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Matemáticas VI 6° SEMESTRE

Matemáticas VI | 6° semestre

Créditos

Profesora. Aimé García Subdirección de Planeación Curricular Dirección de Planeación Académica

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Índice

INTRODUCCIÓN 3

CORTE DE APRENDIZAJE 1 4

Conocimientos previos 5

Contenidos 6

Autoevaluación 18

¿Quieres conocer más? 19

Fuentes Consultadas 20



Contenidos 24

Autoevaluación 39


Fuentes Consultadas 41



Contenidos 45

Autoevaluación 67


Fuentes consultadas 69

EVALUACIÓN FINAL 70


La comprensión de las Matemáticas te brinda las herramientas para interpretar el entorno a través de la cuantificación, medición y descripción por medio de ecuaciones y funciones. Una vez que se entiende un concepto matemático, el entorno se mirará de manera diferente. Las aplicaciones matemáticas se pueden observar en cada aspecto de la vida diaria, en la cuenta de las compras, en la construcción de edificios, en los registros de las calificaciones de los estudiantes, en la evolución de una enfermedad, en el desarrollo de avances científicos, entre otros.

Particularmente, la asignatura de Matemáticas VI tiene como propósito que desarrolles proyectos que te permitan aplicar estrategias de análisis y solución de diferentes problemas, utilizando pensamiento y lenguaje estadístico, partiendo de la recolección y análisis de datos para describir las características de una población y favorecer la toma de decisiones. Para lo anterior, tendrás que hacer uso de los aprendizajes previos obtenidos en tus cursos de álgebra y geometría, así como los de otras asignaturas que te apoyarán en la mejor comprensión de los contenidos que se te presentarán.

Este material constituye un apoyo para el momento de contingencia que se está viviendo actualmente y tiene la intención de contribuir a que logres adquirir los aprendizajes de la asignatura de Matemáticas VI.

Es recomendable que al momento de estudiar atiendas las siguientes recomendaciones:

• Reduce o elimina las distracciones • Dedica un tiempo exclusivo para el estudio • Designa un espacio particular para tu estudio • Organiza cuáles serán los temas que vas a estudiar • Realiza anotaciones y sigue los procedimientos de manera activa, es decir,

reprodúcelos y compruébalos por tu cuenta • Anexa hojas si lo consideras necesario • Para la realización de las gráficas, apóyate en hojas cuadriculadas. • Ten a la mano una calculadora científica y explórala con el fin de conocer su

funcionamiento • Si se te presentan dudas, repasa el contenido o consulta el material recomendado

en la sección ¿Quieres conocer más?

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Introducción a la estadística y a la probabilidad Al finalizar este corte comprenderás el área de estudio y los alcances de la estadística y la probabilidad para utilizarlas como herramienta en el análisis e interpretación de datos y de fenómenos que pueden encontrar en diferentes contextos.

Contenidos específicos Aprendizajes esperados.

• Nociones y conceptos básicos de estadística.

• Técnicas de conteo y agrupación para la determinación de probabilidades.

• Usarás un lenguaje propio para situaciones que necesiten del estudio con elementos de estadística y probabilidad.

• Usarás técnicas de conteo o agrupación en la determinación de probabilidades.


Para que logres desarrollar los aprendizajes esperados correspondientes al corte 1 es importante que repases, practiques y recuerdes los siguientes conocimientos: • Antecedentes de la Estadística • Concepciones sobre la Estadística • Sustitución de fórmulas

Con la finalidad de conocer tus habilidades, el dominio de los conocimientos previos y que reconozcas fácilmente tus dudas, resuelve los ejercicios que conforman la evaluación diagnóstica.

Evaluación diagnóstica

1. ¿Qué entiendes por estadística?

2. Enlista al menos tres aplicaciones de la Estadística que conoces

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A continuación, encontrarás una serie de contenidos que te servirán de apoyo para el logro del propósito del corte 1. Estadística Cuando en una conversación coloquial se presenta la palabra “Estadística” ¿a qué pensamientos te lleva?, ¿qué tipo de imágenes y situaciones evocas con ella?, ¿crees que son números y datos organizados o presentados? Es una palabra que para cierto tipo de datos e información es muy usada en los medios informativos, tanto en prensa escrita como en los medios electrónicos y medios audiovisuales. A continuación, se presenta un ejemplo:

Soluciones Mercawise, S.A. de C.V. (2018). Estudio de Mercado sobre Películas. [Infografía]. Tomado de: https://www.mercawise.com/blog/estudios-de-mercado/estudio-de-mercado-sobre-peliculas/


¿Todas ellas se comprenden de manera sencilla? Pueden surgir algunas preguntas acerca de lo que representan los datos, el origen de estos, la información que transmiten. Conocer el significado del lenguaje utilizado puede aclarar algunas dudas. A continuación, se comparten algunos de los conceptos más importantes.

• Estadística. Es la rama de las matemáticas que se ocupa de recopilar, organizar, presentar y analizar e interpretar la información proveniente de las características de una población.

• Población. Es la colección total de individuos, cosas u objetos de interés en la observación.

• Muestra. Parte representativa de la colección total de individuos de interés.

• Datos. Conjunto de valores de una variable relacionada a los elementos de la población o a la muestra.

• Variable. Característica específica que define a cada elemento de una población

• Variable cualitativa. Es el tipo de variable que describe a los elementos de la población, algunos ejemplos pueden ser, el nombre, color favorito, transporte utilizado, etc.

• Variable nominal. Variable cualitativa que describe a los elementos de la población, ejemplos de ésta pueden ser: color, género de película, nombres, placas de autos, es importante distinguir que estas variables describen a la población no son resultado de medir o contar alguna de sus características.

• Variable ordinal. Variable cualitativa que ayuda a categorizar y generar un orden en los elementos de la población. Por ejemplo, las tallas de la ropa -chico, mediano, grande-, números de grupo -351, 352, 353...-, grados en el ejército, nivel de satisfacción en un servicio, etc.

• Variable cuantitativa. Es un tipo de variable que define a los elementos de una población por medio de las características que se pueden medir o contar. por ejemplo, la edad, el número de hermanos, la estatura, el tiempo de traslado, etc.

• Variable continua. Es la variable cuantitativa que puede adoptar cualquier valor dentro de un intervalo específico.

• Variable discreta. Variable cuantitativa que solo puede tomar algunos valores dentro de un intervalo, para que sea más claro, imagina que cuentas el número de puertas que tiene una casa, ¿es posible que haya 2.5 puertas? No, solo se pueden esperar que la cantidad de puertas sea un número entero, es decir, la variable no puede tomar valores entre 2 y 3 o entre 3 y 4.

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Actividad de aprendizaje 1 Describe cuál es la diferencia entre las variables cuantitativas y las cualitativas. Utiliza ejemplos para determinar claramente la diferencia. Ejemplo1 Una empresa farmacéutica desea conocer la proporción de personas cuya hipertensión (alta presión sanguínea) se puede controlar con su nuevo medicamento. Al realizar un estudio en 5 000 personas hipertensas se encontró que 69% de ellos pudo controlar su hipertensión utilizando el nuevo medicamento. Suponiendo que estas personas son representativas del grupo de pacientes de hipertensión, identifica los siguientes elementos.

• Población. La población está formada por todas las personas que padecen de hipertensión, no se puede cuantificar en este momento.

• Muestra. Las 5000 personas que formaron el grupo de estudio.

• Variable de interés. Presión sanguínea

• Tipo de variable analizada. Cuantitativa discreta, ya que a variable es resultado de una medición y solo puede tomar ciertos valores dentro de un intervalo.

1 Ejemplo adaptado de Colegio de Bachilleres. Guía para presentar exámenes de recuperación o Acreditación Especial (Apoya a Plan 92). ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I.


Actividad de aprendizaje 2 Una tienda de autoservicio quiere conocer cuál es la edad de sus clientes, su género, así como el monto de su consumo, para lo cual, realiza un registro de los datos de 3500 clientes. Considerando que, los 3500 son representativos de la totalidad de clientes, determina: Población: Muestra: Variables analizadas: Tipo de variables analizadas:

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Probabilidad En nuestro entorno existen experimentos que cuando suceden, podemos anticipar su resultado, por ejemplo, al soltar una piedra desde cierta altura, se sabe que, ésta caerá; al prender fuego a una hoja, se quemará, al sumar 2+2, se obtiene 4, es decir, no importa cuántas veces se repita el experimento, siempre que se repita en las mismas condiciones, el resultado que se obtiene será igual. En contraste, también existe los experimentos aleatorios, cuyos resultados pueden variar, ¿crees conocer alguno de estos experimentos? Aunque no los ubiques con este nombre, los experimentos o fenómenos aleatorios son muy comunes, por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, ¿sabes cuál de las seis caras caerá arriba?, al lanzar una moneda, ¿caerá águila o sol? La probabilidad es la rama de las matemáticas encargada de cuantificar la posibilidad de que se genere un resultado específico de un experimento aleatorio. A continuación, se presentan algunos conceptos que serán útiles para la comprensión de la probabilidad.

• Experimento determinista. Experimento cuyo resultado, bajo las mismas condiciones, se puede anticipar.

• Experimento aleatorio. Es aquel experimento que, al realizarse, no se puede predecir su resultado.

• Espacio muestral. Conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio, se puede reconocer como Ω.

• Elemento. Cada resultado que conjunta el espacio muestral.

• Cardinalidad del espacio muestral. Número de resultados por los que está constituido.

• Evento. Subconjunto de resultados que cumple con una condición de interés.

• Evento vacío. Un evento que no tiene resultados posibles.

Probabilidad clásica. Es la comparación del número de resultados favorables a la ocurrencia de un evento, con el total de resultados posibles, por medio de un cociente. La probabilidad clásica se aplica cuando todos los posibles resultados de un experimento son equiprobables, es decir, que cada uno tiene la misma probabilidad de ocurrir. La fórmula es:

!(#) =&(#)&(Ω)

Donde: P(A): probabilidad del evento A &(#): cardinalidad de A, o cantidad de resultados favorables a la ocurrencia del evento A &(Ω): cardinalidad del experimento, o total de resultados posibles.


Ejemplo Considera el experimento de lanzar una moneda y un dado. Determina:

a) Tipo de experimento b) Espacio muestral c) Cardinalidad d) Evento A, resultados en los que caiga águila e) Evento B, resultados en los que caiga número impar f) Probabilidad del evento A g) Probabilidad del evento B

Solución a) Imagina que realizas el experimento, qué resultados puedes esperar de la moneda,

cuáles del dado. Claro, no es posible anticipar cuál de todos será el resultado, por lo que, se trata de un experimento aleatorio.

b) Vamos a construir el espacio muestral.

Dado

Moneda

1 2 3 4 5 6

A A, 1 A, 2 A, 3 A, 4 A, 5 A, 6 S S, 1 S, 2 S, 3 S, 4 S, 5 S, 6

Con base en los resultados de la tabla, se puede decir que el espacio muestral es:

Ω= (A,1); (A,2); (A,3); (A,4); (A,5); (A,6); (S,1); (S,2); (S,3); (S,4); (S,5); (S,6)

c) Y su cardinalidad: &(Ω) =12 Recuerda que el experimento consiste en lanzar la moneda y el dado, por lo que cada elemento del espacio muestral está formado por en resultado del dado y uno de la moneda.

d) Para determinar el evento A, es necesario, distinguir cuales de los elementos del espacio muestral cumple con la condición “caiga águila”.

