por Lolita Brain

La presencia de los pueblos rabes en la pennsula Ibrica desde el sigloVIII hasta el XV supuso para la civilizacin occidental un enriquecimiento cul-tural nico. Espaa, que entonces no exista como tal, se convirti en unlugar privilegiado por el que se tuvo acceso a los clsicos griegos y a latradicin algebrista y astronmica ms influyente de la poca: la que pro-vena de Oriente. Figuras clave del pensamiento nacieron y florecieron enCrdoba, Toledo o Sevilla. El rey cristiano Alfonso X el Sabio fue permea-ble a toda esa influencia.

AULADE EL MUNDO

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AZARQUIEL EL ASTRNOMO

ALFONSO X EL SABIO

La obra fundamental de Alfonso X enastronoma son las Tablas Alfonsesy los Libros del Saber de Astrono-ma, que no son muy originales, ya quecompendian las observaciones rabesde la poca, muy en especial las deAzarquiel. Curiosamente, esta obra seescribi en la popular lengua romance,y no en latn, y es la primera obra cient-fica en lo que podramos llamar el ger-men del castellano. Fue decisiva parallevar la astronoma a Occidente.

TRADUCTORES PIRENAICOS

En el monasterio pirenaico deSanta Mara de Ripoll existidesde el siglo IX una impor-tante escuela de traductores,donde rabes, judos y cristia-nos tradujeron a los clsicosgriegos y a los mejores astrno-mos de Oriente, casi todos pro-cedentes de la Casa de la Sabi-dura de Bagdad.

Azarquiel (h. 1030-h.1100), el de los ojosazules, era hijo de unherrero toledano, cons-tructor de instrumentosastronmicos. Sin nisiquiera saber leer ni escri-bir, introdujo por su cuentauna mejora en un instru-mento en el que trabajabasu padre. Asombrado, elcad Ibn Said le orden quefuera a su centro de astro-noma donde aprendi aobservar el cielo, a realizaranotaciones en tablasastronmicas y estudi delas mejores fuentes de lapoca: Al-Juwarizmi o Al-Mamud. Cuando Toledocay en manos cristianas,huy a Crdoba, donde seconvirti en uno de losmejores astrnomos noslo de su poca sino tam-bin de los que haya dadonunca la pennsula Ibrica.

AZARQUIEL, ALFONSO XY LA ASTRONOMA

E l astrolabio -aunque vari mucho con el tiempo- estformado por la madre o crculo fundamental graduadoen su borde. Sobre la madre se colocaba la lmina quepresentaba un diagrama de distintas lneas astronmi-cas fundamentales (el zenit, los trpicos, el ecuadorceleste). Sobre la lmina, la regla recortaba la eclptica(trayectoria de la Tierra alrededor del Sol) y otros puntoscardinales. Por ltimo, la alidada era un visor con el quese apuntaba a una determinada estrella para calcular su

altura sobre el horizonte. Su principal limitacin consistaen que era necesaria una lmina distinta para cada latitud en

la que se realizaba la observacin.

LAS PARTES DE UN ASTROLABIO

EL INSTRUMENTO POR EXCELENCIA

E l astrolabio fue hasta el telescopio el instru-mento fundamental para explorar el cielo.Conocido ya por los griegos, serva paradeterminar la altura de las estrellas, fijar la horao realizar con precisin calendarios. Azarquielmejor notablemente el astrolabio creando laazafea, que permita simplificar su uso auncuando se cambiara de latitud.

El dorsode la madretena gra-badosmultitudde datosque permi-tan reali-zar los cl-culosobservadosen la madre.

A lfonso X cre en Toledo una impor-tantsima escuela de traductores enla que destac sobre otros Gerardode Cremona. El inters del rey por laastrologa le llev a impulsar la astro-noma. Interesado tambin por el aje-drez y los juegos de mesa (El libro delAjedrez). Su obra es tambin capitalen el derecho (Las siete partidas)y laliteratura (Las Cantigas de SantaMara).

Toledo

Ripoll

Crdoba

Las principales obras de Azarquiel sonLas Tablas Toledanas, Tratado de laazafea, Suma referente al movimien-to del Sol y Tratado de la lmina de lossiete planetas, en la que aventura quela rbita de Mercurio es elptica, casiseiscientos aos antes que Kepler.

por Lolita Brain

La evolucin de la humanidad se ha desarrollado a costa de grandes hombres. Hom-bres cuya forma de entender el mundo ha marcado un antes y un despus. Cientfi-cos, pensadores, polticos... nicos en su especie, cuyas ideas han marcado hitos en laforma de interaccionar con el mundo. Una de esas personas vivi hace casi 2.500 aosen un paraso dedicado a la cultura: Alejandra. Nos referimos a Euclides, padre de laGeometra, uno de los matemticos ms grandes de la Historia. Baste decir que su granobra es -junto a la Biblia- el libro ms editado de todos los tiempos.

