante la identidad trigonomét~ica

tg {3 = se" {3cos {3

calculamos el valor pedido, esto es:

tg 1T = sen 11'= ~ = O; por tanto t 9 11'= ÓCOS11' -1

50

{3 p (x, y) cos {3 sen {3

o (1, O) 1 O

11'(0,.1) O

. 12

11' (-1, O) -1 O

31T(O, -1) O -12

. .

21T (1, O) 1 O

Ejemplo 2. Encontrar el valor exacto de sec 31f2

Solución: Ubicamos el punto terminal en la circun-

ferencia unitaria correspondiente al arco 3; con suscoordenadas respectivas, según se muestra en la Figura 5.

y

x

1~~1f) = (O, -1)Figura 5

y usando la identidad trigonométrica' sec{3= -1-. eos {3sustituimos valores

31T 1 - !see "2 =' 31T - o

eos "2

Este cociente indicado es una forma indefinida enR es decir, no se permite la div'isión por cero, por lo quedecimos que

31Tsee "2 NO EXISTE

Ejemplo 3. Encontrar el valor exacto de esc 31T2. \

Solución: Seguimos el mismo procedimiento discuti.do en los ejemplos anteriores, es decir, primero se ubicael punto terminal en la circunferencia unitaria que corres-ponda al arco dado estableciendo sus coordelladas yluego se apl¡ca la identidad trigonométrica respectiva.Para este ejemplo se tiene la Figura 6.

.

~1

Coordenadasdearcosmúltiploso submúltiplosde 7r.

52

v

x

~32")= (0,-1)

Figura 6

la identidad respectiva es ese fj = se~ fj ;tuyendo valores numéricos se tiene

y susti-

311' 1 - ~ = -1ese "'2 = '37T - -1

sen 2"

311' '.por tanto ese 2" =. -1

2.2 VALORES DE LAS FUNCION'ESCIRCVLARESPARA AR-11' 11' 7r .

.COS 4'6'3 YSUSMULTIPLOS.

En el tema anterior hemos determinado ciertospuntos de la circunferencia unitaria en los que hemosvisto que sus coordenadas son números enteros. Estos

, n 3"puntos corresponden al arco (3= ?, 2 ~ 2" 211'.

Ahora vamos a calcular las coordenadas de otrospuntos termina'les de arcos cuyas longitudes son algunosmúltiplos o ,submÚltiplos de 11'. Calcularemosen primerlugar las coordenadas del punto terminal correspondiente

al arco de longitud ¡. Trácese una circunferencia

unitaria y localícese p(i). (Figura 7).

v

A(1,Olx

Fip;ura7

Puesto que este valor es exactamente la mitad de

j, queda localizado en el punto medio del arco decircunferenciaen el primer cuadrante.

Trácense segmentos de recta perpendiculares a am-o

bos . ejes, pasando por el punto p(i), resultando uncuadrado, lo cual se justifica mediante la geometríaplana. (Figura 8).

v

x

Figura8

Ahora bien, si trazamos una diagonal como semuestra en la Figura 9, se forma un triángulo reétángulo.

53

Eltriángulotienedoscatetos iguales.

Empletmoselteoremade'Pitágoras.

54

v

Figura 9

Dicho triángulo tiene dos catetos iguales: Si designa-mos por z la longitud de cada cateto V aplicamos elTeorema de Pitágoras, se establece que: '

Z2 + Z2 = 12; luego ,2 Z2 = 1; por tanto

z = jf =-/i = ,;;

Ó sea que la longitud de cada cateto es ~. De estamanera, ya tenemos determi nadas las coordenadas del

'punto' P(!!.) que son .J2 .J2 ' / /4 2' 2

v

x

Figura'10

Con un procedimiento similar usted puede calcular lascoordenadas de los puntos terminales asociados a los

31T 1T 1T. ,

arcos 4' 5 4' y 7 4' pero esto seria un gastoinnecesario de tiempo, ya que por inspección nos damoscuenta que son numéricamente las mismas coordenadas

de i sólo que con signos distinto~, de acuerdo con elcuadrante donde esté ubicado el punto terminal.

Llene en la Figl,Jra 11 que se muestra en seguida lascoordenadas de los puntos terminales anotados.

y

p(¡)=(~ ' .Jf )

x

) .

