Matemticas

para administracin y economa

Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

1

Curso Propedutico de MatemticasCurso Propedutico de MatemticasUnidad IV

(Secciones 6 y 8)

2

0.6 Operaciones con expresiones algebraicas. 0.8 fracciones

0.6 Operaciones con expresiones algebraicas

Objetivo: sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas.

Definir lo que es un polinomio, utilizar productos especiales y

emplear la divisin larga para dividir polinomios.emplear la divisin larga para dividir polinomios.

Cuando se combinan nmeros representados por smbolos mediante

operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin o extraccin de

races, entonces la expresin resultante se llama expresin

algebraica.

1

Expresiones algebraicas:

5ax3(5a) coeficiente de x3(5) coeficiente numrico de ax3

Expresin algebraica

Si (a) es un valor fijo se denomina constante

1

Es una expresin algebraica en la variable x

2

Es una expresin algebraica en la variable y

3

Es una expresin algebraica en las variables x y

33 5 2310x x

x

2

510 3

7y

y +

+

( )32

x y xy

y

+ +

Dimensin de expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas Dimensin

1 5ax2 Monomio

2 2bx + 3 Binomio

3 5ax2 - 2bx + 3 Trinomio

5

5ax - 2bx + 3 Trinomio

4 x2 + 5ax2 - 2bx + 7xy + 3 Multinomio

5 Cnxn + cn-1x

n-1 ++ c1x + c0 Polinomio

Donde n es un entero no negativo y los

coeficientes c son constantes s Cn 0Se le llama a n el grado del polinomio.

Simplificar (3x2y 2x + 1) + (4x2y + 6x 3)

Solucin: se eliminan los parntesis, despus por propiedad conmutativa se

renen los trminos semejantes.

Trminos semejantes son los que slo difieren por sus coeficientes numricos.

Entonces:

Suma de expresiones algebraicas:

6

3x2y + 4x2y 2x + 6x + 1 3

Por propiedad distributiva:

3x2y + 4x2y= 3+4(x2y)= 7x2y6x 2x 3 + 1= x (6 +2) 3 + 1= 4x - 2

Se tiene que:

(3x2y 2x + 1) + (4x2y + 6x 3) = 7x2y + 4x - 2

Sustraccin de expresiones algebraicas:

Simplificar (3x2y 2x + 1) - (4x2y + 6x 3)

Solucin: se eliminan los parntesis, despus por propiedad distributiva se

renen los trminos semejantes.

Trminos semejantes son los que slo difieren por sus coeficientes

numricos.

Entonces:

7

Entonces:

3x2y 2x + 1 - 4x2y - 6x + 3

Por propiedad distributiva:

3x2y - 4x2y = 3 - 4(x2y)= -1x2y- 6x - 2x + 3 +1= x ( - 6 - 2) +3 + 1= - 8x + 4

Se tiene que:

(3x2y 2x + 1) - (4x2y + 6x + 3) = - x2y - 8x + 4

Simplificar 3{2x[2x +3] + 5[4x2 (3 4x)]}

Solucin: se eliminan los signos de agrupacin ms internos (parntesis),

despus se renen los trminos semejantes que sean posibles.

Trminos semejantes son los que slo difieren por sus coeficientes numricos.

Eliminacin de los smbolos de agrupacin:

8

Trminos semejantes son los que slo difieren por sus coeficientes numricos.

Entonces:

3{2x[2x +3] + 5[4x2 3 + 4x]}3{4x2 + 6x + 20x2 15 + 20x}

3{24x2 + 26x - 15}72x2 + 78x 45

La propiedad distributiva es la herramienta clave al multiplicar

expresiones. Por ejemplo, para multiplicar ax + c por bx + d, se puede considerar ax + c como un solo nmero y entonces

Propiedad distributiva:

9

se puede considerar ax + c como un solo nmero y entonces al utilizar la propiedad distributiva se tiene que:

(ax + c)(bx + d) = (ax + c)bx + (ax + c)d

Multiplicacin de multinomios:

Encuentre el producto (2t 3)(5t2 + 3t 1)

Solucin: se toma a (2t 3) como un solo nmero y se aplica la propiedad

distributiva dos veces, se tiene que:

10

(2t 3)(5t2 + 3t 1) = (2t 3)5t2 + (2t 3)3t (2t 3)1= 10t3 15t2 + 6t2 9t 2t + 3

= 10t3 9t2 11t + 3

a. (x3 + 3x) / x = x3/x + 3x/x = x2 + 3

b. (4z3 8z2 + 3z 6)/2z = 4z3/2z 8z2/2z + 3z/2z 6/2z)

= 2z2 4z + 3/2 3/z

Divisin de un multinomio entre un monomio:

11

= 2z2 4z + 3/2 3/z

0.8 Fracciones

Objetivo: simplificar fracciones y sumar, restar, multiplicar y dividir facciones.

