AULADE EL MUNDO

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La idea de infinito ha sido siempre uno de los temas de mayor dis-cusin en el seno de las Matemticas... y no slo en ellas. La Filo-sofa ya desde los remotos tiempos de la Grecia clsica discutisobre el concepto de infinito, su significado y su existencia. Ya ZE-NN DE ELA, 400 aos antes de Cristo, sembr el pensamientocon curiosas paradojas que tienen como eje central el infinito.Hasta finales del siglo XIX, no se abord con rigor matemtico el an-lisis de lo que significaba este concepto. Se encontraron sorpre-sas inimaginables que dividieron el mundo de las Matemticas.Hablamos de la obra de George Cantor.

. . . U N 0 , D O S ,T R E S . . . I N F I N I T O

por Lolita Brain

lolitabrain@hotmail.com

Durante siglos los griegos exploraron el apeiron -lo ilimita-do- y su presencia en el universo. Demcrito, Epicuro ysobre todo Lucrecio, fueron defensores de la existenciade lo infinito. Lucrecio lleg a hablar de un nmero ili-mitado de mundos infinitos. Aristteles defini un infi-nito en potencia, que se piensa como algo finito en con-tinua expansin, pero que no se puede alcanzar. En cam-bio, entiende que no puede existir realmente un infinitoen acto,que pueda ser pensado, ya que al ser inconcluso-no acaba nunca- no puede definirse.

Richard Dedeking, un matemtico solitarioy tmido, pero muy riguroso, fue el padre delos nmeros tal y como los conocemos hoy,creando una teora que construye los nmerosnaturales, y con ellos todos los dems. Amigode Cantor, con el que se carte durante 27 aos,es el primer autor -junto a ste- en pasar del in-finito en potencia aristotlico al infinito en acto.Ambos encontraron el modo de definir el in-finito.

George Cantor (1845 San Petersburgo,Rusia -1918 Halle, Alemania) es el pa-dre de la Teora de Conjuntos, deno-minada intuitiva. Tras desarrollar losconceptos que hoy usamos sobre los con-juntos, se interes por el nmero de ele-mentos de stos, lo que se llama la CAR-DINALIDAD del conjunto. Y comenz a es-tudiar los conjuntos con infinitoselementos hasta desarrollar la Teora de

los Nmeros Transfinitos, una delas teoras ms desafiantes parael pensamiento humano, com-parable al desafo intelectual delas Geometras no Eucldeas -enrelacin al espacio- o de la Re-latividad -en relacin con el

tiempo y el espacio-. Su teora desafiaba el con-cepto de infinito.

EE LL TT OO DD OO

YY

LL AA SS PP AA RR TT EE SS

>>>>>>En un conjunto infinito, haypartes tan numerosas comoel mismo.>>>>>>Los nmeros decontar, los enteros (po-sitivos y negativos), lasfracciones, los nme-ros pares, los nmeroscuadrados, los primos,etc. tienen todos ellosla misma cantidad deelementos: el nmerotransfinito ALEF-CERO.>>>>>>Para saber si un conjunto

tiene ALEF-CERO elementos hayque emparejar cada uno de

sus elementos con unnmero natural demodo que no quedeninguno sin pareja.>>>>>>Cuando unconjunto tiene ALEF-CERO elementos, se

dice que es NUMERA-BLE.

>>>>>>Hay conjuntos infi-nitos con ms elementos

que ALEF-CERO.

Cantor comenz en-tonces a estudiaralgunas partes -subconjuntos- delconjunto de los natu-rales. Por ejemplo,

los nmeros PARES (2, 4,6, 8 ...) estn contenidos en

los NMEROS DE CONTAR(1,2,3,4...). Todos estaramos

tentados a decir que los pares sonexactamente la mitad. Sin embar-

go no es as. Es facilsimo ver en el dia-grama cmo cada nmero de contar se

puede emparejar con un nmero par, su do-ble. Y cada par tiene su pareja, su mitad.