Figura 11

Ahora vamos a calcular las coordenadas del punto

terminal correspondiente al arco de longitud ¡, para locual es necesario .considerar lo siguiente:

En una circunferencia unitaria cuyo centro coincidecon el origen de un sistema de coordenadas rectangulares,se traza una cuerda AB de longitud igual a la. un idad.(Figura 12). y

A x

Figura 12

El procedimientopuedeaplicarsea otrospuntosterminales.

ObtellgamosP.cuandoelarcodelongitudes11

3

55

A partir de B, trácese otra de longitud unitaria, BC.Desde C trácese otra cuerda CD de longitud unitaria V'continúese con las cuerdas contiguas de longitud unitariaDE, EF V FA. (Figura 13).

D A x

Figura13

Lo que hemos construido de acuerdo con la Geome-tría Plana es un hexágono regular inscrito en una circún-ferencia. (La longitud de los lados de un hexágonoregl,Jlar inscrito en una circunferencia es .igual a I'alongitud de su ra~io). Es importante que verifique elsiguiente argumento: ' , '

Como tenemos 6 cuerdas de igu'aí lopgitud, entonces'tenemos 6 arcos de igual longitud. En::i~é~brisecuencia,lalongitud del arco AB es la sexta parte de, la distancia 'qUE;l'.Jse ,mide alrededor de la circunferenda.,' Esto es: ,'!a':., ¡ ,,',

longitud del arco AB =r(21r) =¡. ' "

Ahora bien, de la figura 13, tomemos sólo la cuerdaAB y tracemos el r~dio'OB (Figura 14).

y B

Ax

Figura ]4

56

De esta manera se obtiene el triángulo equiláteroOAB (por construcción), pues que OA = OB = AB = radio= 1 unidad de longitud. Tracemos la perpendicuiar desde8 hasta el eje de las x y. Ilarhemos H al punto deintersección con dicho eje. (Figura 15).

y

Ax

Figura15

Puede darse. cuenta qU!3OH = ~ y.que aplicando elTeorema de Pitágoras, se calcula la longitud entré lospuntos 8 y H (Figura 16).

y

x

Figura16-') -2 -2

siendo para este caso: 08- = OH + BH.-') -2 -"

8H~ = 08 - OH~

BH = V 082 - OH2

57

58

y sustituyendo los valores numéricos se t'iene:

por tanto

--- J3BH =-, 2

De este modo, hemos obtenido las longitudes de loscatetos del triángulo rectángulo OBHy consecuentementelas coordenadas del punto B las cuales se muestran en laF igu ra 1 7.

. '

.-

v

.X

Figura 17Podríamos calcular en forma similar las coordenadas

de los puntos terminales para arcos de 2 ¡, 4 ¡ Y 5 ¡unidades, pero esto constituiría un gasto de tiempoinnecesario. En todos estos casos las coordenadas sqniguales en valnr absoluto, y sólo, cambian de signo~Veamos el siguiente ejemplo 'cuando la longitud del .arco

es ~1r. (Figura 18).y

x,

Figura 18

(1

Ahora, puede establecer las coordenadas de los otros

dos valores de arcos: 2; y 5;, Y anotarlos en laFigura 19.

y

x

, )

Figura 19

En seguida estableceremos ,las coordenadas del pun-

to terminal as'Ociado al arco de, longitud ~, para I~ cualcolocamos el triángulo equilátero OAB'en la forma queabajo se muestra: (Figura 20).

y

x

Figura 20

El eje X intersecta 'al arco en su punto medio yconsecuentemente la cuerda se divide en 2 partes iguales,

esto es BI= lA = ~ unidades de longitud, y aplicando el

Teorema, de PitágoréJs se calcu la que 01 = .J3. ósea2 '

59

60

que las coordenadas del punto terminal asociado con el

arco!. son ( ~ 1 )6 2 ' 2 .

, Así se puede calculBr en' forma similar las coordena-5 7 11 "

das de i 11',i 11',6"11', pero esto seria un gast~ detiempo innecesario; ya. que ~puede observar que única-mente cambia'n los signos de acuerdo con el cuadrante enque esté el punto termi nal.

Ahora usted puede establecer por inspección, lascoordenadas de los puntos terminales correspondientes a

I5 7 11

I F. .

