7/25/2019 Aula de Matemticas VI de 'El Mundo'

1/4

popularidad y aplicaciones. Fi esta l igado al denom inadorectngulo de oro y a la sucesin de Fibiona cci. Aparecerepetida mente en el estudio del crecimiento de las plantas,las pias, la distribucin de las hojas en un ta llo, la form acinde cara colas.. . .y por supuesto en cualquier estudio armnicodel arte. Qu lo ha ce tan repetidam ente recurrente?

SI MIDES UNA tarjeta de crditocualquiera, comprobars que larelacin entre su largo y su ancho esaproximadamente de FI. Esto es asi

porque de todos los rectngulosposibles es el ms agradable a lapercepcin. Las dimensionesestndares de las fotos tambin

suelen ser

LA ESTRELLA PENTAGONAL erasegn la tradicin, el smbolo de losseguidores de Pitgoras. Lospitagricos pensaban que el mundo

estaba configurado segn un ordennumrico, donde slo tenan cabidalos nmeros fraccionarios. Lacasualidad hizo que en su propiosmbolo se encontrara un nmeroraro: el irracional FI como puedes veren la figura, donde QN, NP y QPestan en proporcin urea.

EN EL CUERPO HUMANO elnmero ureo aparece en muchasmedidas: la relacin entre lasfalanges de los dedos es el nmeroureo, la relacin entre la longitud dela cabeza y su anchura es tambin

E L N M E R O D E O R O

Es hora d e reconocer en nuestro uso diario de los nme-ros a uno muy especial , que aparece repetidamente en las

conversaciones de ma tem ticas. Es el nmero de oro, Fi,tam bin conocido como la proporcin urea . Es uno delos conceptos matemticos que aparecen una y otra vezliga dos a la na turaleza y el arte, compitiendo con PI en

Aunque no fue hasta el sigloXX cuando el nmero de oro(conocido tambin comoseccin urea, proporcinurea o razn urea) recibi

su smbolo, FI (la sexta letra delabacedario griego, nuestra efe),su descubrimiento data de la po-ca de la grecia clsica (s. V a.C.),donde era perfectamente cono-cido y utilizado en los diseos ar-quitectnicos por ejmplo el Par-tenn, y escultricos. Fue segu-ramente el estudio de lasproporciones y de la media geo-

mtrica de un segmento lo quellev a los griegos a su descubri-miento. El valor numrico de FIes de 1,618.... FI es un nmeroirracional como PI, es decir, unnmero decimal con infinitas ci-fras decimales sin que exista unasecuencia de repeticin que loconvierta en un nmero peri-dico. Es imposible conocer todaslas cifras de dicho nmero (comonos pasa con PI) y nos conten-tamos con conocer unos cuantosdgitos suyos suficientes para lamayoria de sus aplicaciones.

LEONARDO DAVINCIrealiz este dibujo parailustrar el libro DeDivina Proportionedelmatemtico LucaPacioli editado en 1509.En dicho libro se

describen cuales hande ser las proporcionesde las construccionesartsticas. En particu-

lar, Pacioli propone unhombre perfecto en elque las relaciones entrelas distintas partes de sucuerpo sean las deldibujo adjunto. Resultaque la relacin entre la

altura del hombre y ladistancia desde elombligo a la mano es elnmero ureo.

EL CRECIMIENTO DE LAS CARACOLAS tambin tiene relacin con el nmero ureo. En eldiagrama adjunto puedes ver como la curva que define una caracola, una espiral logartmica,se puede construir a partir de un cuadrado ureo, colocando un cuadrado a continuacin delrectngulo anterior. Al crecer con esta curva como esquema el caracol crece mucho (geom-tricamente) por simple adicin (aritmticamente) manteniendo a la vez la misma proporcinentre sus partes.

EL PARTENN de Atenas es la construccin arquitectnicapor excelencia que utiliza el nmero de oro para organizar suestructura. El diagrama muestra el anlisis armnico delmismo.

