Guías Modulares de Estudio

Matemáticas IV – Parte B

Semana 1 y 2

Funciones racionales

Funciones racionales

• Objetivo:

Resolver problemas sobre funciones racionales, teóricos o prácticos, mediante el análisis del dominio, el rango y la determinación de posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión de análisis y razonamiento práctico, así como el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

Concepto de función racional

Notación y caracterización• Una función racional se puede expresar como un cociente de dos funciones

polinomiales.• Si R denota la función definida por:

P(x)

R (x) = .

Q(x)

donde P y Q son funciones polinomiales, entonces R es una función racional.• Esta función se caracteriza por lo siguiente

– El polinomio del denominado no puede ser el polinomio nulo.– El dominio de R es el conjunto de los números reales, con excepción de

aquellos para los cuales Q (x) = 0; es decir, se excluyen los ceros de Q (x).– El rango de R es un subconjunto de los números reales.– Los polinomios P(x) y Q(x) no tienen factores comunes.

Intersección con los ejes

• Ejemplo:

Determina los puntos de intersección de 2x + 3y = 6 con los ejes.• Solución

La intersección con el eje y se obtiene sustituyendo x con cero en la ecuación. Si x = 0

2(0) + 3y = 6De donde

3y = 6Se despeja y

y = 6/3y = 2

Por tanto (0, 2) es el punto de intersección con el eje y.Si y = 0

2x + 3(0) = 6De donde

2x = 6Se despeja x

x = 6/2x = 3

Por tanto (3, 0) es el punto de intersección con el eje x.

Simetrías con respecto a los ejes

• Si los puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al eje x y las coordenadas de P1 son (x, y) entonces las coordenadas de P2 serán (x, – y); es decir, P1 y P2 tienen la misma abscisa y sus ordenadas tienen el mismo valor absoluto pero diferente signo.

P2 (x, –y)

P1 (x, y)

Simetrías con respecto a los ejes

P1 (x, y) P2 (–x, y)

• Si los puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al eje y y las coordenadas de P1 son (x, y) entonces las coordenadas de P2 serán (–x, y); es decir, P1 y P2 tienen la misma ordenada y sus abscisas tienen el mismo valor absoluto pero diferente signo.

Simetrías con respecto al origen

• Dos puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al origen cuando se encuentran a la misma distancia de éste; dicho de otra forma, cuando el origen es el punto medio del segmento que determinan P1 y P2. En consecuencia, si P1 tiene por coordenadas (x, y), entonces a P2 corresponden las coordenadas (–x, –y).

P1 (x, y)

P2 (–x, –y)

P1 (x, y)

P2 (–x, –y)

Asíntotas• Para trazar la gráfica de una función racional, en ocasiones se utilizan ciertas rectas que no

pertenecen a la gráfica pero que sirven de guía para su trazo.• Ejemplo:

Traza la gráfica de x y – 2y – 1 = 0• Solución:

Si se despeja y en términos de x, se obtiene lo siguiente:x y – 2y – 1 = 0

Se suma 1 a los dos miembros de la igualdadx y – 2y = 1

Se factoriza el primer miembroy(x – 2) = 1

Se divide la igualdad entre x – 21

y = .x – 2

Para realizar el paso anterior se requiere que x 2, porque si x = 2 se estaría dividendo entre cero.

Como y = f (x), la igualdad anterior se puede expresar así: 1

f (x) = . x – 2

Asíntotas• A continuación vamos a construir una tabla con valores cercanos a 2, sin que lleguen a ser

iguales a 2.

• Como se puede observar en la tabla, a medida que el valor de x se acerca a 2 por la derecha, el valor de y crece sin límite. Para indicar que x se aproxima o tiende a 2 por la derecha, se utiliza el signo + como superíndice de 2.

x 2 + • En este caso

f (x) + ∞ cuando x 2+

• Esta expresión indica que el valor de la función se aumenta o crece sin límite cuando el valor de x se aproxima o tiende a 2 por la derecha.

x X – 2 1f (x) = .

x – 2

6 4 0.25

5 3 0.33

4 2 0.5

3 1 1

2.5 .5 2

2.2 .2 5

2.1 .1 10

2.01 .01 100

Asíntotas (continúa)• Ahora veamos qué ocurre cuando el valor de x se aproxima o tiende a 2 por la izquierda.