210 .

os arcos 6' 1f, 6" 1f Y 61f, en a Igura 0. '

y

)

x

Figura 21 ..- 3

,Ej~mpl o 4. Encontrar el valor exacto de sen ¡ 11

Solución: Se establecen primero ¡'ascoordenadas delpunto terminal en la circunferencia unitaria asociado al

arco de longitud ~ 1f unidades como se muestra en laFigura 22. y

x

po~ tanto, sen ~ 'Ir = .v2" 2

Ejemplo 5. Encontrar el valor exacto de tg ¡ 'Ir

Solución: En I'a Figura 23 se muestran las coordena-das correspondientes al punto terminal en la circunferen-

cia un itaria, asociado al arco 541T

y

x

Figura 23

y usando la identidad trigonométrica respectiva, se tiene:

I

tg 511 - sen ~ 11 - .J24 - 5 =~cos i 'Ir _.J2 = 1

2" 5

por tanto, tg i 'Ir = 1

Ejemplo 6. Encontrar el valor exacto de see i 'Ir

.. Solución: Se si"gueun procedimiento similar al ejem-plo anterior.

v

\.

x

Figura 24

61

Otra formade encontrarel valor delasfuocionescireulares.

62

y usando la identidad correspondiente se tiene que

5sec 3" 1r = 15

COS3" 1r

1=:¡-=2

2

5por tanto, sec 3" 1r = 2

Ejemplo 7. Encontrar el valor exacto. de ctg 1~ 1r

Solución: En la Figura 25 se muestran las coordena-das correspondientes al punto terminal en la circunferen-

cia unitaria asociado al,arco de longitud ~1r unidades.

v

x

p(~11r)=(1 ,-~).

Figura25

Y util j'zando la identidad trigométrica respectiva, seobtiene: \

Ctg !..!. cos !! 1r - ~61r= 6 -11 = ~sen - "" 1 = - ...;--3

3

6 11 -- 2

2'.3 DADO EL VALOR DE UNA FUNCION,ENCONTRAREL. VALOR DETODAS LASDEMASFUNCIONES.

'Si conAocemos el valor de una de l<;Isfuncionescireu lares y el cuadrante en el que queda localizado elpunto terminal p(8), podemos determi nar el valor de lasdemás funciones circulares. A continuación se presentanvarios ejemplos que le ilustrarán cómo hacerlo.

Ej,emplo: Para un valor dado de (J el punto P(())queda local izado sobre el segmento de recta que une lospuntos (O, O) Y (3,4) (Figura 26). Encontrar el valor detodas ras funciones circulares de (J.

y

5:

4

3

2

x4 5 6

Figura 26

L8 distancia de (O, O) á (3, 4) está dada por

J (3-0)2 +(4-0)2 =.J 9 + 16 =.J~ = 5

Necesitamos determi nar las coordenadas, ~, y delpunto P«(J)que queda localizado sobre la circunferenciaunitaria, y sobre la recta que une los puntos (O,O) Y (3, 4).Por triángulos semejantes* tenem<?sque: '

f = ~; y =.~L I . 3 4

uego, as coordenadas de P(()) son: x = 5" y y = ¡,

Usando la definición de las funciones circularestenemos:

. Si dos triángulos son sernéjantes sus lados homólogos** son proporcionales entre sí,Partes homóiogas de dos figuras' son las que están dispuestas en forma semejante.

1

63

64

4sen6=Y=¡

3

cot6=~-6 3y --¡-= -- 4

5

cos6=x=l 51 1 - ~

sec6=X=~ -35

1 1... ~csc6=y=~-4

5

Ejemplo. Si sen (J = - ~ y tg 6 > O,.,---¡-encontrar el

valor de las demás funciones circulares.

