UNIDAD V

TRANSFORMACIONES LINEALES

5.1.- Definición de transformación lineal y sus propiedades

5.2.-Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación).

5.3.- Definición del núcleo de Kernel e imagen de una transformación lineal

5.4.- La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una transformación lineal

5.5.- Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales. Algebra de las transformaciones lineales

1

ÍNDICE

Definición de transformación lineal y su propiedades.............................................................................................3

Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)..................................................................................................9

Definición del núcleo de Kernel e imagen de una transformación lineal......................................................................................................11

La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una

transformación lineal.....................................................................................................15

Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales. Algebra de las transformaciones lineales...................................................................................................20

Problemario............................................................................................26

Bibliografía.............................................................................................30

2

5.1.- Definición de Transformación Lineal y sus propiedades.

En esta sección se inicia el estudio de las funciones con valor vectorial de una variable vectorial. Es decir, funciones que tienen la forma

, en donde la variable independiente v y la dependiente w son

vectores. Se enfoca la atención en una clase especial de funciones vectoriales conocidas como transformaciones lineales. Estas funciones tienen muchas aplicaciones importantes en física, ingeniería, ciencias

sociales y diversas ramas de las matemáticas.

Si V y W son espacios vectoriales y F es una función que asocia un vector único en W, con cada vector en V, se dice que F aplica (mapea) V

en W y se escribe . Además, si F asocia el vector w al vector v

se escribe y se dice que w es la imagen de v bajo F.

Como ilustración, si es un vector en R2, entonces la fórmula

(5.1)

Define una función que aplica R2 en R3. En particular, si ,

entonces y , de modo que la imagen de v bajo es

.

DEFINICIÓN

Si es una función del espacio vectorial V hacia el espacio

vectorial W, entonces F es una transformación lineal si

(i) para todos los vectores u y v en V.

(ii) para todos los vectores u en V y todos los escalares k.

3

Como ilustración, sea la función definida por (5.1). Si

y , entonces de modo que

También, si k es un escalar, de manera que

Por tanto, F es una transformación lineal.

Si es una transformación lineal, entonces para v1 y v2

cualesquiera en V y cualesquiera escalares k1 y k2, se tiene

De modo análogo, si v1, v2, . . . , vn son vectores en V y k1, k2, . . . , kn

son escalares, entonces

(5.2)

Ejemplo 1

Sea A una matriz fija de m X n. Si se utiliza la flotación matricial para

vectores en Rm y Rn, entonces se puede definir una función por

medio de

Obsérvese que si x es una matriz de n x 1, entonces el producto Ax es una matriz de m x 1; así entonces, T aplica Rn en Rm, Además, T es

4

lineal; para comprobarlo, sean u y v matrices de n x 1 y k un escalar. Al aplicar las propiedades de la multiplicación de matrices, se obtiene

Y

O, de modo equivalente,

A la transformación lineal de este ejemplo se le denominará multiplicación por A. A las transformaciones lineales de este tipo se les

conoce como transformaciones matriciales.

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES:

NÚCLEO (KERNEL) Y RECORRIDO

En esta sección se desarrollan algunas propiedades básicas de las transformaciones lineales. En particular, se demuestra que una vez que se conocen las imágenes de los vectores base bajo una transformación lineal, es posible encontrar las imágenes de los vectores restantes en el

espacio.

Teorema 1. Si es una transformación lineal, entonces:

(a)

(b) para todos los v en V

(c) Para todos los v y w en y

Demostración. Sea v cualquier vector en V Debido a que , se tiene:

Lo cual prueba (a).

También, , lo cual prueba (b).

5

Por último, ; por tanto,

Definición. Si es una transformación lineal, entonces el

conjunto de vectores en V que T aplica hacia 0 se conoce como núcleo

(Kernel o espacio nulo) de T; este espacio se denota por . El

conjunto de todos los vectores en W que son imágenes bajo T de al menos un vector en V se conoce como recorrido de T; este conjunto se

denota por

6

Teorema 2. Si es una transformación lineal entonces:

a) El núcleo de T es un subespacio de V.

b) El recorrido de T es un subespacio de W.

