material de matemáticas iv (mat iv 2013) de la usb del profesor humberto f. valera castro

Universidad Simn Bolvar Matemticas IV

Prof. Humberto F Valera Castro aa Agosto

Prof. Humberto F. Valera Castro

2 Matemticas IV


3 Matemticas IV


4 Matemticas IV


5 Matemticas IV


6 Matemticas IV


7 Matemticas IV

Matemticas IV


UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR

Caracas 2012


8 Matemticas IV

INDICE GENERAL

CONTENIDOS

Capitulo 1

1. Sucesiones . 9

1.1 Lmite de una sucesin 10

1.2 Sucesiones montonas y acotadas .. 16

Capitulo 2

2. Series infinitas 13

2.2 Serie geomtrica .. 20

Teorema 2.1 Criterio del trmino n-simo ..... 23

2.3 Criterio de convergencia para series de trminos positivos . 29

2.3.2 Criterio de comparacin directa .. 33

2.3.3 Criterio de comparacin en el lmite . 34

2.3.4 Criterio del cociente .. 37

2.4 Series alternas .. 40

2.4.1 Criterio de series alternas 40

2.5 Convergencia absoluta y condicional .. 42

2.5.2 Criterio del cociente absoluto ..... 45

2.5.3 Criterio de la raz . 46

Resumen de los criterios de convergencia . 48

2.6 Series de potencias .. 49

2.7 Derivacin e integracin de series de potencias 53

2.8 Serie de Taylor 58


9 Matemticas IV

2.8.1 Convergencia de la serie de Taylor 59

Capitulo 3

3. Ecuaciones diferenciales ordinarias 65

3.1 Nociones bsicas acerca de las ecuaciones diferenciales .. 66

3.1.1 Ley de Newton sobre enfriamiento de un cuerpo . 66

3.1.2 Desplazamiento de un resorte .. 67

3.2 Algunos problemas que conducen a una ecuacin diferencial 71

3.2.1 Trayectorias ortogonales . 72

3.2.2 Crecimiento y decrecimiento o desintegracin . 74

3.2.1 Mezclas . 75

3.2.4 Circuitos elctricos . 76

3.3 Campos direccionales y elaboracin de curvas integrales .. 81

3.4 Existencia y unicidad de las soluciones .. 84

3.5 Ecuaciones diferenciales de primer orden .. 86

3.6 Ecuaciones homogneas . 90

3.7 Ecuaciones diferenciales de primer orden . 93

3.8 Ecuacin de Bernolli 95

3.9 Cambio de variable . 98

3.10 Reduccin a una ecuacin a variable separable 102

3.11 Reduccin a una ecuacin a homognea .. 103

3.12 Reduccin de orden 107

Capitulo 4

4. Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden .. 113

4.1 Principio de superposicin . 115


10 Matemticas IV

4.3 Algunos problemas que conducen a un sistema de ecuaciones

diferenciales lineales .. 116

4.3.1 Mezcla .. 116

4.3.2 Redes elctricas 118

4.5 Solucin de sistemas lineales homogneos

con coeficientes constantes 130

4.5.1.1 Valores propios reales y distintos ... 131

4.5.1.2 Valores propios reales distintos . 135

4.6 Repaso de nmeros complejos .. 142

4.6.1.3 Valores propios complejos .. 144

Capitulo 5

5. Sistemas de ecuaciones diferenciales no homogneos 151

5.1 Mtodo de Variacin de parmetros . 152

Capitulo 6

6. Ecuaciones diferenciales de orden n a coeficientes constantes 159

6.1 Solucin de ecuaciones diferenciales lineales homognea

a coeficientes constantes 164

6.2 Mtodo de los coeficientes indeterminados .. 170

6.3 Mtodo de variacin de parmetros ... 173

6.5 Ecuacin de Euler 179


11 Matemticas IV

Parte I

Sucesiones y Series numricas

Series de Potencias

Series de Taylor y Maclaurin


12 Matemticas IV


13 Matemticas IV

Captulo 1

1. Sucesiones

Definicin 1.1

Una sucesin es una funcin cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos y cuyo rango

es un conjunto de nmeros reales. Por tanto, si S es una sucesin, entonces a cada entero n le

corresponde un nmero real (), es decir, (1), (2), , (),

Con la notacin de subndice en lugar de funcional, podemos escribir

1, 2, , ,

donde 1 es el primer trmino, 2 es el segundo y es el n-simo trmino.

Podemos indicar una sucesin 1, 2, , , mediante {}=1 , o simplemente {}.

Se puede especificar una sucesin dando suficientes trminos iniciales para establecer un

patrn, como

1, 4, 7, 10, 13,

mediante una frmula explicita para el n-simo trmino, como en

= 3 2, 1

O mediante una frmula recursiva

1 = 1, = 1 + 3, 2

Observe que cada una de estas ilustraciones describe la misma sucesin.


14 Matemticas IV

Otras frmulas explicitas y los primeros trminos de la sucesiones que generan

1. = 1 1

, 1: 0,

1

2,2

3,3

4,4

5,

2. = 1 +(1)

, 1: 0,

3

2,2

3,5

4,4

5,7

6,6

7

3. = (1) +

1

, 1: 0,

3

2, 2

3,5

4, 4

5,7

6, 6

7

4. = 0,9999, 1: 0,9999, 0,9999, 0,9999, 0,9999

Observe que las sucesiones { } { } se apilan cerca de 1, es decir que convergen a 1, pero

{ } { } no convergen a 1.

Para que una sucesin converja a 1, primero debe ocurrir que los valores de la sucesin se

acerquen a 1. Pero deben hacer ms que estar cerca; deben permanecer cerca, para toda n ms

all de cierto valor. Esto descarta la sucesin { }. Aunque la sucesin { } no converge a 1,

es correcto decir que converge a 0,9999. La sucesin { } no converge; decimos que diverge.

1.1 Lmite de una sucesin

Una sucesin {} se dice que converge a L y escribimos

=

si para todo > 0, existe un nmero > 0 tal que | | <

Si no existe nmero finito L, se dice que sta diverge o que es divergente.

Ejemplo 1.1.1


15 Matemticas IV

Demuestre que si p es un entero positivo, entonces

1

= 0

Con base en el trabajo previo, esto es casi obvio, pero daremos una demostracin formal.

Sea > 0, elijamos N como cualquier nmero mayor que 1

Entonces

| | = |1

0| =

1

1

1

(1

) =

Si comparamos la definicin de lmite de una sucesin {} con la definicin de lmite de una

funcin () cuando x crece indefinidamente. Las dos definiciones son casi idnticas; sin

embargo, cuando decimos que

() = , la funcin est definida para todos los nmeros

reales mayores que algn nmero real R, mientras que cuando consideramos

= el

valor de n se limita a enteros positivos. Tenemos, sin embargo, el siguiente teorema

Teorema 1.1

Sea f una funcin de una variable real tal que

() =

Si {} es una sucesin tal que () = para todo entero positivo n, entonces

=

Ejemplo 1.1.2


16 Matemticas IV

Determine si la sucesin

{2

2 1}

Converge o diverge

Consideremos la funcin

() =2

2 1

aplicando la regla de LHopital dos veces tenemos que

2

2 1=

2

(2)2=

2

(2)22= 0

Como () = para todo entero positivo n el teorema anterior nos permite concluir que

2

2 1= 0

, {2

2 1} 0.

Observacin: El inverso del teorema anterior no es cierto. Es decir, es posible que la sucesin

{} converja a L aunque () no converja a L.

Por ejemplo,

= 0, ( )

Pero

, ( )

No existe

Teorema 1.2


17 Matemticas IV

Si { } { } son sucesiones convergentes y k una constante, entonces

)

=

)

=

)

( ) =

)

( . ) =

.

)

=

,

0

Ejemplo 1.1.3

Determinar si la sucesin

{2

2 + 1

}

es convergente.

2

2 + 1

=

2 + 1

Ahora bien, la sucesin

{

2 + 1}

Es convergente, ya que

lim

2 + 1=1

2

Veamos si la sucesin


18 Matemticas IV

{

}

es convergente, para ello calculemos

=

1

=

= , 0

= 1

Por lo tanto

(

2 + 1

) = (

2 + 1) (

) =

2

luego la sucesin converge

Teorema 1.3 (Teorema del emparedado)

Suponga que {} y {} convergen a L y que para (K es un entero fijo).

Entonces {} tambin converge a L.

Ejemplo 1.1.4

Demuestre que

3

= 0

Para 1,

1

3

1

Como

(1

) = 0

(1

) = 0


19 Matemticas IV

Entonces

3

= 0

Teorema 1.4

Si

|| = 0, entonces

= 0.

Demostracin

Como || ||, y usando el teorema del emparedado, se tiene que

= 0

Ejemplo 1.1.5

Demuestre que si 1 < < 1, entonces

= 0.

Si = 0, el resultado es trivial, de modo que suponemos lo contrario.

Entonces

1

||> 1

1

||= 1 +

Para algn nmero > 0.

Ahora bien, por la frmula del binomio,

1

||= (1 + ) = 1 + + ( )

As,

0 || 1


20 Matemticas IV

Como

(1

) =

1

(1

) = 0

El teorema del emparedado implica que

|| = 0

O, en forma equivalente,

|| = 0

Entonces

= 0

1.2 Sucesiones montonas y acotadas

Hasta ahora hemos determinado la convergencia de una sucesin hallando su lmite. Veremos

un mtodo para decidir la convergencia o divergencia sin necesidad de conocer el lmite.