# = (A, 1); (A, 2); (A, 3); (A, 4); (A, 5); (A, 6)

e) El evento B debe cumplir con la condición “caiga número impar”

3 = (A, 1); (A, 3); (A, 5); (S, 1); (S, 3); (S, 5)

12

f) La probabilidad del evento A, se calcula a través de la fórmula:

!(#) =&(#)&(Ω)

Es necesario determinar cuántos resultados son favorables a que el evento A se cumpla, &(#) = 6 y la cantidad de resultados posibles &(Ω) = 12

!(#) =612

=12

Por lo anterior, se puede decir que la probabilidad de que se suceda el evento A al

lanzar un dado y una moneda es !"

Actividad de aprendizaje 3 1. Considera que se quiere extraer una pelota de una urna con 10 pelotas, 3 moradas, 2

blancas, 3 verdes y 2 rojas. Determina: a) Tipo de experimento b) Espacio muestral c) Cardinalidad del espacio muestral d) Evento A, que se extraiga pelota roja. e) Evento B, que se extraiga pelota morada. f) Probabilidad del evento B


Técnicas de conteo Para el cálculo de la probabilidad de diversos eventos es necesario conocer la cantidad resultados totales del experimento observado, lo anterior se puede realizar a partir de la elaboración del espacio muestral y del conteo de posibles resultados, pero en ocasiones el espacio muestral es muy extenso y no es necesario conocer cada uno de los posibles resultados y sí conocer su tamaño, para lo cual es útil la aplicación de las técnicas de conteo. Principio básico de conteo Si un experimento se integra por dos acciones; la primera puede realizarse de 5 formas y la segunda de & formas, entonces al realizar ambas acciones simultáneamente, estas pueden realizarse de 5 ∙ & formas posibles, es decir, hay un total de 5 ∙ & resultados posibles. Ejemplo Imagina que vas a comprar una comida corrida, al observar el menú aprecias que hay dos opciones de entrada, dos opciones de sopa, tres de plato fuerte y dos de postre, ¿Cuántos menús diferentes se pueden formar con las opciones mencionadas? Solución Como lo establece el principio básico de conteo, el número de resultados en el que múltiples eventos pueden ocurrir, se puede calcular multiplicando los resultados posibles de cada uno de ellos. Es decir, si para la entrada se pueden elegir dos opciones, para la sopa otras dos, tres de plato fuerte y dos de postre, entonces:

78&ú:<=>8?8&@8: = 2 × 2 × 3 × 2 78&ú:<=>8?8&@8: = 24

Lo cual, también se puede apreciar en el siguiente diagrama de árbol, el cuál puedes leer siguiendo ordenadamente cada una de sus ramas, por ejemplo: el primer menú estaría formado por E1-S1-PF1-P1.

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Actividad de aprendizaje 4

1. De cuántas maneras diferentes se puede servir helado de una bola con cobertura se pueden formar si se tienen las siguientes opciones.

Contenedor Sabor Cobertura

• Vaso • Barquillo

• Fresa • Vainilla • Chocolate • Cereza • Cajeta • Limón

• Chocolate • Vainilla

2. ¿Cuántos resultados se pueden obtener en el lanzamiento simultáneo de dos dados?


Factorial El factorial de un número &, está representado por el número acompañado por un signo de exclamación B! y se calcula como la multiplicación de los número enteros, iniciando en 1 y hasta n. Su fórmula es:

B! = B(B − E)(B − F)…E Ejemplo

5! = 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 120 3! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6

7! = 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 5040 Nota: para el cálculo de factoriales de números grandes se recomienda el uso de la función factorial de calculadoras científicas. Revisa tu calculadora para su uso correcto. Permutación Las permutaciones es una disposición ordenada de una colección de objetos diferentes, es decir, hay una distinción en los objetos y el orden es importante. Cuando se eligen ? objetos de un conjunto formado por & objetos diferentes, el número de permutaciones que se pueden obtener está dado por la siguiente fórmula:

!#$ = &(& − 1)(& − 2)… (& − ? − 1) O utilizando el factorial:

!#$ =&!

(& − ?)!

Donde: 0 < ? < & Combinación Las combinaciones es una disposición de elementos distintos en donde el orden no importa, hay una distinción de objetos, pero el orden entre ellos no es importante. Al elegir ? objetos de un conjunto formado por & objetos diferentes, el número de combinaciones que se pueden obtener está dado por la siguiente fórmula:

L#$ =&(& − 1)(& − 2)… (& − ? − 1)

?!

O utilizando el factorial:

L#$ =&!

(& − ?)! ∗ ?!

Donde: 0 < ? < & NOTA. Toma en cuenta que la diferencia principal entre las permutaciones y las combinaciones, es que en las permutaciones el orden de los elementos sé es importante, mientras que en las combinaciones no es así.

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Ejemplo 1. ¿Cuántos números diferentes de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4,

5, 6?

Solución Para determinar si lo adecuado es aplicar la fórmula de permutación o la de combinación, se necesita distinguir si en el problema el orden es relevante o no lo es. En las permutaciones 12 ≠ 21, mientras que en las combinaciones da lo mismo 12 = 21. Entonces, en este caso se aplica la fórmula de permutación, ya que el orden de los números sí es importante.

!#$ =&!

(& − ?)!

Donde: n=6, ya que el conjunto de dígitos tiene 5 elementos r=3, ya que se quieren formar números de tres cifras

!%& =

6!(6 − 3)!

=6!3!

!%& = 120

A partir de 6 dígitos, se pueden formar 120 números diferentes formados por tres cifras. ¿Podrías poner algunos ejemplos de los números que se pueden formar? 2. ¿Cuántos equipos de trabajo de 5 personas se pueden formar en un grupo formado por

10 estudiantes?

Solución En este caso el orden no es importante ya que, si se elige a un estudiante antes que a otro, no afecta en la constitución del equipo, por lo tanto se utiliza la fórmula de combinación.

L#$ =&!

(& − ?)! ∗ ?!

Donde: n=10 r=5

L'!( =

10!(10 − 5)! ∗ 5!

=10!5! ∗ 5!

=3628800120 ∗ 120

= 252

Se pueden formar 252 equipos diferentes formados por 5 personas en un grupo de 10.


Actividad de aprendizaje 5 1. Es necesario elegir a tres estudiantes para ocupar los puestos de jefe, subjefe y tesorero

del grupo de un conjunto de seis estudiantes formado por: Nadia, Jesús, Óscar, Perla y Marta, ¿de cuántas maneras se pueden elegir estos puestos del grupo propuesto?

2. En la clase de Actividades Deportivas se requiere formar un equipo de volibol representativo del grupo. Un grupo de 9 estudiantes están interesados en participar, pero solo 6 de ellos serán elegidos. ¿Cuántos equipos diferentes se pueden formar?

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En este apartado podrás valorar tu desempeño aptitudinal y actitudinal a lo largo del desarrollo del corte 1.

Aspecto para considerar Si No Cómo puedo realizarlo mejor

• Organicé el tiempo de estudio para la realización de esta guía.

• Realicé una lectura activa de los ejemplos de la guía.

• Procuré eliminar las distracciones para realizar las actividades.

• Realicé anotaciones a lo largo del desarrollo de la guía.

• Consulté las fuentes sugeridas para los temas que representaron mayor dificultad.

• Desarrollé detalladamente las actividades de aprendizaje sugeridas.

• En caso necesario, busqué y realicé más ejercicios para reforzar mi aprendizaje.


Esta sección tiene como propósito presentarte recomendaciones de textos que te permitan consultar o estudiar de manera organizada los contenidos específicos de la guía. Libros

• Domínguez, J., Domínguez J. (2009). Estadística y Probabilidad. El mundo de los datos y el azar. México: Oxford University Press.

• Johnson, R., Kuby Patricia. (2016). Estadística Elemental. 11ª Ed. México: Cengage Learning Editores

Textos • Colegio de Bachilleres. (2004). Guía para presentar exámenes de Recuperación o

Acreditación Especial (Apoya a Plan 92) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I. https://repositorio.cbachilleres.edu.mx/wp-content/material/guias/estadistica_I.pdf

• Guía para el examen de Matemáticas VI (Clave 604), Plantel 8

https://drive.google.com/file/d/1YvZI34DwIkF23vTEJfK5KOfi8vqGl6lJ/view • Colegio de Bachilleres (2004). COMPENDIO FASCICULAR ESTADÍSTICA

DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I. https://repositorio.cbachilleres.edu.mx/wp-content/material/compendios/quinto/edi_1.pdf

Sitios web • Khan Academy..(2021). https://es.khanacademy.org/math/statistics-

probability/counting-permutations-and-combinations. Consultado en diciembre 2020.

• Valdez y Alfaro, I. P. DCB- UNAM (junio 2018) http://www.dcb.unam.mx/ profesores/irene/Notas/Tema_2-0.pdf. Consultado en diciembre de 2020.

• Carrasco Lice, G., Escobar Cristiani, E. M. , Mendoza Zaragoza, L. CCH-Sur. (Enero 2019) https://www.cch-sur.unam.mx/guias/matematicas/estadistica_y_probabilidad _I_act.pdf. Consultado en diciembre de 2020.

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En esta sección podrás conocer cuáles fueron las lecturas y documentos que se tomaron en cuenta para la realización de este material.

Libros • Domínguez, J., Domínguez J. (2009). Estadística y Probabilidad. El mundo de los

datos y el azar. México: Oxford University Press.



Acreditación Especial (Apoya a Plan 92) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I. https://repositorio.cbachilleres.edu.mx/wp-content/material/guias/estadistica_I.pdf


https://drive.google.com/file/d/1YvZI34DwIkF23vTEJfK5KOfi8vqGl6lJ/view

• Colegio de Bachilleres (2004). COMPENDIO FASCICULAR ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I. https://repositorio.cbachilleres.edu.mx/wp-content/material/compendios/quinto/edi_1.pdf

Imágenes

• Soluciones Mercawise, S.A. de C.V. (2018). Estudio de Mercado sobre Películas. [Infografía]. Tomado de: https://www.mercawise.com/blog/estudios-de-mercado/estudio-de-mercado-sobre-peliculas/


Análisis de datos Al finalizar este corte podrás recopilar mediante observación, encuestas y experimentos aleatorios datos estadísticos en situaciones de contexto, los organizarás y resumirás a través de tablas y gráficos para describir las características de la muestra y predecir características de la población y con ello favorezca la toma de decisiones.

Contenidos específicos Aprendizajes esperados.

Método estadístico

• Recolecta y ordena la información de alguna situación.

• Organiza la información recolectada de la situación estudiada.

• Representa la información. • Interpreta y analiza la información. • Toma decisiones a partir del análisis de la

información.

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Antes de iniciar el estudio del corte 2 debes tener conocimientos elementales por lo que es importante que repases, practiques y recuerdes los siguientes contenidos. Por lo que es importante que sepas reconocer los:

• Tipos de variables • Ordenación de datos • Operaciones aritméticas • Sustitución de fórmulas

Con la finalidad de conocer tus habilidades, el dominio de los conocimientos previos y que reconozcas fácilmente tus dudas, resuelve los ejercicios que conforman la Evaluación Diagnóstica.

