matemáticas vi 2015 humberto f valera

7/23/2019 Matemticas VI 2015 Humberto F Valera

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[Fecha]

Universidad Simn BolvarMatemticas VI

Prof. Humberto F. Valera Castro


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UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR

Caracas 2015


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Parte IParametrizacin de superficies. rea

de una Superficie.Integracin de campos escalares y

vectoriales. Rotacional Divergencia yLaplaciano. Teorema de la

divergencia. Teorema de Stokes.Campos conservativos. Teorema de

Gauss. Aplicaciones


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9Matemticas VI

Parte I

1.1 Superficies

Veremos ahora las integrales de superficie que es lo equivalente a una integral de lneasiendo ahora la regin de integracin una superficie en lugar de una curva; estas integrales

permiten estudiar mejor los campos vectoriales y se aplican para determinar la cantidad de

flujo o de flujo elctrico o de flujo magntico que pasa a travs de una superficie en la

direccin normal a la misma.

As como las integrales curvilneas se calculan mediante integrales simples

(unidimensionales), las integrales de superficie se reducen a integrales dobles

(bidimensionales).

Hay diversas maneras de expresar analticamente una superficie

1. Mediante una representacin explicita dada por una ecuacin de la forma , , donde f es una funcin definida en undominio D del plano xy con primeras derivadas continuas

, .2. Mediante una representacin implcita en la cual se considera a una superficie como

un conjunto de puntos , , que satisfacen una ecuacin de la forma ,, 0 donde F es una funcin copntinua en un dominio y con derivadas continuas, , .3. Mediante una representacin paramtrica o vectorial dando tres funciones , , , , , que expresan x, y, z en funcin de dos

parmetros u y v.

v z

p

D

, , , u x


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10 Matemticas VI

Aqu , vara en un conjunto conexo bidimensional D en el plano uv . Dar estas tresecuaciones es equivalente a dar una funcin vectorial definida en el dominio D del plano

uv.

, , , , , ,

La cual determina la posicin de cada punto P de la superficie 0 , . Se suponeadems que las funciones componentes , , , , , son continuas y conderivadas continuas. Estas condiciones se imponen a fin de que en los puntos de la

superficie exista plano tangente y este vari continuamente.

Ejemplo 1.1.1

1. Representacin paramtrica de una esfera

, 0 < 2 , 0 < Elevando al cuadrado y sumando tenemos

0,2 0, Hemisferio superior0,2 , Hemisferio inferior

z

2 x


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11Matemticas VI

2. Representacin paramtrica de un cono de altura h

0

0 2

Cono con vrtice en el origen y eje 0z de altura h y ngulo

3. Si la superficie viene dada en forma explcita por la ecuacin , , entoncestomamos x e y como parmetros

, , ,

r z

2 x


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12 Matemticas VI

1.2 Producto vectorial fundamental

Dada una superficie S representada por la ecuacin vectorial

, , , , , ,

Si mantenemos constante u la ecuacin depende de vy en consecuencia se obtiene una

curva sobre la superficie (una para cada constante a la que igualamos u). Anlogamente

obtenemos curvas sobre la superficie que dependen del parmetro u sin ms que hacer v

constante:

Y as se obtiene sobre la superficie S una red de curvas paramtricas de tal forma que una

u-curva (v constante) y una v-curva (u constante) que pasan por cada punto P de S.

Se tiene:

Vector tangente a la curva u constante.

Vector tangente a la curva v constante.

El producto vectorial se denomina producto vectorial fundamental de la

representacin , y viene dado por

V z v0 D

Curvas u constante curvas v constante

y

u0 u x


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13Matemticas VI

, , , , , , Ahora bien , , ,

determina un vectornormal al plano tangente a la superficie , , , , , .Los vectores

Son vectores normales unitarios a la superficie S en el punto P. Uno de ellos es la normal

exterior (apunta hacia fuera) y el otro es la normal interior(apunta hacia adentro).

Si , en la cual son continuas y el producto vectorial fundamental

0, el punto imagen

,

se llamapuntoregular de

, .

Los puntos en los que no son continuas o bien 0 se llaman puntossingularesde .Si todos los puntos son regulares habr plano tangente en todo punto y ste varia en forma

continua, la superficie no tendr puntas o aristas.

Ejemplo 1.2.1

Dada la representacin explicita , de una superficie, determina en cada punto, elplano tangente y las normales unitarias

, ,


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14 Matemticas VI

, Ahora bien

1 0 0 1 1

Luego 0 en todo punto. Los nicos puntos singulares son aquellos donde

no son continuas.

En un punto , , , , , el plano tangente tiene por ecuacin, , 0Es decir,

Ejemplo 1.2.2

Para la ecuacin del cono , ,, . Determina lasnormales unitarias.

,,

,,0Ahora bien,

0


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15Matemticas VI

Si 0, 0,0,0 luego el punto 0,0,0 es un punto singular, en el nohay plano tangente.

Luego

,, ,,

1.3 rea de una Superficie

Sea S una superficie definida por la representacin vectorial , , , Consideremos un pequeo rectngulo en el dominio D de lados paralelos a los ejes

coordenados y de longitudes de los lados , . Mediante la aplicacin , este rectngulose transforma en un rectngulo curvilneo ABCD sobre la superficie S el cual est limitada

por imgenes de los lados del rectngulo, siendo las longitudes de sus lados curvilneos

iguales a:

,

Si el rea es bastante pequea, entonces el rea del rectngulo curvilneo es

v z N

rv

v D ru

Y

u u x


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16 Matemticas VI

Y por lo tanto, si queremos calcular el rea de toda la superficie S debemos sumar todas esas

reas infinitesimales, lo cual no es ms que calcular la integral doble sobre el dominio D.

Estas consideraciones sugieren la siguiente definicin

Definicin 1.3.1

El rea de una superficie S dada por la representacin vectorial , definida en undominio D, se determina mediante la integral doble

Ejemplo 1.3.1

Si S viene dada explcitamente por una ecuacin de la forma , , , ,tenemos que

, , ,

1 Por lo tanto

1

donde D es la proyeccin de S en el plano xy

Hay otras frmulas anlogas cuando se proyecta sobre los otros planos coordenados

Cuando S est en un plano paralelo al plano xy, f es constante,


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17Matemticas VI 0y la ecuacin anterior se convierte en

Ejemplo 1.3.2

Si S viene dada implcitamente por la ecuacin F , , 0. Si S puede proyectarse enforma uno a uno sobre el plano xy, la ecuacin F , , 0define a z como funcin de x ey,

, entonces

, 0Luego

Ejemplo 1.3.3

Consideremos el hemisferio S de radio a y centro en el origen

Disponemos de las representaciones

Implcitas:

Explicita: Paramtrica: , ,, Podemos calcular el rea del hemisferio

A partir de la representacin paramtrica


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18 Matemticas VI

,, ,,0

0 ,,

Luego tenemos que

2

A partir de la representacin explicita

22 , 22

1 1

Usando coordenadas polares

2

2


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19Matemticas VI

1.4 Integrales de Superficie

Si S es una superficie representada por , , est definida en una regin Ddel plano uv y si es un campo escalar definido y acotado sobre S, entonces la integral desuperficie del campo

extendida a S se denota y define mediante la integral doble:

, Ntese que si , 1en todo, resulta

Adems, si

, , es un campo vectorial definido y acotado sobre S y

es el vector

normal unitario a S dado por donde Entonces . es un campo escalar y se tiene

. , . . que se denomina el flujo del campo

a travs de S y en la direccin de la normal

Ejemplo 1.4.1

Sea S la semi esfera 1, 0 , , .Sea el vector normal exterior unitario a S. Calcula el valor de la integral de superficie . , empleando:a) La representacin paramtrica , b) La representacin 1 ,,, ,,0


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20 Matemticas VI

0 ,,Normal exterior

. , . . , ,,0,, .