Definicin 1.2

Una sucesin {} se dice que es

a) Creciente si +1, 1

b) Decreciente si +1, 1

Si una sucesin es creciente o decreciente, se llama montona

Ejemplo 1.2.1

Determinar si la sucesin

=2

1 +

es montona


21 Matemticas IV

Comparemos con +1

=2

1 + 0 podemos multiplicar ambos lados de la desigualdad por(1 + ) (2 + ) sin

invertir el signo de la desigualdad

2(2 + ) < (1 + )(2 + 2) 4 + 2 < 2 + 4 + 22 0 < 2

Como la desigualdad final es vlida, podemos invertir los pasos para concluir que la

desigualdad original es tambin vlida.

Definicin 1.3

Una sucesin {} es acotada si existe un nmero real M tal que || para todo n.

Llamamos a M una cota superior de la sucesin.

Ejemplo 1.2.2

Las sucesiones {} = {3 + (1)} y {} = {

2

1+} son acotadas, puesto que

|3 + (1)| 4 |2

1 + | 2

Teorema 1.5

Una sucesin montona y acotada es convergente

El teorema asegura que las sucesiones divergentes o son no acotada o no montonas.


22 Matemticas IV

Ejemplo 1.2.3

Demuestre que la sucesin

=2

2

Converge usando el teorema 1.5

Los primeros trminos de esta sucesin son

1

2, 1,9

8, 1,25

32,9

16,49

128,

Para 3, la sucesin parece ser decreciente ( +1), un hecho que estableceremos a

continuacin.

2

2>( + 1)2

2+1 2 >

( + 1)2

2 22 > 2 + 2 + 1 2 2 > 1 ( 2) > 1

Es claro que esta ltima desigualdad es cierta para 3.

Como la sucesin es decreciente y est acotada por abajo por cero, el teorema de la sucesin

montona y acotada garantiza la convergencia.

Es fcil usar la regla de LHopital para mostrar que el lmite es cero

Ejemplo 1.2.4

La sucesin

1

2,4

3,9

4,16

5, ,

2

+ 1,

es montona, pero no acotada, pues

2

+ 1=

Por su parte, la sucesin divergente

2, 4, 2, 4, , {3 + (1)}, ..


23 Matemticas IV

es acotada, pero no montona

Captulo 2

2. Series infinitas

Definicin 2.1

Si {} es una sucesin, y

= 1 + 2 + 3 ++ =

=1

Entonces la sucesin {} se llama serie infinita (o simplemente serie). Esta serie infinita se

representa por

=1

= 1 + 2 + 3 ++ +

Los nmeros 1, 2, 3, , , se denominan trminos de la serie. Los nmeros

1, 2, 3, , , se llaman sumas parciales de la serie.

Observacin: Para algunas series conviene empezar el ndice en = 0. Representaremos una

serie por . As que el punto inicial del ndice ( = 0 = 1) se deducir del

contexto.

Definicin 2.2.

Si la sucesin de sumas parciales {} converge a S, diremos que la serie converge.

Llamaremos a S suma de la serie y escribimos

= 1 + 2 + 3 ++ +

Si {} diverge, diremos que la serie es divergente.


24 Matemticas IV

Observacin: Una serie no es ms que una sucesin de sumas parciales, de manera que las

siguientes propiedades son consecuencia directa de sus anlogos en sucesiones.

2.2 Serie geomtrica

Una serie de la forma

1

=1

= + + 2 + 3 +

donde 0, es una serie geomtrica de razn r.

Ejemplo 2.2.1

Demuestre que una serie geomtrica converge y tiene suma

=

1 , || < 1,

Pero diverge si || 1.

Sea = + + 2 ++ 1. Si = 1, = , lo cual crece sin lmite, de modo

que {} diverge.

Si 1, podemos escribir

= ( + + 2 ++ 1) ( = +

2 ++ )

=

Entonces

=

1 =

1

1

Si || < 1, entonces

= 0 y as


25 Matemticas IV

=

=

1

Si || > 1 o = 1, la sucesin {} diverge y y en consecuencia, tambin lo hace la

sucesin {}.

Ejemplo 2.2.2

Calcule la suma de las siguientes series geomtricas

. 4

3+4

9+4

27+4

81+

. 0,515151 = 51

100+

51

10.000+

51

1.000.000+

. =

1 =

43

1 13

= 2

. =

1 =

51100

1 1100

=

5110099100

=51

99=17

33

El procedimiento de la parte (b) sugiere como mostrar que cualquier decimal peridico

representa un nmero racional.

Ejemplo 2.2.3

Determine si las siguientes series geomtricas convergen o divergen

. 3

2

=0


26 Matemticas IV

. (3

2)

=0

. 3

2

=0

= 3

21

=1

=3(1

2)1

=0

=1

2 = 3

Como || < 1, la serie converge y

3

2

=0

=3

1 12

= 6

. (3

2)

=0

, =3

2> 1

Ejemplo 2.2.4

Se suelta una bola desde una altura de 6 metros y empieza a rebotar alcanzando en cada

rebote 3

4 de la altura del rebote anterior. Hallar la distancia total que recorrer esa bola.

Al tocar suelo la primera vez la bola ha recorrido una distancia 1 = 6. En los rebotes

siguientes sea la distancia recorrida subiendo y bajando, es decir,

2 = 6(3

4) + 6 (

3

4) = 12 (

3

4)

3 = 6(3

4) (3

4) + 6 (

3

4) (3

4) = 12 (

3

4)2

4 = 6(3

4) (3

4) (3

4) + 6 (

3

4) (3

4) (3

4) = 12 (

3

4)3

Continuando ese proceso, tenemos que la distancia vertical total recorrida es

= 6 + 12 (3

4) + 12 (

3

4)2

+ 12 (3

4)3

+


27 Matemticas IV

Ahora bien,

6 = 6 + 12 = 6 + 12 (3

4)0

,

entonces

= 6 + 12 (3

4)0

+ 12 (3

4) + 12 (

3

4)2

+ 12 (3

4)3

+ = 6 +12

=1

(3

4)1

= 6 +12

1 34

= 6 + 48 = 42, =3

4< 1 = 12

En muchos casos no es posible obtener una expresin para en trminos de n y, por lo tanto

debemos conocer otros mtodos para determinar la convergencia o divergencia de la serie.

Teorema 2.1 (criterio del trmino n-simo para divergencia)

0

,

=1

En forma equivalente:

=1

,

= 0.

Demostracin:

Sea la n-sima suma parcial y

=

Observe que = 1.

1 = lim

= ,

=

lim

1 = = 0


28 Matemticas IV

Ejemplo 2.2.5

Demuestre que la serie

3

33 + 22

=1

diverge.

=

3

33 + 22=

1

3 +2

=1

3

As, por el criterio del n-simo trmino, la serie diverge.

El reciproco del criterio del trmino n-simo es falso. Es decir, si

= 0, la serie no

necesariamente es convergente. En otras palabras, es posible tener una serie divergente para

la cual

= 0. Un ejemplo importante de serie divergente es la serie armnica

1

=1

= 1 +1

2+1

3++

1

+

Sin duda

1

= 0

Sin embargo, la serie diverge, como demostraremos a continuacin.

Ejemplo 2.2.6

Demuestre que la serie armnica diverge.

Mostraremos que , crece si cota.

= 1 +1

2+1

3+1

4+1

5+ +

1


29 Matemticas IV

= 1 +1

2+ (1

3+1

4) + (

1

5+1

6+1

7+1

8) + (

1

9+ +

1

16) ++

1

> 1 +1

2+2

4+4

8+8

16++

1

= 1 +

1

2+1

2+1

2+1

2+ +

1

Es claro que al hacer n suficientemente grande, podemos introducir en la ltima expresin

tantos 1

2 como queramos. As, crece sin lmite, de modo que {} diverge. Por lo tanto, la

serie armnica diverge.

Ejemplo 2.2.7

Dada la serie

1

( + 1)

=1

hallar los primeros cuatro trminos de la sucesin de sumas parciales {}, determinar una

frmula para en trminos de n y diga si la serie converge o diverge.

Como = 1 +

As tenemos que los primeros cuatro trminos de la sucesin de sumas parciales son:

1 = 1 =1

1.2=1

2

2 = 1 + 2 =1

2+1

2.3=2

3

3 = 2 + 3 =2

3+1

3.4=3

4

4 = 3 + 4 =3

4+1

4.5=4

5

Ahora bien,

=1

( + 1)=

+

+ 1,


30 Matemticas IV

usando fracciones simples, de donde = 1, = 1

Luego

=1

1

+ 1

As

1 = 1 1

2, 2 =

1

21

3, 3 =

1

31

4, , 1 =

1

11

, =

1

1

+ 1

Ahora bien, puede escribirse en forma telescpica, en la que cada trmino tras el primero

se cancela con su sucesor.

= (1 1

2) + (

1

21

3) + (

1

31

4) + + (

1

11

) + (

1

1

+ 1) = 1

1

+ 1

=

+ 1

Luego la sucesin de sumas parciales para la serie dada es

{} = {

+ 1},

Adems

+ 1= 1,

Entonces la serie converge y

1

( + 1)

=1

= 1


31 Matemticas IV

Teorema 2.2 (Linealidad de las series convergentes)

=1

=1

,

=1

(

=1

+ )

tambin convergen y

)

=1

=

=1

) (

=1

+ ) =

=1

+

=1

Demostracin:

Por hiptesis

=1

=1

Existen.