3Puesto que sen (J=- 5" la V de P(6) sobre el

círculo unitario es igual a _! (definición de seno).5Sustituimos este valor en la ecuación del círculo unitarioy tenemos:

x2 +"v;' = ,X2 +, (-/ i)2 = ,

- 9, - "1 + -'-X; "26,,

" ,"': 9

X2 = , -:-26

16X2 = 26

4x = +--6

Pero como sen (J < O Y tg (J > O, P«(J) queda

localizado en el tercer cuadrante, por lo, que x = - i,así que P«(J)= (- ~, - ~) (Figura 27) usando lascoordenadas de este punto determinamos el valor de lasdemás funciones circulares que son:

cos(1=-~ 51 - - ~

sec (1 = --¡- - 45

1

35" 3

tg 8=-¡-=¡5

1 - - ~csc8=--¡-- 3

5

4

cot 8 = .--!. - 43 --- 35

y

(O,1)

(-1, O) (1, O)

(O,-1)Figura 27

. Ejemplo: Si (J es un número real asociado al puntoP(~) que queda localizado en la intersección de la rectaque une los puntos (O,O)Y (12, -5), Y la circunferen-cia un¡taria, enCQntrar el valor de todas las funcionescirculares. (Figura 28).

y

(j

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x

-2

-3

-4

-5. . 'Figura 28 (12, -5)

65

La distancia de (O, O) a (12, -5) está dada por

. .J (12-0)2 + (-5 -0)2 =.J 144 + 25 = J169 = 13

P .,l

. 12or tnangu Os semejantes tenemos que x = 1>3 Y

1

(12 5

)Y = - - . luego p(8) = - - - Y el valor de13 ' , 13 ' 13las funciones circulares es:

6sen O =- 13

12

cot O = --1.L - 125 - --- 513

12cos O =13

1 13secO =1"2=12

13

1 13esc O =--S=-S-

- '13

513 5

tan O = 1""2 = - 1213

Ejemplo: Si cot O=' - ~5', encontrar el valor detodas lasdernásfunciones circulares si P(O) está en elsegundo c\Jadra'lte.

En e5,3 ejemplo no conocemos ní x ni y deP(O), ,pero sabemos que cot O está definido como ~ con xy'negativa y y positiva por ,e~tar P(O) en el segundocuadrante. Para encontrar estos valores procedemo~ cQmosigue:

Hagamos r = .J82 + 152 =.J 64 + 225 =.J 289 = 17. 8

_..!.. podemos escribirlo en forma equivalente como - 1715 '--vs

8 --- 17. 17por lo que cot O =~

17

Y dado que por defini~ión cotO=~, con.cluimos que x =

- 1~Y Y= ~~ ' así PíO)=(- 1~ ' ~~) y los valores de lasfunciones drcu'lares que faltan serán:

15sen O = 17 secO=-!! 8

66

'/

8cos O = - 17

17ese O = 15

tg O = - 158

Ejemplo: 'Si O es un número real asociado al puntoterminal P(O) que se localiza en la intersección delsegmento de recta que une el punto (O, O) con el

(3, -4), Y la circunferencia unitaria, encontrar los valores

de las funciones de O + ~ (Figura 29).

-3

-4(3, -4)

Figura 29

semejantes determi namos' que P(O)

triángulos congruentes* P({} + i} =

luego los valores de las funciones circulares

Por triángulos.

(3 4)= 5'- 5 y por4 3

(5' 5),son:

sen(O + ! )~ 3

2 - 5 cot (O + ! )- 42 --3.

cos(O .+ i) = ~see(O+ !!)

- 52 -¡

* Dos triángulos son congruentes si se pueden hacer coincidir en todas sus partes.

67

y.10

"/

X 71 \"

O/ "\ O+ i. . XI I I .-1\ "" I1J 2 3 4 5

'68

Ejemplo: Con los datos del ejemplo anterior,' encon-trar los valores de las funciones de 8 + 1T (Figura 30).

y

2 t 2.

8

- 3 . .-2 -1

-2

-3

x2 33 2

)p(8) =(5" .- 5".

-5

Figura 30

5

(3, 4)

Por triángulos congruentes encontramos que P(8 + 11')

=(-~, ~), luego.los valores de las funciones son:

seo (8 + 11') =~5

co~ (8 + 11') = - ~5

tg (8 + 7T) = - !3

3cot (8 + 7T)= - ¡

5see (8 + 7T) = - 3

ese (8 + 7T).= 54"

Si a e 3e le aumenta o disminuye un múltiploenter.o de 21TPIO+ k(27T)] coincidirá con el puntotermi nal otlglrIdl P(8), Y ambos puntos termi nales ten-drán las mismas coordf;r1dddS.'por lo que podemos dar lasiguiente defini( :Ón.