Demostración

a) Para demostrar que es un subespacio, se debe demostrar

que es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar. Sean v1 y

v2 vectores en y supóngase que k es cualquier escalar.

Entonces,

7

De modo que está en . También

De manera que kv1 está en

b) Sean w1 y w2 vectores en el recorrido de T. Para probar esta parte, es necesario demostrar que w1 + w2 y kw1 están en el recorrido de T, para cualquier escalar k; es decir, se han de encontrar los

vectores a y b en V tales que

Supuesto que w1 y w2 están en el recorrido de T, existen los

vectores a1 y a2 en V tales que y . Sean

y Entonces

Y

Lo cual completa la demostración.

Teorema 3. (Teorema de la dimensión.) Si es una

transformación lineal desde un espacio vectorial V y con dimensión n hacia un espacio vectorial W, entonces

En el caso especial en el que V=Rn, W=Rm y es la

multiplicación por una matriz A de m X n el teorema de la dimensión conduce al siguiente resultado:

8

Sin embargo, se hizo notar que la nulidad de T es la dimensión del

espacio de soluciones de , y que el rango de T es el rango de la

matriz A. Por consiguiente, (5.4) conduce al teorema que sigue:

Teorema 4. Si A es una matriz de m X n, entonces la dimensión del

espacio de soluciones de es

5.2.-Ejemplos de Transformaciones Lineales (Reflexión, Dilatación, Contracción, Rotación )

Sea 0 ≤ θ < 2π un ángulo medido en radianes. La Transformación de T : R2 ―› R2 que gira sobre un vector ū = (u1, u2) es un ángulo θ, para

obtener un vector T (ū) = (v1, v2).

Usando las funciones trigonométricas, tenemos que:

9

v1 = ||T (ū)|| • cos (α + θ) = ||ū|| • (cos α cos θ - sen α sen θ) v2 = ||T (ū)|| • sen (α + θ) = ||ū|| • (sen α cos θ + cos α sen θ)

Como u1 = ||ū|| = cos α y u2 = ||ū|| = sen α se obtiene:

v1 = u1 cos θ – u2 sen θ v2 = u2 cos θ – u1 sen θ

Por lo tanto la Transformación T : R2 ―› R2 debe estar definida tal que:

T (u1, u2) = (u1 cos θ – u2 sen θ, u2 cos θ – u1 sen θ).

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo θ y es lineal, ya que:

T [(u1, u2) + γ(v1, v2)] = T (u1 + γv1, u2 + γv2) = ((u1 + γv1) cos θ – (u2 + γv2) sen θ, (u2 + γv2) cos θ + (u1 + γv1) sen θ) =(u1 cos θ - u2

sen θ, u2 cos θ + u1 sen θ)+(v1 cos θ - v2 sen θ, v2 cos θ + v1 sen θ) = T (u1, u2) + γT (v1, v2)

Transformación de Reflexión: La Transformación de T : R2 ―› R2 que a cada vector ū = (u1, u2) lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector

T (ū) = (v1, v2).

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda

definida como sigue: T (u1, u2) = (u1, -u2)

10

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

T [(u1, u2) + γ(v1, v2)] = T (u1 + γv1, u2 + γv2) = (u1 + γv1, -u2 -γv2) = (u1, -u2) + γ(v1, -v2) = T (u1, u2) + γT (v1, v2)

5.3.- Definición Del Nucleó De Kernel, e Imagen de una Transformación Lineal.

Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la

siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el

conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al

vector nulo del co-dominio.

11

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

dado que

Dados

Dados

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad (T) = dim

(ker(T))

O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el

conjunto de todos los vectores del co-dominio que son imágenes de al

menos algún vector del dominio.

La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del co-

dominio.

IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan

sobre un elemento de un sub espacio, para transformarlo en un

elemento de otro sub-espacio. En ocasiones trabajar con vectores es

muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un

contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario

transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente. Por

otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con

12

sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada

superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de

cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede

ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse

demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a

toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que

cumpla la siguiente definición:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo o campo K, y T

una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par

de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente

a K, se satisface que:

1.