As,

)

=1

=

=1

=

=1

=

=1

=

=1

) ( + )

=1

=

( + )

=1

=

[

=1

+

=1

]

=

=1

+

=1

=

=1

+

=1


32 Matemticas IV

Corolario 2.2

1.

=1

=1

( + )

=1

2.

=1

=1

( + )

=1

Ejemplo 2.2.8

1. =1

=

1

, + =

2

( + ) =

2

= 2

1

que es divergente.

1. =1

=

1

, + = ( + ) = 0

que es convergente.


33 Matemticas IV

2.3 Criterios de convergencia para series de trminos positivos

En sta seccin restringiremos nuestra atencin a las series con trminos positivos (o al menos

no negativos)

2.3.1 Criterio de la integral

Si f es una funcin positiva, continua, decreciente para todo 1 y suponga que = ()

para todo entero positivo n. Entonces, la serie

=1

converge si slo si la integral impropia

()

1

converge

Ejemplo 2.3.1.1 (Criterio de la serie p)

Demuestre que la serie-p

1

=1

Converge si > 1 y diverge si 0 < < 1

0, () =1

, [1,)

Consideremos la integral impropia

1, 1

1

= lim

1

1

= lim

[1

1 ]1

= lim

[1 1

1 ]


34 Matemticas IV

= {

< 1

1

1 > 1

= 1, 1

1

= lim

1

1

= lim

[]1 = lim

[] =

Luego la serie-p

1

=1

Converge si > 1 y diverge si 0 < 1

Ejemplo 2.3.1 .2

Determine si

1

=2

Converge o diverge

2, () =1

, [2,) .

Ahora bien,

1

2

= lim

1

2

= lim

[()]2 =

As,

1

=2

diverge


35 Matemticas IV

Cmo aproximar la suma de una serie

Hasta ahora hemos estado interesados en si una serie converge o diverge. Salvo por unos casos

especiales, tal como la serie geomtrica o una serie telescpica, no hemos abordado la

pregunta de a que si converge una serie a qu converge. En general, sta es una pregunta

difcil, pero en este momento podemos utilizar el mtodo sugerido por el criterio de la integral

para aproximar la suma de una serie.

Si utilizamos la n-sima suma parcial para aproximar a la suma de la serie

= 1 + 2 + 3 +

Entonces el error que cometemos es

= = +1 + +2 +

Sea () una funcin con las propiedades de que = () y f sea positiva, continua y

decreciente en [1,); condiciones del teorema de la integral. Con base en estas condiciones

= +1 + +2 + < ()

Podemos utilizar este resultado para determinar una cota superior del error implicado al

utilizar los primeros n trminos para aproximar la suma S de la serie, y podemos utilizarla

para determinar qu tan grande debe ser n para aproximar a S con una precisin deseada.

Y

= ()

+1 +2

n n+1 n+2 n+3 n+4 x


36 Matemticas IV

Ejemplo 2.3.1.3

Determine una cota superior para el error al utilizar la suma de los primeros 20 trminos para

aproximar la suma de la serie convergente

= 1

3 2

=1

() =1

3 2 , [1,)

El error satisface

20 = 1

3 2

=20+1

< 1

3 2

20

= lim

[21 2 ]20

=

2

20 0,44721

Incluso con 29 trminos el error es un tanto grande

Ejemplo 2.3.1.4

Qu tan grande debe ser n, de modo que la suma parcial se aproxime a la suma de la serie

del ejemplo anterior con error no mayor que 0,005?

El error satisface

= 1

3 2

=+1

< 1

3 2

= lim

[21 2 ]

=2

As, para garantizar que el error sea menor que 0,005, necesitamos tener

2

< 0,005 >

2

0,005 > (

2

0,005)2

= 4002 = 160.000


37 Matemticas IV

2.3.2 Criterio de comparacin directa

Sean 0 para toda

.

=1

,

=1

.

=1

,

=1

Ejemplo 2.3.2.1

Determine la convergencia o divergencia de las siguientes series

1. 1

2 + 3

=1

2. 1

2 +

=1

1. La serie dada tiene cierto parecido a

1

3

=1

serie geomtrica convergente

Comparando trmino a trmino, resulta que

=1

2 + 3 0, entonces ambas series convergen o divergen

2. = 0

=1

,

=1

3. =

=1

,

=1


39 Matemticas IV

Ejemplo 2.3.3.1

Determine si las series dada convergen o divergen

1. 4 1

2 + 2

=1

2. 2 + 5

43 + 3

=1

3. 1

2 +

=1

1. Sea

=4 1

2 + 2

para construir tomemos los trminos de potencia mxima tanto en el numerador, como

en el denominador de es decir,

=

2=

1

3 2

Comparemos la serie dada con la serie-p convergente

1

3 2

=1

Puesto que

=

=

4 1

2 + 213 2

=

42 3 2

2 + 2= 4 > 0

Entonces la serie dada converge


40 Matemticas IV

2. Comparemos la serie dada con

2

3

=1

=2

2

=1

,

,

2

2 0 ( )

Ahora bien,

=

=

2 + 543 + 32

2

=

22 + 52

432 + 32=

1 +52

4 +32

=1

4

Por lo tanto la serie es divergente, ya que > 0

3. Comparando con la serie armnica divergente

1

=1

.

Tenemos que

=

=

12 +

1

=

2 + =1

2

Luego la serie diverge, ya que > 0


41 Matemticas IV

2.3.4 Criterio del cociente

=1

+1

=

I. Si < 1, la serie es convergente.

II. Si > 1, la serie diverge.

III. Si = 1, no se puede concluir nada

Ejemplo 2.3.4.1

Determine si la serie

2

!

=1

es convergente.

Usando el criterio del cociente, tenemos que

=

+1

=

2+1

( + 1)!2

!

=

2+1!

2( + 1)!=

2

( + 1)= 0 < 1

Por lo tanto la serie converge

Ejemplo 2.3.4.2

Determine la convergencia de la serie

2

20

=1


42 Matemticas IV

=

+1

=

2+1

( + 1)20

2

20

=

2+120

2( + 1)20=

2 (

+ 1)20

= 2 > 1

Concluimos que la serie dada diverge.

Ejemplo 2.3.4.3


!

=1

Convergen o diverge.

=

+1

=

( + 1)!

( + 1)+1!=

(

+ 1)

Ahora bien,

( + 1

)

=

(1 +1

)

=

Luego,

(

+ 1)

=

1

( + 1) =

1

(1 +1) =

1

< 1

Por lo tanto, la serie dada converge.


43 Matemticas IV

Resumen

Para verificar la convergencia o divergencia de una serie con trminos positivos, observe

con cuidado .

1. Si

0, concluya del criterio del trmino n-simo que la serie diverge.

2. Si incluye !, , trate de usar el criterio del cociente.

3. Si incluye slo potencias constantes de n, trate de usar el criterio de comparacin del

lmite. En particular, si es una expresin racional en n, use este criterio con como el

cociente de los trminos principales del numerador y el denominador.

4. Si los criterios anteriores no funcionan, trate con el criterio de comparacin directa, el

criterio de la integral.

5. Algunas series exigen un manejo inteligente o un truco para determinar su convergencia o

divergencia.


44 Matemticas IV

2.4 Series alternas

Tras estudiar las series de trminos positivos, consideramos en sta seccin las series que

contienen trminos positivos y negativos. Las ms sencillas son las series alternas, cuyos

trminos alternan en signo.

Definicin 2.4.1

Si > 0 para todo entero positivo n, entonces la serie

(1)+1

=1

= 1 2 + 3 4 ++ (1)+1 +

y

(1)

=1

= 1 + 2 3 + 4 ++ (1) +

Se llana series alternas o alternadas.

2.4.1 Criterio de series alternas

Sea

(1)+1

=1

Una serie alterna con > +1 para todo n ( decreciente).

= 0, .

Ejemplo 2.4.1

Probar que la serie


45 Matemticas IV

(1)+1

=1

es convergente

Veamos si es decreciente

=1

>

1

+ 1= +1,

para todo entero positivo, adems

1

= 0

Entonces la serie alterna converge.

Ejemplo 2.4.2

Determinar si son o no convergente las series

1. (1)

2

=1

2. (1)+1 (3 + 2

42 3)

=1

1. Calculemos

2=

1

1

=

= , ( )

Entonces

0

Por lo tanto no podemos aplicar el criterio de series alternas, pero por el criterio del

trmino n-simo la serie diverge.

2. Tenemos que

3 + 2

42 3= 0

Veamos si es decreciente


46 Matemticas IV

Sea

() =3 + 2

42 3

Entonces

() =122 16 + 9

(42 3)2< 0, 122 16 9 < 0, ,

luego f es decreciente para todo x real. En consecuencia

=3 + 2

42 3

es decreciente.

Por lo tanto la serie dada es convergente.

2.5 Convergencia absoluta y condicional

Una serie puede tener trminos positivos y negativos sin ser alterna, como ocurre con

2

=1

= 1

1+ 2

4+ 3

9+

Un modo de obtener informacin sobre su convergencia es investigar la de la serie

|

2|

=1

Por comparacin directa, tenemos | | 1 para todo n, as que

|

2|

1

2, 1

Luego, por el criterio de comparacin directa, la serie


47 Matemticas IV

|

2|

=1

converge. Pero la cuestin es: converge la serie original o no?