QU MIDE EL NMERO DE ORO?Supn que tienes un segmento y que lo quieres dividir en dos trozos de tamaos distintos.Esto puedes hacerlo de muchas formas, por ejemplo dividindolo de modo que la partemayor sea doble que la menor, o cuatro veces la menor etc. Ahora bien, slo existe unaforma de dividir tal segmento, de modo que la relacin (razno ratio) que guardan elsegmento completo y la mayor de las partes sea igual. Es decir, son iguales el segmento yel trozo mayor que las dos partes entre s. Para ello basta con que dividas la longitud delsegmento inicial entre Fi=1,618 y el resultado es la longitud del trozo mayor.

segmento mayor

segmento menor

segmento total

segmento mayor=

por Lolita Brain

7/25/2019 Aula de Matemticas VI de 'El Mundo'

2/4

7/25/2019 Aula de Matemticas VI de 'El Mundo'

3/4

por Lolita Brain

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

De todos los rectngulos que es posible construir hay un grupo muy especial. Se tra-ta del rectngulo ureo o de oro. Se denomina as porque la razn que existe entresu lado mayor y el menor es un nmero muy especial denominado nmero de oro orazn urea. Esta simple idea le proporciona propiedades especiales. Es el nicocon la posibilidad de hacerlo crecer sin necesidad de tomar medidas. Su diagonaltiene asimismo una propiedad particular. Y adems se encuentra en innumerablesobras artsticas por el equilibrio que transmite. Es tan fantstico que todas las tarje-tas de crdito son rectngulos de oro.

UN RECTNGULO

MUY ESPECIAL IEL NMERO DE ORO

EL RECTNGULO DE LAS TARJETAS

L as tarjetas de crdito son todas igua-les en forma y tamao. Si las midescomprobars que sus lados miden 8,5y 5,3 cm respectivamente. Si efectas ladivisin de esas dos medidas obtienes

1,6, que es casi el nmero FI. Cuando enun rectngulo sus lados estn en estarazn se dice que es un rectngulo ureoo de oro. Veremos que sin necesidad demedir los rectngulos podemos saber sison o no ureos.

AS SE CONSTRUYE UN RECTNGULO UREO

P ara dibujar un rectngulo ureo no necesitamos ningn instrumento de medida. Siconoces el ancho del rectngulo que quieres construir te bastar con seguir lossiguientes pasos para dibujarlo.

1.- Primero dibuja dos cuadrados con elancho AB que queremos que tenga el rectn-gulo. Dibjalos uno junto al otro.

3.- Por el extremo inferior derecho traza unaperpendicular a la diagonal anterior (en pun-tos) que proporciona el punto C.

4.- El rectngulo que pasa por C (en naranja)es el rectngulo ureo que queramos dibu-jar. Fcil!

El segmento ABes el alto del rec-tngulo.

2.- Traza la diagonal del rectngulo que hasobtenido con los dos cuadrados.

CMO SABER SI UN RECTNGULO ES UREO?Esta propiedad no la tienen todos los rec-tngulos. Observa el de la figura. Cuandounimos los vrtices de dos copias delmismo rectngulo,esta recta corta encuatro puntos a losrectngulos, en lugarde hacerlo en slotres.

P uedes averiguar muy fcilmente si un rectngulo es ureo. Para ellobasta con colocar dos copias del rectngulo en cuestin, tal comoindica la figura. Tra-za la diagonal AC yprolngala. Si dichadiagonal pasa por N,tenemos un rectngu-lo ureo. Puedes pro-bar tambin con undocumento nacionalde identidad y com-probars que tambines de oro.

parte mayor

parte menorsegmento totalparte mayor

=

A B C

(AB)

BA

(AB)(BC) (AC)

C

=

1,61803...

8,5 cm.

5,3 cm.

D el mismo modo que el nmero PI encierra una presencia ubicua en lasmatemticas, hay otro nmero muy relacionado con la geometra queest ntimamente ligado al arte.Supn que tienes un segmento y que lo quieres dividir en dos partes detamaos distintos. Esto puedes hacerlo de muchas formas, por ejemplodividindolo de modo que la parte mayor sea triple que la menor, como en eldiagrama. En este caso se cumple que:

Ahora bien, slo existe una forma de dividir tal segmento, de modo que la rela-cin (razn oratio) que haya entre el segmento total y la mayor de las partessea igual a la que mantienen las dos partes entre s. Decimos que ambas par-tes se hallan en proporcin urea (La Divina Proporcindesde el Renacimien-to) y su valor es el denominado nmero de oro, FI=1,618... Un nmero, quecomo PI, tiene infinitas cifras decimales no peridicas. Siempre que la raznde dos magnitudes sea el nmero FI, decimos que estn en proporcin urea.

parte mayor

parte menor

3 unid.