2 1

43

1 , , , 1 1 , 1 , 1Normal exterior

, ,. , .

1

1

1

. . 1 : 1, 1 2 1 Integrando por partes

, 1 2 , 1 2 1 2 1 43


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21Matemticas VI

1.5 Aplicaciones

Supongamos que el campo escalar , , representa la densidad superficial de masa(masa por unidad de rea), entonces

La Masa de una superficie S viene dada por

,, Las coordenadas del centro de gravedad son

1 ,, , 1 ,, , 1 ,, El momento de inercia respecto a una recta L

,, , , donde , ,representa la distancia de un punto de la superficie a la recta L.

Ejemplo 1.5.1

Calcule el flujo del campo , , ,, a travs de la superficie lateral delcilindro 4 , 0 4

Sea : 2 2 , 0 2 , 0 4Luego

, 2,2,

2,2,0 , 0,0,1 2 2 00 0 1 2,2,0


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22 Matemticas VI

. , .

4

,2,4. 2,2,0

848 16

Ejemplo 1.5.2

Determine el momento de inercia de un recipiente esfrico homogneo respecto de un

dimetro.

,, , , , :

4 4 42 2

2 4 3

4

3 8

3

Ahora bien,

4 834 23 23


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23Matemticas VI

1.6 Operadoresdiferenciales

1.Si es un campo escalar definido en un conjunto , elgradiente de denotadopor es el campo vectorial definido por

2.Sea ,,definido en un conjunto , definimos el rotacional de como el

campo vectorial

Teorema 1.6.1

Para cualquier campo escalar de clase , entonces 0

Demostracin:

Basta con calcular

0 Ya que las derivadas cruzadas son iguales por ser de clase

Los campos vectoriales para los cuales 0, se llaman irrotacionales.Un campo vectorial para los cuales existe otro campo vectoria tal que sellama campo rotacionaly el campo potencial vectorialde .


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24 Matemticas VI

3.Sea ,,definido en un conjunto , definimos la divergenciacomo elcampo escalar definido por

.

Teorema 1.6.2

Para cualquier campo vectorial de clase , entonces 0

Demostracin:

Veamos

entonces

.

0

Ya que las derivadas cruzadas son iguales por ser de clase

Los campos vectoriales para los cuales . 0se llamanSolenoidales.Podemos tambin definir

. y lo llamamos el Laplacianode y que denotamos .Si 0decimos que esArmnica.


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25Matemticas VI

Algunas propiedades, donde, , 1. 2.

3. 4. 5. 6. 7.

.

8.

1.7 Superficie orientable

Antes de proceder a eso dos teoremas, debemos dar algunas nociones acerca de lo que es

superficie orientable. Las consideraciones que haremos a continuacin son intuitivas,

basadas en los dibujos geomtricos y sin mucho rigor matemtico a fin de no recargar laexposicin.

Sea S una superficie y , , , una representacin paramtrica de S. Si lafuncin es inyectiva, entonces se dice que es una parametrizacin simple (puntos distintos

de D tienen imgenes por puntos distintos en S)

Si S es una superficie regular, entonces es continua con primeras derivadas continuas y el

producto vectorial es no nulo en todo punto. As, S admite vector normal entodo punto y este varia continuamente, pero, en cada punto podemos considerar al vectornormal o bien y entonces tenemos sobre S dos campos normales , , ,uno de los cuales apunta hacia afuera y lo denominamos normal exterior; el otro apunta

en sentido opuesto.

r

r

r


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26 Matemticas VI

En las superficies que conocemos, con las que hemos venido trabajando: esfera, elipsoide,

paraboloide, cilindros, conos, hiperboloides, y en toda superficie dada por una ecuacin en

forma explicita , , siempre es posible definir un campo de vectores normales 0

que varia continuamente, y as decimos que esas superficies son orientables, en

cambio, si no es posible definir un tal campo de vectores normales a S satisfaciendo las

propiedades mencionadas, se dice que la superficie S es no orientable.

En las superficies orientables podemos distinguir dos lados o caras, de tal manera que no se

puede pasar de un lado a otro a menos que se atraviese la superficie, como en el toro o la

esfera, o tambin a travs del borde si se trata de una superficie abierta.

Una superficie no orientable, las cuales no son muy comunes, por ejemplo la cinta o banda

de Mobius que puede obtenerse fcilmente a partir de una banda de papel rectangular de

30 cm por 5 cm.

1.8 Teorema de la divergencia o de gauss-Ostrograsdki

Si V es un slido en limitado por una superficie cerrada y orientable S y sea la normalunitaria exterior a S y si

es un campo vectorial continuo con primeras derivadas continuas

en V, entonces

. . donde. representa la divergencia del campo ,,

Ejemplo 1.8.1

Sea S la superficie del cubo 0 1 , 0 1 , 0 1 y es la normal exterior aS. Si , , , encuentre el flujo de a travs de S.


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27Matemticas VI

. 2 2 2 2

3Si no aplicramos el teorema tenemos que calcular seis integrales

., es decir,

Para la tapa : 0 1, 0 1, 0 , 0,0,1 . , , 0. 0,0,1

0Para la tapa : 0 1, 0 1, 1 0,0,1

.

,

, 1. 0,0,1

1

Para la tapa : 0 1, 0 1, 0 1,0,0 . 0De forma anloga

. 1 ; . 0 ; . 1Luego . 3

Z S2

S3

y

x S1


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28 Matemticas VI

1.9 Teorema de Stoke o del Rotor

Consideremos una superficie S parametrizada por , ,,, , , .Supongamos que D es una regin cuya frontera es una curva cerrada simple.

Supongamos que : , , , , sea una parametrizacin de lafrontera L de D en direccin antihorario. Esto determina una orientacin en la curva C

frontera de S dada por la funcin

Para recordar esta orientacin (direccin positiva) de C, pensemos en un observador que

camina a lo largo de la frontera de la superficie y cuya direccin vertical coincida con la

normal exterior, se mover en direccin positiva si la superficie est a su izquierda. Esta

orientacin de C se llama orientacin inducida por una normal hacia arribaTeorema de Stokes o del Rotor

Sea S una superficie orientable definida por una funcin , , , ,continua con primera y segunda derivadas continuas en D y sea un campo vectorialcontinuo con primera derivada continua. Si C es la curva frontera de S orientada en forma

positiva, entonces se tiene que

. .

z

S

C


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29Matemticas VI

Ejemplo 1.9.1

Usa el teorema de Stokes para calcular la integral de lnea

Donde C es la interseccin del cilindro 1 y el plano 1, la orientacinde C corresponde al movimiento antihorario en el plano xy

1 , , , : 1

, , 0,0,3

, , , 1 , 1,1,1 . 3 Luego

. . 3 3

32

Verifique el resultado calculando la integral de lnea


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30 Matemticas VI


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31Matemticas VI

Parte II

Nmero Complejos.Funciones Complejas.

Funciones elementales.Funciones Analticas.

Teorema de Cauchy-Riemann. Frmula

de Cauchy. Series de Potencias.Singularidades y residuos. Residuos.

Aplicaciones.