Evaluación diagnóstica 1. Proporciona cinco ejemplos de cada tipo de variable

Cualitativa Cuantitativa

2. Enlista la estatura de veinte personas, pueden ser tus compañeros, tus familiares

o conocidos. a) Ordena los datos de menor a mayor


b) ¿A qué tipo de variable corresponde este conjunto?

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A continuación, encontrarás una serie de contenidos que te servirán de apoyo para el logro del propósito del corte 2. Método estadístico El método estadístico es el proceso compuesto por una sucesión de pasos organizados para el manejo de variables o valores de un estudio o proyecto de investigación, que facilita la comprensión de la situación y la toma de decisiones. El método estadístico está compuesto por las etapas:

1. Recolección 2. Organización 3. Presentación 4. Síntesis 5. Análisis

Cada una de estas etapas consisten en lo siguiente. Recolección Durante esta etapa se realiza la medición de las variables (ya que los datos suelen tener diferentes valores y magnitudes en cada uno de los puntos analizados), es decir, se recoge la información de los datos de interés para la investigación. Existen diferentes maneras para realizar la recolección de datos: observación, medición, encuestas. Del cuidado con el que se realice esta etapa dependerá la calidad de los datos obtenidos. Organización Una vez que se cuenta con todos los datos requeridos para la investigación, es necesario organizarlos, para que sea posible su análisis. La organización de los datos implica la revisión, clasificación y el cómputo numérico. La organización de los datos será más complicada a medida que crezca el tamaño de la muestra analizada, ya que en el propósito de la organización es determinar la frecuencia absoluta con la que aparece la variable que se está analizando. Presentación En esta etapa del método estadístico es cuando se elaboran los instrumentos para un análisis rápido de los datos. Los medios utilizados para la presentación de los datos son: tablas, cuadros y gráficas, los cuales guardan relación, ya que son diferentes tipos de representación de la misma información, lo cual permite realizar análisis desde diferentes perspectivas.


Síntesis La síntesis consiste en realizar un resumen de los datos mediante de medidas que expresan las propiedades del conjunto de datos de manera sintética, incluso cuando se traten de grandes cantidades de datos. Lo cual ayudará a comprender de manera rápida y global de las características del conjunto. Las medidas que permiten la síntesis de los datos son las medidas de tendencia central (media, mediana y moda), las medidas de dispersión (varianza, desviación estándar, rango) y las medidas de posición (cuartiles, deciles y percentiles). Análisis El propósito de esta etapa es obtener conclusiones mediante la comparación de las medidas previamente calculadas, la observación de los medios de presentación. Las conclusiones deben satisfacer las preguntas establecidas al inicio de la investigación. Ejemplo Imagina que quieres conocer los hábitos de uso del teléfono celular de los estudiantes del Colegio de Bachilleres, por lo cual se realiza una investigación con un grupo de estudiantes. Para detallar el proceso del proyecto, se presenta el siguiente esquema:

2 Una vez que se planteó el problema y las preguntas de interés, se realizó un cuestionario de donde se extrajeron los datos de las variables de análisis.

2 Tomado de García, Godoy y Lagunes (2013) Taller de Estadística por proyectos trabajo no publicado.

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Existen dos tipos de variables:

Variable cualitativa (expresan la característica, atributo o

cualidad de un individuo u objeto)

Variable cuantitativa (Son resultado de un conteo o

medición) Marca de celular

Compañía telefónica Plan de comunicación

Preferencia de comunicación

Costo del celular Cantidad de mensajes semanales Cantidad de llamadas semanales

Gasto semanal de telefonía celular El análisis para cada tipo de variable será diferente. Se iniciará analizando las variables cualitativas, específicamente con la marca de celular del conjunto de estudiantes incluidos en el estudio. Análisis de variable cualitativa Los datos obtenidos del conjunto de estudiantes al preguntarles, ¿cuál es la marca de tu celular?, son los siguientes:

Apple Xiaomi Xiaomi Samsung Motorola Motorola Motorola Huawei Xiaomi Samsung Huawei Huawei Huawei Apple Huawei Motorola Huawei Huawei LG Samsung Samsung Samsung Apple Xiaomi Huawei Samsung Samsung Apple Huawei Huawei Huawei Huawei Xiaomi Xiaomi Xiaomi Motorola Samsung Apple Samsung Xiaomi Samsung Xiaomi LG Samsung Huawei Samsung Apple Huawei Samsung Motorola

LG Samsung Huawei Huawei Samsung A continuación, se organizará la información realizando una tabla de distribución de frecuencias. La cual se integra por cinco columnas bien identificadas y con una función definida.

• Conteo: Aquí se registra las apariciones de cada variable con un trazo, para facilitar el conteo se realizan grupos de cinco trazos y así poder traducirlo como frecuencia absoluta.

• Frecuencia absoluta. Se refiere a la cantidad de ocasiones en que aparece el dato en el conjunto, la suma de las frecuencias absolutas debe coincidir con el total de datos del conjunto, que se le identifica con la letra & y al tratarse de una muestra ésta se escribe como minúscula. En este caso representa a los estudiantes que utiliza cada marca de celular.

• Frecuencia relativa. En esta columna se muestra la comparación de la frecuencia absoluta de cada categoría con el total de datos y se escribe como cociente, la suma de estas frecuencias da como resultado 1, ya que se refiere al total de la muestra. En el ejemplo está medido a través de la proporción de estudiantes que usa cada marca de celular.


• Porcentaje. Esta columna se calcula realizando la división planteada en la columna de frecuencia relativa y multiplicando el resultado por 100, la suma de todos los valores de porcentaje debe dar 100 o un valor muy cercano, ya que se considera el error que puede haber por el redondeo. Representa el porcentaje de estudiantes que utiliza las marcas de celular.

Aplicando lo anterior, la tabla de distribución de frecuencias queda:

Marca Conteo OP

Frecuencia absoluta

OQ Frecuencia relativa

Razón Proporción Porcentaje

Apple |||| | 6 6/55 0.1091 10.91 Motorola |||| | 6 6/55 0.1091 10.91 Huawei |||| |||| |||| | 16 16/55 0.2909 29.10 Samsung |||| |||| |||| 15 15/55 0.2727 27.27 LG ||| 3 3/55 0.0545 5.45 Xiaomi |||| |||| 9 9/55 0.1636 16.36 Total n=55 55/55=1 1 100

Los datos generados en la tabla de frecuencias se utilizan para realizar su representación gráfica, que para variable cualitativa pueden ser: Diagrama de barras o gráfica circular (o gráfica de pastel). Diagrama de barras Los diagramas de barra sirven para representar la distribución de frecuencias de variables cualitativas. Consiste en representar en el eje horizontal las categorías en que se clasifica la variable (en el caso del ejemplo, las marcas de los celulares) y en el eje vertical la frecuencia que se elija representar, absoluta o relativa, tomando en cuenta el valor más ato. Perpendicular al eje horizontal se trazan las barras que representan a las categorías, el alto de cada columna coincidirá con la frecuencia que le corresponda.

Es importante colocar los títulos de cada uno de los ejes, en el eje horizontal la categoría en este caso corresponde a la marca de celular, y la frecuencia, representada en el eje vertical, está representada por la cantidad de estudiantes que utiliza cada marca.

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Gráfica circular3 Las gráficas circulares o de pastel se utilizan para representar distribuciones porcentuales; el círculo completo tiene un área que equivale al 100%, cada sector representa un porcentaje de la muestra y se calcula como la razón del ángulo central del sector entre 360° (total de grados de la circunferencia). La medida de cada sector se calculará multiplicando el porcentaje de cada categoría por 360°, para poder determinar la medida de cada sector. Para realizar la gráfica, el círculo se divide con un transportador de acuerdo con la medida de los ángulos que le corresponde a cada categoría, pero ahora se registra el porcentaje que representa la categoría.

Marca Proporción Medida del sector

(°) Apple 0.1091 360(0.1091) = 39.28 Motorola 0.1091 360(0.1091) = 39.28 Huawei 0.2909 360(0.2909) = 104.76 Samsung 0.2727 360(0.2727) = 97.17 LG 0.0545 360(0.0545) = 19.62 Xiaomi 0.1636 360(0.1636) = 58.90 Total 1 359.01≈ 360

3 Tomado de Colegio de Bachilleres. 2004. Guía para presentar exámenes de Recuperación o Acreditación Especial (Apoya a Plan 92). Estadística Descriptiva e Inferencial I, p. 34.

Apple11%

Motorola11%

Huawei29%

Samsung27%

LG6%

Xiaomi16%

Distribución de las marcas de celulares


Variable cuantitativa Para ejemplificar el análisis de las variables cuantitativas, se usarán los datos obtenidos del conjunto de 55 estudiantes cuando se les preguntó ¿Cuál es el costo de tu celular? Los datos obtenidos son los siguientes:

1000 3600 900 2000 1000

4000 1300 1500 2200 1000

1600 2000 1500 5000 2000

300 1200 800 1200 1800

4500 2500 3000 1600 3200

1500 3500 2000 200 2000

1800 1800 3000 1000 2500

500 700 9000 3000 1200

1000 300 1000 1500 8000 1600 2000 700 3000 2000 5000 1000 1000 1500 1900

Para la presentación de los datos cuantitativos, también se utilizan tablas de distribución de frecuencias, pero la construcción es diferente, consta de los siguientes pasos:

1. Ordenar los datos de menor a mayor 200 1000 1500 2000 3000

300 1000 1500 2000 3000

300 1000 1500 2000 3200

500 1000 1600 2000 3500

700 1000 1600 2000 3600

700 1200 1600 2000 4000

800 1200 1800 2200 4500

900 1200 1800 2500 5000

1000 1300 1800 2500 5000

1000 1500 1900 3000 8000

1000 1500 2000 3000 9000

2. Localizar el valor máximo y mínimo del conjunto.

!!"# = 9000 y !!$% = 200

3. Calcular el rango del conjunto de datos

V = W)*+ − W),$ Por lo anterior:

V = 9000 − 200 V = 8800

4. Determinar el número de clases o intervalos. Usar la regla de Sturges, el cual es un método empírico para determinar el número de intervalos o clases de una tabla de distribución de frecuencias con base en el número de datos del conjunto.

X = 1 + 3.322 log &

30

En este ejemplo: X = 1 + 3.322 log 55

X = 6.78 → 7

NOTA: Recuerda que el número de intervalos o clases debe ser mayor que 5 y menor que 18, por ser un convenio internacional.

5. Calcular la amplitud del intervalo. Una vez que se ha determinado el número de intervalos, se calcula cuál es la medida de la amplitud.

#5^_=@`< =Va&bcX

#5^_=@`< =88007

#5^_=@`< = 1257.14 → 1260

6. Elaborar la tabla de distribución de frecuencias correspondiente, con base en los valores obtenidos k=7, Amplitud=1260, lo cual significa que cada intervalo contendrá 1260 valores. Clases (X)

Precio del celular

>= Cantidad de estudiantes

Frecuencia relativa >?