Como en los granos de arena, ambos conjun-tos -por extrao que nos parezca- tienen los mis-mos elementos. Cuntos? Alef-cero elementos.

Cantor y Dedeking ra-zonaron del modo si-guiente: si para con-tar conjuntos finitos uti-lizo el emparejamiento,por qu no utilizar estemecanismo con los con-juntos infinitos? De estemodo, razona Cantor, si

me siento entre dosmontones de arena,y tomo con cadamano un grano de cada montn, por muchos

granos que haya, si acabo antes el montn dela izquierda que el de la derecha, esto vendr a

decirnos que ese mon-tn tena menos granosque el otro. Pero si aca-bo los dos montones ala vez, por fuerza nopodremos afirmar sinoque los dos montonestenan igual nmero degranos de arena. Can-tor y Dedeking llamar-an a este empareja-miento una CCOORRRREESSPPOONN--DDEENNCCIIAA BBIIUUNNVVOOCCAA entre

los montones de arena. Hoy lo llamamos igual.

Y lo primero quehizo Cantor fue fi-jarse en el CONJUN-TO INFINITO del que se tiene la primera intuicin: el conjunto de

los nmeros naturales o enteros positivos, es decir, los nmerosde contar 1, 2, 3, 4, ...Todos entendemos que este conjunto es infinito. Cada nmero tie-ne su sucesor. Es su esencia. Cantor afirm que no existe nin-gn conjunto infinito con menos elementos que ste. Dicho de otromodo, los nmeros de contar son el conjunto infinito ms pe-queo. Al nmero de sus elementos le llam AALLEEFF CCEERROO (Alef esla primera letra del alfabeto hebreo).

00NN OO LL OO OO LL VV II DD EE SS

RICHARD DEDEKING1831 Alemania - 1916 Alemania

AALLEEFF CCEERROO

La mxima que mejor recogela distincin aristotlica sobrelo finito y lo infinito es aque-lla que afirma que EL TODO ESMS GRANDE QUE LAS PARTES.Semejante intuicin perma-neci aceptada por todos loshombres. Es un asunto de sen-tido comn. En efecto, un gra-no de arena es menor que elmontn en el que se encuen-tra, dos manzanas son menosque el cesto de manzanas...una mano es menor que todoel cuerpo. Tras Cantor y De-deking las cosas ya no iban aser iguales.Sorprendentemente, observa-ron que en los conjuntos in-finitos existen partes conte-nidas en ellos con tantos ele-mentos como todo elconjunto. Esta propiedad estan difcil de asumir que adop-taron esta propiedad como ladefinicin de lo que significaque un conjunto tenga cardi-nal infinito. Raro? Mucho. En los diagra-mas que acompaan este tex-to puedes comprobar que, si eltodo es el conjunto de los n-meros de contar (1,2,3,4...) yque es infinito, el subconjun-to de los PARES o los IMPA-RES o los PRIMOS es tan nu-meroso como todo el conjun-to.Por supuesto, si un conjuntoes finito es vlida la mximaaristotlica.Sin embargo, sta era slo laprimera de las sorpresas quedeparaban estas ideas a Can-tor. En la prxima lmina tedesvelaremos la continuacinde su viaje por el infinito yms all...

por Lolita Brain

La pasada semana presentamos un conjunto de nmeros muy especiales: los irra-cionales. De entre ellos, el conocido pi es uno de sus ms importantes repre-sentantes. Siendo irracional, pi es un nmero con infinitas cifras decimales que nosiguen ningn patrn peridico y que por tanto ser desconocido eternamente. Sucarcter mgico pero a la vez omnipresente en la Matemtica lo convierten enexcepcional. Son los caprichos de la Naturaleza los que ataron para siempre ala perfecta, la circunferencia, con un perfecto desconocido, pi.

lolitabrain@lolitabrain.com

PI , UN CAPRICHODE LA NATURALEZA

La necesidad de calcular la longitud de una circunferencia fue primordial para todas las civilizaciones, yaque esta figura se ve envuelta en mltiples aplicaciones cotidianas . De ah que a lo largo de la historia losdistintos pueblos hayan encontrado distintos valores de pi que usaban para los clculos geomtricosms elementales.