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32 Matemticas VI


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33Matemticas VI

Parte II

2.1 Nmeros Complejos

Un nmero complejo es una expresin de la forma

donde x y son nmeros reales, e i representa la unidad imaginaria, caracterizada porsatisfacer la igualdad 1. Los nmeros x y se denominan, respectivamente, lapartereal y la parte imaginariade z y se denotan

, Dos nmeros complejos

, son iguales si sus partes real e

imaginaria son respectivamente iguales, es decir, si se satisface:

; A partir de la expresin se observa que los nmeros complejos pueden ser,considerados como pares ordenados , de nmeros reales, en los cuales la primeracomponente corresponde a la parte real y la segunda a la parte imaginaria. En particular,

la unidad imaginaria est representada por el par ordenado

0,1. De esta observacin

se deduce que el conjunto de los nmeros complejos es representable grficamente en un

plano, el llamado plano complejo, mediante un sistema de coordenadas cartesianas,

correspondiendo a cada nmero complejo el nico punto P en el plano concoordenadas cartesianas x y; y recprocamente, al punto P de coordenadas x y en el plano

se asocia el nmero complejo .En la representacin anterior, los nmeros reales, que representan los nmeros complejos

con parte imaginaria nula, corresponden a los puntos del eje de las abscisas, al cual

llamamos eje real.Asimismo, los nmeros con parte real nula, que se denominan nmeros

imaginarios puros, corresponden al eje de ordenadas o eje imaginario.


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34 Matemticas VI

2.2 Operaciones algebraicas con nmeros complejos

La suma y producto de dos nmeros complejos , se definemediante las frmulas:

. Se verifique las operaciones de suma y producto de nmeros complejos son conmutativas,

es decir:

. . e igualmente asociativas:

Y se satisface adems la ley distributiva:

La identidad con respecto a la sumaes el cero complejo 0 0 0 0,0, que satisface 0 para cualquier z complejo. Asimismo, la identidad con respecto al productoesel nmero complejo 1 1 0 1,0, que satisface 1 , para cualquier z.

Eje imaginario

(0,y)

i = (0,1)

0 (x,0) Eje real

-i = (0, -1)


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35Matemticas VI

Dado un nmero complejo , , su opuesto es el nmero ,, que verifica 0.Se define entonces la diferencia de dos nmeros complejos , ,mediante

Igualmente, si , es un nmero complejo diferente de cero, su inversoesel nmero

,

que verifica 1. La divisin del nmero complejo entre el nmero complejo 0, se define entonces por Adems de las leyes conmutativa, asociativa y distributiva, las operaciones definidas para

nmeros complejos conservan las propiedades bsicas de las correspondientes con nmeros

reales; esto permite realizar las operaciones algebraicas con nmeros complejos

formalmente como si se tratase de nmeros reales, tomando en consideracin la igualdad 1, tal como se ilustrar en los ejemplos siguientes.

Ejemplos 2.2.1

1. 3 2 5 3 2 5 5 4 2. 1 3 2 4 1 2 3 4 3 3. 2 5 2 2 5 2 5 2 1 0 4 5 2 8 9 4. 3 2 1 3 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1 5 2


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36 Matemticas VI

2.3 Valor absoluto y conjugado de un nmero complejo

El valor absoluto de un nmero complejo se define como el nmero real

||

y representa en el plano complejo la distancia entre el punto z y el origen de coordenadas.

Entonces, la distancia entre dos puntos, , est dada por elnmero

| | El conjugadodel nmero complejo es el nmero complejo

Cuya representacin geomtrica corresponde al punto simtrico de z respecto del eje real

2.3.1 Propiedades

1. || 2. | | ||3. | | ||

4. || 0 05. 6. || 7. 9.

Eje imaginario

(0,y)

0 (x,0) Eje real

(0,-y)


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37Matemticas VI

10. , 011. ||12. 2

13. 2 Ejemplos 2.3.1

32 3 2 3 2 2 2 2 | 2 | 2 1| 2| 3| 2|

Ejemplos 2.3.2

Expresemos en trminos de z la recta de ecuacin en coordenadas cartesianas 2 1

A partir de las igualdades

2

, 2

La ecuacin 2 1se puede escribir como 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2

Ejemplo 2.3.3

Expresar la circunferencia de ecuacin 1 1 4en trminos de z

1 1 4 1 1 2y por lo tanto| 1 1| | 1 | | 1 | 2


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38 Matemticas VI

2.4 Forma Polar de un nmero complejo

Sea un nmero complejo , 0, consideremos adems el segmento dirigidodesde el origen hasta que represente a z. Si llamamos

|| a la longitud del segmento, y

el ngulo medido en radianes que tal segmento forma con el semi eje real positivo, se tiene:;Entonces que representa la forma polar del nmero complejo z, el nmero es llamado un

argumentode z, abreviadamente

.

La forma polar tambin se puede expresar como: donde representa la funcin exponencial de exponente imaginario.En el caso 1, la expresin anterior recibe el nombre defrmulade Euler.

El nmero puede ser calculado a partir de la relacin

si se especifica el cuadrante al cual pertenece el punto z. Adems, para cualquier entero k,

el nmero 2 es tambin un argumento de z; se conviene entonces en llamar valor

Eje imaginario

(0,y)

r

0 (x,0) Eje real


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39Matemticas VI

principaldel al valor nico de tal que < y lo denotamos (algunos autores consideran tal que 0 < 2 ).Dados dos nmeros complejos no nulos,

, Se verifica fcilmente usando frmulas trigonomtricas, que +

Observe que

|| 1entonces la igualdad anterior revela las relaciones

|| |||| De igual forma, si se tienen los nmeros complejos

, ,

se obtienen las frmulas

1 1 1

Ejemplos 2.4.1

Exprese el nmero 23 2 en forma polar || 1 6 4Adems, si consideramos que z representa un punto en el tercer cuadrante, tenemos


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40 Matemticas VI

223 33 76 Entonces

4

Ejemplos 2.4.2

6

6 34 6

22 32

6 34 6 22 32Entonces, 32 32

Ejemplos 2.4.3

Efecta el producto 23 2 23 2 en forma polarSegn los ejemplos 1 y 2 se tiene:

23 2 4

23 2 6

Entonces

23 2 23 2 24


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41Matemticas VI

2.5 Potencias y races de un nmero complejo

Definicin 2.5.1

Para cada nmero natural n, un nmero complejo w se dice la raz ensima del nmero

complejo z si . Escribimos .Si , suponiendo que As,

De lo cual se deduce

, es decir, ,

Entonces,

+

; 0,1 ,2 ,

Ejemplo 2.5.1

1 3

31 3 , 1 3 4 2

Entonces

1 3 2 As, tenemos:


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42 Matemticas VI

1 3 2 2 2 2 43 43 2 12 32

Ejemplo 2.5.2

Calcular las races cbicas de 1

Ya que

1

1 34 , 2

1 2 Entonces,

2 + , , 1,2, Es decir,

2 4 4 2 22 22 2 1112 1112 2 165 165

2

1912

1912 2

285

285


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43Matemticas VI

2.6 Funciones de variable compleja

Definicin 2.6.1

Una funcin f definida en un conjunto S de nmeros complejos, es una regla que hace

corresponder a cada elemento z de S un nmero complejo w, lo cual expresamos mediante

la correspondencia

se denomina funcin compleja de una variable compleja.

Es decir, si , Se tiene entonces , , Lo cual indica que la funcinde una variable compleja puede expresarse en trminosde dos variables , , , denominadas, respectivamenteparte real de f yparteimaginaria de f, que son ambas funciones de dos variables reales que toman valores reales.

Ejemplo 2.6.1

Si 2 , , 2


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44 Matemticas VI

2.7 Lmite de funciones complejas

Una vecindad de radio , de un nmero complejo es el conjunto de los puntos z quesatisfacen la desigualdad

|

| < .

Una vecindad reducida de radio, , dees una vecindad de de la cual se haexcluido el punto .Si f es una funcin definida para todo z, con la posible excepcin de , de una regin R,entonces el nmero complejo es el lmite decuando z tiende a , esto es,

> 0, > 0 | | < .