2. donde k es un escalar.

Transformación lineal singular y no singular

Sean y espacios vectoriales sobre el mismo campo y una

transformación lineal de en . Entonces, es no singular si:

X

En caso contrario es singular.

Teorema de las dimensiones

Dim (ker (V)) + dim (Im (V)) = dim (V)

Demostración: Tomando los espacios isomorfos muy conocidos, V / ker

(T) y Im (T) (la demostración que son isomorfos, es trivial), se sabe que

sus dimensiones son iguales. Por definición, la dimensión de V / ker(T)

es: dim(V / ker(T)) = dim(V) − dim(ker(T)) Pero como V / ker(T) y Im(T)

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son isomorfos, entonces dim(ker(T)) = dim(Im(T)) reemplazando, queda:

dim(Im(T)) = dim(V) − dim(ker(T)),dim(Im(T)) + dim(ker(T)) = dim(V)

Teorema fundamental de las transformaciones

Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de

n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única

transformación lineal. Para todo

Clasificación de las transformaciones lineales

1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único

elemento del núcleo es el vector nulo.

2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva).

3. Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y

exhaustiva).

Matriz asociada a una transformación lineal

Sea una transformación lineal es posible encontrar una

matriz asociada a una transformación lineal

Desarrollo:

Si V y W son espacios de dimensión finita, y se eligen bases en estos

espacios, entonces toda transformación lineal de V a W puede ser

representada como una matriz. Por otro lado, toda matriz real m por n

determina una transformación lineal de esta forma f(x) = Ax

Sea una base de V. Entonces todo vector v en V está

determinado de manera única por los coeficientes en:

Si f: V → W es una transformación lineal,

14

Lo cual implica que está completamente determinada por los valores

Ahora es una base de W. Se puede representar cada f (vj)

como

Entonces la función f está enteramente determinada por los valores ai,j..

Si se trata de transformaciones de generalmente se usa la

base canónica.

Si se cambian las bases, entonces la matriz será distinta, pero

representará la misma transformación lineal.

Función lineal como propiedad de los sistemas generales

Una función es lineal cuando cumple todas estas propiedades:

Si aplicamos una entrada u1(x) obtenemos una salida particular y1(x)

Si aplicamos una entrada u2(x) obtenemos una salida particular y2(x)

Entonces si aplicamos u3(x)=c1u1(x)+c2u2(x) obtenemos una salida

y3(x)=c1y1(x)+c2y2(x) para todos los pares de entradas u1(x) y u2(x) y

para todos los pares de constantes c1 y c2.

5.4.- La Matriz de una Transformación Lineal y Representación Matricial de una transformación lineal.

Sea una transformación lineal es posible encontrar una matriz asociada a una transformación lineal Desarrollo:

Si V y W son espacios de dimensión finita, y se eligen bases en estos espacios, entonces toda transformación lineal de V a W puede ser

15

representada como una matriz. Por otro lado, toda matriz real m por n determina una transformación lineal de esta forma f(x) = Ax

Sea una base de V. Entonces todo vector v en V está determinado de manera ¨ nica por los coeficientes en: Si f: V ¡ú W es una transformación

lineal,

Lo cual implica que esto completamente determinada por los valores

Ahora es una base de W. Podemos representar cada f (vj) como

Entonces la función f está enteramente determinada por los valores ai,j.. Si se trata de transformaciones de generalmente se usa la base

can¨®nica.

Si cambiamos las bases, entonces la matriz ser¨¢ distinta, pero representar¨¢ la misma transformación

Esta transformación solo sirve en plano que sean de x,y,z para pasar a x,y

Sea una matriz de dimensión , y sea su transformación lineal asociada. Entonces las siguientes afirmaciones son

equivalentes:

1. .

2. .

3. es invertible (es decir, existe una matriz de dim. tal que ).

4. La forma escalonada reducida por filas de tiene pivotes.

5. es equivalente mediante operaciones elementales a la matriz identidad .

6. El conjunto de filas de es linealmente independiente.

7. El conjunto de columnas de es linealmente independiente.

16

8. La única solución al sistema homogéneo es la solución

trivial .