Definicin 2.5.1

Se dice que la serie

=1

||

=1

.

Una serie que es convergente, pero no absolutamente, se dice que es condicionalmente

convergente.

Teorema 2.5.1

||

=1

,

=1

Es decir Convergencia absoluta implica convergencia.

El inverso del teorema 2.8.1 no es cierto. Por ejemplo, la serie armnica alterna

(1)

=1

converge, por el criterio de series alternas. Sin embargo, la serie armnica diverge.


48 Matemticas IV

Ejemplo 2.5.1

Determinar si son convergentes las siguientes series y en caso afirmativo si lo hacen

absolutamente o condicionalmente.

1. (1)

(+1)2

3

=1

2. (1)

( + 1)

=1

1. Observe que

(1)

(+1)2

3

=1

= 1

31

9+1

27+1

811

243

luego no es alterna. Sin embargo, ntese que

|(1)

(+1)2

3|

=1

=1

3

=1

es una serie geomtrica convergente, ya que la razn =1

3< 1. En consecuencia, la

serie dada converge absolutamente, entonces por el teorema 2.8.1 es convergente.

2. (1)

( + 1)

=1

= 1

2+1

31

4+ .

Por el criterio de series alternas converge, ya que es decreciente, adems

= 0.

Sin embargo, la serie


49 Matemticas IV

|(1)

( + 1)| =

1

( + 1)

=1

=1

Es divergente, puesto que comparndola con la serie armnica tenemos que

1( + 1)

1

=

( + 1)=

Por lo tanto, la serie dada converge condicionalmente.

2.5.2 Criterio del cociente absoluto

=1

|+1| =

I. Si < 1, la serie es absolutamente convergente.



Ejemplo 2.5.2.1

Determine la convergencia de la serie

(1)

+ 1

=1

|+1| =

|

(1)+1 + 1 + 1(1)

| =

+ 1

( + 1)=

(

+ 1) + 1

= 1

No se sabe nada. Usemos el criterio de series alternas.


50 Matemticas IV

Para probar que es decreciente, tomemos

() =

+ 1

Entonces

() =1

( + 1)2< 0, > 1.

Luego f es decreciente, adems

+ 1=

1

2= 0 ( )

Por lo tanto, la serie es convergente.

2.5.3 Criterio de la raz

=1

||

=

I. Si < 1, la serie es absolutamente convergente.



Ejemplo 2.5.3.1


2

=1

converge o diverge.


51 Matemticas IV

Ya que

||

=

|2

|

=

2 3

=

2

= 0 < 1

el criterio de la raz asegura su convergencia.

Ejemplo 2.5.3.2


3

3

=1

converge o diverge

En primer lugar, tenemos

||

=

3

33

=

3

3=1

3

3

Este lmite es indeterminado de la forma 0 , aplicamos la regla de LHopital:

=

3 = (

3 ) =

(3 ) =

(3

) =

3

=0

Entonces,

3 = 1

Por lo tanto,

1

3

3 =1

3< 1

Y el criterio asegura la convergencia de la serie.


52 Matemticas IV

Criterio Serie Converge Diverge

n-simo

1

0

Series geomtricas

1

1 Si || < 1, =

1 Si || 1

Series telescpicas ( +1)

1

= 0

Series-p

1

1

> 1 0 < 1

Series alternas (1)

1

0 < +1

= 0

De la integral

f continua, positiva

y decreciente

1

()

1

()

1

Comparacin directa

1

nn ba 0 y

1n

nb

converge

nn ab 0 y

1n

nb

diverge

Comparacin en el lmite

=

1

0

1

0

1

Cociente

|+1| =

1

< 1 > 1


53 Matemticas IV

Raz

||

=

1

< 1 > 1

2.6 Series de potencias

Una serie de potencias en ( ) es una serie de la forma

( )

=0

= 0 + 1( ) + 2( )2 ++ ( )

+

Cuando = 0 la serie se convierte en una serie de potencias en x, la cual es

=0

= 0 + 1 + 22 ++

+

Observe que ( )0 = 1, aun cuando = , por conveniencia.

Como una serie de potencias tiene trminos variables, puede verse como una funcin de x,

() = ( )

=0

Cuyo dominio es el conjunto de x para el cual la serie converge.

Los tres ejemplos que siguen, muestran cmo usar el criterio del cociente para determinar los

valores de x para los cuales la serie de potencias converge.

Ejemplo 2.6.1

Determine los valores de x para los cuales la serie de potencias

( + 1)2

=0

es convergente.

Usando el criterio del cociente tenemos:


54 Matemticas IV

|+1| =

|

+1

( + 2)2+1

( + 1)2

| =

|

2| ( + 1

+ 2) =

||

2

Por lo tanto, la serie de potencias es absolutamente convergente cuando ||

2< 1, es decir,

cuando || < 2 y diverge cuando || > 2.

Cuando = 2 = 2, falla el criterio.

Sin embargo, cuando = 2, la serie de potencias dada se convierte en la serie armnica

1

+ 1

=0

,

que es divergente; y cuando = 2, es la serie alterna armnica

(1)

+ 1

=0

,

que es convergente.

Concluimos que la serie de potencias dada es:

Convergente si 2 < 2, absolutamente convergente si 2 < < 2, condicionalmente

convergente si = 2 y diverge si > 2 < 2.

Ejemplo 2.6.2


!

=0

es convergente.


55 Matemticas IV

|+1| =

|

+1

( + 1)!

!

| =

|+1!

( + 1)!| =

||

+ 1= 0 < 1

Concluimos que la serie de potencias dada es absolutamente convergente para todo x real.

Ejemplo 2.6.3


!

=0

es convergente.

|+1| =

|( + 1)! +1

! | =

( + 1)|| = {

0 = 0

0

Concluimos que la serie de potencias dada converge solo para = 0.

En cada uno de nuestros ejemplos, el conjunto de convergencia fue un intervalo (degenerado

en el ltimo ejemplo). Este ser siempre el caso. Por ejemplo, es imposible que una serie de

potencias tenga un conjunto de convergencia que consista en dos partes desconectadas (como

[0,1] [3,4])

Teorema 2.6.1

=0

.

Entonces, se cumple exactamente una de las siguientes condiciones:

1. La serie converge slo cuando = 0


56 Matemticas IV

2. La serie es absolutamente convergente para todos los valores de x.

3. Existe > 0 tal que la serie converge para || < y diverge para || >

=0

( )

=0

, 2.6.1

las condiciones (1). , (3). se convierten en

1. La serie converge cuando = .

3. Existe > 0 tal que la serie converge para | | < y diverge para | | > .

El conjunto de x para los cuales una serie converge se llama intervalo de convergencia de la

serie de potencias. El nmero R se llama radio de convergencia ( =

|

+1|)

Ejemplo 2.6.4

Determine el intervalo de convergencia de la serie

( 2)

1

|+1| =

|( + 1)( 2)+1

! ( 2)| = | 2|

+ 1

= | 2|

Entonces la serie converge absolutamente si | 2| < 1, es decir 1 < < 3.

Analicemos que pasa en los extremos del intervalo

Cuando = 1, la serie se transforma en

(1)

1

,

la cual es divergente, ya que 0

nlmn


57 Matemticas IV

Cuando = 3, la serie es

1

,

la cual tambin diverge.

As, la serie dada tiene como dominio el intervalo (1,3).

2.7 Derivacin e integracin de series de potencias

Sabemos que el intervalo de convergencia de una serie de potencias es el dominio de una

funcin (), la suma de la serie. La pregunta ms obvia con respecto a () es la de si se

puede dar una frmula simple para ella. Lo hemos hecho para una, la serie geomtrica.

=0

=

1 , 1 < < 1

Una mejor pregunta que se puede hacer ahora es si hay algo que decir con respecto a las

propiedades de (). Por ejemplo es diferenciable? es integrable? La respuesta a ambas

preguntas es afirmativa.

Teorema 2.7.1

Si la funcin dada por

() = ( )

=0

= 0 + 1( ) + 2( )2 ++ ( )

+

Tiene radio de convergencia > 0, es continua en el intervalo ( , + ), derivable e

integrable. Entonces, la derivada y la integral de f viene dada por

1. () = ( )1

=0


58 Matemticas IV

2. ()

0

= + 1

( )+1

=0

El radio de convergencia de la serie obtenida por derivacin o integracin es el mismo que el

de la serie original.

Ejemplo 2.7.1

Determine el intervalo de convergencia de

(), () ()

0

, () =

1

Para ()

|+1| =

|+1

( + 1)| = ||

+ 1= || < 1

Cuando = 1 tenemos la serie alterna armnica

(1)

=0

, .

Cuando = 1, la serie armnica

1

=0

, .

As el intervalo de convergencia de () es [1,1).

Por el teorema 2.12.1 sabemos que cada serie de stas tiene radio de convergencia = 1.

Considerando el intervalo (1,1) se tiene:

() = 1

1

=1

1

Cuyo intervalo de convergencia es (1,1), ya que diverge para = 1.


59 Matemticas IV

()

0

=

0

1

=+1

( + 1)

1

Cuyo intervalo de convergencia es [1,1], ya que para = 1, la serie es

(1)+1

( + 1)

1

,

que converge absolutamente y para = 1, la serie es

1

( + 1)

1

,

que tambin converge.