• En esta tabla vemos que a medida que el valor de x se aproxima a 2 por la izquierda, el valor de la función se vuelve más pequeño cada vez o disminuye sin límite. Para indicar que el valor de x se aproxima o tiende a 2 por la izquierda, se utiliza el signo – como superíndice de 2.

x 2 - • En este caso

f (x) + ∞ cuando x 2-

x X – 2 1f (x) = .

x – 2

- 2 -4 -0.25

-1 -3 -0.333

0 -2 -0.5

1 -1 -1

1.5 -0.5 -2

1.8 -0.2 -5

1.9 -0.1 -10

1.99 -0.01 -100

• La gráfica de1

f (x) = . x – 2

se representa en la figura. En ella se puede apreciar el comportamiento de la función que toma valores cada vez mayores, en valor absoluto, a medida que el valor de x se acerca al valor 2, tanto por la izquierda como por la derecha. La recta x = 2 es una asíntota vertical; es decir, una recta a la que se aproxima la gráfica de la función, pero sin llegar a tocarla.

Asíntotas (continúa)

-2

-20

-10

10

20

4

Intervalos• Con los intervalos determinados por el dominio, se

puede conocer en qué regiones del plano está la gráfica y en cuales no.

• En la ecuación x y – 2y – 1 = 0 al despejar y en términos de x se obtiene

1y = .

x – 2• Cuya asíntota vertical es

y = 2• El dominio de la ecuación es

Dy = R – {2} = [– ∞, 2] U [2, + ∞]

Intervalos

• Con los intervalos determinados por el dominio se puede construir la tabla siguiente.

• En esta tabla vemos que para cualquier valor de x < 2 el cociente es negativo. Esto significa que para cualquier valor de x < 2 la y < 0, por lo que la gráfica no está en la región x < 2 , y > 0.

• También se observa que para cualquier valor de x > 2 el cociente es positivo; o sea que para x > 2, y > 0; por tanto la gráfica no está en la región x > 2, y < 0.

x Numerador Denominador y

x < 2 + – –

X > 2 + + +

Variación inversa

Definición y constante de variación• La segunda Ley de Newton establece que f = m a, donde f es la fuerza que se aplica a

una masa m para imprimirle una aceleración a.• De acuerdo con esta ley, para la misma fuerza si la masa aumenta, la aceleración

disminuye; y a la inversa, si la masa disminuye, la aceleración aumenta.• De manera general se establece lo siguiente:

Definición

• Una variable y varía en relación inversa con una variable x, si y = k/x. donde k es una constante diferente de cero.

• Dadas dos cantidades, puede ocurrir que a todo aumento (o disminución) de una corresponda una disminución (o aumento) de la otra. Cuando esto ocurre se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales.

• Cantidades inversamente proporcionales son:–Para la misma obra, el número de obreros y el tiempo empleado para realizarla–Para la misma distancia, la velocidad de un móvil y el tiempo empleado en recorrerla–A temperatura constante, el volumen de los gases y las presiones a que se someten.

Variación inversa

• Ejemplo:

Para terminar una construcción en 42 días, se emplean 23 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarán para edificar una construcción igual en 7 días?

• Solución:

Como la variación es inversa, la proporción se puede establecer en alguna de las dos formas siguientes:

De donde

Por tanto

x2 y1

= x1 y2

y2 x1

=y1 x2

o bien

7 23 = 42 x2

y2 42 =23 7

7x2 = 42(23) 7y2 = 23(42)

x2 = 966/7 y2 = 966/7

x2 = 138 obrerosy2 = 138 obreros

Semana 3 y 4

Funciones exponenciales

Funciones exponenciales

• Objetivo:

Resolver problemas con funciones exponenciales y logarítmicas, teóricos o prácticos, utilizando su relación como funciones inversas y sus propiedades algebraicas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre la utilidad de estos conocimientos y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

Concepto de función exponencialNotación

• La función exponencial es una función real, no algebraica sino trascendente, cuya regla de correspondencia es:

f : R R

f (x) = ax

• Con a, x E R, a > 0, a 1

• De acuerdo con la definición de esta función, la base siempre es un número real positivo, pues cuando la base se eleva a cualquier exponente real, la potencia es un número real positivo; además, es diferente de 1 porque la unidad elevada a cualquier potencia real es 1 y si la base fuera un número real negativo, no se podría afirmar nada de su potencia, pues ésta podría dar lugar a tres situaciones: ser positiva si el exponente es par, negativa si el exponente es impar o quedar indefinida en los números reales para ciertos exponentes fraccionarios como x = ½.

Función exponencial• Ejemplo:

Si a E [1, ∞], por ejemplo, a = 2, la función se expresa: f (x) = 2x.

