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CUADERNILLO DE ESTUDIO

COORDINACIÓN DE CIENCIAS FÍSICO – MATEMÁTICAS CICLO ESCOLAR 2013 – 1

MATEMÁTICAS IV Nombre del Alumno: Ciclo escolar: Grupo: Fecha: PRESENTACIÓN

El presente documento está elaborado con la finalidad de que el alumno/a tenga una guía práctica para presentar el examen extraordinario.

Es importante mencionar que la resolución de este cuadernillo no tiene valor para efectos de calificación del examen extraordinario, únicamente es complemento del apoyo académico, sin embargo, es requisito indispensable entregarlo resuelto antes de la evaluación.

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Contenido

BLOQUE I: RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES. ................ 3

BLOQUE II: APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS. ......................... 6

BLOQUE III: FUNCIONES POINOMINALES DE GRADO CERO, UNO Y DOS. ............................................... 8

BLOQUE IV: UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO. .............................. 11

BLOQUE V: UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS................. 13

BLOQUE VI: APLICA FUNCIONES RACIONALES. ........................................................................................ 16

BLOQUE VII: UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. ................................................ 19

BLOQUE VIII: APLICA FUNCIONES PERIÓDICAS. ....................................................................................... 24

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BLOQUE I: RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES. Relaciones y funciones Ejemplo 1: Encuentra el dominio de las siguientes funciones

Solución:

Consideramos , debido a que no esta definida la división entre cero. Factorizamos para encontrar los valores que indeterminan la función, se representa como:

Resolvemos cada uno de los miembros de la ecuación por separado:

Por lo tanto el dominio queda representado de la siguiente manera:

En forma de intervalo quedaría representado como:

Actividad 1 Encuentra el dominio de las siguientes funciones.

a)

b)

c)

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Evaluación de funciones

Ejemplo 2: Evalúa la siguiente función, si consideramos y queremos encontrar el valor

Solución: Sustituimos el valor propuesto en la función dada

Actividad 2 Evalúa las siguientes funciones para encontrar lo que se te indica:

a) , encontrar

b) , encontrar f( )

c)

Función compuesta. Ejemplo 3: Si , encuentra . Solución. Tenemos la siguiente relación, , necesitamos sustituir el valor de x por lo que vale g(x), esto es.

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Actividad 3 Encuentra de acuerdo con los siguientes pares de funciones.

a)

b)

c)

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BLOQUE II: APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS.

Funciones inversas Ejemplo 1: Determinar de modo matemático la función inversa.

Para encontrar de Solución Consideremos

Despejemos ahora x y resulta:

Para obtener la función inversa cambiamos la y por la x:

Así obtenemos

Actividad 1

Dadas las siguientes funciones f(x), encuentra de forma matemática.

a)

b)

c)

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Actividad 2 Grafica las siguientes funciones especiales según sea el caso.

a) de

b) de

c)

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BLOQUE III: FUNCIONES POINOMINALES DE GRADO CERO, UNO Y DOS.

La función polinominal

Ejemplo 1: Determina el grado y el coeficiente principal de las siguiente función

Solución. El grado de la función es 3, el coeficiente principal es 5. Actividad 1 Determina el grado y el coeficiente principal de las siguientes funciones.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

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La línea recta

Ejemplo 2: Grafiquemos la recta Solución. Para encontrar los valores de la abscisa y la ordenada al origen necesitamos plantear los casos en que x=0 y y=0. Al sustituir cada caso en la ecuación de la recta. Cuando x=0

y= 2(0)-8 y=-8

por tanto, b=-8 y sus coordenadas son (0,-8). Cuando y=0:

0 = 2x - 8 8 = 2x

x = 8/2 = 4 por tanto, a=4 y sus coordenadas son (4,0). La grafica queda:

Actividad 2. Grafica en tu cuaderno u hojas milimétricas las siguientes ecuaciones de la recta.

a)

b)

+28

c)

d) e)

x

y

(4,0)

(0,-8)

Gráfica de la recta y=2x-8

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La función cuadrática Ejemplo 3: Grafica la siguiente parábola

Solución: Encontremos las raíces para conocer los puntos donde la parábola corta al eje x, para esto se iguala la función a 0:

Factorizamos la expresión:

Resolvemos igualando a cero cada binomio:

Usamos la expresión propuesta para encontrar las coordenadas del vértice

Con a=1, b= -6 y c= 8 sustituyendo los valores tenemos que:

A partir de este último dato podemos deducir que el eje de simetría de la parábola se representa con la recta cuya ecuación es x=3. Es decir, la recta vertical que pasa por el punto (3,-1). Como el término cuadrático es positivo, la parábola abre hacia arriba y su vértice es un valor mínimo. Actividad 3 Encuentra las coordenadas del vértice y el valor de las raíces de las siguientes funciones cuadráticas.

a)

b) f(x)=

c)

d)

e)

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BLOQUE IV: UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO.

Subtema: Ceros, factores y soluciones. Ejemplo 1: Encuentra las raíces del siguiente polinomio, y grafica.