As, el intervalo de convergencia de la integral es[1,1]

Ejemplo 2.7.2

Obtenga una representacin de series de potencias de

1

(1 )2

Sabemos que

1

1 =

=0

= 1 + + 2 ++ + || < 1

Derivando ambos miembros, obtenemos

1

(1 )2=1

=1

= 1 + 2 + 32 ++ 1 + || < 1

Ejemplo 2.7.3

Pruebe que

=

!

=0

,


60 Matemticas IV

Ya vimos que la serie

!

=0

es absolutamente convergente para todo x. Por lo tanto, si () es la funcin definida por

() =

!

=0

tiene dominio(,). Luego para todos los valores de x tenemos que

() = 1

( 1)!

=1

=

!

=0

= ()

Entonces vemos que () = () para todo x real, es decir, () = .

Ejemplo 2.7.4

Encuentre una representacin en serie de potencias de

2

0

Sabemos que

=

!

=0

para todo x real, entonces sustituyendo x por 2, tenemos que

2=

(1)2

!

=0

, .

Luego integrando obtenemos

2

0

=(1)2

!

0

=0

=(1)2+1

! (2 + 1)!

=0

.

Ejemplo 2.7.5


61 Matemticas IV

Encuentre una representacin en serie de potencias de para .

Recuerde que

= 1

1 + 2

0

Sabemos que,

1

1 =

=0

= 1 + + 2 ++ + || < 1

Reemplazando x por 2, obtenemos

1

1 + 2=(1)2

=0

= 1 2 + 4 6 ++ (1)2 + || < 1

Por lo tanto,

= 1

1 + 2

0

= (1)2

0

=(1)2+1

2 + 1,

=0

=0

|| < 1

Ejemplo 2.7.6

Encuentre una representacin en serie de potencias de para (1 + ).

Sabemos que

1

1 =

=0

= 1 + + 2 ++ + || < 1

Al integrar trmino a trmino se obtiene

1

1

0

=

0

=0

=+1

+ 1

=0

= +2

2+3

3+

+1

+ 1+

Esto es,


62 Matemticas IV

(1 ) =+1

+ 1

=0

= +2

2+3

3+

+ || < 1

Si reemplazamos x por x en la ltima y multiplicamos por -1, obtenemos

(1 + ) = (1)+1

+ 1

=0

= 2

2+3

3+

(1)+1

+ 1+ || < 1

2.8 Serie de Taylor

En la seccin anterior obtuvimos series de potencias para varias funciones usando series

geomtricas junto con derivadas o integracin trmino a trmino. En esta seccin

desarrollaremos un procedimiento general para hallar series de potencias para una funcin

con derivadas de todo orden.

Si f viene representada por una serie de potencias

() =

=0

= 0 + 1 + 22 ++

+ . (1)

Cuyo radio de convergencia es > 0, de lo antes visto sabemos que f tiene derivada de todos

los rdenes en (, ).

() = 1 + 22 + 332 ++

1 + . (2)

() = 22 + 2.33 + 3.442 ++ ( 1)

2 + (3)

() = 2.33 + 2.3.44 + + ( 1)( 2)3 + (4)

Si hacemos = 0 en (1), (2), (3), (4) obtenemos

(0) = 0

(0) = 1

(0) = 22 2 =(0)

2!


63 Matemticas IV

(0) = 2.33 3 =(0)

3!

En general,

=()(0)

!

para todo entero positivo n

Esta frmula es vlida cuando = 0, si consideramos que 0(0) = (0) = 1 y 0! = 1 As

podemos escribir la serie de potencias de f en x como

() =()(0)

!

1

= (0) + (0) +(0)

2!2 ++

()(0)

! +

Ms general, si consideramos la serie de potencias de f en ( ) tenemos que

()()( )

!

1

= () + () +()

2!( )2 ++

()()

!( ) +

Esta serie se llama serie de Taylor de f en c. Cuando = 0 se llama Serie de Maclaurin.

2.8.1 Convergencia de la serie de Taylor

Dada una funcin f, podemos representarla por medio de una serie de potencias en ( )

(que debe ser, necesariamente, la serie de Taylor)?

Teorema 2.8.1

Sea f una funcin con derivadas de todos los rdenes en algn intervalo ( , + ) . La

serie de Taylor

()()( )

!

1

= () + () +()

2!( )2 ++

()()

!( ) +

Representa a la funcin f en el intervalo ( , + ) si y slo si


64 Matemticas IV

() =

(+1)()( )+1

( + 1)!= 0

donde c es algn punto en ( , + )

Ejemplo 2.8.1

Determine la serie de Maclaurin de () = y demuestre que representa a para

todo x.

() = (0) = 0

() = (0) = 1

() = (0) = 0

() = (0) = 1

() = (0) = 0

() = (0) = 1

El esquema se repite tras la tercera derivada, luego la serie de potencias es

() =()(0)

!

1

= (0) + (0) +(0)

2!2 ++

()(0)

! +

= 3

3!+5

5!7

7!+ =

(1)2+1

(2 + 1)!

=0

Y ser vlida para todo x, siempre que podamos demostrar que

() =

(+1)()+1

( + 1)!= 0


65 Matemticas IV

Ahora bien,

|(+1)()| = | | |(+1)()| = | |

por lo tanto,

0 () ||+1

( + 1)!

,

!= 0 ,

!

.

() = 0

Ejemplo 2.8.2

Determine la serie de Maclaurin de () = de dos maneras distintas y demuestre que

representa a cosh para todo x.

Mtodo 1. ste es el mtodo directo

() = (0) = 1

() = (0) = 0

() = (0) = 1

() = (0) = 0

Por lo tanto,

= 1 +2

2!+4

4!+6

6!+ =

2

2!

=0

() = 0 .

Sea B un nmero cualquiera tal que || . Entonces


66 Matemticas IV

| | | +

2|

2+

2

2+

2=

Mediante un razonamiento anlogo, | | .

Ya que (+1)() = (+1)() = , concluimos que

|()| = |(+1)()+1

( + 1)!|

||+1

( + 1)!

La ltima expresin tiende a cero cuando .

Mtodo 2. Utilizando el hecho de que

= +

2

Sabemos que

=

!

=0

= 1 + +2

2!+3

3!+4

4!+

=(1)

!

=0

= 1 +2

2!3

3!+4

4!+

Ahora bien, sumando estas dos series y dividiendo por 2 se obtiene

= +

2= 1 +

2

2!+4

4!+6

6!+ =

2

2!

=0


67 Matemticas IV

Parte II

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias


68 Matemticas IV


69 Matemticas IV

Captulo 3

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

En cursos anteriores nos hemos encontrado frecuentemente con la palabra ecuacin la cual

utilizamos en muy variadas ocasiones, por ejemplo:

1. Las ecuaciones: 2 3 + 2 = 0, 3 1 = 0,

2. Las ecuaciones = 0, = , =

En estos casos se trata de hallar que son las incgnitas de las ecuaciones.

Existen numerosos problemas de la Matemtica, la Fsica, la Ingeniera, que conducen a

plantear ecuaciones pero donde ahora las incgnitas ya no son nmeros sino objetos

matemticos: matrices, funciones, aplicaciones lineales.

Entre estas ecuaciones se encuentran las denominadas ecuaciones diferenciales en las cuales

la (s) incgnita (s) que se presentan son funciones, y se llaman diferenciales puesto que en

dichas ecuaciones figuran las derivadas de las funciones incgnitas.

El ejemplo ms sencillo de ecuacin diferencial se encuentra en la determinacin de primitivas

de una funcin f, lo cual simplemente viene dado por el Primer teorema fundamental del

Clculo y que permite relacionar la derivacin con la integracin:

Si f es una funcin continua [, ], entonces la funcin F definida por:

() = ()

es derivable y () = () (, ).


70 Matemticas IV

As, dada f, la funcin = () satisface la ecuacin

= que es el ejemplo, de los ms

simples, de ecuacin diferencial de orden uno, donde la funcin incgnita F figura a travs de

su derivada.

Nuestro objetivo en este curso es estudiar algunos tipos de ecuaciones diferenciales para los

cuales existen procedimientos cannicos de resolucin. Debemos sealar que sta es una de las

ramas de la Matemtica que ms profundamente se ha estudiado desde unos 300 aos, siendo

la Mecnica Celeste la primera rea donde se aplic intensamente la teora de las ecuaciones

diferenciales.

3.1 Nociones bsicas acerca de las ecuaciones diferenciales

Comencemos con dos ejemplos que conducirn a plantear una ecuacin diferencial y as stos

motivarn algunas definiciones que luego daremos.

3.1.1 Ley de Newton sobre enfriamiento de un cuerpo

De acuerdo con la ley de Newton sobre enfriamiento o calentamiento de un cuerpo, la

rapidez a la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la

temperatura del cuerpo y la temperatura del medio ambiente.

Sea = () la temperatura del cuerpo en un tiempo cualquiera t. La velocidad de

enfriamiento del cuerpo, es decir, la tasa instantnea de cambio de temperatura es dada por la

derivada.

Luego si denotamos por A la temperatura del aire que rodea al cuerpo, entonces el enunciado

del problema nos dice que

, ,

= ( )


71 Matemticas IV

= ( ) (1)

donde c es la constante de proporcionalidad. Siendo > 0 (la temperatura del cuerpo

mayor que la del aire que lo rodea), entonces, como la temperatura () decrece a medida que

transcurre el tiempo, ya que el cuerpo se est enfriando, se tiene que < 0, y por esto,

frecuentemente, se escribe la ecuacin (1) como:

= ( ) (2)

El problema consiste en hallar una tal funcin () que satisfaga (2) y adems los otros datos

del problema.