Razón Proporción Porcentaje 200 – 1459 20 20/55 0.3636 36.36 1460 – 2719 22 22/55 0.4000 40.00 2720 – 3979 7 7/55 0.1273 12.73 3980 – 5239 4 4/55 0.0727 7.27 5240 – 6499 0 0/55 0 0 6500 – 7759 0 0/55 0 0 7760 – 9019 2 2/55 0.0364 3.64

Total n=55 55/55 1 100 En la tabla anterior se puede observar que en los intervalos de clases de uno a otro ocurre un salto, es decir, existe un espacio entre el final de uno y el inicio del siguiente, cuando la variable cuantitativa es continua, estos espacios pueden ocasionar pérdidas de información, por lo que es necesario generar límites reales que generen la continuidad. Lo cual se realiza generando un punto medio entre ambos límites. A estos nuevos valores se les llama límites reales.

Clases (X)

Precio del celular Límites reales

200 – 1459 199.5 – 1459.5 1460 – 2719 1459.5 – 2719.5 2720 – 3979 2719.5 – 3979.5 3980 – 5239 3979.5 – 5239.5 5240 – 6499 5239.5 – 6499.5 6500 – 7759 6499.5 – 7759.5 7760 – 9019 7759.5 – 9019.5


Como se puede observar, ahora donde termina un intervalo inicia el siguiente, así se le da continuidad a la tabla para evitar la pérdida de datos. Las variables cuantitativas se representan a través de las siguientes gráficas: Histograma, polígono de frecuencias. Histograma4 El histograma representa la información de las distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas, es decir, se representan las frecuencias de clase por medio de áreas de rectángulos (barras). En un histograma las frecuencias quedan representadas por el área de los rectángulos y no por sus alturas, por lo que las barras necesariamente se dibujan sin dejar espacios entre ellas, dando continuidad a la variable. Para construir un histograma se observan las siguientes características:

• Los valores de las variables se disponen en el eje horizontal (eje W); representados a través de los límites superiores

• Las frecuencias con que ocurren los valores de la variable en el eje vertical (eje d), pueden utilizarse la frecuencia absoluta o las frecuencias relativas.

• Cada intervalo de clase se representa por una barra del histograma; recuerda que estas barras tienen la misma amplitud que los intervalos de clase.

• La altura de cada barra corresponde a la frecuencia con que ocurren los valores en dichos intervalos de clase.

• Las barras se dibujan adyacentes entre sí y, recuerda, la proporción encerrada por una barra está representada por la frecuencia relativa correspondiente a dicho intervalo de clase.

En este histograma se puede observar que, del grupo de estudiantes, ninguno de ellos tiene celulares que cuesten entre $52395 y $6199.5 o entre $6199.5 y $7759.5, por eso no hay una barra que represente a estos intervalos. También se puede ver que 22 estudiantes tienen celulares entre $1459.5 y $2719.5. Esta información y más es la que se puede extraer de una gráfica.

4 Tomado de Colegio de Bachilleres. 2004. Guía para presentar exámenes de Recuperación o Acreditación Especial (Apoya a Plan 92). Estadística Descriptiva e Inferencial I, p. 32.

32

Polígono de frecuencias Los datos de una distribución de frecuencias de variable cuantitativo también se pueden graficar a través de un polígono de frecuencias.

1. Para poder graficar un polígono de frecuencias, es necesario calcular la marca de clase de cada intervalo (7L=), la cual es el punto medio de cada intervalo y se calcula sumando el límite inferior real y el superior real de cada intervalo y posteriormente se divide entre dos:

7L= =efV= + egV=

2

2. Los valores de las variables se disponen en el eje horizontal (eje W); representados a través de las marcas de clase. Para cerrar el polígono, los puntos terminales del histograma se unen con el eje horizontal (8h8W) en el punto correspondiente al límite inferior real del primer intervalo y al límite superior real del último intervalo.

3. Las frecuencias con que ocurren los valores de la variable en el eje vertical (eje d), pueden utilizarse la frecuencia absoluta o las frecuencias relativas.

4. El área total bajo la curva es igual al área total bajo el histograma correspondiente.

Límites reales Costo celular ($) !"#

$# Cantidad de estudiantes %&' %('

199.5 – 1459.5 829.5 20 1459.5 – 2719.5 2089.5 22 2719.5 – 3979.5 3349.5 7 3979.5 – 5239.5 4609.5 4 5239.5 – 6499.5 5869.5 0 6499.5 – 7759.5 7129.5 0 7759.5 – 9019.5 8389.5 2

A partir de los datos anteriores se construye el polígono de frecuencias que represente los datos de los precios de los celulares del conjunto de los 55 estudiantes entrevistados.


A diferencia del histograma, en el polígono de frecuencias cada marca de clase es el dato que representa cada intervalo, por lo que se puede decir que 20 estudiantes tienen celulares de $829.5. Hasta este punto del análisis estadístico, la tabla de distribución de frecuencias cuenta con varias columnas que se han añadido paso a paso, pero es importante que tengas presente cuáles son.

Precio del celular ($) )*

Cantidad de estudiantes

Frecuencia relativa )+

Límites Límites Reales ,-* Razón Proporción Porcentaje LI – LS LIR – LSR 200 – 1459 199.5 – 1459.5 829.5 20 20/55 0.3636 36.36 1460 – 2719 1459.5 – 2719.5 2089.5 22 22/55 0.4000 40.00 2720 – 3979 2719.5 – 3979.5 3349.5 7 7/55 0.1273 12.73 3980 – 5239 3979.5 – 5239.5 4609.5 4 4/55 0.0727 7.27 5240 – 6499 5239.5 – 6499.5 5869.5 0 0/55 0 0 6500 – 7759 6499.5 – 7759.5 7129.5 0 0/55 0 0 7760 – 9019 7759.5 – 9019.5 8389.5 2 2/55 0.0364 3.64

Total n=55 55/55 1 100 Una vez que se calculen estas columnas, como se ilustró anteriormente, se estará en condiciones de realizar las gráficas que representen esta distribución de frecuencias. Recuerda que los valores que conforman cada columna tienen un significado relativo a la situación que se analiza, por ejemplo, las columnas: límites, límites reales y marca de clase, representan a la variable “precio del celular”, las dos primeras, agrupan a los datos en pequeños subconjuntos (intervalos de clase) para que se facilite el análisis, la marca de clase, es un valor que representa a cada subconjunto. Los valores de las columnas restantes indican cuántos estudiantes cuenta con un celular de cada intervalo de precio, ya sea en valores absolutos (cantidad de estudiantes) o en proporción (porcentaje de estudiantes). Así, cuando se relacionan los valores de las columnas se consigue conclusiones e interpretaciones que en un inicio con el conjunto de datos sin organizar no serían visibles fácilmente. En cada ejercicio que realices, recuerda considerar cuál es el significado de los valores que integran la tabla, para que cobren sentido y no sean solo valores numéricos que se calculan sin sentido.

34

Actividad de aprendizaje1 5

1. El siguiente conjunto de 150 datos representa el coeficiente intelectual un grupo de

personas que realizarán un examen.

88 91 104 113 125 101 114 104 93 91 96 91 100 94 85 119 91 106 120 129 120 109 106 109 121 126 122 112 92 109 93 89 124 96 105 95 91 114 108 113 107 97 128 125 128 99 120 101 108 118 118 113 124 115 121 120 118 111 121 88 106 106 97 104 105 122 112 103 114 115 115 100 105 108 119 102 127 121 116 100 95 89 108 93 107 118 106 98 119 118 108 89 108 114 102 96 99 105 125 126 100 115 113 116 116 109 104 113 118 110 129 124 92 88 113 100 110 101 103 113 114 106 105 115 98 112 103 101 101 89 109 99 108 111 122 108 114 125 121 122 117 105 112 88 104 97 85 116 113 126

a) Ordena el conjunto de datos b) Calcula el rango del conjunto c) Determina la amplitud o longitud del intervalo d) ¿Cuál es el número de intervalos adecuados? e) Elabora la tabla de distribuciones de frecuencias f) Construye una gráfica que represente los datos del conjunto

5 Tomado de Colegio de Bachilleres. (2004). Guía para presentar exámenes de Recuperación o Acreditación Especial (Apoya a Plan 92) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I.

36


El siguiente conjunto de datos muestra las 50 calificaciones obtenidas en un examen final de estadística. Distribución de frecuencias absoluta de una muestra de 50 calificaciones de un examen final de estadística.

a) Realiza un histograma con las frecuencias relativas b) Realiza un polígono de frecuencias relativas

6 Ibidem



A continuación, se presentan el número de mensajes que enviaron por día 20

personas.

Construye un polígono de frecuencias que represente la distribución de frecuencias.

7 Ibidem

38


En la Fuerza Aérea Mexicana, los aviadores toman un examen médico general en cada 150 horas de vuelo, por lo que se analizan los expedientes de cada piloto para citarlos a su examen. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla, correspondientes a las horas de vuelo.

a) Construye la tabla de distribución de frecuencias b) Construye el polígono de frecuencias y el histograma

8 Tomado de Colegio de Bachilleres (2004). COMPENDIO FASCICULAR ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I.

40

Esta sección tiene como propósito presentarte recomendaciones de textos que te permitan consultar o estudiar de manera organizada los contenidos específicos de la guía. Sitios web

• Gil Armas, A. R., Martín González J. Manual para la generación de proyectos de estadística por etapas. Instituto Canario de Estadística, https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/2013/10/la-estadc3adatica-con-proyectos.pdf. Consultado en diciembre 2020.

• Aprende.org. Probabilidad y Estadística. https://aprende.org/pages.php? r=.portada_course_view&programID=matematicas&tagID=3484&load=3514&n=1. Consultado en diciembre de 2020.

Libros • Domínguez, J., Domínguez J. (2009). Estadística y Probabilidad. El mundo de los

datos y el azar. México: Oxford University Press. Texto con ejercicios, ejemplos y explicaciones detallados.

• Johnson, R., Kuby Patricia. (2016). Estadística Elemental. 11ª Ed. México: Cengage Learning Editores.


En esta sección podrás conocer cuáles fueron las lecturas y documentos que se tomaron en cuenta para la realización de este material. Libros




Acreditación Especial (Apoya a Plan 92) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I. https://repositorio.cbachilleres.edu.mx/wp-content/material/guias/estadistica_I.pdf. Consultado en diciembre 2020


https://drive.google.com/file/d/1YvZI34DwIkF23vTEJfK5KOfi8vqGl6lJ/view. Consultado en diciembre 2020

• Colegio de Bachilleres (2004). COMPENDIO FASCICULAR ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I. https://repositorio.cbachilleres.edu.mx/wp-content/material/compendios/quinto/edi_1.pdf. Consultado en diciembre 2020

• García, Godoy y Lagunes (2013) Taller de Estadística por proyectos trabajo no publicado.

42

Análisis de medidas descriptivas

Al final de este corte comprenderás los usos de las medidas descriptivas: de tendencial central, de dispersión y de posición para explicar a través de ellas el comportamiento de múltiples fenómenos que te rodean.

Contenidos específicos Aprendizajes esperados. • Medidas de tendencia central,

medidas de dispersión, medidas de forma y medidas de correlación.

• Calcularás las medidas de tendencia central, medidas de dispersión, medidas de forma y medidas de correlación.

• Tomarás decisiones a partir de las medidas de tendencia central y su representación con respecto a un conjunto de datos.