2.7.1 Propiedades

Si

y

entonces,

1. 2. 3. , 0

Teorema 2.7.1

Sea , , la funcin de variable compleja. Sean , entonces


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45Matemticas VI

Si y slo si ,, , ,, ,

Ejemplo 2.7.1

2 2 2 2 2 2 00

2 2

2

2 2 1 2

Para demostrar esto, tomemos

| 1 2 | | 2 1 2 | | 2 1 2 | | 1 2 | | 2 | | 2| < | || 2 |, Como | 2 | || |2 | < || 3Entonces | 1 2 | < | ||| 3Si | | < 1 || < 2 || || | | < 1Por consiguiente, | ||| 3 < 5| | | | < 1Entonces

| ||| 3 < 5| | < Tomando 1, , tenemos| 1 2 | < Para todo .


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46 Matemticas VI

Proposicin 1

, 0

Proposicin 2

, 0

Ejemplo 2.7.2

3

2 2

3 2 2 3 1 1 2 1 2 32

Ejemplo 2.7.3

1

1 1 1 1

Ejemplo 2.7.4

1

11 0


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47Matemticas VI

2.8 Continuidad

Diremos que una funcin f de una variable compleja es continua en el punto , si se cumplelas siguientes condiciones

1. Existe2. Existe 3.

Decimos, adems, que si f es continua en un subconjunto S del plano complejo, si f es

continua en todo S.

Ejemplo 2.8.1

La funcin

1 No es continua en , pues no se cumple la condicin (3),ya que

1 1

Teorema 2.8.1

Sean dos funciones de variable compleja continuas en un domino D. Entonces1. La funcin

es continua en D

2. La funcines continua en D3. La funcin es contini en : 0


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48 Matemticas VI

Teorema 2.8.2

Sean dos funciones de variable compleja continuas definidas respectivamenteen los conjunto D y E, tales que

. Si f es continua en D y g es continua en

,

entonces es continua en D. Teorema 2.8.3

Sea , , la funcin de variable compleja. Entonces f es contunua en si y solo si las funciones componentes, , , son continuasen

, .

Ejemplo 2.8.2

Estudiemos la continuidad en 1de la funcin 2

Verifiquemos la continuidad de f de dos maneras

Escribamosen funcin de z, para ello consideremos 2 , 2

Sustituyendo en

2 2 2 2 2 2 2 2 32 12 1


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49Matemticas VI

Entonces f es continua, ya que es la suma de funciones continuas.

Otra manera

2

De donde se deduce

, 2 , , Como u y v estn definidas en el punto 1,0y adems

,, , 3 1,0 ,, , 0 1,0

Podemos concluir que u v son continuas en el punto 1,0. Entonces por el teorema 2.8.3f es contiuna en 1

2.9 Derivadas de funciones complejas

Consideremos un nmero complejo fijo y una funcin definida en una vecindad de, inclusive en el punto . Decimos quees derivable en 0z , si existe el lmite

Al cual llamamos la primera derivada de en el plano y denotamos con el smbolo

.

Si hacemos , el lmite anterior se expresa entonces como


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50 Matemticas VI

Si una funcin es derivable en todo punto de un subconjunto S del plano, decimosentonces que es derivable en S. En tal caso, observamos que la derivada puede serconsiderada como una funcin que a todo z en S, hace corresponder el nmero complejo

.

De acuerdo con esta observacin, igual que en el caso de funciones de variable real, se define

entonces la derivada segundade una funcin de variable compleja, en un punto z,como la derivada primera deen ese punto. Es decir,

Ms generalmente, se define las derivadas sucesivas de

en un punto, mediante la

frmula

; 2En la cualexpresa la derivada de orden n de la funcin

Observacin: La definicinde derivada de una funcin de variable compleja, es similar a la

derivada de una funcin de variable real. Como consecuencia de ello, en el caso de funciones

de variables complejas se conservan las propiedades bsicas de las derivadas de funciones

de variable real.

En particular se conserva la relacin entre continuidad y derivabilidad de una funcin en

un punto. Asimismo, continan siendo vlidas las reglas bsicas para el clculo de las

derivadas de la suma, producto y cociente de funciones, e igualmente la regla de la cadena

para el calcula de las derivadas de funciones compuestas.


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51Matemticas VI

2.10 Reglas de derivacin

1.

2.

3. 4.Si la funcin es derivable en el punto y la funcines derivable en el puntoentonces la funcin compuesta

Ejemplo 2.10.1

4 ,

4 4

2 42

24

Entonces,

24 2 8 1

Ejemplo 2.10.2

, 4 3 12


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52 Matemticas VI

2.11 Ecuacin de Cauchy - Riemann

En esta seccin estudiaremos un criterio bsico para estudiar la derivabilidad de las

funciones de una variable compleja.

Una condicin necesariapara que una funcin , , sea derivableen un punto de un dominio D, es que existan las derivadas parciales de u y dev con respecto a x e y en D y satisfagan las ecuaciones de Cauchy Riemann:

, Adems

Una condicin suficientepara que una funcin , , sea derivableen un punto de un dominio D es que las funciones parte real y parte imaginariaposean primeras derivadas parciales continuas en el punto , y satisfagan lasecuaciones de Cauchy Riemann

Ejemplo 2.11.1

Consideremos la funcin .Las partes real e imaginaria deson, respectivamente, las funciones

, ; , 0 1, 0

Lo cual indica que las ecuaciones de Cauchy Riemann no se satisfacen, entones la funcin no es derivable.


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54 Matemticas VI

, , ; , , Calculemos las derivadas parciales de las funciones , , ,

; ; ; Entonces usando la regla de la cadena para funciones de dos variables reales, tenemos:

, , , , ,

, ,

, 1 , De forma anloga, obtenemos:

,

, 1

, , , 1 , , , 1 ,

Como es derivable en el punto z, son vlidas las ecuaciones de Cauchy Riemann,entonces

0 1 1 0 1 0 1 1 0 2


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55Matemticas VI

Ahora bien, multiplicando por la ecuacin (1) y por a la (2) y luego sumndolastenemos:

1

1

0 1 1 0} 1 0 1

Anlogamente, multiplicando por sen la ecuacin (1) y por la (2) setiene:

1

1

0 1 1 0 } 1 0 1 Es decir

1 ; 1 Que son las ecuaciones de Cauchy Riemann en forma Polar

Y adems,

, 1

Ejemplo 2.12.1

Determine si la funcin

, 2 < < 2es derivable en todo punto, y calcule .


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56 Matemticas VI

, ; , 1 , 0 0 , 1Las derivadas parciales obtenidas son continuas en ambas variables, y satisfacen las

ecuaciones 1 ; 1 Se deduce entonces que es derivable en todo punto de su dominio.Adems,

1 1 1 1

2.13 Funciones Analticas

Definicin 2.13.1

Una funcinde una variable compleja es unafuncin analtica en un puntode sudominio, si es derivable en , y adems en todo punto z en alguna vecindad de .Diremos quees analtica en un dominio D, si es analtica en todo punto de D.

Propiedades

1. Una funcinde una variable compleja que es analtica en un punto, se caracterizapor poseer derivadas sucesivas de todos los rdenes en dicho punto, los cuales resultantambin funciones analticas en tal punto.


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57Matemticas VI

2. Si , , es analtica en un punto, entonces las funciones, , poseen derivadas parciales sucesivas de todos los rdenes, las cualesresultan funciones continuas en las dos variables, en dicho punto.

Ejemplo 2.13.1

La funcin es analtica en todo punto 0. En efecto, si 0z , siempre es posibleelegir una vecindad de z que no contiene al origen, entonces, dicha vecindad est constituida

por puntos dondees derivable.A pesar de que no es analtica en el origen, en el cual ni siquiera esta definida, siconsideramos una vecindad arbitraria V del origen, podemos verificares analtica encualquier punto 0en dicha vecindad.En efecto,es derivable en 0, y adems, siempre es posible obtener una vecindadD que contiene a y formada por puntos en los cualeses derivable.En este caso decimos que el origen es un punto singular de .