9. Existe un tal que el sistema tiene única solución (es decir,

para algún ).

10. Para todo , el sistema tiene única solución (es decir,

para algún ).

11. (es decir, la única pre

imagen bajo del vector cero es el vector cero).

12. .

13. .

14. .

15. es sobreyectiva (es decir, .

16. es una base para .

17. es inyectiva, esto es, si , entonces .

18. es un isomorfismo (esto es, una transformación lineal inyectiva y sobreyectiva).

Además, si todas las anteriores condiciones se cumplen (para lo cual

basta que una se cumpla), entonces tiene como inversa a la

transformación lineal , es decir, .

Verdadero o falso:

17

1. Si la ecuación tiene única solución, entonces es invertible.

Representación

Es posible sumar dos matrices del mismo tamaño mediante la adición de

elementos individuales. En la siguiente ilustración se muestran dos

ejemplos de adición de matrices.

Una matriz m×n puede multiplicarse por una

matriz n×p y el resultado es una matriz m×p.

El número de columnas de la primera matriz

debe coincidir con el número de filas de la

segunda matriz. Por ejemplo, una matriz 4x2

puede multiplicarse por una matriz 2×3 para generar una matriz 4×3.

Los puntos en el plano y las filas y columnas de una matriz pueden

considerarse como vectores. Por ejemplo, (2, 5) es un vector con dos

componentes, y (3, 7, 1) es un vector con tres componentes. El producto

de puntos de dos vectores se define de esta forma:

(a, b) • (c, d) = ac + bd

(a, b, c) • (d, e, f) = ad + be + cf

Por ejemplo, el producto de puntos de los vectores (2, 3) y (5, 4) es (2)

(5) + (3)(4) = 22. El producto de puntos de los vectores (2, 5, 1) y (4, 3,

1) es (2)(4) + (5)(3) + (1)(1) = 24. Observe que el producto de puntos

de dos vectores es un número, no otro vector. Observe también que sólo

se puede calcular el producto de puntos de dos vectores si éstos tienen

el mismo número de componentes.

Consideremos que A(i, j) es una entrada de la matriz A, en la fila i,

columna j. Por ejemplo, A(3, 2) es la entrada de la matriz A situada en la

tercera fila y la segunda columna. Supongamos que A, B y C son

matrices, y que AB = C. Las entradas de C se calculan de esta forma:

18

C(i, j) = (fila i de A) • (columna j de B)

En la siguiente ilustración se muestran varios ejemplos de multiplicación

de matrices.

Si se considera un punto en un plano como

una matriz 1x2, se puede transformar dicho

punto multiplicándolo por una matriz 2x2. En

la siguiente ilustración se muestran varias

transformaciones que se han aplicado al

punto (2, 1).

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Sea T: V → W una transformación lineal, donde V y W son espacios vectoriales. Sean e1 = (1, 0, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, 0, …, 0), e3 = (0, 0, 1 , 0, …, 0) , …, en = (0, 0, 0, …, 0, 1). Suponga que {e1, e2, e3, …, en} es una base de V. Ahora, sea T(e1) = w1, T(e2) = w2, T(e3) = w3, …, T(en) = wn. Llamamos a AT la matriz cuyas columnas son w1, w2, w3, … , wn. Entonces a la matriz AT se le llama la representación matricial de T.

20

5.5.- Transformaciones y Sistemas De Ecuaciones Lineales. Algebra de las transformaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales

que podemos escribir de forma tradicional así:

Un sistema así expresado tiene  "m"  ecuaciones y  "n"  incógnitas,

donde  aij  son números reales, llamados coeficientes del sistema, los

valores  bm  son números reales, llamados términos independientes del

sistema, las incógnitas  xj  son las variables del sistema, y la solución

del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn)

tales que al sustituir las incógnitas  x1, x2, ... , xn  por los valores  s1,

s2, ..., sn   se verifican a la vez las  "m" ecuaciones del sistema.

Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene

esta forma:

21

Donde :

Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión  m×n  formada por los coeficientes del sistema, y la designamos por A. Designamos por  X  a la matriz columna formada por las

incógnitas.