3.1.2 Desplazamiento de un resorte

Consideremos un resorte que resiste la comprensin tanto como la extensin y que cuelga o

est sujeto en un extremo a un soporte y en el otro extremo se tiene un cuerpo de masa m

Si se tira del cuerpo desplazndolo una cierta distancia hacia abajo y despus se le suelta,

este adquirir un movimiento el cual suponemos se realiza solamente en la direccin vertical y

S kS

Posicin de equilibrio = 0

( + ())

=

w


72 Matemticas IV

queremos determinar este movimiento en funcin del tiempo t. Elijamos como direccin

positiva del desplazamiento la direccin hacia abajo. Veamos todas las fuerzas que actan

sobre el cuerpo durante el movimiento.

Tenemos la fuerza de gravedad (peso del cuerpo) dada = , donde m es la masa del

cuerpo y g la aceleracin de gravedad.

De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza restauradora que el resorte ejerce sobre la masa es

proporcional a la distancia a la que el resorte se ha estirado o comprimido. Puesto que sta es

igual al desplazamiento de la masa m de su posicin de equilibrio, se deduce que

= ( + ())

La constante positiva de proporcionalidad k se llama la constante de resorte.

Aplicando la 2da. Ley de Newton,

= = =

Como = 0, obtenemos la ecuacin diferencial lineal de segundo orden

=

Es decir,

= 2, =

que gobierna el movimiento vertical libre de un cuerpo.

En el ejemplo anterior se ha despreciado la fuerza de resistencia del medio y por ello se le

llamo movimiento libre. Experimentalmente se ha comprobado que, si la velocidad de la masa

no es muy grande, es proporcional a la velocidad |

|, y su direccin es tal que se opone al

movimiento. Si el cuerpo est bajando, () est aumentando, por lo tanto

> 0 y como

acta hacia arriba, resulta

=

, > 0


73 Matemticas IV

Si el cuerpo est subiendo, () est disminuyendo, por lo tanto

< 0 y como acta hacia

abajo resulta

= (

) =

O sea que en cualquier caso =

> 0. Luego la ecuacin diferencial que rige el

movimiento vertical amortiguado del cuerpo es

=

Es decir,

+ + = 0

EDO lineal de segundo orden.

En esos dos ejemplos observamos que se trata de resolver una ecuacin donde la incgnita es

una funcin de una, o ms variables independientes, y que en dicha ecuacin aparecen

derivadas de la funcin. Tales ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones diferenciales

ordinarias o ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, o simplemente, a las

primeras se les llama ecuaciones diferencial y a las segundas ecuaciones en derivadas

parciales.

Definicin 3.1

Una ecuacin diferencial es una ecuacin en la que interviene una funcin desconocidas y

una o ms de sus derivadas. Si la funcin tiene solamente una variable independiente, la

ecuacin se denomina ecuacin diferencial ordinaria. Si la funcin depende de dos o ms

variable, las derivadas sern parciales, denominndose la ecuacin en este caso ecuacin

diferencial en derivadas parciales.

Adems de por el tipo (ordinaria o parcial), las ecuaciones diferenciales se clasifican por el

orden.


74 Matemticas IV

El orden de una ecuacin diferencial es el de la derivada ms alta que aparece en la ecuacin.

Ambas clasificaciones (tipo y orden) resultan tiles para decidir que procedimiento utilizar

para resolver una ecuacin diferencial dada.

Un problema matemtico tpico de una situacin aplicada sern los problemas de valores

iniciales, consistentes en una ecuacin diferencial de la forma antes citada junto con una

condicin inicial (0) = 0.

Resolver el problema de valor inicial

= (, ), (0) = 0 (4)

Significa encontrar una funcin diferenciable () que satisfaga ambas condiciones de la

ecuacin.

Definicin 3.2

Una funcin = () es solucin de una ecuacin diferencial si al ser sustituida, junto con sus

derivadas, en la ecuacin, la convierte en una identidad.

Ejemplo 3.1.1

Ecuacin Tipo Orden

= 0

Ordinaria 1

= Ordinaria 3

()2 3 = 0 Ordinaria 1

+ = 0 Parcial 2


75 Matemticas IV

Derivando y sustituyendo veramos que = 2, = 32 son soluciones de la ecuacin

diferencial

+ 2 = 0

Definicin 3.3

Si la solucin de la ecuacin diferencial es una funcin = (, ) que depende de alguna

constante arbitraria C (familia uno-paramtrica) entonces la solucin se llama solucin

general

Ejemplo 3.1.2

La funcin = 2, siendo C una constante cualquiera, es la solucin general de la ecuacin

+ 2 = 0

Definicin 3.4

Si en la solucin general se asigna un valor determinado a la constante C, la solucin obtenida

es una solucin particular. El valor de C puede ser obtenido al reemplazar, las coordenadas

de algn punto que satisface la ecuacin diferencial en la solucin hallada; tales coordenadas

del plano reciben el nombre de condiciones iniciales y la solucin es la que satisface las

condiciones iniciales dadas. En ciertas ocasiones, la ecuacin diferencial posee otras soluciones,

denominadas soluciones singulares, ellas no se obtienen de la solucin general.

3.2 Algunos problemas que conducen a una ecuacin diferencial

Dada una familia de curvas F, a veces es importante encontrar una ecuacin diferencial que la

represente, es decir , EDO libre de parmetros, tal que los miembros de la familia F sean todas

las solucione de la ecuacin.

Ejemplo 3.2.1


76 Matemticas IV

Hallar una EDO que represente a la familia de parbolas = 32 + ,

Despejando k de la ecuacin de las parbolas se obtiene

=

32 + 1

Derivando respecto de x

= 6 =6

32 + 1

La EDO que representa a la familia de parbolas dada es entonces

=6

32 + 1

3.2.1 Trayectoria ortogonales

Sea C una curva dada y F una familia uniparamtrica de curvas. Se dice que C es una

trayectoria ortogonal de la familia F si C corta ortogonalmente a todas las curvas de F.

Para determinar las trayectorias ortogonales de una familia de curvas dada se halla primero

la ecuacin diferencial (, ,

) = 0 para dicha familia. Como

da la pendiente de la recta

tangente a cada curva de la familia en un punto (, ) de la misma, la ecuacin diferencial

para las trayectorias ortogonales a la familia dada debe ser

(, ,

) = 0

Ejemplo 3.2.1.1

Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia F de parbolas de ecuaciones

= 2,

Despejando k de la ecuacin se obtiene


77 Matemticas IV

=

2, 0

Adems,

= 2 =2

2 =

2

Entonces

=2

Es la ecuacin diferencial la familia F, para todo 0. Por lo tanto, la ecuacin diferencial

para las trayectorias ortogonales es

=2

Es decir,

+ 2 = 0, 0

Resolviendo esta EDO se obtiene (como se ver adelante) que

22 + 2 = ,

Son trayectorias ortogonales de la familia dada. Sin embargo, se debe notar que la recta de

ecuacin = 0, es ortogonal a todas las parbolas de la familia en (0,0) (pues cuando =

0, = 2 = 0, es decir, la ente de todas las curvas de F es cero en (0,0)). Las trayectorias

ortogonales de la familia son entonces

0 22 + 2 = ,


78 Matemticas IV

3.2.2 Crecimiento y decrecimiento o desintegracin

a) Crecimiento de una poblacin:

La velocidad de crecimiento de una poblacin, es un instante dado, es proporcional a la

poblacin existente en dicho instante.

=

donde P = poblacin existente en el instante t (habitantes)

=

K = constante de proporcionalidad

Y

x


79 Matemticas IV

b) Ley de desintegracin radioactiva:

La intensidad o velocidad de desintegracin de una sustancia radiactiva es proporcional,

en cualquier instante, a la cantidad de sustancia que se halle presente.

=

donde m = masa de sustancia radiactiva presente en el instante t

=

K = constante de proporcionalidad

El signo menos indica que la masa est disminuyendo

3.2.3 Mezclas

UN tanque tiene 100 L de una solucin de agua y sal (salmuera), que contiene 10 Kg de sal

homogneamente mezclados. Se bombea dentro de un tanque a una velocidad de 6 L/min una

solucin que contiene Kg de sal por cada litro de agua. Simultneamente se bombea hacia

afuera el lquido del tanque a una velocidad de 4 L/min. Hallara la cantidad de sal que hay

en el tanque en cada instante t.

Sea () la cantidad de sal presente en el tanque despus de t minutos de haber comenzado

a bombear. Entonces la rapidez de cambio de la cantidad de sal en el tanque es (), y se

cumple

() = (

) (

) =


80 Matemticas IV

Por otro lado ntese que se bombea hacia afuera con menor rapidez que hacia adentro, por lo

que la solucin se acumula con una rapidez de (64)

= 2

.

Por lo tanto, despus de t minutos hay en el tanque (100 + 2) litros solucin, la rapidez con

que sale la sal es

2 = (()

100 + 2) .4 =

4()

100 + 2

Entonces

() = = 6 min. 1 2 4()

100 + 2

Luego

{() = 3

2()

50 +

(0) = 10

3.2.4 Circuitos elctricos

Consideremos el circuito en serie que consta de:

Una resistencia de R ohmios

Un inductor con inductancia de L henrios

6 L/min

4 L/min


81 Matemticas IV

Un condensador, con capacitancia de C faradios

Con una fuente de fuerza electromotriz (tal como una batera o un generador) que

proporciona un voltaje de () voltios en el instante t.