Ms generalmente, si una funcinde una variable compleja no es analtica en un punto, pero dada cualquier vecindad de ella contiene algn punto en quees analtica,decimos que es un punto singularde.

y

z1

0 x


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58 Matemticas VI

2.14 Funciones Armnicas

Decimos que una funcin , de dos variables reales es una funcin armnicaen undominio D del plano xy, si tiene derivadas parciales de segundo orden continuas en D, y stas

satisfacen la ecuacin de Laplace 0 , Laplaciano de h.

Comprobemos que si una funcin , , es analtica en un dominio Ddel plano, entonces , , son funciones armnicas en D.En efecto, si es analtica en D, las funciones , , poseen derivadasparciales de segundo orden continuas en D. Adems se satisfacen en D las ecuaciones de

cauchy Riemann,

, Derivando ambos miembros de cada una de estas ecuaciones, primero con respecto a la

variable x y despus con respecto a y, se obtiene:

,

, Recordando ahora que, por continuidad de las derivadas parciales de segundo orden

;


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59Matemticas VI

Entonces, tenemos:

0 ; 0De lo cual se concluye que, si es analtica en un dominio D, entonces sus partesreal e imaginaria son funciones armnicas en D.En el caso en que dos funciones armnicas cualesquiera, , , , satisfacen lasecuaciones de Cauchy Riemann en un conjunto D, decimos que , es una funcinconjugada armnica de

, en D, y ,

, , son funciones armnicas

conjugadas en D: Entonces, la conclusin anterior puede ser enunciada tambin de la

manera siguiente:

Si es analtica en un dominio D, las partes real e imaginaria de f son funcionesarmnicas conjugadas en D.

La afirmacin recproca de la anterior afirmacin tambin es vlida. Es decir., si

, , son armnicas conjugadas en un dominio D, y consideremos la funcin de

una variable compleja , , entonceses analtica en D.

Ejemplo 2.14.1

Las funciones , 21 , , 2 , son funciones armnicas entodo el plano.

En efecto, 2 2 ; 2, 0 ; 0Y por lo tanto


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60 Matemticas VI

0Tambin,

2; 22,

2 ;

2

Por consiguiente, 0Ahora bien, estas mismas funciones , 21 , , 2 sirvenpara comprobar quesi , es una conjugada armnica de , , en general, no secumple que

, es una conjugada armnica de

, .

Para ello, basta comprobar que existen puntos , del plano para los cuales no se cumplenlas ecuaciones de Cauchy Riemann, es decir,

, En efecto, si 0x e 1y , se tiene

2 2 2 2 2 2 Ahora bien, podemos concluir que:

Si , es una conjugada armnica de , , entonces , es una conjugadaarmnica de , .


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61Matemticas VI

2.15 Integrales en el campo Complejo

2.15.1 Integral de una funcin de una variable compleja

Empecemos nuestro estudio tratando construir la integral de una funcin de variable

compleja utilizando los conocimientos previos que poseemos de integrales definidas de una

funcin real de variable real.

Consideremos una funcin compleja . Sean los nmeros complejos ; y lacurva C que los une.

Como en el caso real podemos dividir la curva C en pequeos segmentos determinados por

los puntos

, , ,

Los cuales son obtenidos cuando nos movemos uniformemente de a a lo largo de la curvaC de la misma forma que en el caso real podemos considerar la suma

= Si la funcin

es continua y la curva C es de longitud finita, podemos definir la integral

de f a lo largo de la curva C como:

=

y


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62 Matemticas VI

Llamada la integral compleja de lneao integral de lneadea lo largo de la curvaC, o la integral definida dedesde a a lo largo de C

2.15.2 Integral definida de una funcin compleja de variable realSi , es una funcin continua a trozos, Entonces la integraldefinida de f en funcin de dos integrales definidas reales

Ejemplo 2.15.2.1

Entonces

22 1 22


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63Matemticas VI

2.16 Integral de Lnea

2.16.1 Contornos

En general la integral de una funcin de variable compleja depende de la escogencia de la

curva a lo largo de la cual definimos la integral. Por lo tanto introduciremos las clases de

curvas adecuadas para estudiar la integral de lnea de una funcin de variable compleja.

Definicin 2.16.1

Un arco C es el conjunto de puntos , en el plano complejo tales que

, ,

donde , son funciones continuas de la variable t.

Definicin 2.16.2

El arco C es un arco simple o arco de Jordn si para , . Es decir, un arco C se llama simple cuando no tiene puntos donde se cruza a simismo.

y


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64 Matemticas VI

Definicin 2.16.3

Cuando el arco C es simple y se dice que C es una curva simple cerrada o curvade jordan

Ejemplo 2.16.1

El circulo determinado por

, 0 2de centro en el origen es una curva simple cerrada

Definicin 2.16.4

Un arco C descrito por se dice que es un arco rectificable si existey es continua en el intervalo , 0 ba,


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65Matemticas VI

2.16.2 Integral de Lnea de una funcin compleja de variable

compleja

Sea C un contorno representado por la ecuacin

, Definamos la integral de lnea de f a lo largo de C como

Como

[, , ]

Entonces,

Tambin podemos definir

Asociado con cada contorno C de la integral, existe un contorno C que consiste del mismo

conjunto de puntos, pero con el orden invertido de tal forma que el nuevo contorno C se

extiende desde b hasta el punto a.

El contorno C esta descrito por

Entonces


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66 Matemticas VI

Por medios de un cambio de variable, obtenemos

Nota:En general el sentido en que

recorre C define lo que se llama la orientacin de C.

Una curva o contorno C se dice que est orientada positivamente, si se describe en el sentido

opuesto al movimiento de las manecillas del reloj. (Sentido antihorario)

Ejemplo 2.16.2.1

Sea C el crculo unitario en la direccin positiva. Evaluemos

1

El circulo C est determinado por

, 0 2y

1 2

Ejemplo 2.16.2.2

Integrar a lo largo de un contorno C dado por , 0 1

1 2 2 1 2 5 4 2 23 1


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67Matemticas VI

Ejemplo 2.16.2.3

Calcular

a lo largo de las siguientes contornos

a) es el segmento de recta OB que va de 0 2 (figura 1)b) es el contorno OAB de la figura 2

a) Observemos que los puntos de estn en la recta determinada por 2 .Entonces parametrizando la curva

obtenemos la ecuacin

: 2 , 2 2 1 2 4 4 2 3 4 2 23 113

b) El contorno esta formado por la unin de los segmentos OA y AB. Entonces

Podemos considerar la ecuacin para mtrica de OA dada por , 0 2y la ecuacin paramtrica de AB dada por 2 , 0 1

B

O A

Figura 1

B

O A

Figura 2


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68 Matemticas VI

2 83 4 4

23

113

2.17 Teorema de Cauchy-Goursat

Sea C un contorno cerrado y simple. Seauna funcin analtica sobre y en el interior deC. Entonces

0

Ejemplo 2.17.1

Verifique que

0Donde n es un nmero entero positivo y C es la circunferencia || , > 0

Como > 0la funcin es entera, luego por el teorema de Cauchy-Goursat

0

Veamos que esto es cierto. Una parametrizacin de || , > 0es , 0 2As,


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69Matemticas VI

+ + + + 1 0

Luego se verifica el teorema de Cauchy-Goursat

2.17.1 Extensin del Teorema de Cauchy-Goursat

Sean y dos contornos cerrados simples, completamente en el interior de . Lospuntos que son a la vez interiores a y exteriores a forman un dominio doblementeconexo.