Para asegurar una mejor comprensión de los conocimientos que se revisarán en este corte, es preciso contar con los siguientes conocimientos previos:

• Tablas de distribución de frecuencias • Operaciones aritméticas • Jerarquía de operaciones • Interpretación de fórmulas • Notación algebraica • Sustitución de fórmulas • Uso de la calculadora • Plano cartesiano • Ubicación de puntos en el plano cartesiano

Con la finalidad de conocer tus habilidades, el dominio de los conocimientos previos y que reconozcas fácilmente tus dudas, resuelve los ejercicios que conforman la Evaluación Diagnóstica.

Evaluación diagnóstica 1. Completa la siguiente tabla de distribución de frecuencias

Intervalos de clase

Límites Reales MCi fi fr

3 -5 2.5 - 5.5 8

5.5 - 8.5 11

8.5 - 11.5 20

12 - 14 13 7/50

15 - 17 16 4/50 Total 50

44

2. Considerando la siguiente fórmula y los valores dados, determina el resultado de la expresión.

78< = efV + i

&2 − j,-!

>,k#

Donde: efV:30 & = 50 j,-! =9 >, = 15 # = 10

3. Ubica en el plano cartesiano los siguientes puntos A (2, 5) B (4, 3) C (17, 3) D (19, 5)

E (14, 5) F (10, 10) G (7, 5)

Une los puntos graficados, ¿Qué figura se forma?


A continuación, encontrarás una serie de contenidos que te servirán de apoyo para el logro del propósito del corte 3.

Medidas descriptivas Se conocen como medidas descriptivas a los valores numéricos calculados a partir de los datos de conforman a una muestra, cuya finalidad es dar una idea general de su comportamiento por medio de una síntesis de datos. Las medidas descriptivas se pueden dividir en: medidas de tendencia central, medidas de dispersión y medidas de posición. Medidas de tendencia central Las medidas de tendencia central tienen como propósito ubicar el centro en torno al cual se distribuye un conjunto de datos. Las más comunes son: media, mediana y moda. Media9 La media de un conjunto de datos es el centro de los datos, ya que es el punto de equilibrio de los datos y se expresa por el cociente de la suma de los productos de las cantidades por sus respectivas frecuencias y la suma de las frecuencias.

• En una distribución de frecuencias agrupadas, todos los valores que caen dentro de un intervalo de clase se consideran de un mismo valor igual a la marca de clase; entonces las frecuencias son las ponderaciones de los valores que corresponden con las marcas de clase.

• En una distribución de frecuencias agrupadas, las ponderaciones son las frecuencias y las marcas de clase son los valores que se ponderan.

Recuerda que la media aritmética es la única de las medidas de tendencia central que puede intervenir en operaciones algebraicas. De las varias propiedades matemáticas que posee la media, únicamente mencionaremos dos de las más importantes. • En toda distribución, la suma de las desviaciones de sus variables con respecto a la

media es cero (åW=W-W=0). • La suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media es siempre

menor que la suma de los cuadrados de las desviaciones con respecto a cualquier otro valor. La propiedad anterior indica que la media aritmética es la medida de tendencia central que hace mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones en torno de ella. Esta importante propiedad es el origen del llamado método de mínimos

9 Adaptado de Colegio de Bachilleres. (2004). Guía para presentar exámenes de Recuperación o Acreditación Especial (Apoya a Plan 92) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I, p.53

46

cuadrados para la búsqueda de la media, y es importante en estadística por su aplicación en el ajuste de curvas.

Entonces, la expresión para calcular la media para datos agrupados a partir de las ideas anteriores es:

W =∑7L=>=∑ > =

Donde: 7L=: es la marca de clase o punto medio >=: es la frecuencia absoluta de cada clase

NOTA: toma en cuenta que este símbolo ∑ es una letra griega que da la instrucción abreviada de suma, por lo que cuando en una fórmula observes algo como lo siguiente ∑> =, la indicación será que sumes los valores que corresponden, en este caso, a las frecuencias absolutas de los intervalos.

Ejemplo Se retomará el ejemplo que se analizó para el corte anterior, recuerda cuál era la variable que se analizaba: el precio del celular, por lo que ahora se calculará la media del precio del celular que usan los 55 estudiantes encuestados.

1. Observa los datos necesarios para sustituir en la fórmula, en el numerador dice que sustituirás la suma del producto de la marca de clase por la frecuencia, esta multiplicación debe hacerse con los valores correspondientes a cada intervalo. Por lo que se incluirá una columna a la derecha para colocar los resultados de ,-*)*.

2. Posteriormente se sumarán los resultados para poderlos sustituir. 3. Al final se sustituye en la fórmula y se dividen entre el tamaño de la muestra, en la

fórmula se observa como la suma de las frecuencias de cada intervalo 4.



,-*)* Límites Límites Reales ,-* LI – LS LIR – LSR 200 – 1459 199.5 – 1459.5 829.5 20 829.5 (20) = 16590 1460 – 2719 1459.5 – 2719.5 2089.5 22 2089.5(22) = 45969 2720 – 3979 2719.5 – 3979.5 3349.5 7 3349.5(7) = 23446.5 3980 – 5239 3979.5 – 5239.5 4609.5 4 4609.5(4) =18438 5240 – 6499 5239.5 – 6499.5 5869.5 0 5869.5(0) =0 6500 – 7759 6499.5 – 7759.5 7129.5 0 7129.5(0) =0 7760 – 9019 7759.5 – 9019.5 8389.5 2 8389.5(2) =16779

Total ∑>= =55 ∑7L=>==121222.5

W =∑7L=>=∑ > =

W =121222.555

W = 2204.05 Entonces el promedio de precio de los celulares de los estudiantes encuestados es de $2204.05

Usualmente solo se colocan los resultados de multiplicar la !"# por su

correspondiente $#, como es el primer ejercicio se

colocó el desarrollo

Recuerda que los encabezados de cada

columna indica el tipo de dato o la operación de la que

provienen


Mediana10 La mediana para datos agrupados será el valor que se encuentra a la mitad de una serie ordenada de valores. La mediana para una distribución de frecuencias es aquel punto del eje horizontal del histograma correspondiente en el cual, si se traza una línea vertical, el área comprendida bajo el histograma queda dividida en dos partes iguales. La mediana para datos agrupados se puede calcular mediante la fórmula:

78< = efV, + i

&2 − j,-!

>,k#

Donde: efV,: es el límite real inferior de la clase de la mediana. &: es el número total de datos de la muestra o tamaño de la muestra j,-!: es la frecuencia absoluta acumulada de la clase inmediata anterior a la clase de la mediana. >,: es la frecuencia de la clase mediana #: es amplitud del intervalo. Ejemplo:

1. Se inspecciona visualmente la fórmula para determinar cuáles son los datos necesarios, se observa que es necesario determinar el intervalo en el que se encuentra la mediana.

2. Para conocer el intervalo en donde se ubica la mediana se calcula $" =''" = 27.5, se

ubica entre el dato número 27 y 28. NOTA: la posición 27.5 no existe, solo se considera de manera teórica.

3. Con base en las frecuencias absolutas se determinará el intervalo en el que se encuentra. En la tabla se puede observar que el primer intervalo, tiene 20 datos, es decir, desde el dato 1 hasta el dato 20; en el segundo intervalo se encuentran 22 datos, recuerda que el último dato del primer intervalo es el 20° dato, por lo que en el segundo intervalo están desde el dato con posición 21° hasta el 42°, por lo que es en el segundo intervalo donde se encuentra el dato con la posición 27.5 y será de este intervalo de la que se obtendrá el límite inferior, la frecuencia absoluta, etc.

4. También es necesario calcular la columna de frecuencias acumuladas, como lo dice su nombre, son las frecuencias que se van añadiendo intervalo tras intervalo, es decir, para el primer intervalo se tienen solo 20 datos, hasta el segundo intervalo se tienen 42 datos, 20 del primero más 22 del segundo, en el tercer intervalo son 49 (20+22+7), en el cuarto 53 (20+22+7+4), en el quinto y sexto intervalo se mantiene 53 porque en ambos intervalos no hay datos, finalmente para el séptimo intervalo son 55 (20+22+7+4+0+0+2).

10 Ibidem

48



,-*)* 2* Límites Límites Reales ,-* LI – LS LIR – LSR 200 – 1459 199.5 – 1459.5 829.5 20 16590 20 1460 – 2719 1459.5 – 2719.5 2089.5 22 45969 42 2720 – 3979 2719.5 – 3979.5 3349.5 7 23446.5 49 3980 – 5239 3979.5 – 5239.5 4609.5 4 18438 53 5240 – 6499 5239.5 – 6499.5 5869.5 0 0 53 6500 – 7759 6499.5 – 7759.5 7129.5 0 0 53 7760 – 9019 7759.5 – 9019.5 8389.5 2 16779 55

Total 55 121222.5

78< = efV + i

&2 − j,-!

>,k#

&'( = 1459.5 + .27.5 − 2022 1 1260

&'( = 1888.55

Lo anterior indica que el valor de la mediana es $1888.55, es decir, es el dato que se encuentra en el centro del conjunto de datos ordenados. NOTA. El valor calculado de la mediana siempre tiene que encontrarse entre los límites del intervalo que contiene a la mediana, en el caso del ejemplo, 1888.55 se encuentra entre 1459.5 y 2719.5, lo anterior puede servirte para revisar tus resultados. Moda11 La moda posee propiedades que ponen en evidencia ciertas cualidades de un colectivo, cosa que no ocurre con la media aritmética que promedia todos los valores igualando en un justo reparto todas las observaciones, es decir, suprimiendo sus individualidades. En cambio, la moda destaca los valores individuales, de lo que se desprende su utilidad e importancia en cierto tipo de análisis. La moda para datos agrupados se puede calcular mediante la fórmula:

7c = efV + o<!

<! + <"p#

Donde: efV: es el límite inferior real de la clase modal (recuerda que la clase modal es la clase con la más alta frecuencia en la distribución). <!: es la frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase que se encuentra inmediatamente antes de ella. <": es la frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase que se encuentra inmediatamente después de ella. #: es la amplitud de la clase modal (intervalo).

11 Ibidem


Ejemplo 1. Se inspecciona visualmente la fórmula para determinar cuáles son los datos

necesarios, se observa que es necesario determinar el intervalo en el que se encuentra la moda (intervalo modal).

2. El intervalo que contiene la moda es el intervalo con la frecuencia absoluta más alta, en este caso coincide con el intervalo que contiene a la mediana, es decir, el segundo intervalo.

3. La fórmula también pide <!, la que se calcula restando las frecuencias del intervalo modal, menos la frecuencia del intervalo anterior: <! = 22 − 20 = 20

4. La <" se calcula como la diferencia de la frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase siguiente: <" = 22 − 7 = 15

Precio del celular

($) )* Cantidad de estudiantes

,-*)* 2* Límites Límites Reales ,-* LI – LS LIR – LSR 200 – 1459 199.5 – 1459.5 829.5 20 16590 20 1460 – 2719 1459.5 – 2719.5 2089.5 22 45969 42 2720 – 3979 2719.5 – 3979.5 3349.5 7 23446.5 49 3980 – 5239 3979.5 – 5239.5 4609.5 4 18438 53 5240 – 6499 5239.5 – 6499.5 5869.5 0 0 53 6500 – 7759 6499.5 – 7759.5 7129.5 0 0 53 7760 – 9019 7759.5 – 9019.5 8389.5 2 16779 55

Total 55 121222.5

7c = efV + o<!