Al calcular algunos valores de x se obtiene la tabla

x f (X ) = 2x (x, f (x))- 3 f (-3) = 2-3 = 1/23 = 1/8 (– 3, 1/8)

-2 f (-2) = 2-2 = 1/22 = 1/4 (– 2, 1/4)

-1 f (-1) = 2-1 = 1/21 = 1/2 (– 1, 1/2)

0 f (0) = 20 = 1 (0, 1)

1 f (1) = 21 = 2 (1, 2)

2 f (2) = 22 = 4 (2, 4)

3 f (3) = 23 = 8 (3, 8)

Dominio y rango

• La función exponencial tiene como dominio lo números reales y como rango los números reales positivos.

• Esto es

D f = R.R f = R+

• También se puede observar que la gráfica es creciente y que pasa por el punto de coordenadas (0, 1), pues 20 = 1

Número e

Caracterización e importancia• Hasta ahora, los valores utilizados para la base de la función

exponencial se han tomado de los intervalos definidos; sin embargo, tanto para fines teóricos como prácticos el número e se usa con mayor frecuencia. El número e se obtiene en cálculo como límite de (1 + 1/x)x cuando x → +∞. A medida que x aumenta sin límite, el valor de (1 + 1/x)x tiende a un valor finito que es el número irracional e, el cual es aproximadamente igual (≐) a 2.7182818

e ≐ 2.7182818• El valor aproximado de ex se puede obtener utilizando la expresión

(1 + 1/n)nx para valores de n suficientemente grandes, por medio de tablas o una calculadora científica.

Función exponencial natural

• La función exponencial que tiene como base al número e se llama función exponencial natural y está definida por:

f (x) = ex

• Su dominio es el conjunto de los números reales y su rango el conjunto de los números reales positivos.

Función logarítmica

La función logarítmica como inversa de la función exponencial• Sea f : R → R+ tal que f (x) = 2x.• Algunos de los pares ordenados que pertenecen a su gráfica aparecen en la tabla

siguiente:x f (X ) = 2x (x, f (x))- 3 f (-3) = 2-3 = 1/23 = 1/8 (– 3, 1/8)

-2 f (-2) = 2-2 = 1/22 = 1/4 (– 2, 1/4)

-1 f (-1) = 2-1 = 1/21 = 1/2 (– 1, 1/2)

0 f (0) = 20 = 1 (0, 1)

1 f (1) = 21 = 2 (1, 2)

2 f (2) = 22 = 4 (2, 4)

3 f (3) = 23 = 8 (3, 8)

Función logarítmica (continúa)

• Con y = f (x) en f (x) = 2x se tiene y = 2x

• O bien: 2x = y.

• Que significa: log2 y = x.

• De tal manera que al sustituir a y con los valores de la tabla anterior, se tiene:

log2 1/8 = x ⇒ 2x = 1/8, 2x = 1/23, 2x = 2–3 ∴ x = –3

log2 1/4 = x ⇒ 2x = 1/4, 2x = 1/22, 2x = 2–2 ∴ x = –2

log2 1/2 = x ⇒ 2x = 1/2, 2x = 2–1 ∴ x = –1

log2 1 = x ⇒ 2x = 1, 2x = 2–0 ∴ x = 0

log2 2 = x ⇒ 2x = 2, 2x = 21 ∴ x = 1

log2 4 = x ⇒ 2x = 22, 2x = 22 ∴ x = 2

log2 8 = x ⇒ 2x = 8, 2x = 23 ∴ x = 3

• Entonces la tabla de log2 y = x queda así:

• En las tablas de f (x) = 2x y y = log2x se observa que los componentes de los pares ordenados correspondientes están invertidos, hecho que se puede observar en la gráfica, donde las representaciones geométricas respectivas son simétricas respecto a la función identidad. En consecuencia, las funciones exponencial y logarítmica son inversas una de otra.

Función logarítmica (continúa)

y log2 y = x (y, x)1/8 log2 1/8 = – 3 (1/8, –3)

¼ log2 ¼ = – 2 (1/4, – 2)

½ log2 ½ = – 1 (1/2, – 1)

1 log2 1 =0 (1, 0)

2 log2 2 = 1 (2, 1)

4 log2 4 = 2 (4, 2)

8 log2 8 = 3 (8, 3)

f (x

) =

2x

y = log 2x

f (x)

= x

Bibliografía

• Francisco J. Ortíz Campos. Matemáticas IV. Editorial: Publicaciones cultural, 2006.