Aplicando una de las leyes de Kirchhoff: La suma (algebraica) de las cadas de voltaje a travs

de los elementos de un circuito elctrico es igual al voltaje aplicado.

En consecuencia, la corriente y la carga en el circuito simple RLC de la figura satisfacen la

ecuacin bsica de los circuitos.

+ +

1

= () (1)

Como la relacin entre la carga y la corriente I, es

= , sustituyendo en la ecuacin (1)

obtenemos la ecuacin diferencial lineal de segundo orden, para la carga ()

2

2+

+1

= () (2)

En la mayora de los problemas prcticos en la corriente I, ms que la carga Q, lo que tiene

inters primario, as que podemos derivar ambos miembros de la ecuacin (1) y hacer la

sustitucin

= para obtener

2

2+

+1

=

()

(3)

R (Resistencia) C (capacitancia)

L (Inductancia)

()


82 Matemticas IV


83 Matemticas IV

Parte III


84 Matemticas IV

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden


85 Matemticas IV

3.3 Campos direccionales y elaboracin de curvas integrales

Una EDO de primer orden no siempre tiene solucin pero, an cuando la tenga, a veces no es

posible encontrar una frmula explcita de la misma en trminos de funciones elementales. Por

tal motivo los mtodos que conducen a soluciones aproximadas de la ecuacin son de gran

utilidad. Uno de estos mtodos consiste en aproximar grficamente las curvas integrales de la

ecuacin diferencial, cuando sta es de primer orden.

Definicin 3.3.1

La ecuacin diferencial = (, ) da un valor para que representa la pendiente de la

recta tangente a la curva integral = () que pasa por el punto (, ). Si se asigna a cada

punto un pequeo segmento de esta recta tangente (centrado en el punto), el conjunto de todos

estos segmentos se llama campo direccional para la ecuacin diferencial = (, ). Es

decir, la ecuacin diferencial = (, ) determina un campo de direcciones.


86 Matemticas IV

El problema de integracin de la ecuacin = (, ) consiste en hallar una curva cuya

tangente en cada punto tenga la misma direccin que el campo en ese punto.

Definicin 3.3.2

Dada una ecuacin = (, ), una isclina es el lugar geomtrico de todos los puntos en los

cuales las tangentes a las curvas integrales consideradas tienen una misma direccin. La

familia se determina por la ecuacin = (, ) donde k es un parmetro.


87 Matemticas IV

Ejemplo 3.3.1

Usando isclinas, bosqueje las curvas de

= 2 + 2

Haciendo

= , tenemos que las isclinas estn dadas por ecuaciones de la forma

= 2 + 2

Ests ecuaciones son circunferencias centradas en el origen para > 0, se reduce al origen si

= 0 (porque 2 + 2 = 0 = = 0) y no tienen puntos para < 0.


88 Matemticas IV

3.4 Existencia y unicidad de las soluciones


89 Matemticas IV

Antes de perder mucho tiempo tratando de resolver una ecuacin diferencial, es preferible

investigar si la solucin en efecto existe. Quiz tambin queramos saber si hay slo una

solucin de la ecuacin que satisfaga una condicin inicial (es decir, si las soluciones son

nicas).

Ejemplo 3.4.1

Consideremos el siguiente problema de valor inicial

= 2 , (0) = 0

De aqu podemos hacer

2=

Luego integramos y resulta 1() = 2 2() = 0

Las cuestiones relativas a existencia y unicidad tambin afectan a la elaboracin de modelos

matemticos. Supongamos que estamos estudiando un sistema fsico cuyo comportamiento

est completamente determinado por ciertas condiciones iniciales, pero que nuestro modelo

matemtico propuesto involucra una ecuacin diferencial que no tiene solucin nica. Esto

hace surgir de inmediato la pregunta de si el modelo matemtico representa adecuadamente

el modelo fsico.

El siguiente teorema establece las condiciones suficientes para asegurar la existencia y

unicidad de la solucin, de modo que ninguno de los casos extremos (no solucin o soluciones

no nicas) pueda ocurrir.

Teorema: Existencia y unicidad de soluciones


90 Matemticas IV

Sea = (, ) donde f es una funcin continua y derivable en un conjunto D del plano.

Entonces por todo punto (0, 0) pasa una y solamente una solucin de esa ecuacin

diferencial.

Es decir, para todo punto (0, 0), existe una y slo una funcin = () definida en cierto

intervalo que contiene a 0, que es solucin de la ecuacin = (, ) y adems 0 = 0().

Ejemplo 3.4.2

Para la ecuacin

= 2

la funcin (, ) = 2 es continua en toda su extensin, pero la derivada parcial

=1

es discontinua para = 0, y en consecuencia en el punto (0,0). Esto explica la existencia de dos

soluciones diferentes 1() = 2 2() = 0 , cada una de las cuales satisface la condicin

inicial (0) = 0.

3.5. Ecuaciones diferenciales de primer orden


91 Matemticas IV

3.5.1 Ecuaciones a variables separables

La ecuacin de primer orden

= (, )

Se llama a variable separable si (, ) puede escribirse como producto de una funcin de x

y una funcin de y; o, equivalentemente, como un cociente

(, ) =()

() .

En este caso, las variables pueden ser separadas escribiendo de modo informal la ecuacin

() = (), que se entiende que es la notacin compacta de la ecuacin diferencial

()

= ()

Es fcil resolver este tipo de ecuaciones diferenciales simplemente integrando ambos miembros

con respecto a x

() = () +

Ejemplo 3.5.1.1

Determinar en cuanto tiempo se enfriara un cuerpo desde 100C a 20C en aire a 10C,

sabiendo que en el aire a 15 C se enfra desde 200 C a 100C en 40 minutos.

Obtuvimos la ecuacin a variable separable

= ( )

Donde > 0 es constante, A temperatura del aire, = () es la temperatura del cuerpo en

un tiempo t. De all resulta


92 Matemticas IV

=

= +

Luego

( ) = + = + =

donde = (constante arbitraria)

Ntese que cuando = 0 (en minutos), es decir, cuando comenzamos a contar el tiempo, se

tiene (0) = 0 (temperatura inicial), luego 0 = .

Entonces tenemos que

= + (0 )

Ahora utilizando los datos del enunciado para determinar la constante de enfriamiento k:

Si = 40 y = 15 se tiene 0 = 200, = 100, luego

100 = 15 + (200 15)40 40 =85

185 =

1

40 (

17

37)

y por lo tanto,

= + (0 )(140(

1737))

Si ahora = 10, 0 = 100, = 20, se obtiene

20 = 10 + (100 10)(140(

1737))

1

9=

(140(

1737))

Entonces

=40 9

17 37 113

Ejemplo 3.5.1.2

Un cultivo tiene inicialmente una cantidad 0 de bacterias. Para = 1 hora, el nmero de

bacterias medido es 3

20. Si la rapidez de multiplicacin es proporcional al nmero de


93 Matemticas IV

bacterias presentes, determinar el tiempo necesario para que el nmero de bacterias de

triplique.

Sean N = bacterias en un instante t

0 = Cantidad de bacterias en = 0

Tenemos que

=

= = + =

Pero para = 0, (0) = 0,

Entonces 0 = . As () = 0

Para = 1 se tiene 3

20 = 0

o bien

=3

2 = (

3

2) = 0,4055

En consecuencia,

() = 00,4055

Para determinar el valor de t para el que las bacterias se triplican, despejamos t de

30 = 00,4055

Se deduce que

0,4055 = 3 = 3

0,4055 2,71


94 Matemticas IV

Ejemplo 3.5.1.3

Un bloque de cierto material radiactivo tiene originalmente una masa de 100 grs., al

transcurrir 20aos, su masa ha disminuido a 80 grs. Determinar:

a) Cunto tiempo transcurri para que se desintegraran 10 grs.?

b) Cantidad de material presente 50 aos despus del momento inicial.

c) Tiempo de vida media del material.

Sean m = masa del material radiactivo en un instante de tiempo t

0 = 100 (

Tenemos que

=

= = + 1 =

= 0

Calculemos k

(0) = 80 80 = 020 =

(4 5 )

20

a) =?

() = 90 90 = 100 = (9 10 ) =(1 2 )

9,443

b) t = 50 aos,m(50) =?

m(50) = 100e50k = 100e20ln(4 5 ) 20 57,243

c) () =0

2

0

2= 0

=(0,5)

155,314


95 Matemticas IV

3.6 Ecuaciones homogneas

Recordemos que una funcin (, ) se dice homognea de grado un nmero real n, si para

todo > 0, se verifica que

(, ) = (, )

Ejemplo 3.6.1

. (, ) =2 + 2

2 = 1,

(, ) =()2 + ()2

2=(2 + 2)

2= (, )

. (, ) =2 + 2

2 = 0 ()

. (, ) = 3 (

) =

1

3 ()

. (, ) = 23 + 32 + + 1

. (, ) = 3 (

2

)

En muchos casos podemos reconocer si una funcin es homognea examinando el grado de

cada trmino

Ejemplo 3.6.2

. (, ) = 63 22 4

Observe que 6 3 4 y 22 es de grado 4

. (, ) = 2 , ya que 2 2, 1


96 Matemticas IV

Definicin 3.6.1

La ecuacin diferencial = (, ) se dice homognea si la funcin f es homognea de

grado cero.