<! + <"p#

7c = 1459.5 + o20

20 + 15p1260

7c = 2179.5

Lo anterior significa que el valor de la moda $2179.5 es el precio más común del conjunto de estudiantes encuestados. Para determinar cuál es la mejor medida de tendencia central se puede considerar que la media es la única que utiliza todos los datos del conjunto, lo cual puede ser una desventaja cuando el conjunto tiene calores que son muy distintos de la mayoría de ellos. En tales casos un buen promedio suele ser la mediana. En situaciones apremiantes la moda puede dar una idea aproximada del valor central de una serie de datos.

50

Medidas de Dispersión El análisis descriptivo de los datos no se puede restringir exclusivamente al cálculo de las medidas de tendencia central porque, por ejemplo, dos distribuciones de frecuencias con igual media o con igual mediana pueden distribuirse de diferente manera, es decir, si solamente se consideran las medidas de tendencia central, es posible obtener conclusiones erróneas al no tomar en cuenta la dispersión de los datos.12 Varianza La varianza para datos agrupados, denotada por S², es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media y sirve de base para calcular la desviación estándar que es la más importante de todas las medidas de dispersión. Entonces:

g" =∑>=(7L, − W)"

& − 1

Donde: 7L,: es la marca de clase de cada intervalo >=: es la frecuencia absoluta de cada intervalo W: es la media del conjunto &: es la suma de las frecuencias Desviación estándar La desviación estándar es una medida de dispersión que es igual a la raíz cuadrada de la varianza, para datos agrupados su fórmula es:

g = q∑>=(7L, − W)"

& − 1

Donde: 7L,: es la marca de clase de cada intervalo >=: es la frecuencia absoluta de cada intervalo W: es la media del conjunto &: es la suma de las frecuencias Ejemplo: Se retomará el ejemplo que se viene analizando

1. Para calcular las medidas de dispersión se revisan las fórmulas y se observa que se necesita ∑>=(7L, − W)", para poder llegar a ese valor, es necesario ir por partes, porque se necesita inicialmente las diferencias 7L, − W, posteriormente elevarlas al cuadrado (7L, − W)" y finalmente multiplicarlas por la frecuencia correspondiente a cada intervalo. Toma en cuenta que para facilitar el calculo de los valores se incluirá una columna para cada operación que se necesita.

12 Material de Apoyo para presentar el examen extraordinario Matemáticas VI. Estadística y probabilidad (2016) Plantel 7 Iztapalapa

Precio del celular ($) !"


#$"!" %" !"! − $% (!"! − $%)" ()(!"! − $%)" Límites Límites Reales #$" LI – LS LIR – LSR 200 – 1459 199.5 – 1459.5 829.5 20 16590 20 (829.5-2204.05)= -1375 (-1375)2=1890625 20(1890625)=37812500 1460 – 2719 1459.5 – 2719.5 2089.5 22 45969 42 (2089.5-2204.05)= -115 (-115)2=13225 22(13225)=290950 2720 – 3979 2719.5 – 3979.5 3349.5 7 23446.5 49 (3349.5-2204.05)= 1145 (1145)2=1311025 7(1311025)=9177175 3980 – 5239 3979.5 – 5239.5 4609.5 4 18438 53 (4609.5-2204.05)= 2405 (2405)2=5784025 4(5784025)=23136100 5240 – 6499 5239.5 – 6499.5 5869.5 0 0 53 (5869.5-2204.05)= 3665 (3665)2=13432225 0(13432225)=0 6500 – 7759 6499.5 – 7759.5 7129.5 0 0 53 (7129.5-2204.05)= 4925 (4925)2=24255625 0(24255625)=0 7760 – 9019 7759.5 – 9019.5 8389.5 2 16779 55 (8389.5-2204.05)= 6185 (6185)2=38254225 2(38254225)=76508450

Total 55 121222.5 ∑!"(#$! − )*)" =146925175

Varianza

*# = ∑-.(/0$ − 1)#3 − 1

*# = 14692517555 − 1

*# =2720836.57 Desviación estándar

* = 6∑-.(/0$ − 1)#

3 − 1

* = 614692517555 − 1

* = √2720836.57 * = 1649.50

Usualmente solo se colocan los resultados de

las operaciones, pero como es el primer ejercicio

se colocó el desarrollo

Medidas de posición Las medidas de posición sirven para dividir a una distribución de datos ordenados en partes iguales, por ejemplo, los cuartiles dividen al conjunto en cuatro partes que tienen la misma cantidad de datos, son muy útiles para hacer comparaciones de conjuntos de datos. Cuartiles Los cuartiles son valores de la variable que dividen en cuartos a la muestra de datos ordenados, por lo cual cada muestra cuenta con tres cuartiles, los cuales dividen al conjunto en cuatro grupos con 25% cada uno, es decir, antes del cuartil !! se ubica el 25% de los datos de la muestra y así sucesivamente. La fórmula para calcularlos es:

!" = #$%# + '

()4 − ,#$!

-#./

Donde: (: valor del cuartil que se desea calcular, el valor puede ir de 1 a 3 #$%#: Límite inferior real del intervalo que contiene al dato del cuartil ): tamaño de la muestra ,#$!: Frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo que contiene al dato del cuartil -#$!: Frecuencia absoluta del intervalo que contiene el dato del cuartil A: Amplitud del intervalo Deciles Los deciles valores de la variable, que por su posición en el conjunto de datos ordenados dividen a la muestra en diez partes con el 10% del conjunto en cada una de ellas.

1" = #$%# +'

()100 − ,#$!

-#./

Donde: (: valor del decil que se desea calcular, el valor puede ir de 1 a 9 #$%#: Límite inferior real del intervalo que contiene al dato del decil ): tamaño de la muestra ,#$!: Frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo que contiene al dato del decil -#$!: Frecuencia absoluta del intervalo que contiene el dato del decil A: Amplitud del intervalo Percentiles Los percentiles son valores de la variable que dividen en cien partes a una muestra de datos ordenados, cada división contendrá al 1% del conjunto, los percentiles dan valores correspondientes al 1%, 2%,…, al 99% de los datos

1" = #$%# +'

()100 − ,#$!

-#./

Matemáticas VI | Sexto semestre

Donde: (: valor del percentil que se desea calcular, el valor puede ir de 1 a 99 #$%#: Límite inferior real del intervalo que contiene al dato del percentil ): tamaño de la muestra ,#$!: Frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo que contiene al dato del percentil -#$!: Frecuencia absoluta del intervalo que contiene el dato del percentil A: Amplitud del intervalo El cuartil 2, el decil 5 y el percentil 50 coinciden con el valor de la mediana, ya que antes y después de ellos se encuentra el 50% de los datos de la muestra, ya que todas estas medidas coinciden en el centro de la muestra, solo varía en el número de divisiones qu se hacen. Ejemplo Observa cuidadosamente las fórmulas de las medidas de posición, ¿puedes ver que se parecen mucho entre ellas?, pero también se puede determinar que se parecen a la fórmula para calcular la mediana, y su cálculo es muy similar también. Para ejemplificar el cálculo de las medidas de posición se van a calcular el tercer cuartil !%, el segundo decil 1& y el sexagésimo quinto percentil 4'(.

Precio del celular ($) !"


#$"!" %" Límites Límites Reales #$" LI – LS LIR – LSR 200 – 1459 199.5 – 1459.5 829.5 20 16590 20 1460 – 2719 1459.5 – 2719.5 2089.5 22 45969 42 2720 – 3979 2719.5 – 3979.5 3349.5 7 23446.5 49 3980 – 5239 3979.5 – 5239.5 4609.5 4 18438 53 5240 – 6499 5239.5 – 6499.5 5869.5 0 0 53 6500 – 7759 6499.5 – 7759.5 7129.5 0 0 53 7760 – 9019 7759.5 – 9019.5 8389.5 2 16779 55

Total 55 121222.5 Cálculo del cuartil 3 !%

1. Cómo se busca el cuartil 3, ( = 3 2. El tamaño de la muestra sigue siendo 55, ) = 55

3. Ubica en cuál intervalo se encuentra el dato del tercer cuartil., ")* =%((()* = 41.25, por

lo que se está buscando en cuál intervalo se encuentra el dato en la posición 41.25 (recuerda que esa posición no existe, ya que solo hay posiciones enteras, pero de existir, ¿en qué intervalo se encontraría?)

4. Al igual que en la moda, se busca en cuál intervalo se encuentra el dato buscado, en el primer intervalo se encuentran desde el dato 1 al 20, en el segundo intervalo del 21 al 42, por lo que es en este intervalo que se encontraría el 41.25 y de ese intervalo se toman los datos solicitados en la fórmula.

5. Se ajusta la fórmula de acuerdo con la conclusión de que en el intervalo 2 se encuentra el cuartil solicitado

54

!% = #$%& + '

3)4 − ,!-&

./

!% = 1459.5 + :41.25 − 20

22;1260

!% = 2676.55 Lo anterior se puede interpretar como que el 75% de los estudiantes entrevistados tienen celulares que cuestan menos de $2676.55, o se puede interpretar a la inversa, el 25% de los estudiantes tienen celulares con costos mayores a $2676.55 Cálculo del decil 2 >-

1. Cómo se busca el decil 2, ( = 2 2. El tamaño de la muestra sigue siendo 55, ) = 55

3. Ubica en cuál intervalo se encuentra el dato segundo decil, ")!. =&((()!. = 11, por lo

que se está buscando en cuál intervalo se encuentra el dato en la posición 11 4. Al igual que en la moda, se busca en cuál intervalo se encuentra el dato buscado,

en el primer intervalo se encuentran desde el dato 1 al 20, por lo que es en este intervalo que se encontraría el 11 y de ese intervalo se toman los datos solicitados en la fórmula.

5. Se ajusta la fórmula de acuerdo con la conclusión de que en el intervalo 1 se encuentra el cuartil solicitado

6. La frecuencia acumulada del intervalo anterior al que contiene al decil, no se contempla en la tabla, pero si existiera no habría datos en ella, por eso se le asigna el valor de cero.

1& = #$%! + '

2)10 − ,.-!

./

1& = 199.5 + :11 − 020

; 1260

1& = 892.5 Lo anterior se puede interpretar como que el 20% de los estudiantes entrevistados tienen celulares que cuestan menos de $892.5, o se puede interpretar a la inversa, el 80% de los estudiantes tienen celulares con costos mayores a $892.5


Cálculo del percentil 65 @/0

1. Cómo se busca el percentil 65, ( = 65 2. El tamaño de la muestra sigue siendo 55, ) = 55

3. Ubica en cuál intervalo se encuentra el dato del percentil 65, ")!.. ='(((()!.. = 35.75,

por lo que se está buscando en cuál intervalo se encuentra el dato en la posición 35.75 (recuerda que esa posición no existe, ya que solo hay posiciones enteras, pero de existir, ¿en qué intervalo se encontraría?)

4. Al igual que en la moda, se busca en cuál intervalo se encuentra el dato buscado, en el primer intervalo se encuentran desde el dato 1 al 20, en el segundo intervalo del 21 al 42, por lo que es en este intervalo que se encontraría el 35.75 y de ese intervalo se toman los datos solicitados en la fórmula.