Denotamos por  B  a la matriz columna formada por los términos independientes.

y llamamos matriz ampliada de dimensión  m×(n+1)  a la matriz que

se obtiene al añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la

columna de los términos independientes, y la denotamos por  A*, es

decir

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Ax = b,

donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud

n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema anteriormente

mencionado de eliminación de Gauss-Jordán se aplica a este tipo de

sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o

complejos), entonces solo puede darse una de las tres siguientes

situaciones:

el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema está sobredeterminado o que es incompatible)

el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible determinado)

el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es compatible indeterminado).

La ecuación  2x - 3 = 0  se llama ecuación lineal de una variable.

Obviamente sólo tiene una solución.

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La ecuación  -3x + 2y = 7  se llama ecuación lineal de dos variables. Sus

soluciones son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones

que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a

la otra.

La ecuación  x -  2y + 5z  = 1  se llama ecuación lineal de tres variables.

Sus soluciones son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas

soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores

cualesquiera a las otras dos.

En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo :

Las soluciones son las secuencias de números  s1, s2, s3, ..., sn  que hacen verdadera la igualdad [1]

Si los coeficientes valen 0 y el término independiente no, la ecuación se llama incompatible. No tiene solución y también se denomina ecuación

imposible, proposición falsa o igualdad absurda.

Si los coeficientes y el término independiente son nulos, se dice que la ecuación es una identidad.

TRANSFORMACIONES LINEALES

Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se

realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones

trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente

interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no

siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos

trabajar más fácilmente.

Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más

sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una

técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran

variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un

proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede

23

lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación

lineal.

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación

lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios

vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una

función de V en W. T es una transformación lineal si para cada par de

vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente

a K, se satisface que:

1.

2. donde k es un escalar.

Los sistemas de ecuaciones lineales son ecuaciones que tienen n

incógnitas, las cuales podemos representar en una notación matricial,

se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de

gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés

demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo

cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman

una transformación lineal.

24

A partir de una ecuación lineal podemos hacerle las

transformaciones lineales para tener como resultado escalares.

Por ejemplo

T: R2 R2 dado por T(X, Y)= (2X, X+2Y). Suponiendo que A

(2,2) Y B (1,2). Determinar la T(A+B)

T(A+B)= (2+1, 2+2)

2(2)+2(1), 2+2(2)+ 1+2(2)

4 + 2 , 6 + 2

6 , 11

25

Aplicaciones de las Transformaciones Lineales

Se aplican en sistemas de ecuaciones lineales, en matrices y en un sin número de problemas, gracias a las transformaciones lineales sabemos

el dominio e imagen y teniendo esto saber si es un espacio vectorial.

Dada la transformación lineal

Determinar la matriz asociada a en la base canónica de cada espacio. Solución:

Dada la transformación lineal

Determinar la matriz asociada a en la base canónica de cada espacio. Solución:

26

Sean las bases canónicas de

,   

PROBLEMARIO

Problema 1.

Representación matricial de una transformación de en .

Defina por

Encuentre , , , y .

Solución.

y

Así

Observe a manera de verificación que

27

Ahora se calculan el núcleo y la imagen de . La forma escalonada por renglones

de es . Esta forma tiene tres vipotes, de

manera que

y ya que

esto significa que , , y

Problema 2.

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales. Represente el conjunto de soluciones.

Solución

De acuerdo con el método de Gauss-Jordan, se obtiene

28

Por lo tanto,

Que da como resultado

si da x3 el valor de r, obtiene una solución cualquiera

Las soluciones son vectores de la forma (-5r+7, r+2, r).

BIBLIOGRAFÍA

29

http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/algebralineal/notas/notas/node4.html

http://www.mitecnologico.com/Main/LaMatrizDeTransformacionLineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_lineal

http://msdn.microsoft.com/es-es/library/8667dchf(VS.80).aspx

http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/Representaci%C3%B3n%20Matricial%20de%20TL.htm

http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T8_Estudio_SEL.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Operador_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

30