EL ALEJANDRINOMS GRANDE

EUCLIDES, UN DESCONOCIDO DEFINICIONES

LOS CINCO POSTULADOS

LAS NOCIONES COMUNES

CONTENIDO DE LOS ELEMENTOS

LOS ELEMENTOS

Es paradjico que de unode los ms grandes mate-mticos de todos los tiem-pos no sepamos casi nada.Apenas conocemos quevivi hacia el siglo III antesde nuestra era en Alejan-dra, hoy Egipto. Es posibleque estuviera en la Acade-mia platnica y que tuvieraacceso a la obra de losmatemticos que se relacio-naran con esta institucin.

E l riguroso mtodo de Euclides le lleva a comenzar siempre por darprecisas definiciones de los objetos matemticos que posterior-mente utiliza en cada uno de los libros de los Elementos. Definiren matemticas no siempre es fcil y especialmente cuando se tratade decir qu son los objetos ms simples. Sus primeras nueve defi-niciones son las siguientes:

Son los principios fundamentales cuyaveracidad se acepta sin demostracinpor ser considerados obvios. Tambinse denominan axiomas. Euclides fue elprimero que fundament una parte de lasmatemticas con axiomas. Y slo nece-sit cinco. Recogemos los primeros cua-tro, al conflictivo Quinto Postulado lededicaremos la siguiente lmina.

Las nociones comunes son afirmacionesgenerales, vlidas en todas las ciencias,cuya evidencia las hace generalmenteaceptables. Las que Euclides incluye enel Libro I de los Elementos son:

Apesar de no saber nada de su vida,el legado de Euclides es inmenso.Entre otras obras, su Elementos,adems de recopilar el saber de lamatemtica previa, aporta sobre todometodologa. A diferencia de otrasrecopilaciones matemticas anterio-res, los Elementos no compendiansino que proponen estrategias pararesolver en principio cualquier proble-ma matemtico. Adems se funda-menta en el mtodo axiomtico, unsistema deductivo de tradicin aristo-tlica y profundamente basado en elrigor de la deduccin lgica. Desde suprimera edicin impresa en 1482 es ellibro que ms publicaciones ha tenido,excepcin hecha de la Biblia.

Los Elementos se componen de trecelibros dedicados no slo a la geome-tra. En conjunto contienen 465 pro-posiciones, todas ellas verdaderas. Espor ello que Einsteindijera de estaobra que Es maravilloso que un hom-bre sea capaz de alcanzar tal grado decerteza y pureza haciendo uso exclusi-vo de su pensamiento y que Russellafirmara que La lectura de Euclides alos 11 aos fue uno de los grandesacontecimientos de mi vida, tan des-lumbrante como el primer amor.

LA ESCUELA DEATENAS. RAFAELSANZIO. 1511

EDICIN ESPAOLA DE RODRIGO ZAMO-RANO, DE 1572. USANDO PROBABLEMEN-TE LA EDICIN LATINA DERATDOLT.

EDICIN DELOS ELE-MENTOS ENUN INCUNA-BLE IMPRE-SO PORRATDOLT EN1482. ILUS-TRADO CONOBJETOSGEOMTRI-COS EN ELMARGEN.

No es casual que Rafaelpintara a Euclidessobre una pizarraarmado con un comps.Para Euclides, los proble-mas geomtricos debenresolverse manipulandolas figuras que represen-tan al objeto geomtrico,visualizndolo. Peroesta manipulacindebe hacerse segnreglas muy precisasque obligan a utilizarslo la regla y elcomps. Este mto-do recibi con eltiempo el nombre desinttico, y a estageome -tra, sin-ttica.

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1. Un punto es lo que no tiene partes.2. Una lnea es una longitud sin anchura.3. Las extremidades de una lnea son puntos.4. Una recta es una lnea que yace por igual respecto de todos sus puntos.5. Una superficie es lo que slo tiene longitud y anchura.6. Las extremidades de una superficie son lneas.7. Una superficie plana es una superficie que yace por igual sobre todas las lneas que contiene.8. Un ngulo plano es la inclinacin mutua de dos lneas que se encuentran en un plano y no forma lnea recta.9. Y cuando las lneas que comprenden el ngulo son rectas,

el ngulo es rectilneo.