5. Se ajusta la fórmula de acuerdo con la conclusión de que en el intervalo 2 se encuentra el cuartil solicitado y de acuerdo con el valor del percentil buscado.

4'( = #$%& + '

65)100 − ,!

-&./

4'( = 1459.5 + :35.75 − 20

22; 1260

4'( = 2361.55 Lo anterior se puede interpretar como que el 65% de los estudiantes entrevistados tienen celulares que cuestan menos de $2361.55, o se puede interpretar a la inversa, el 35% de los estudiantes tienen celulares con costos mayores a $2361.55

56

Actividad de aprendizaje 1 1. La siguiente tabla presenta la cantidad de clientes que atiende una tienda de

abarrotes por día en aproximadamente ocho meses. 13

a) Determina el valor de la media, la mediana y la moda b) Calcula el valor de las medidas de dispersión c) ¿Cuál es el valor del percentil 80?

NOTA. Recuerda calcular los límites reales de cada intervalo

13 Tomado de Colegio de Bachilleres. (2004). Guía para presentar exámenes de Recuperación o Acreditación Especial (Apoya a Plan 92) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I.

58

2. La siguiente distribución de frecuencias representa las ventas en cientos de pesos en una tienda departamental.14

Intervalo de clases (Monto de las ventas en

cientos de pesos)

&' (Cantidad de ventas)

1 – 5 2 6 – 10 8 11 – 15 30 16 – 20 26 21 - 25 4

a) Determina el valor de las medidas de tendencia central b) Calcula las medidas de dispersión c) ¿Cuál es el valor del cuartil 1?

14 Ibidem


3. La siguiente tabla muestra las edades de un grupo de trabajadores. 15

a) Determina el valor de las medidas de tendencia central b) Calcula el valor de las medidas de dispersión c) ¿Cuál es el valor del decil 6? Interpreta este valor en función del contexto del

problema.

15 Ibidem

60

Medidas de correlación16 En las diferentes áreas del conocimiento existen problemas que requieren el análisis de más de una variable; por ejemplo:

• Un sociólogo puede estar interesado en saber la clase de relación existe entre la tasa de delincuencia juvenil que hay en una comunidad y el grado de hacinamiento de los hogares que allí se encuentran.

• Un profesor de matemáticas puede estar interesado en conocer cómo se puede predecir el rendimiento en álgebra de un estudiante de bachillerato con base en el puntaje obtenido en una prueba de aptitud en dicha asignatura.

• Un agrónomo desea conocer si existe relación entre la cantidad de lluvia caída y el rendimiento de ciertos productos agrícolas.

Estas relaciones y muchas otras se pueden investigar por medio del análisis de correlación y regresión lineal.

El objetivo principal de la correlación es medir la intensidad de una relación lineal entre dos variables; en esencia, la correlación es una medida de la relación entre dos variables.

La medida de correlación implica encontrar un valor numérico que exprese el grado de correspondencia o dependencia que existe entre dos variables. Al hablar de la correlación de dos variables, es necesario distinguir dos casos básicos:

• Correlación positiva. Ocurre cuando al crecer o decrecer una de las variables, la otra crece o decrece paralelamente, por ejemplo: a medida que se eleva el nivel de vida de una población, tiende a aumentar el consumo de artículos que no son de primera necesidad.

• Correlación negativa. Ocurre cuando al crecer alguna de las variables, la otra decrece; por ejemplo: a medida que se amplían los sistemas de salubridad y medicina preventiva, decrece el índice de mortalidad por enfermedades infecto-contagiosas. Estas dos correlaciones y otras más se pueden mostrar utilizando los diagramas de dispersión.

Diagramas de dispersión Una manera sencilla para visualizar si entre dos variables existe correlación es la construcción de un diagrama de dispersión, el cual consiste en la ubicación de puntos en un sistema de ejes cartesianos.

• Si en el diagrama se puede observar que a medida que los valores de A aumentan, los de B aumentan también, se puede decir que existe correlación lineal positiva.

• Cuando en el diagrama se observa que cuando los valores de A aumentan, los de B disminuyen, se considera que existe correlación lineal negativa.

16


Coeficiente de correlación de Pearson Existen diversos métodos para poder calcular la fuerza de la relación entre dos variables, pero uno de los más conocidos es el Coeficiente de correlación de Pearson (C) y se calcula por medio de la siguiente fórmula:

C =)∑AB − ∑A ∑B

E()∑A& − (∑A)&)() ∑B& − (∑B)&)

Donde: C: coeficiente de correlación de Pearson, su valor se encuentra entre -1 y 1. Cuando el valor es positivo, existe una correlación lineal positiva y mientras más cercano sea a uno, mayor es la correlación. Si el valor es negativo es indicativo de una correlación negativa, mientras más cercano sea el valor a -1, mayor será la correlación lineal negativa. ): es el número de datos de la muestra, pares de A y B Con base en el valor del coeficiente de correlación lineal, se puede decir la fuerza de la relación entre dos variables.

Valor del coeficiente Fuerza de la correlación17 ( = 0 Correlación nula

0 < ( ≪ 1 Correlación baja positiva o débil 1 − ( ≪ 1 Correlación alta positiva o fuerte 1 ≪ ( < 0 Correlación baja negativa o débil 1 + ( ≪ 1 Correlación alta negativa o fuerte

Ejemplo En la clase de Actividades Físicas y deportivas se requiere que los estudiantes realicen una prueba de esfuerzo, por lo que se les solicita realizar una serie de abdominales y una serie de sentadillas, registrando la cantidad que hacen de cada uno de ellos. A continuación, se presentan los datos obtenidos.

Cantidad de sentadillas 27 30 28 31 32 26 34 27 29 33 40 35 32

Cantidad de abdominales

42 54 52 59 57 43 63 39 55 57 66 62 55

Para realizar el diagrama de dispersión, se graficarán como pares ordenados las sentadillas y los abdominales, los valores de las sentadillas en el eje A y el de los abdominales en el eje B.


62

Una vez terminado el diagrama de dispersión se puede decir que sí existe correlación, ya que a medida que aumenta el valor de las sentadillas, aumenta el de los abdominales y se aprecia en la “trayectoria” que forman los puntos. Para confirmar la suposición anterior se requiere calcular el coeficiente de correlación de Pearson, por lo cual se calculará el producto de AB, el cuadrado de A, el cuadrado de B y las sumatorias de los mismos.

Cantidad de sentadillas

0

Cantidad de abdominales

1 HI H- I-

27 42 1134 729 1764 30 54 1620 900 2916 28 52 1456 784 2704 31 59 1829 961 3481 32 57 1824 1024 3249 26 43 1118 676 1849 34 63 2142 1156 3969 27 39 1053 729 1521 29 55 1595 841 3025 33 57 1881 1089 3249 40 66 2640 1600 4356 35 62 2170 1225 3844 32 55 1760 1024 3025 404 704 22222 12738 38952

C =)∑AB − ∑A ∑B

E()∑A& − (∑A)&)() ∑B& − (∑B)&)

C =13(22222) − 404(704)

E(13(12738) − (404)&)(13(38952) − (704)&)

C = 0.88 El valor del coeficiente indica que la relación entre ambas variables es positiva y es fuerte, ya que el valor es positivo y muy cercano a uno.



1. Para la siguiente tabla que muestra la estatura de un bebé al nacer B (JK) que depende del período de embarazo de su mamá A (días promedio). 18

A (días promedio)

2 (45)

277.1 48 279.3 49 281.4 50 283.2 51 284.8 52

a) Construye el diagrama de dispersión b) Completa la tabla c) Calcula el coeficiente de correlación de Pearson.

18 Tomado de MATERIAL DE APOYO PARA PRESENTAR EL EXAMEN EXTRAORDINARIO: MATEMATICAS VI: Estadística y probabilidad, Plantel 7 “Iztapalapa” (2016)


2. La siguiente tabla representa la densidad de un mineral (A) y su contenido de hierro (B).19

Densidad de un mineral

(A) Contenido de hierro

(B) 2.8 27 3.0 30 3.2 30 3.2 34 3.4 36

a) Completa la tabla. b) Construye el diagrama de dispersión. c) Calcula el coeficiente de correlación C d) Qué tipo de correlación es

19 Ibidem

68

Esta sección tiene como propósito presentarte recomendaciones de textos que te permitan consultar o estudiar de manera organizada los contenidos específicos de la guía. Libros Domínguez, J., Domínguez J. (2009). Estadística y Probabilidad. El mundo de los datos y el azar. México: Oxford University Press. Johnson, R., Kuby Patricia. (2016). Estadística Elemental. 11ª Ed. México: Cengage Learning Editores Textos Colegio de Bachilleres. (2004). Guía para presentar exámenes de Recuperación o Acreditación Especial (Apoya a Plan 92) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I. https://repositorio.cbachilleres.edu.mx/wp-content/material/guias/estadistica_I.pdf. Consultado en diciembre 2020 Videos math2me. (7 de diciembre de 2010). Clasificación de la estadística. Tomado de: https://www.youtube.com/watch?v=Sd5hxnxIKYA&list=PLEwR-RTQiRPWWcLFBoUun_HCszpofz_k9 Matemáticas profe Alex. (15 de junio de 2017). Varianza, Desviación Estándar y Coeficiente de Variación | Datos agrupados en intervalos. Tomado de: https://www.youtube.com/watch?v=1myBo87lYyU Sitios web Khan Academy. Nociones sobre el coeficiente de correlación. https://es.khanacademy.org/math/ap-statistics/bivariate-data-ap/correlation-coefficient-r/v/correlation-coefficient-intuition-examples. Consultado en diciembre 2020. Gil Armas, A. R., Martín González J. Manual para la generación de proyectos de estadística por etapas. Instituto Canario de Estadística, https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/2013/10/la-estadc3adatica-con-proyectos.pdf. Consultado en diciembre 2020.


En esta sección podrás conocer cuáles fueron las lecturas y documentos que se tomaron en cuenta para la realización de este material. Libros


• Johnson, R., Kuby Patricia. (2016). Estadística Elemental. 11ª Ed. México: Cengage

Learning Editores

Textos

• Colegio de Bachilleres. (2004). Guía para presentar exámenes de Recuperación o Acreditación Especial (Apoya a Plan 92) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I. https://repositorio.cbachilleres.edu.mx/wp-content/material/guias/estadistica_I.pdf. Consultado en diciembre 2020


https://drive.google.com/file/d/1YvZI34DwIkF23vTEJfK5KOfi8vqGl6lJ/view. Consultado en diciembre 2020

• Colegio de Bachilleres (2004). COMPENDIO FASCICULAR ESTADÍSTICA

DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I. https://repositorio.cbachilleres.edu.mx/wp-content/material/compendios/quinto/edi_1.pdf. Consultado en diciembre 2020

• MATERIAL DE APOYO PARA PRESENTAR EL EXAMEN EXTRAORDINARIO:

MATEMATICAS VI: Estadística y probabilidad, Plantel 7 “Iztapalapa” (2016)

70

Las siguientes actividades te permiten integrar todo lo aprendido con esta guía y propician un dominio general de las habilidades que ejercitaste. Instrucción: Responde correctamente las siguientes actividades, en los casos que requieran procedimiento escríbelo detalladamente y argumenta tus respuestas.