Solución: Para encontrar las raíces igualamos a cero la función

Al factorizar por factor común tenemos:

Al resolver nos queda:

Una raíz es igual a cero, para encontrar las otras raíces factorizamos el trinomio:

Las raíces del trinomio son:

0 6 -1

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Actividad 1 Encuentra las raíces de los siguientes polinomios y grafica.

a)

b)

c)

d)

e)

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BLOQUE V: UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

Teorema del residuo Ejemplo 1: Encontrar el cociente y el residuo de la división entre f(x) y g(x) de

Solución: Utilizando solo los coeficientes de los polinomios propuestos y escritos de mayor a menor grado, tenemos

10 -6 2 -3 8 2 Ya escritos los coeficientes de cada uno de los polinomios el procedimiento es el siguiente

- Se baja el primer coeficiente de f(x) en este caso 10. - Se multiplica por 2 (raíz de g(x)) y el resultado se coloca debajo del segundo coeficiente de f(x). - Los dos valores alineados se suman, y el resultado se vuelve a multiplicar por dos y asi sucesivamente

para cada uno de los coeficientes restantes, obteniendo lo siguiente:

10 -6 2 -3 8 2

10 14 30 57 122

Así la función que obtenemos tiene la forma llamado cociente c(x)

Actividad 1 Encuentra el cociente y el residuo de la división

mediante la división sintética.

a)

b)

c)

d)

e)

Coeficientes de f(x)

Raíz de g(x)

20 28 60 114

Residuo

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Teorema de las raíces racionales

Ejemplo 2: Encontrar las raíces del polinomio

Primero llamemos q a los factores de y p a los factores de . De esta manera los factores de 4 son:

y los factores de 3 son: , ahora localicemos todos los cocientes de

En este conjunto de números racionales se encuentran todas las posibles raíces racionales f(x), para saber cuáles son se realizan las raíces sintéticas correspondientes, y aquellas cuyo residuo sea igual a cero nos ayudaran a encontrar los factores del polinomio f(x) para calcular todas sus raíces racionales. Por ejemplo 3 -14 7 4 1 3 -11 -4 3 -11 4 0 Residuo

El resultado o cociente es , factorizando esta última relación tendriamos:

Igualando a cero:

Entonces las raíces son:

Las raíces del polinomio son entonces:

Actividad 2 Encuentra las raíces del los siguientes polinomios.

a)

b)

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c)

d)

e) Actividad 3 Encuentra el complejo conjugado de los siguientes números imaginarios y realiza su grafica.

a)

b)

c)

d)

e)

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BLOQUE VI: APLICA FUNCIONES RACIONALES. La función racional. Dominio y rangos: intervalos Ejemplo 1: Encontremos el dominio de la siguiente función

Planteamos primero el denominador igual con cero

Por tanto, el dominio es:

En forma de intervalos queda representado como:

Actividad 1 Encuentra el dominio de las siguientes funciones

a)

b)

c)

d)

e)

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Grafica de una función racional

Ejemplo 2: De la siguiente función racional calcula sus asíntotas verticales y horizontales

Igualamos el denominador con cero y se despeja x:

Esta es la ecuación de la asíntota vertical; esto significa que la grafica de la función se acercará a la recta x=3 sin llegar a tocarla.

Para encontrar la asíntota horizontal, se divide la función entre la x de mayor potencia, en este caso, x

Al sustituir x por queda

el resultado sería entonces:

esto implica que la asíntota

horizontal esta en y=0 Actividad 1 De las siguientes funciones racionales calcula sus asíntotas verticales y horizontales

a)

b)

18

c)

d)

e)

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BLOQUE VII: UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. Función exponencial y funciones logarítmicas Actividad 1: Grafica las siguientes funciones exponenciales, utiliza los valores de x desde hasta

a)

b)

c)

d)

e)

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Conversión de forma exponencial a logarítmica y viceversa

Ejemplos: Transforma a exponencial o a logaritmo.

a)

y

Entonces por que

b)

y

c) Entonces por que

Actividades

Transforma las siguientes expresiones en una logarítmica o exponencial, según proceda.

a)

b)

c)

d)

e)

Ejemplo 2: Desarrolla las siguientes funciones exponenciales.

Solución:

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Actividad 3: Desarrolla cada uno de las siguientes funciones logarítmicas

a)

b)

c)

d)

e)

Ejemplo 3: Calcula el siguiente logaritmo

Usando la relación

tenemos que

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Actividad 3: Encuentra el valor de los siguientes logaritmos

a)

b)

c)

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Ejemplo 4: Encuentra el valor de x de la siguiente expresión

Solución:

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Actividad 4: Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

a)

b)

c)

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BLOQUE VIII: APLICA FUNCIONES PERIÓDICAS.

Ejemplo1: Grafica la función

Solución.

Para este caso,

Por tanto, el periodo es igual a

Los extremos serian:

Extremo máximo Extremo mínimo

La función corta al eje x en 0, y

Siguiendo el procedimiento anterior obtenemos

La grafica queda desplazada

hacia la izquierda

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Actividad 1 Grafica una de las siguientes funciones.

a)

b)

x

y

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c)

d)

e)