En el Papiro Rhind, el escribaAhmes calcula el rea de un cr-culo de dimetro 9 usando pi = 3,1405.

La famosa frmula para calcular el rea de un cr-culo, debida a Arqumedes (rea crculo = Pi xRadio x Radio) nos dice que pi es tambin larelacin que existe entre el rea del crculo -enrojo en la imagen- y el cuadrado construido sobreuno de sus radios -en verde en la figura-.

Pi representa la constante universal que existeentre la longitud de cualquier circunferencia y sudimetro. Es por lo tanto el factor por el que hayque multiplicar la longitud del dimetro de una circun-ferencia para calcular su longitud.

QU ES PI?

PI A LO LARGO DE LA HISTORIA

MTODOS DE CLCULO DE PI

Aunque aparentemente los nmeros primos y pi nodeberan tener nada en comn, un producto curiosopermite calcular pi utilizando la serie de los nmerossucesivos...

FRMULA DE WALLIS

Egipto1650 a.C.

En el Libro de los Reyes secitan las dimensiones de un cilin-dro de fundicin con un valor depi igual a 3.

La Biblias. IIIa.C.

En Sobre la medida el crculo,el gigante de Siracusa, Arqu-medes calcul pi con un valorentre 3,1412 y 3,1428. Un xitohistrico.

Arqumedes215a.C.

Este matemtico chino acot elvalor de pi entre 3,1410 y 3,1427que, aun siendo muy bueno, no loes tanto como el de Arqumedes.

Wang Fans. IIId.C.

La moderna computadoraENIAC, que ocupaba una habita-cin, invirti 70 horas de proce-samiento para calcular las prime-ras 2.000 cifras de pi.

ENIAC1949

Usando un polgono inscrito denada menos que 2.832! lados,este matemtico que vivi enSamarcanda obtuvo pi con 17cifras decimales.

Al-Kashis. XVd.C.

GHIYATH AL-DINJAMSHID

MAS'UD AL-KASHI(1380 - 1429)

ARQUMEDES DESIRACUSA

(287 - 212 a.C.)

PI Y LOS PRIMOS

E l mtodo que sigui Arqumedes para calcularuna excelente aproximacin de pi se basa en uti-lizar las reas de ciertos polgonos regulares ins-critos en un crculo. Las reas de estos polgonosse aproximan al rea del crculo y esto permite cal-cular, y por tanto conocer, con mayor precisin api. Arqumedes utiliz la serie de polgonos de 6,12, 24, 48 y... 96 lados.

Adems de estos polgonos ins-critos se tienen que utilizar lospolgonos exteriores al crculocon el mismo nmero de lados.De este modo calculamos pi porexceso.

CALCULANDO COMO ARQUMEDES

Para calcular el valor de pi se han utilizado mlti-ples mtodos, unos ms geomtricos y otrossencillamente curiosos. Te exponemos algunosde ellos.

Leibniz (1646 - 1716) encontr una bonita expre-sin de pi como suma de infinitos nmeros -loque se denomina serie numrica-. En sta deLeibniz se alternan sumando y restando, los inver-sos de los nmeros impares. No es una serie quese acerque a pi deprisa, lo que quiere decir que sehan de sumar muchos trminos para que el valorde pi obtenido contenga muchas cifras decimalescoincidentes con las de pi.