Como consecuencia inmediata del teorema de Cauchy Goursat obtenemos el siguiente

resultado

Teorema 2.17.1

Si f es analtica en todos los puntos del dominio doblemente conexo determinado por los

contornos

y

, incluyendo

y

, ambas orientados positivamente, entonces:


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70 Matemticas VI

Ejemplo 2.17.1.1

En el ejemplo 2.16.2.1 obtuvimos:

1 2

donde C es la circunferencia unitaria || 1Como

zzf

1 es analtica para todo 0, aplicando el teorema obtenemos

1 2donde C es cualquier contorno que encierra a || 1 Otro resultado que vamos a establecer mediante un teorema es el siguiente:

Teorema2.17.1.1

Sea C un contorno simple cerrado. Supongamos que cada uno de los contornos simples

cerrados

, , , esta contenido en el interior de C pero es exterior a cualquier otro de

estos contornos (los contornos , 1 no se intersectan). Entonces Siempre y cuando f sea analtica en el interior y en la frontera de la regin mltiplemente

conexa formada por C como contorno exterior y , , , como contornos interiores.

C


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71Matemticas VI

2.18 Frmula Integral de Cauchy

Sea f una funcin analtica en todo el dominio D. sea C un contorno (orientado

positivamente) cerrado simple en D cuyo interior est completamente contenido en D.

Si es un punto en el interior de C entonces 12 Esta ecuacin se conoce con el nombre de Frmula integral de Cauchy

A continuacin estudiaremos algunas de las aplicaciones y consecuencias de la frmula

integral de Cauchy.

I. Clculo de integrales definidas

En las aplicaciones es ventajoso modificar ligeramente la frmula integral de Cauchy, en

vez de escribiremos z y usaremos a s como variable compleja de integracin: 12

Ejemplo 2.18.1

Calcular

1

en donde C es cualquier contorno simple cerrado que contiene a pero no a


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72 Matemticas VI

Escribamos

1 Ahora bien, si

1 ,Tenemos que

2 1

Por lo tanto, el valor de la integral con es2 2 12 Si C encierra a pero no a ,Tenemos que

1 ,Luego

2 2 12

y

C

i


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73Matemticas VI

Si C encierra a y a

Entonces tenemos,

1 1 1 Las integrales del segundo miembro surgen respectivamente de los casos anteriores,

entonces

1 0

Ejemplo 2.18.2

Calcular

9 en donde C es la circunferencia definida por

|| 2

Definamos

9

y

i

0 x

-i


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74 Matemticas VI

que es analtica en el contorno C y en el interior de C , aplicando la frmula integral de

Cauchy para (est en el interior de C)

9 2 2

9 1 5

II. Frmulas integrales para derivadas de funciones analticas

Podemos obtener una frmula para la derivadaderivando la integral en la frmulaintegral de Cauchy

12 Con respecto a z.

As

1

2

Derivando de nuevo con respecto a z, se tiene:

22 62

En general la derivada de orden n dese puede obtener la frmula: !2 +


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76 Matemticas VI

Ejemplo 2.18.2

Hallar el valor de la integral

4||=

Factorizando el integrando

1 4 1 2 2 Tomando

1 2 2,Entonces

2 12 12 4||= As como

2 2 2 24 132Entonces

4||= 2 132 16


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77Matemticas VI

2.19 Series de Taylor y Laurent

2.19.1 Funciones representadas por series de potencias

Si una serie

= tiene radio de convergencia > 0, entonces la suma de esta serie es una funcin de z, esdecir,

= , | | <

Decimos entonces queesta representada por esta serie de potencia o desarrollada enserie de potencias alrededor del punto .La importancia de considerar funciones representables por series de potencias se pondr de

manifiesto por estos resultados que enunciaremos sin demostracin:

1. Si dos series de potencias

= = convergen para || < , con > 0, si

= ;

= y

|| < entonces las series son iguales. Tenemos entonces que si

una funcin es desarrollable en serie alrededor de un punto, este desarrollo es nico.

2. Si = es una serie con radio de convergencia > 0, entonces la serie puedederivarse e integrarse trmino a trmino y la serie as obtenida tiene el mismo radio de

convergencia > 0, es decir,


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78 Matemticas VI

= , || < , || <

=

= , ||


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79Matemticas VI

Ejemplo 2.19.2.1

La funcin es analtica en el plano. El mayor disco abierto de centro 1enel plano es | 1| < 1Ahora bien,

1 , 1 , 2 , , 1+ 1! Entonces

1

1

2 2 1

6 1+ 1! 1

! ,| 1

|< 1

1 12 13 1+ 1

Ejemplo 2.19.2.2

Comprobar cada uno de los siguientes desarrollos de Taylor

1. 1!= , || < 2. 12 1!

= , || <

3.1

1

= , || <

4. 11 1= , || < 15. 1 1 1

= , | 1| < 1


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80 Matemticas VI

6. 13 13 [1 2+] 1

= , | 1| < 1

1.Se tiene que es una funcin entera y Entonces 1!

= , || <

2.Se tiene que es una funcin entera, adems

2

De esta forma utilizando el desarrollo de , podemos escribir 2 12 1!= 1!

= 12 1!

= Ahora bien,

0

21 2 1

Entonces

1+2 1!

= || < 3. es analtica en todo 1. Entonces el desarrollo de Mclaurin

de es vlido para todo || < 1Ahora bien, !1 0 !

Entonces


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81Matemticas VI

11 0!

=

= , | < 1|4.Se tiene que

+es analtica en todo

1. Entonces

11 11 = 1= , | < 1|5.De forma anloga tenemos que1 11 1 1 1

= , | 1| < 1

6.Usando fracciones simples tenemos que

13 1 3 1 3 3 13 11 1 13 1 1 2 13 11 1 13 . 12 11 12 13 1 1

= 13 . 12 1

2

=

13 1 1= 13 2+ 1= 13 [1 2+] 1

= , | 1| < 1


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82 Matemticas VI

2.19.3 Serie de Laurent

Ya hemos visto que una funcin f analtica en una vecindad de un punto admite unarepresentacin en serie de potencias alrededor de ese punto de la forma

= , | | < donde el radio de convergencia R puede ser eventualmente infinito; este resultado no es

entonces aplicable a una funcin f respecto al punto en donde ella no sea analtica,tenemos sin embargo, un resultado similar, donde consideramos funciones analticas ya no

en un disco abierto de la forma | | < sino en un anillo, esto es, una regin definidapor

Ejemplo 2.19.3.1

0 < ||, , 0

Y 0 < | | <

0


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83Matemticas VI

Ejemplo 2.19.3.2

1 1 0 < || < 1

Tambin podemos considerar para esta funcin, cuyas singularidades estn en 0 1 el anillo <

Ejemplo 2.19.3.3

1 1 2 12 < 32 < 32 1 < || < 2

y

1 1 x1/2


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84 Matemticas VI

Como veremos en estos anillos la funcin f admite desarrollo en serie de potencias, donde a

diferencia del desarrollo de Taylor, admitimos exponentes negativos, es decir, desarrollos de

la forma:

Que denotamos por =

=

Este desarrollo en serie, llamadoserie de Laurentde la funcin f, depende del anillo en que

se considere la funcin y es nicamente determinado en un anillo dado.