Para toda () E R Y k E I tenemos que:

sen [() + k (21T)] = sen () sen [() + k(21T)]= see ()

cos [() + k(2~r)] = cos () ese [() + k(21T)] = ese ()

De esto podemos concluir que estas cuatro funcio-nes circulares son periódicas*en 21T.

Las funciones tangente y cotangente difieren delseno, coseno, secante y cosecante en cuanto al período

y -y, -y y (). x - x

ya que tg (J = - =-- 'O tg () =- =- y ~ot =- =-. x -x x -x y -y

ó eot () =~ =2!...; por lo que el valor de estas dosy -yfunciones circulares en P(()) es igual al valor de lasmismas en P(() + k1T), así que podemos dar la siguientedefinición:

Para toda () E R y. k El, tenemos que

tg (() + k1T) = tg (J

.oot (() + k 1!) = cot ()

Luego, las funciones tangente ycontángente sonperiódicas en 1T.

* Una función 1 es periódica con período P si para toda ti E R 1(8 + p) - 1(8), esdecir el valor de la función 1(8) se repite cuando a ti se le suma P.

69

REACTIVOSDEAUTOEVALUACION

E~ los ejercicios del 1 al 11 se recomienda hacer la gráfica de la,circunferencia unitaria con las coordenadas del punto terminal respectivo.

7f1. Encontrar el valor exacto de ctg 2'

2. Encontrar el valor exacto de cos 27T37f

3. Encontrar el,valor exacto de ctg 2"4. Encontrar el valor exacto de sen 27f

, 7f

5. Encontrar. el valor exacto de tg 2"

6. Encontrar .el valor exacto de cos 327f7.- Encontrar el valor exacto de ctg 7f

8. Encontrar el valor exacto de sec 7f7f

9. Encontrar el valor exacto de ese 2"37f

10. Encontrar el valor exacto. de ese "2

11. Ehcontr~r el valor exacto de tg O.

En 'Ios ejercicios del 12 al 27 se recomienda hacer la gráfica de lacircunferencia unitaria con las coordenadas del punto terr;ninal respectivo.

. 5

12. Encontrar el valor exacto de eos ¡ 7f.5

13. Encontrar el valor exacto de ese ¡ 7f

14. Determin~r el valor exacto de sec ¡. 7f

15. De.termi~ar el valor exacto de ctg ~ 'Ir, 7f .

16. Determinar el valor exacto de see ¡7

17. Encontrar el valor exacto de cqs 6' 7f4

18. Encontrar el valor exacto de ese 3" 7f7f

19. Encontrar .el valor exacto de tg 6'7

20. Encpntrar el valor exacto -de ctg ¡ '7f

70

21. Determinarel valor exacto de ese ~ 1f. . . 5

22. Encontrar el valor exacto de sec ¡ 1f

23. Encontrar el valor exacto de sen 1611f5

24. Encontrar el valor exacto de cos i 1f1f

25. Encontrar el valor exacto de tg 3", 1f

26. Encontrar el valor exacto de ese 3"

27. Determinar el v~lor exacto de tg i 1f

En los problemas del 28 al 32 el punto P(8) estálocalizado en la intersección' del segmento de recta queUne el origen con el punto indicado y la circunferenciaunitaria. Determinar el valor de las seis funciones circula-res para el respectivo valor de 8. Para resolver todos losprobl.e.mas de este ejercicio es muy conveniente queconstruya una gráfica en cada uno de ellos.

28. (-4, 3) "29. (12, 5)30. (5, -6)

31. (-:-24, -7)32. (10, 10)

En los problemas del 33 al 3.7 encontrar, el valor delas' cinco funciones circulares que faltan si se conocen lassiguientes cO'ndiciones: .

En los problemas del 38 al 42, P(8) está localizadoen \ la intersección del segmento de recta que une elorigen con el punto (15, 8) Y la circunferencia unitari.a.Determinar las funciones circulares de:

.71

33.. 2

P(O) en el tercer cuadrante. 38. 8+1f'tg 0=3;

34.5

39, 8 - 1fsee (J = - ¡ P«(J)en el segundo.cuadrante.35.

cos (J = o; P(8.)en el primer cuadrante. 40. '8+..1L 236.

/eot (J =2 sen O negat ivo

4't 8 - 1t12 2'

37. sen 8 = - 13 ; tg (Jpositiva8 + -42.

2