1 unid.

4 unid.

3 unid.

segmento total

parte mayor= =

A

C

N

7/25/2019 Aula de Matemticas VI de 'El Mundo'

4/4

La Geometra tiene dos teso-ros: uno es el Teorema de Pitgoras, elotro la Seccin urea. El primero puede serconsiderado una medida de oro, la segun-

da una joya preciosa.JOHANNES KEPLER

por Lolita Brain

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

En la teora del arte hay un vocablo, euritmia, que expresa un hbrido entre tresprincipios fundamentales del diseo: la armona, la proporcin y el movimiento.El rectngulo ureo del que hablamos la pasada semana es un paradigma deestructura compositiva con euritmia. Ha sido utilizado como esquema composi-tivo a lo largo de todos los tiempos y en todas las artes. La catedral de NotreDame, el Partenn de Atenas, El sacramento de la ltima cena de Dal o laVenus de Milo son slo algunos ejemplos de obras de arte que comparten el usode la proporcin urea como elemento compositivo.

UN RECTNGULO

MUY ESPECIALY

I ILA GRAN PIRMIDE Y EL NMERO DE ORO

EN LA ARQUITECTURA MODERNA

FI TAMBIN EST EN LA PINTURA

Y DAL LO UTILIZ

O bserva que calculada la apotema de la pirmide a con elTeorema de Pitgoras, en el tringulo que trazamos al sec-cionar transversalmente la Gran Pirmide, se obtiene comocociente -razn- el nmero con cuatro cifras decimalesexactas.

L a pintura ha utilizado profusamente el rectngulo ureo comoesquema compositivo bsico, sobre todo a partir del Renaci-miento, como hicieron Durero o Leonardo da Vinci. Pero tam-bin en pocas modernas. Si observas El bao en Asnires deSeurat, el horizonte corta el cuadro longitudinalmente por la sec-cin urea de la altura del lienzo. Eso proporciona un rectnguloureo con la sien del baista sentado. Este rectngulo se utiliza acontinuacin (en la imagen son los rectngulos coloreados) comoun mdulo donde se enmarcan las restantes figuras del lienzo.

E n El sacramento de la lti-ma cena, Dal dispuso laobra en un lienzo que eraun rectngulo de oro. Lamesa se encuentra en laseccin urea de la altura dellienzo. Del mismo modo, losapstoles estn de espaldasen las secciones ureas delancho del lienzo. Adems,las ventanas del fondo sonparte de un dodecaedro,que es un poliedro formadopor pentgonos en el que se encuentra en muchas de

sus proporciones.

apotema

mitad lado

186,369

115,182

=

A

B

C

(AB)(AC) = =

1,61803...

1, 61804...

Fjate tambin enque si dividimostodas las medidas

del tringulo anteriorpor la mitad del lado,es decir, por 115,182,obtenemos un trin-gulo cuyos ladosmiden 1, y 1,2720,que es exactamentela raz cuadrada de.A este tringulo se ledenomina Tringulode Kepler.

L a Torre CN de Toronto, con sus 553,3metros de altura, es la torre de comu-nicaciones ms alta del mundo y fueconstruida entre 1973 y 1975. Tiene, a342 metros del suelo, una plataforma deobservacin, controles de radio y unrestaurante que la separa en dos sec-ciones. Dichas secciones no son arbi-trarias sino que dividen a la torre segnla proporcin urea.

AD

B

C

ACBC BCAB= = =ABDA

M uchas son las propiedades geomtricas atribui-das a la Gran Pirmide de Gizeh, la P irmide deKops. Una de ellas es que est levantada sobreun tringulo que mantiene la proporcin urea. Conms precisin, la relacin que existe entre la mitad dela base y la altura de los lados es precisamente.

1 , 6 1 8 0 4 . . .