FRMULA DE LEIBNIZ

John Wallis (1616 -1703) encontr el valorde pi a travs de un pro-ducto con infinitos facto-res que multiplica lospares por un lado y por elotro los impares.

por Lolita Brain

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

De todos los rectngulos que es posible construir hay un grupo muy especial. Se tra-ta del rectngulo ureo o de oro. Se denomina as porque la razn que existe entresu lado mayor y el menor es un nmero muy especial denominado nmero de oro orazn urea. Esta simple idea le proporciona propiedades especiales. Es el nicocon la posibilidad de hacerlo crecer sin necesidad de tomar medidas. Su diagonaltiene asimismo una propiedad particular. Y adems se encuentra en innumerablesobras artsticas por el equilibrio que transmite. Es tan fantstico que todas las tarje-tas de crdito son rectngulos de oro.

UN RECTNGULOMUY ESPECIAL IEL NMERO DE ORO

EL RECTNGULO DE LAS TARJETAS

L as tarjetas de crdito son todas igua-les en forma y tamao. Si las midescomprobars que sus lados miden 8,5y 5,3 cm respectivamente. Si efectas ladivisin de esas dos medidas obtienes

1,6, que es casi el nmero FI. Cuando enun rectngulo sus lados estn en estarazn se dice que es un rectngulo ureoo de oro. Veremos que sin necesidad demedir los rectngulos podemos saber sison o no ureos.

AS SE CONSTRUYE UN RECTNGULO UREO

P ara dibujar un rectngulo ureo no necesitamos ningn instrumento de medida. Siconoces el ancho del rectngulo que quieres construir te bastar con seguir lossiguientes pasos para dibujarlo.

1.- Primero dibuja dos cuadrados con elancho AB que queremos que tenga el rectn-gulo. Dibjalos uno junto al otro.

3.- Por el extremo inferior derecho traza unaperpendicular a la diagonal anterior (en pun-tos) que proporciona el punto C.

4.- El rectngulo que pasa por C (en naranja)es el rectngulo ureo que queramos dibu-jar. Fcil!

El segmento ABes el alto del rec-tngulo.

2.- Traza la diagonal del rectngulo que hasobtenido con los dos cuadrados.

CMO SABER SI UN RECTNGULO ES UREO?Esta propiedad no la tienen todos los rec-tngulos. Observa el de la figura. Cuandounimos los vrtices de dos copias delmismo rectngulo,esta recta corta encuatro puntos a losrectngulos, en lugarde hacerlo en slotres.

P uedes averiguar muy fcilmente si un rectngulo es ureo. Para ellobasta con colocar dos copias del rectngulo en cuestin, tal comoindica la figura. Tra-za la diagonal AC yprolngala. Si dichadiagonal pasa por N,tenemos un rectngu-lo ureo. Puedes pro-bar tambin con undocumento nacionalde identidad y com-probars que tambines de oro.

parte mayor

parte menor

segmento total

parte mayor

=

A B C(AB)

BA

(AB)(BC)(AC)

C

=

1,61803...

8,5 cm.

5,3 cm.

D el mismo modo que el nmero PI encierra una presencia ubicua en lasmatemticas, hay otro nmero muy relacionado con la geometra queest ntimamente ligado al arte.Supn que tienes un segmento y que lo quieres dividir en dos partes detamaos distintos. Esto puedes hacerlo de muchas formas, por ejemplodividindolo de modo que la parte mayor sea triple que la menor, como en eldiagrama. En este caso se cumple que:

Ahora bien, slo existe una forma de dividir tal segmento, de modo que la rela-cin (razn o ratio) que haya entre el segmento total y la mayor de las partessea igual a la que mantienen las dos partes entre s. Decimos que ambas par-tes se hallan en proporcin urea (La Divina Proporcin desde el Renacimien-to) y su valor es el denominado nmero de oro, FI=1,618... Un nmero, quecomo PI, tiene infinitas cifras decimales no peridicas. Siempre que la raznde dos magnitudes sea el nmero FI, decimos que estn en proporcin urea.

parte mayor

parte menor

3 unid.

1 unid.

4 unid.

3 unid.segmento total

parte mayor= =

A

C

N