1. Se tiene la intensión de conocer cuál es la materia que más les gusta a los estudiantes de una escuela, para lo cual se decide seleccionar al azar 15 estudiantes de cada grupo para conocer su materia preferida y cuál fue su calificación en ella. A partir de lo anterior, contesta: Población: Muestra: Variables analizadas: Tipo de variables analizadas:


2. Considera que se lanza un dado al aire. a) Tipo de experimento b) Espacio muestral c) Cardinalidad del espacio muestral d) Evento A, caiga número 3. e) Evento B, que caiga número primo. f) Probabilidad del evento B

3. En un restaurante de comida rápida ofrecen la opción de personalizar tu hamburguesa, puedes elegir entre las siguientes opciones.

Pan Carne Aderezo Acompañamiento • Tradicional • Artesanal

• Res • Pollo • Camarones

• Ranch • Salsa picosa

• Papas a la francesa

• Papas fritas

¿Cuántas órdenes de hamburguesa diferentes se pueden formar?

72

4. Una feria de experimentos escolar premiará a los tres primeros lugares, los finalistas son Juan Laura y Marco, ¿de cuántas maneras se podrían repartir el primero, segundo y tercer lugar entre ellos?

5. En una empresa que fabrica chocolates se requiere verificar la calidad de un lote de 80 chocolates mediante la muestra aleatoria formada por 5 de ellos, ¿cuántas muestras diferentes se pueden tomar?


6. La siguiente tabla muestra los pesos (en libras), de 40 estudiantes en la Universidad del Sur de California.20

144 146 168 146 161 164 158 126 173 145 150 140 138 142 135 132 147 176 147 142 144 136 163 135 150 125 148 119 153 156 149 152 154 140 145 157 144 165 135 128

Organiza los datos en una tabla de distribución de frecuencias, se te sugieren 6 intervalos de clases

a) Determina el rango y la amplitud de clase b) Construye la tabla de frecuencias c) Realiza el histograma y polígono de frecuencias



7. La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias de las horas/hombre que requiere una compañía de pintura para pintar 100 casas clasificadas por el grado de deterioro.21

a) Determina el valor de las medidas de tendencia central b) Calcula el valor de las medidas de dispersión c) ¿Cuál es el valor del decil 7?

21 Ibidem


8. En el experimento de un fármaco, se determinó que los miligramos en exceso suministrados causaban consecuencias en horas de vigilia de los pacientes. 22

mg de medicamento suministrado 7

Horas de vigilia 2

0.7 1 2.5 2 2.8 3 4.5 4 5.5 5 6.2 6 8.0 7

a) Completa la tabla b) Calcula el coeficiente de correlación de Pearson c) Construye el diagrama de dispersión

22 Tomado de Guía para el examen de Matemáticas VI (Clave 604), Plantel 8


ANEXO

La tabla de verificación tiene como propósito que puedas comparara los resultados de tus actividades de aprendizaje y autorregular tus necesidades de estudio. Corte 1 Evaluación diagnóstica

Número de reactivo

Respuesta correcta Sugerencia

1. Incluir conceptos como la recolección, organización, análisis y presentación de datos, también puede incluir ideas de gráficas estadísticas como histograma, gráfica de barras, gráfica circular.

A lo largo de este corte se recuperarán algunos de estos conceptos, por lo cual es importante que loes leas atentamente y los conectes con tus aprendizajes anteriores.

2. La aplicación de la estadística es amplia, puede ser por ejemplo en: • Mercadotecnia • Psicología • Educación • Sociología • Juegos de azar, entre otros

Actividades de aprendizaje

Número de reactivo


Actividad 1 Las variables cualitativas y cuantitativas, ambas describen a los individuos de una población, su principal diferencia radica en que las variables cuantitativas definen a los individuos a partir de características que pueden medir o contar algún atributo, por ejemplo: la edad, el peso, dimensiones, etc. Mientras que la variable cualitativa define a los individuos de su población a través de la descripción de sus características, por ejemplo, color, género y no son resultado de la medición de sus características.

Repasa los tipos de variables, es importante que sepas distinguirlas, ya que con base en esa separación es el tipo de análisis estadístico que se realiza.

Actividad 2 Población: todos los clientes de la tienda de autoservicio. Muestra: 3500 clientes Variables analizadas: Edad, género Tipo de variables analizadas:

Vuelve a leer los conceptos básicos de la estadística, para poder distinguir los

80

Edad – variable cuantitativa Género – variable cualitativa

conceptos presentes en la situación.

Actividad 3 a) Experimento aleatorio b) Ω= M, M, M, B, B, V, V, V, R, R c) )(Ω) = 10 d) A= R, R e) B=M, M, M

f) 4(M) = %!.

Repasa el concepto de probabilidad clásica, espacio muestral y cardinalidad para poder responder adecuadamente estos ejercicios.

Actividad 4 1. Aplicando el principio básico de conteo, se determina que hay 2 opciones para el contenedor, 6 sabores y 2 coberturas, por lo que: 2*6*2=24 Existen 24 maneras diferentes de formar un helado.

2. Al lanzar dos dados, se tienen que mezclar las 6 opciones diferentes de cada dado, por lo que: 6*6=36 Existen 36 resultados diferentes al lanzar un par de dados.

Lee con atención el Principio básico de Conteo para que puedas aplicarlo en estos ejercicios.

Actividad 5 1. Dado que el orden del conjunto es relevante, porque no solo es importante el número de conjuntos de tres elementos, sino quién ocupará cada puesto, por lo cual se aplica la fórmula de permutación.

4%( =

5!(5 − 3)!

=5!2!=1202

= 60

2. En esta selección el orden no es relevante por lo que se utiliza la combinación.

O'1 =

9!(9 − 6)! ∗ 6!

=9!

3! ∗ 6!= 84

Considera la diferencia entre el uso de la permutación y la combinación.


Corte 2 Evaluación diagnóstica

Número de reactivo


1. Recuerda la definición de cada una de ambas variables, para poder definir los ejemplos, en realidad pueden características de elementos de tu contexto, o pueden centrarse en algún contexto particular, por ejemplo, imagina definir a un auto por medio de sus características:

Cualitativa Cuantitativa

Color de carrocería Número de puertas

Tipo Gasto de combustible

Combustible utilizado

Rendimiento

Tipo de transmisión Capacidad de la cajuela

Material de vestiduras

Dimensiones

Repasa los tipos de variables, es importante que sepas distinguirlas, ya que con base en esa separación es el tipo de análisis estadístico que se realiza.

2. a) Los datos, de preferencia, deberían ser reales, para que identifiques de dónde vienen los datos, y posteriormente tienes que organizarlos de menor a mayor. La estura, generalmente se da en metros, pon atención que todos tus datos estén en el mismo orden, que ninguno esté dado en centímetros, por ejemplo. Organiza los datos considerando ambos decimales si se da el caso.

b) La estatura es una variable cuantitativa, ya que resulta de una medición al individuo.

82


Número de reactivo


Actividad 1

A) B) % = A234 − A2#) = 44 C) Numero de intervalos: 9 D) Amplitud: 5

E) F)

Considera los pasos que se llevaron a cabo para determinar la tabla de distribución de frecuencias. Para el histograma recuerda que es necesario graficar en el eje horizontal los límites reales, y para el polígono de distribución de frecuencias son necesarias las marcas de clase. Recuerda que los valores de cada columna tienen un significado en el contexto del problema, lo cual será muy útil para darle sentido a la tabla y a las gráficas.

Actividad 2


Actividad 3

Actividad 4 a)

b)

Corte 3 Evaluación diagnóstica

Número de reactivo


1.

Puedes volver a estudiar la sección

de tablas de distribución de frecuencias y

poner atención en cómo se calcula cada una de las

columnas. 2.

QRS = #$% + '

)2 − ,#$!

-#./

Puedes realizar la operación a mano o con calculadora, solo considera para realizarla

84

QRS = 30 + '

502 − 9

15.10

QRS = 40.67

cuál operación debe hacerse antes que el resto para que el resultado sea correcto.

3.

Recuerda que el primer número de la coordenada (abscisa) se grafica en el eje x o eje horizontal, y el segundo número (ordenada) en el eje y o eje vertical.


Número de reactivo


Actividad 1 1. A) A = 18.8

Med=17.5 Mo=13.46

B) V& = 70.09 V = 8.37

C) 45. = 26.67 2.

A) A = 14.57 Med=14.67 Mo=14.73

B) V& = 18.51 V = 4.30

C) !! = 11.75 3.

A) A = 30.58 Med=30.5 Mo=30.28

B) V& = 29.59 V = 5.44

C) 1' = 31.8

Repasa el procedimiento para calcular las medidas descriptivas, toma en cuenta que es necesario calcular límites reales y completar la tabla para los cálculos. Además, cuando realices las operaciones para el cálculo de las medidas, toma en cuenta la jerarquía de las operaciones.

Actividad 2 1. Construye pacientemente la tabla, distingue claramente entre x y y en


a)

b) c) 0.9978

2.

a)

b) c) 0.9070

la tabla. Toma en cuenta la jerarquía de operaciones al calcular el coeficiente de correlación.

Evaluación final

Número de reactivo Respuesta correcta Sugerencia 1. Población: Todos los estudiantes de la

escuela Muestra: Los 15 estudiantes de cada grupo Variables analizadas: Materia preferida, calificación de la materia preferida Tipo de variables analizadas: Materia preferida: variable cualitativa calificación de la materia preferida: variable cuantitativa

Repasa los conceptos básicos de la estadística, su comprensión te ayudará para comprender mejor las tablas de distribución de frecuencias y sus gráficas.

2. a) Experimento aleatorio b) Ω=1, 2, 3, 4, 5, 6 c) n(Ω)=6 d) A=3 e) B=2, 3, 5

f) 4(M) =%' =

!&

Retoma el estudio de los conceptos de probabilidad, lo que te ayudará a plantear este problema.

86

3. Se pueden formar 24 órdenes de hamburguesas diferentes

4. Permutación de 3 de 3

4%% = 6

Ya que el orden de las combinaciones es relevante, es la razón por la que se aplica la fórmula de permutación.

5. O(5. = 24040016 Ya que el orden de la

selección no es relevante, es la razón por la que se aplica la fórmula de combinación.

6. a) R=57 A»10

b)

c)

d)

Considera los pasos que se llevaron a cabo para determinar la tabla de distribución de frecuencias. Para el histograma recuerda que es necesario graficar en el eje horizontal los límites reales, y para el polígono de distribución de frecuencias son necesarias las marcas de clase. Recuerda que los valores de cada columna tienen un significado en el contexto del problema.

7. a) A = 93.11 Med=88.67 Mo=86.5

b) V& = 1892.29 V = 43.50

c) 16 = 112.23

Repasa el procedimiento para calcular las medidas descriptivas, toma en cuenta que es necesario calcular límites reales y completar la tabla para los cálculos. Además, cuando realices las operaciones para el cálculo de las medidas, toma en cuenta la jerarquía de las operaciones.

8.

a) b) 0.9911

Construye pacientemente la tabla, distingue claramente entre x y y en la tabla. Toma en cuenta la jerarquía de operaciones al calcular el coeficiente de correlación.


c)

matemáticas vi - gob

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