En el caso que la ecuacin sea dada en la forma

(, ) + (, ) = 0

Ella ser homognea si M y N son funciones homogneas del mismo grado n, ya que colocada

en su forma normal

=(, )

(, ), (, ) 0

Resulta que el cociente es homogneo de grado cero.

Ahora bien, si (, ) es homognea de grado cero, entonces podemos escribir:

= (, ) = (. 1, .

) = 0 (1,

) = (

)

Dicha ecuacin sugiere la sustitucin

=

=

En efecto, haciendo

=

=

+ ,

Sustituyendo en la ecuacin diferencial dada, ella se reduce a una ecuacin a variables

separables.

Ejemplo 3.6.3

Resolver

(2 2) + 3 = 0


97 Matemticas IV

(, ) = 2 2 (, ) = 3 ambas son homogneas de grado 2

(2 2) + 3 = 0

=2 2

3

Si hacemos

=

=

+

Entonces, sustituyendo tenemos

+ =

2(2 1)

32=2 1

3

Entonces

=2 1

3 =

1 22

3

Separando variables e integrando, tenemos

(3

22 + 1) = (

1

)

3

4(22 + 1) = || + ||

(22 + 1)3 = |4| (22 + 1)3 = 4

Devolviendo el cambio se tiene

(22

2+ 1)

3

= 4 (22 + 2

2)

3

= 46

(22 + 2)3= 4

Entonces

2

(22 + 2)3=


98 Matemticas IV

3.7 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Una ecuacin diferencial lineal de primer orden es una ecuacin de la forma

+ () = () (1)

Escribiendo la ecuacin (1) en la forma diferencial

+ [() ()] = 0 (2)

Las ecuaciones lineales tienen la propiedad de que siempre es posible encontrar una funcin

() (factor integrante) tal que al multiplicar la ecuacin (2)

() + ()[() ()] = 0

Es una ecuacin diferencial exacta.

Dicho factor integrante es de la forma

() = ()

Al multiplicar ambos lados de la ecuacin (1) por este factor se obtiene

()

+ ()() = ()() . (3)

Lo cual es equivalente a

(()) = ()() (4)

Esto es cierto debido a que si usamos la regla del clculo para la diferenciacin de un producto,

el lado izquierdo de (4) es

(()) = ()

+

(()) = ()

+ (()())

De (4) obtenemos por integracin la solucin.


99 Matemticas IV

() = ()() + ,

Es decir,

= () [ ()() + ]

Ejemplo 3.7.1

Resolver

4 = 6

Escribiendo la ecuacin como

(4

) = 5

el factor integrante es

() = 4 = 4

Multiplicando la ecuacin por este trmino

4 45 =

y obtenemos

(4) =

Integrando ambos lados, tenemos

4 = +

O bien

= 5 4 + 4


100 Matemticas IV

3.8 Ecuaciones de Bernoulli

Una ecuacin no lineal muy conocida que se reduce a una lineal, con una sustitucin

adecuada, es la ecuacin de Bernoulli:

+ () = () , 1, 0 (1)

Dividiendo la ecuacin (1) por , y multiplicando por (1 ) obtenemos

(1 )

+ (1 )()1 = (1 )() (2)

Luego si hacemos

= 1

= (1 )

Sustituyendo en la ecuacin (2) obtenemos la ecuacin lineal de primer orden

+ (1 )() = (1 )() (3)

Resolviendo (3) y devolviendo el cambio de variable, tenemos que la solucin general de la

ecuacin de Bernoulli es

1(1)() = (1 )() (1)() +

Ejemplo 3.8.1

Resolver

+1

= 2

Para esta ecuacin de Bernoulli, = 2

Dividiendo la ecuacin por 2, y multiplicando por (1 ) = 1, obtenemos

2

1

1 =


101 Matemticas IV

Usando la sustitucin

= 1

= 2

tenemos

1

=

Ecuacin lineal en z, cuyo factor integrante es

() = 1 = 1

Multiplicando por este factor, obtenemos

(1) = 1 1 = + = + = 2 +

Como = 1, se obtiene que

=1

2 +

Ejemplo 3.8.2

Un generador con una fem. de 100 voltios se conecta en serie con una resistencia de 10 ohmios

y un inductor de 2 henrios. Si el interruptor s se cierra en tiempo 0t , establezca una ecuacin

diferencial para la corriente y determine la corriente y determine la corriente en funcin del

tiempo t.

E = 100 voltios, L = 2 henrios, R = 10 ohm, llamando I la corriente en amperios, tenemos:

2

+ 10 = 100

+ 5 = 50 . . 1

Cuyo factor integrante es te5 . Multiplicando la ecuacin por este factor tenemos

5

+ 55 = 505

(5) = 505 5 = 505 +

Entonces,


102 Matemticas IV

() = 10 + 5

Puesto que (0) = 0, entonces, = 10.

As,

() = 10 105

Ejemplo 3.8.3

Una fem. decadente = 2005 se conecta en serie con una resistencia de 20 ohmios y un

condensador de 0,01 faradios. Asumiendo que (0) = 0, encuentre la carga y la corriente en

cualquier tiempo. Muestre que la carga alcanza un mximo, calclelo y halle cuando se

obtiene.

Tenemos que () = 2005, = 0 y = 0,01 = 102.

Sustituyendo

20

+

102= 2005

+ 100 = 2005

+ 5 = 105

E.D. lineal de er1 orden cuyo factor integrante es te5 . De donde,

5

+ 55 = 10

(5) = 10 5 = 10 +

Entonces,

() = 105 + 5

Puesto que (0) = 0 entonces = 0.

De donde

() = 105

Ahora bien, como

=

=

(105) = 105 505


103 Matemticas IV

Para hallar cundo Q es mxima, haga

= 0 , esto es, = 0, es decir,

105 505 = 0 105(1 5) = 0 =1

5 .

Luego

= 10 (1

5) 1 0,74 .

3.9 Cambio de variable

Cuando una ecuacin diferencial de primer orden no se puede reducir fcilmente a una de las

formas estudiadas, es posible reducirlas cambiando una o ambas variables. Veamos algunos

ejemplos tpicos.

Ejemplo 3.9.1

Resuelva la ecuacin diferencial

( + 2) + ( 2) = 0

( + 2) + ( 2) = 0

=

+ 2

2

=

(1 + )

(1 )

= ,

= +

,

=1

(

).

Sustituyendo en la ecuacin tenemos

1

(

) =

(1 + )

(1 )

=

(1 + )

1

=

(1 + )

1

=

(1 + )

(1 )

=

(1

1 +

1 )

=

(

2

1 )

Entonces, obtenemos una ecuacin diferencial a variable separable


104 Matemticas IV

( 1

2) =

2

Ejemplo 3.9.2

Resolver

+ ( ) + 3( )2 = 1

= ,

=

1.

=

+ 1

La ecuacin se reduce a

+ 1 + + 32 = 1

De donde obtenemos la ecuacin de Bernoulli

+ + 32 = 0

Ejemplo 3.9.3


(

+ 1) =

Multiplicando por en ambos miembros de la ecuacin obtenemos

+ 1 = +

= + ,

=

+ 1.

=

1

Entonces

=


105 Matemticas IV

Que separando variables e integrando tenemos

= (+) =

2

2+

Ejemplo 3.9.4

Resolver

22

= 34 + 2

= 2,

= 22

.

Sustituyendo en la ecuacin diferencial

22

= 34 + 2

= 34 +

y as obtenemos la ecuacin lineal de 1er orden

= 34

cuyo factor integrante es () =

= 1. Luego

= 33 =

3

44 + =

3

45 + 2 =

3

45 +

Finalmente,

= 3

45 +

Ejemplo 3.9.5

Resolver

62 (23 + ) = 0


106 Matemticas IV

Multiplicando por 2 obtenemos

622 3(23 + ) = 0

(23 + )

62= 0

Sea = 3, con lo cual = 32. Sustituyendo en la ecuacin, tenemos que

22 (2 + ) = 0

(2 + )

22= 0

= (

)2

+

2

=

, =

= +

Por lo tanto,

+

= 2 +

1

2

= 2

1

2

=2

2

2

2 =

Entonces,

4

2 12

=

2|2 1| 2|| = || + ||

(2 1)2 = 2

= =

=3

Tenemos

(23

1)

2

= (3

)

2

(23

1)

2

=

6


107 Matemticas IV

3.10 Reduccin a una ecuacin a variable separable

Una ecuacin de la forma

= ( + + ), 0

Puede reducirse a una ecuacin a variable separable mediante la sustitucin

= + + .

Ejemplo 3.10.1


= ( + + 1)2

Sea = + +

Entonces

= 1 +

=

1

As,

1 = 2

= 2 + 1

2 + 1= = +

Devolviendo el cambio de variable, obtenemos finalmente que

( + + 1) = + + 1 = ( + )

= ( + ) 1

Ejemplo 3.10.2


= ( + + 1)

1 ( + + 1)

Sea = + +


108 Matemticas IV

Entonces

= 1 +

=

1

As,

1 =

1

=

1 + 1

=

1

1

(1 ) = = +

Luego

+ + 1 ( + 1) = + + 1 ( + + 1) =

3.11 Reduccin a una ecuacin a homognea

Una ecuacin de la forma

= (

1 + 1 + 12 + 2 + 2

) , 0

Puede reducirse a una ecuaci

material de matemáticas iv (mat iv 2013) de la usb del profesor humberto f. valera castro

Documents