1. Postlese que se pueda trazar unanica recta entre dos puntos distintoscualesquiera.2. Y que un segmento rectilneo puedaser siempre prolongado.3. Y que haya una nica circunferenciacon un centro y un radio dados.4. Y que todos los ngulos rectos seaniguales.

1. Cosas iguales a una tercera son igualesentre s.2. Si a cosas iguales se aaden cosasiguales, los totales son iguales.3. Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos soniguales.4. Las cosas que coinciden entre s son iguales entre s.5. El todo es mayor que su parte.

LIBRO I. FUNDAMENTOSDEGEOMETRA.

LIBRO II.LGEBRAGEOMTRICA.

LIBRO III.TEORA DE CRCULOS.

LIBRO IV.INSCRIBIR YCIRCUNSCRIBIR FIGURAS.

LIBROV.TEORA DE LASPROPORCIONES ABSTRAC-

LIBROVI.FIGURAS SEMEJANTES YPRO-PORCIONES GEOMTRICAS.

LIBRO IX.TEORA DE NME-ROS.

LIBROX.CLASIFICACIN DE LOSINCONMENSURABLES.

LIBROXI.GEOMETRA DE LOSSLIDOS.

LIBROXII.MEDIDAS DE LASFIGURAS.

L I B R OXIII.SLIDOSREGULA-RES.LIBROVII.

FUNDAMENTOS DE LA TEORADENMEROS.

LIBROVIII.PROPORCIONES CONTINUASNUMRICAS.

8por Lolita Brain

La pasada semana explicamos la ciclpea labor de Euclides al escribir sus Elementos ycmo en esta obra fue capaz de sentar las bases de la Geometra que an hoy estudia-mos en el colegio, sobre cinco principios bsicos que l llam postulados y que hoy lla-mamos axiomas. De estos cinco principios obvios que no necesitan demostracin algu-na, el Quinto Postulado es, en relacin con los otros cuatro, muy complicado. En reali-dad, este axioma fue, 2.000 aos despus de que lo enunciara el gemetra de Alejandra,protagonista de la ruptura entre la Geometra de Euclides y la No-Eucldea. La respuestalleg en el siglo XIX y te la contaremos la prxima semana.

EL EXTRAOQUINTO AXIOMAEL QUINTO POSTULADO SEGN EUCLIDES

EQUIVALENTES ENUNCIADOS DEL QUINTO POSTULADO

UNA LARGA Y APASIONANTE HISTORIA

E uclides enunci su Quinto Postulado del siguientemodo: Si una secante corta a dos rectas formando aun lado ngulos interiores cuya suma es menor quedos rectos, las dos rectas, prolongadas indefinidamente,se cortan en el lado en que estn los ngulos menoresque dos rectos. Este axioma no era ni tan sencillo comolos otros cuatro ni satisfizo a Euclides, ni lo utiliz tanto.Por ejemplo, en las 28 primeras proposiciones de los Ele-mentos no lo utiliz. Sin embargo, resulta intuitivo paratodos, ya que viene a decir que existe una nica rectaparalela a otra que pase por un punto exterior. Acasonuestra intuicin no nos dice eso? Pero el problema esque Euclides nos dice que slo hay una paralela.

A lo largo de la historia se han proporcionado muchosenunciados que eran completamente equivalentes alQuinto Postulado, es decir, que si se acepta cualquie-ra de estos postulados se deduce el de Euclides y vice-versa. Aqu tienes algunos.

L a sospecha de que el Quinto Postulado no era tan evidente hizo que pronto despertara, encomentaristas de su obra y matemticos, la idea de que, siendo verdadero, era deducible de losrestantes cuatro axiomas. Dos cuestiones hacen complicado este axioma. Por un lado, que lasrectas son extensibles infinitamente y que por tanto, si dos rectas son paralelas, no tienen ningnpunto en comn. Nos resultar imposible saber si en su infinitud no llegan a tocarse en algn punto.

El que fuera papa Silvestre II cre uno delos primeros centros de enseanza occi-dentales, en Reims. En su Geometra, ltambin seala que las rectas paralelas

mantienen su distancia constante,es decir, son equidistantes. l nosaba que afirmar esto era afirmarel Quinto Postulado.

El astrnomo persa que trabaj para el nieto de Genghis Khan reali-z una versin de los Elementos. En ella demuestra el Quinto Pos-tulado diciendo que si un cuadriltero tiene ngulos rectos en A y D,entonces si B es agudo, el ngulo C debe ser obtuso. Tampocosaba que esto es equivalente al postulado que crea demostrar.

El astrnomo-poeta estudi el problema de las paralelas en su obraLa verdad de las paralelas y discusin sobre la famosa duda. En ellaestudia cuadrilteros como el de la imagen y acaba razonando quela distancia entre rectas paralelas ni se expande ni se contrae, quees lo que en verdad los filsofos creen.