2.19.4 Teorema de Laurent

Si f es analtica en el anillo definido por < | | < entonces,puede escribirsecomo

=

=

Estas series convergen uniformemente en el anillo < | | < y los coeficientes sondados por

12 + , 12

y

1

y

1


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85Matemticas VI

donde la integracin se toma en sentido antihorario sobre un contorno simple cerrado C

contenido en el anillo

Ejemplo 2.19.4.1

Desarrollemos la funcin

1 1en distintas regiones anulares;es singular en 0 1lo cual nos sugiere varioscasos

a. 0 < || < 1

1 1 1 11 1 1 1 1

y

0 x

y

0 1 x


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86 Matemticas VI

b. 1 < ||

1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

c. 0 < | 1| < 1

1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

d. 1 < | 1|

y

1

y

1


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87Matemticas VI

1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

1 1

1 1

1

e. <

1 1 1 12

(

11 12

12) (

11 12

12)

1 12 1 12 12 12 12 1 12 12 12

12 1 12 1

12 12 12 12

1 12 12 12 12 12

y

1/2


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88 Matemticas VI

2.20

Mtodo de los Residuos

2.20.1 Ceros de una funcin

Definicin 2.20.1

Si una funcin f es analtica en un dominio D y 0 decimos que a es uncero de f o quetiene un cero en .

Definicin 2.20.2

Si

0

0decisimos que a es un cero de orden n

de f o que f tiene un cero de orden n en .Lo ceros de orden 1, es decir, cuando 0 , 0se llaman tambin ceros simples.Generalizando el estudio de comportamiento local de las funciones al plano extendido,

diremos que una funcin f tiene un cero de orden n en el infinito si la funcin tiene uncero de orden n en

0.

Ejemplo 2.20.1

1. tiene un cero de orden m en 2. tiene un ceros simples en , 3. tiene un cero simple en infinito4.

no tiene ceros en todo el plano extendido

5. tiene ceros simples en , 1


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89Matemticas VI

Definicin 2.20.3

Un punto es llamado punto aislado de S, si existe una vecindad de a que no contieneotros puntos de S.

Definicin 2.20.4

Un punto es llamado punto de acumulacin de S, si cualquier vecindad de b contienepuntos de S distintos de b.

Ejemplo 2.20.3

a.Si 1,2,3, todo punto de S es aislado y S no tiene puntos de acumulacin en b. :consiste de puntoa aislados y 0es un punto de acumulacin

Teorema 2.20.1

Si f es una funcin analtica no nula y / 0entonces todos los puntos de Sson aislados.


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90 Matemticas VI

2.20.2 Singularidades de una funcin

Definicin 2.20.2.1

Un punto

se dice punto singular de una funcin f, si

no es analtica en

, pero

cualquier vecindad de a contiene un punto en donde f es analtica.

Definicin 2.20.2.2

Decimos que una f es singular en el infinito si es singula en 0.

Si f tiene una singularidad aislada en , entonces podemos representarla por su serie deLaurent

=

= Valida en alguna vecindad reducida de

, la segunda serie en esta expresin

= Es llamada la parte principal deen la vecindad de , de esta parte se infiere quetipo de comportamiento tiene la funcin en las cercanas de y tendremos entoncesdistintos tipos de singularidades.


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91Matemticas VI

Definicin 2.20.2.2 (Polo)

Si podemos encontrar un entero m tal que

0

Entonces es llamado polo de orde m. Si 1a es llamado un polo simpleO si es una singularidad aislada de una funcin f cuyo desarrollo de Laurent en unavecindad de es de la forma

=

Es decir, 0 0 > . Entonces decimos que f tiene un polo de ordenm en .

Ejemplo 2.20.2.1

1. 1 1 2 1 0 1

de orden 4.

En efecto,

1 1 2 1 1 1 2 1 1 0Entonces

0es un polo simple de f.

Otra manera de ver estos es

1 1 1 2 1 1 1 2 1


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92 Matemticas VI

Es una funcin analtica en alguna vecindad de 0y por tanto es representable en laforma

=

Luego, resulta

1 Entonces 0es un polo simple de f.Analogamente se ve que

1 es un polo de orden 4, ya que

1 1 1 2 1 1 2 2 0O escribiendo

1 1 1 2

Definicin 2.20.2.3

Un punto singular de la funcin es evitable si existe el llmite de f cuando ztiende a .

Ejemplo 2.20.2.2

0 1Haciendo0 1convierte en analtica, por lo tanto 0es una singularidad evitable.De hecho en una vecindad reducida de 0


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93Matemticas VI

1 3! 5! 7! 1 3! 5! 7!

Definicin 2.20.2.3 (Singularidad esencial)

Llamaremos singularidad esencial de una funcina toda singularidad que no sea unpolo ni singularidad evitable, en particular:

Si es un punto aislado deentonces es una singularidad esencial si y slo sien el desarrollo de Laurent de

= = tenemos infinitos coeficientes distintosde cero.

Ejemplo 2.20.2.3

1.La funcin

1!

= 1 1 12! 13! tiene en 0una singularidad esencial, se sigue de aqu que tiene en infinito uansigularidad esencial.

2.La funcin

1 12 1! += 1 13! 15! tiene en 0una singularidad esencial.


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94 Matemticas VI

Veamos un sencillo resultado, til para determinar los polos de una funcin.

Teorema 2.20.1

Los ceros de una funcinson los polos de la funcin y recprocamente.

Los polos y las singularidades evitables son, por definicin aislados, sin embargo, las

singularidades esenciales pueden ser aisladas o no, de aqu se sigue que cualquier

singularidad no aislada es necesariamente esencial, veamos unos ejemplos

Ejemplo 2.20.2.4

1.La funcin

, 1 , 2 , y estos puntos no son polos depues si as fuese, por el teorema 2.20.1 seran ceros de

, lo cual es falso, luego son singularidades esenciales, adems

0 es un punto

singular dey es tambin punto de acumulacin del conjunto{ 1 , 1, 2,

Luego, es una singularidad no aislada, y por lo tanto, esencial.

2.La funcin

1 1 1 1 1 , 2 , y 0es un punto singular dey es tambin punto de acumulacin del conjunto


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95Matemticas VI

{ 1 , 1, 2, Luego, es una singularidad no aislada.

Tenemos entonces que todo punto de acumulacin de singularidad es una singularidad

esencial, consideremos el siguiente resultado

Teorema 2.20.2

Sies no nula, entonces todo punto de acumulacin de ceros dees una singularidadesencial de.

Del teorema se deduce que si tiene infinitos ceros, necesariamanete tiene algunasingularidad esencial, que puede ser finita o no.

Ejemplo 2.20.2.5

La funcin tiene ceros simples en , , entonces tiene unasingularidad en infinito, y entonces

1 1Con infinitos ceros en

{ 1 , 1, 2, Tiene en

0una singularidad esencial. Adems

1Tiene un cero simple en infinito, correspondiente al cero simple en 0de


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96 Matemticas VI

2.21 Residuos

Hemos visto que si tiene en una singularidad aislada y se halla en elinterior de C, entonces

se representa por la serie de Laurent

= = Donde los coeficientes son dados por

12 + , 12 donde la integracin se toma en sentido antihorario sobre un contorno simple cerrado C

contenido en el anillo.

Cuando 1tenemos que 12

El coeficiente

se llama residuo de

en residuo de

en

y se denota

, .El residuo de una funcin en un polo simple puede ser hallado de forma sencilla.

En efecto, si

Entonces Luego ,


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97Matemticas VI

En particular, si

0 , 0 , 0Entonces

, Para el caso general de un polo de orden n tenemos

=

+

Derivando 1veces cada miembro de la igualdad tenemos: 1! ! 1!2!

Ahora, tomando lmite cuando z tiende al punto a, obtenemos:

, 1 1!