Racionalizar el denominador de una fraccin.

Simplificacin de fracciones:

12

Simplificacin de fracciones:

Por el principio fundamental de fracciones se puede multiplicar o

dividir el denominador y el denominador de una fraccin entre la

misma cantidad diferente de cero. La fraccin resultante ser

equivalente a la original.

Simplificacin de fracciones

Simplificar:

Solucin: factorizar completamente el numerador y el denominador

2

2

6

7 1 2

x x

x x

+

2

2

6 ( 3 ) ( 2 )

7 1 2 ( 3 ) ( 4 )

x x x x

x x x x

+= +

13

Dividir el numerado y el denominador entre el factor comn (x 3), se tiene

En general solo se escribe

( 3 ) ( 2 ) 1 ( 2 ) ( 2 )

( 3 ) ( 4 ) 1 ( 4 ) ( 4 )

x x x x

x x x x

+ + += =

2

2

6 ( 3)( 2) ( 2)

7 12 ( 3)( 4) ( 4)

x x x x x

x x x x x

+ += = +

Multiplicacin de fracciones

La regla para multiplicar es:

Ejemplos:

a.

bd

ac

db

ca

d

c

b

a =.

. es por

33)3(3 22 +=+=+=+ xxxxxxxx

14

a.

b.

103

3

1025

3

)5)(2(

)3(

5

3.2

2

2

2

2

+=

++=

++=

+

+ xxxx

xxx

xx

xx

xx

x

x

x

x

( )( )( )( )[ ] ( )( )[ ]

( )( )( )( )43

126

2413

116 .)2(

82

66.32

44 2

2

2

2

2

+++=

+++=

+

++

xx

xx

xxxx

xxx

xx

x

xx

xx

Divisin de fracciones

La regla para dividir es:

Ejemplos:

a.

c

d

b

a

d

c

b

a

d

c

b

a. ==entre

( )553 ==+ xxxxxx

15

a.

b.

( )( )( )32

5

3

5.25

3

2 ++=

+

+=

+

+ xxxx

x

x

x

x

x

x

x

x

( )( )412

82

1.1

4

1

82

1

4

222

2

++=

+

=

+

xxxx

x

x

x

x

xx

x

x

Suma y resta de fracciones

La regla para sumar es:

La suma de fracciones del tipo que tienen un

denominador comn, el resultado es una fraccin cuyo

denominador es el denominador comn y el numerador es la

suma de los numeradores originales

c

ba

c

b

c

a +=+

16

suma de los numeradores originales

La regla para restar es

semejante a la anterior solo que su numerador es la resta de los

numeradores originales

c

ba

c

b

c

a =

Ejemplos de suma y resta de fracciones

a. 2

33

2

)23()5(

2

23

2

5 222

+=

++=

++

p

pp

p

pp

p

p

p

p

17

b.

3

4

3

)4(

33

4

)3)(2(

)2(

)3)(1(

)4)(1(

65

2

32

452

2

2

2

+=

+=

+

+=

=++

++=

+++

++

xx

xx

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

Suma y resta de fracciones con denominadores diferentes

Para sumar o restar dos fracciones con denominadores diferentes se utiliza el principio

fundamental de las fracciones para reescribirlas como fracciones equivalentes que

tengan el mismo denominador. Despus se suma o resta con el mtodo anterior

descrito.

Ejemplo, resolver para:23 )3(

3

)3(

2

+

xxxx

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Se convierte la primera fraccin en una equivalente, multiplicando el numerador y el

denominador por (x-3)

Y convertir la segunda fraccin multiplicando el numerador y el denominador por X 2

23 )3(

)3(2

xx

x

23

3

)3(

3

xxx

Estas fracciones tienen el mismo denominador por lo que se

obtiene:

22

2

23

2

2323 )3(

623

)3(

3

)3(

)3(2

)3(

3

)3(

2

+=

+

=

+

xxxx

xx

x

xx

x

xxxx

19

En general para encontrar el MCD de dos o ms fracciones, primero se factoriza cada

denominador.

El MCD es el producto de cada uno de los distintos factores que aparecen en los

denominadores, cada uno elevado a la potencia ms grande a la que se presenta en

alguno de los denominadores

)3()3()3()3()3( xxxxxxxxxx

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