1.- Una rectaparalela a unadada dista de ellauna longitudconstante.Proclo

2.-Existen tringulos seme-jantes pero noiguales, es decir,tringulos coniguales ngulospero lados proporcionales.Wallis

3.-Existe almenos un rectn-gulo, es decir, uncuadrilterocuyos ngulosson rectos. Saccheri.

4.-Una recta perpendicular aun lado de unngulo agudotambin corta alotro lado. Legendre

5.-La suma de lostres ngulos de untringulo suman180o. Legendre

Profesor de la Universi-dad de Oxford, tradujo allatn los textos de Nasir

al-Din. Dio una nueva interpretacin del Quin-to Postulado demostrando que dado un tringulo cualquiera siem-pre se puede construir otro con iguales ngulos y lados proporcio-nales. De nuevo, esto es equivalente al famoso postulado.

Estudi incansable-mente el problemade las paralelas des-

de 1794 hasta 1823. Lleg a resultados similares a los de Saccheri, perocomo el texto de ste no era muy conocido, su libro Elements de geomtriele proporcion un lugar en esta historia cuyo desenlace final te contaremosla semana prxima.

Escribi Die Theorie der Parallellinien en laque se pregunt si el Quinto Postulado se

poda deducir de los restantes o si haba que aadir nuevas hiptesis. Probun resultado de Geometra No-Eucldea segn la cual, si los ngulos de un tringulo midenmenos de 180o, entonces, cuanto ms crece el tringulo, menos miden sus ngulos.

El jesuita Sac-cheri proporcio-n un salto cua-

litativo en el problema de las paralelas. Supuso que el postuladoera falso, esperando encontrar de esta suposicin una contradiccin.Enseguida vio que en un cuadriltero como en la figura, los ngulos B yC no pueden ser obtusos. Supuso despus que eran agudos y pormucho que se empe no encontr contradiccin lgica alguna. Su con-vencimiento intuitivo de la verdad del postulado y lo errneo de algunasconclusiones a las que llegaba, le hizo desecharlas. En realidad fue elprimero en encontrarse con la Geometra No-Eucldea, pero el sentidocomn le hizo abandonarla.

PORTADA DE EUCLIDESAB OMNI NAEVO VINDICA-TUS. SACCHERI, 1733

s. X Gerberto

1697 Girolamo Saccheri

1766 Johann Lambert

1794 Adrien M. Legendre

s. XII

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Omar Khayyam

s. XIII Nasir al-Din al-Tusi

1663 John Wallis

Fue el primer comentador de laobra de Euclides. En su obraComentarios a Euclides pro-

porciona la primera demostracin errnea delQuinto Postulado. Fue el primero en suponer que si dos rectas sonparalelas mantienen su distancia constante.

s. V Proclo

por Lolita Brain

Como vimos la semana pasada, todos los intentos de demostrar el controvertido V Pos-tulado de Euclides resultaron fallidos hasta finales del siglo XVIII. Pero en el siguien-te siglo la matemtica asistir a una de sus primeras revoluciones. Tras ms de2.000 aos y por primera vez, la indiscutible verdad geomtrica de Euclides dejar pasoa un sistema geomtrico tambin axiomtico, lgicamente impecable pero intuitiva-mente difcil de asimilar. El hombre, no sin esfuerzos, tuvo que aceptar que hay otrosmundos posibles y que como dijo Gauss la necesidad fsica de nuestra Geometra Eu-cldea no puede ser demostrada al menos para la razn humana.

UNA REVOLUCINMATEMTICALA INTUICIN DE UN GENIO

C arl F. Gauss (1777 -1855) nopublic ningn trabajo definiti-vo sobre sus ideas acerca dela Geometra No-Eucldea pormiedo al ridculo, como l mismodijo. Sin embargo, con slo 17aos, le dijo a su amigo Schuma-cher que pensaba que podaexistir una geometra lgica en laque el postulado de las paralelasde Euclides no se cumpliera.Pero l continu intentandoencontrar una demostracin delfamoso postulado que hicieracompatible lo que l entendacomo la geometra de nuestromundo fsico, la eucldea. Desde1799 se tom en serio la imposi-bilidad de demostrar el V Postulado, y comenz a desarrollar lo que l llam Geometra Antieucldea oAstral. Su conclusin fue que era lgicamente posible esta otra geometra, aun cuando equipado con unteodolito se march a medir los ngulos del tringulo formado por los picos Brocken, Hohehagen e Insel-berg, buscando medidas que confirmaran que en efecto la suma de los ngulos de un tringulo es de 180o.Su suma excedi en 14o este valor, pero el propio error del instrumento le impidi concluir nada.