Ejemplo 2.21.1

1.Sies analtica en ,entonces =

En una vecindad de y por tanto , 0


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98 Matemticas VI

2. 4 1 3 2 4 1 2 1 2, 1 ,Luego

, 2 2 2 4 1 2 1 8 1 2 1 9, 1 1 1 4 1 2 1 4 1 1 2 5

2.Calculemos la integral

3 2 3

Donde C es la circunferencia || 1La funcin

3 2 3 3 2 3Tiene un polo simple en 3y un polo de orden 2 en 0.Ahora bien,

0es en el interior de

|| 1.

Entonces 3 2 3 , 0 12 1! 0 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 13

Ahora extenderemos este mtodo de evaluar integrales de lnea

dondetiene una nica singularidad en el interior de C al caso en que hay un nmerofinito de singularidades de.


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99Matemticas VI

Teorema 2.21 De los Residuos

Seauna funcin analtica en todos los puntos de un contorno cerrado C y en el interiorexcepto para un nmero finito de puntos , , , interiores a C, entonces

2 , = donde el sentido de recorrido es antihorario.

Ejemplo 2.21.2

Calcule la integral de lnea

=

1

1 1

Ahora bien,presenta en 0 y 1 un singularidad simple.Solo 0 y 1estn en el interior de la circunferencia.Por lo tanto,

, 0 0 1 1 1

, 1 1 1

1 1 2

Luego

= 2 1 2 2


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00 Matemticas VI

2.22 Aplicaciones

El clculo de residuos se puede usar en la evaluacin de algunas integrales reales:

trigonomtricas e impropias.

2.22.1 Integrales trigonomtricas

Consideremos una integral del tipo:

cos , donde cos , es una funcin racional real de definidas en el intervalo0,2

.

Tomando tenemos 2 12 1 12

2 1

2 1

1

2

Ahora bien, cuando 0 2, la variable z recorre la circunferencia unitaria ensentido antihorario.

Entonces la integral se convierte en

donde f es una funcin racional en la variable z.


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10Matemticas VI

Ejemplo 2.22.1.1

Calcule el valor de la integral

, > 1La condicin > 1garantiza que el integrando es finito en 0,2,luego haciendo

, ,

12 , || 1

tenemos

12 ||= 2 2 1||=

La funcin

1

2 1

Tiene polos simples en 1 1 , pero de estosdos slo est en el interior C el polo ,luego

2 2, 4 1 2 1

4 1 4 1 4 1 1 2 1


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02 Matemticas VI

Ejemplo 2.22.1.2

Calcule el valor de la integral

1 2

54

Sabemos que

, , 12 , || 1Tenemos

1 2 1 , 5 4 2 5 2 1

2 5 2 1 12 5 2||=

12 1 2 12||= El punto est en el interior de || 1y el punto 2esta fueraEntonces

12 2 , 12 12

1

2 12 23 74


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10Matemticas VI

2.22.2 Integrales impropias del tipo Caso I

, La funcin complejaest bien definida y es analtica excepto para un nmero finito depolos, ninguno de los cuales est en el eje real.

Llamemos , , , a los polos en el semiplano superior > 0, como son ennmero finito y > 0 1,2, , , podemos hallar un contorno C que loscontenga a todos en su interior como en la figura siguiente

donde C es el arco de circunferencia de radio r.

Aplicando el teorema de los residuos tenemos:

2 ,

= Haciendo tender r a infinito

2 , = Ahora bien,

. . . . C.

-r r


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04 Matemticas VI

|| > 0, > 0 Entonces

Por lo tanto, como

0Se sigue que

2 , =

Como caso particular tenemos el siguiente:

Si

es una funcin racional real,

0 2Entonces

2 ,

=

donde , 1 , 2 , son polos deen el plano superior > 0


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10Matemticas VI

Ejemplo 2.22.2.1

Calcular la integral impropia

9 1

Sea la funcin

9 1Veamos cuales son los polos

en el semiplano superior:

9 1 3 3 Luego los polos 3 (polo simple) y (polo doble) estan en semiplano superior,Entonces

2 , 3 ,

, 3 3 3 3 1 16.64, 9 1 3128Por lo tanto

2 1

6.64 3

128 596


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06 Matemticas VI

Caso II

En las misma condiciones que en el caso I excepto que ahora consideramos funciones que tengan finitos polos en el eje real, con la condicin que estos sean polos simples, tenemos

la frmula

2 ,

= ,

= donde , , , son polos deen el semiplano superior y , , , son polos en eleje real.

Observe que el caso I esta incluido en el casoII

Igual que en el caso I, se verifica que

Sies una funcin racional real,

0

2

Entonces

2 ,

= ,

= donde , 1 , 2 , son polos deen el plano superior > 0y , , , sonpolos en

.


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10Matemticas VI

Ejemplo 2.22.2.2

Calcule la integral

3 2

1 3 2 1 1 2tiene polos simples en 1 2,luego

, 1 , 2 11 2 12 1 0

Ejemplo 2.22.2.3

Calcule la integral

1 4

1 1 4Tenemos polos simples en 1 , 2 2, entonces

2, 2 , 1 2 22 14

11 4

2


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08 Matemticas VI

Caso III

En el clculo de integrales de Fourier a menudo es preciso evaluar integrales de la forma

Tenemos entonces el siguiente resultado

Sies una funcin analtica excepto en un nmero finito de polos y todos sus polos en eleje real son simples y existe > 0tal que

|| ||

Entonces

2 ,

= ,

= , > 0donde , , , son polos deen el semiplano superior y , , , son polos en eleje real.

Si en la frmula anterior hacemos cos y separamos parte real eimaginarias tenemos:

2 ,

= ,

=

2 ,

= ,

=


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10Matemticas VI

Ejemplo 2.22.2.4

Calcular

4 5

,

4 5

4 5 2 2Luego

4 5

2 , 2 2 +

2 2

cos2 2 2 4 5 cos2 2 cos2

Ejemplo 2.22.2.5

Calcular

> 0 , > 0

Notemos que el integrando es una funcin par

Luego

12


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10 Matemticas VI

La funcin

Tiene un polo simple en 0 y polos de orden 2 en Entonces

2 , , 0 2 0

2 2 2 4 4 416 24 2

2 2 2


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11Matemticas VI


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12 Matemticas VI


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11Matemticas VI

INDICE GENERAL

CONTENIDOS

Parte I

1.1

Superficies ...... 9

1.2 Producto vectorial fundamental .... 12

1.3 Area de una Superficie ....... 15

1.4 Integral de Superficie ...... 19

1.5 Aplicaciones ....... 21

1.6 Operadores diferenciales .. 23

1.7 Superficies Orientables 25

1.8 Teorema de la Divergencia ...... 26

1.9 Teorema de Stoke ....... 28

2.1 Nmero Complejos --------....... 33

2.2 Operaciones Algebraicas .......... 34

2.3 Valor Absoluto y Conjugada de un nmero Complejo ........ 36

2.4 Forma Polar .......... 38

2.5 Potencias y races de un nmero complejo ......... 41

2.6 Funciones de variable compleja ................... 43

2.7 Lmite .......... 44

2.8 Continuidad . .................... 47

2.9 Derivadas ..................... 49

2.10 Reglas de Derivada . .................... 51

2.11 Ecuacin de Cauchy-Riemann ........ 52

2.12 Ecuacin de Cauchy-Riemann en forma polar ......... 53


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14 Matemticas VI

2.13 Funciones Analticas ... 56

2.14 Funciones Armonicas ........ 58

2.15 Integrales Complejas .. 61

2.16 Integral de Linea ........ 63

2.17 Teorema de CauchyGoursat ........ 68

2.18 Frmula Integral de Cauchy ......... 71

2.19 Series de Taylor y series de Laurent ......... 77

2.20 Mtodos de los residuos .......... 88

2.21 Residuos .......... 96

2.22 Aplicaciones ......... 100


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11Matemticas VI


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16 Matemticas VI

matemáticas vi 2015 humberto f valera

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