LA PSEUDOESFERA

EL MODELO DE POINCAR

E s importante destacarque ni Bolyai ni Loba-chevsky probaron quesu nueva geometra eraconsistente, es decir, queno contena ninguna con-tradiccin lgica. Pero locierto es que tampoconadie hizo lo propio con lateora de Euclides. Loscientos de aos de utiliza-cin de la geometra delalejandrino dejaban fuerade toda sospecha la posi-bilidad de que fuerainconsistente. La primerapersona que puso en paridad ambas teoras fue el ita-liano Beltrami, quien en 1868 encontr un modelo enel que los axiomas de Bolyai-Lobachevsky se satisfa-can. Encontrado un modelo, la consistencia estabagarantizada. Su modelo fue posteriormente com-pletado por Felix Klein.

L a Geometra No-Eucldea coincide comple-tamente en sus fundamentos con la de Eucli-des, excepto en el V Postulado. La hiperbli-ca sostiene que por un punto exterior a unarecta se pueden trazar infinitas rectas paralelas.Todos los teoremas de Euclides en los que estequinto axioma no interviene siguen siendo vli-

dos en la geometra hiperblica. En cambio, lasproposiciones de Euclides en las que intervieneeste postulado no son verdaderas en la geometrahiperblica. Por ejemplo, ahora los ngulos de untringulo no miden 180o, el rea de un cuadrado noes su lado al cuadrado, y un crculo no tiene desuperficie PI por el cuadrado de su radio.

La existencia de estos modelos es una pruebade la independencia lgica de los axiomas, esdecir, el V Postuladono puede demostrarse apartir de los otros. Esto no quiere decir que elespacio que nos rodea no sea eucldeo, sinoslo que, desde el punto de vista lgico,tiene igual coherencia la GeometraEucldea que la No-Eucldea.Nuestra vida cotidiana eseucldeapero elespaciorelati-vista no.

E l matemtico y fsicofrancs construy unoriginal modelo parala Geometra Hiperbli-ca del plano llamadoModelo de Poincar. Siconsideramos una cir-cunferencia C, los pun-tos de ese plano serantodos los puntos interio-res a dicha circunferen-cia sin considerar el bor-

de. Las rectas de dicho plano son los arcosinteriores de las circunferencias que cortan perpen-dicularmente a la circunferencia C y los dimetrosde C. Observa que en este modelo las rectas no sonrectas sino arcos. Pero en l se pueden trazar trin-gulos, paralelas, hacer simetras, etc. Es un modeloartificial de geometra en el que no se cumple el VPostulado de Euclides.

B eltrami encontr el modelo en unasuperficie de dos dimensiones inmer-sa en un espacio tridimensional eucl-deo. La superficie que cumpla los axio-mas era la pseudoesfera. Estasuperficie se obtiene por la rotacin de la

curva tractrix de la que ya te hemoshablado. Es una superficie de cur-

vatura constante, como la esfe-ra, pero negativa, es decir,

se curva hacia dentro.

C omo en muchas otrassituaciones, la respues-ta definitiva a las inquie-tudes de Gauss vinieronsimultneamente de dospersonas que no tuvieroncontacto. Un hngaro,Jnos Bolyai, hijo de Wol-fang Bolyai, amigo perso-nal de Gauss, public en1832 el ensayo de 26 pgi-nas La ciencia del espacioabsoluto como apndicede un libro de su padre, enel que present lo que lllam Geometra Absoluta.

Lobachevsky, un oficial ruso y rector de la universidadde Kazan, present sus puntos de vista en 1826 aldepartamento de su universidad, pero no fue tomadorealmente en serio. En1829 public el artculoSobre los fundamentos dela geometraen una revistade Kazan, por lo que notuvieron mucha difusinhasta que en 1840 publicsu libro en alemn Investi-gaciones sobre la teora delas paralelas. Llam a sugeometra Geometra Ima-ginaria. Ambos autoressuponen que el V Postula-do es falso y, buscandouna contradiccin que noexiste, se convencen deque una nueva teora esposible.

QU HAY DE NUEVO EN ESTA GEOMETRA?

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

NIKOLAI IVANOVICHLOBACHEVSKY1792 - 1856

Y NACI UNA NUEVA GEOMETRA

JNOS BOLYAI1802 - 1860

JULES HENRIPOINCAR

1854 - 1912

EUGENIO BELTRAMI1835 - 1900

LA NECESIDAD DE UN MODELO

Rectas delModelo dePoincar