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AULAD E E L M U N DO

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lolitabrain@hotmail.com

por Lol ita Bra in

Cuando hablamos de geometra enseguida nos vienen a la memoria cuerpos geom-tricos, medidas y clculos sobre ellas. Se nos hace difcil poder imaginar una geome-tra en la que no se mida y en la que los nmeros estn prcticamente desterrados.Pero esa geometra existe, no es un ejercicio de imaginacin. En realidad acab sien-do tan diferente a la geometra habitual que se denomin Topologa, que viene a signi-ficar algo as como el estudio de los lugares. En ella no importa si dos figuras tienen ono el mismo tamao o la misma forma para que sean estudiadas como una sola.

G E O M E T R AD E C H I C L E

Las primeras menciones histricas auna geom et r a s i n m ed i das , p ro -cede de Leibni tz quien la l lam

Analysis Situs (geom etra de p osicin).Sin embargo quien realmente propusotopolgicamen te -y resolvi- el prime rproblema topolgico de la historia fueel suizo Euler en un ar tculo de 1726.En l resolvi el famoso problema deLos puentes de Kninsgber g. Poste-riorme nte encontr la valiossima Fr-mula de Euler entre otros r esultados.

La c i udad a l em anade Kningsberg esmuy pe culiar: tiene

dos islas centrales so-bre e l r o Pregel quese unen a tierra firmepor sie te puentes. Elp rob l em a sug i e re l as i gu ien t e p regun t a :Es posible recorre rlos sie te puentes s inpasar dos veces por elmismo puen te? A pe-sar de que la pregun-ta par ece trivial, no loes en a bsoluto. Eulerse d io cuenta de quea u n q u e p a r e c e u nproblema de geome-

tra, por ningn lado intervienen distancias, longitudes o medidas. Obser v quelo importante era la re lacin existente entre los pun tos y los caminos.

La solucin de Euler es n egativa: NO esposible cruzar los siete puentes sin pa-sar alguna vez dos veces por el mismo

puente . De hecho su solucin es m uchoms gener al , ya que afi rma que en todografo en el que haya a lgn vrt ice en elque confluyan un nm ero i m par de ca -minos, no podr recorrerse sin pasar dosveces por el mism o sitio.

Apar t i r de un e s -quem a de l o spuen t e s , Eu l e r

estudi el grfico

ad j un t o , en e l quelos puentes son vr-tices de un NUDO, yl o s cam i nos sonS EGMENTOS DECUERDA. As e l

p rob l em a pasa -b a a s e r d e

pun t o s ys e g m e n -

t o s .H a b a

nacido laTeo r a de

Grafos.

La fam os s i m a F R MU L A D E E ULER , naci delestudio que r ealiz ste de los poliedros. Re-sulta curioso que habiendo sido estudiados casi

al completo por Arqumedes, nadie hubiera cadoen el resul tado. La frmula da una relacin en-tre el nme ro de vrtices, aristas y caras de los po-liedros. Despus se demostr que sirve para m u-chos ms cuerpos y que este valor depende del g -nero topolgicode la figura

Uno de los aspectos que estu dia la to-pologa es el INTERIOR y el EXTERIOR delos cuerpos. Por ejemplo, si trazas una

circunferencia, sta d ivide el plano en dospartes: una interior y otra exterior a la cur-va. Parapa sa rde un ladoal otro, es nece-sario cruzar la circunferencia. Sin emba r-go en m ultitud de ocas iones la intuicin nosenga a. Por ejemplo, todos diramos queun chaleco est dentro de una chaqueta,y que sin quitarse la chaque ta, es imposibledeshacerse del chaleco. Seguro? Echaun vistazo a la secuencia de la izquierda.Como ves el hbil mago, demuestra lo quela topologa ya sab a: que el chaleco nun-ca estuvo en el interior de la chaqu eta.

LEONARDEULER(1707-1783)

F I G U R A S H O M E O M O R F A S

Una de las ideas fundam entales de la topologa es la idea de figuras HOMEOMORFAS. La idea intuitiva es

sencilla. Puesto que esta rama de las matemticas estudia una geometra en la que lo importante sonlas posisiciones re lativas entr e los puntos de los cuerpos , es claro que si imaginamo s los objetos geo-mtricos fabricados con plastilina, las deformaciones que h agamos con ellos -por estiram iento o com-pactamiento pero sin rotura- generan nuevos cuerpos en los que los puntos que estaban prximos en-tre s siguen estndolo. Para la topologa esos cuer pos son iguales y se les denomina h omeomorfos .

O R I E N T A C I N

LO S P UE NT ES D E KNINSBERG

Otro de los problemas qu e estudia la topo-loga es el de la orientacin de los espacios.La orientacin topolgica recoge la misma

idea que tene-mos todos: ha-bla de izquierday derecha o arri-ba y abajo. Peroen topologa seestudian cuer-pos asombrososen los que la de-recha puedeconvertirse e n laizquierda: porejemplo la Cin-ta de Mbius dela derecha es unespacio en elque una mano-pla diestra, trasrecorrer la cintacompletamente,se convierte enuna m anopla iz-

quierda slopor cambiar desitio en la cinta!.Asombroso.

Frmula de Euler

G N E R O 0

G N E R O 2

G N E R O 1

DODECAEDROCARAS (12) + VRTICES(20)= ARISTAS (30)+ 2

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AULADE EL M UNDO

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S U M A J E S T A D

E L T R I A N G U L O

por Lolita Brain

Partimos de un tringulocualquiera. Puedes dibujartres puntos y unirlos porsegmentos.

S o b r e

cada lado,levanta unt r i n g u l oe q u i l t e r o(con los tres la-dos iguales). Cadalado medir lo mis-mo que el correspon-diente lado de partida.

L A F R M U L A D E H E R N

HERNDEALEJANDRA(sobre 10 - sobre 75) , tambinconocido por Hero, fue un brillante gemetra que

vivi en Alejandra, Egipto.Adems de obtener importantes resultados sobreGeometra e Hidrodinmica, es muy famoso por ha-ber proporcionado una frmula sencilla para cal-cular la superficie de un tringulo conociendo lalongitud de sus lados.

T

odos conocemos

la frmula paracalcular el rea deun tringulo queafirma que sta esigual a la mitad delabase por la altu-ra. Sin embargo,en la prctica, mu-chas veces los da-tos de los que sedispone son laslongitudes de loslados y no la altu-ra del tringulo,que se ha de cal-cular con el Teo-rema de Pitgo-ras, por ejemplo.

H

ern encontr y demos-

tr, su frmula que per-mite conocer al rea de

un trin-g u l o

con slo sus lados. Para

ello calculamos el PERME-TRO del tringulo suman-do las longitudes de lostres lados. Su mitad es loque se llama el SEMIPER-METRO (S). Ahora, resta-mos al semipermetrocada uno de los lados (S-

a, S-b y S-c). Multipli-camos los cuatro

nmeros obteni-dos (S, S-a, S-b. S-c). El readel tringuloes la raz cua-drada de esteresultado. Nolo olvides!

PUEDE CONSTRUIRSESIEMPRE UN TRINGULO?

N

apolen Bona-

parte es pro-bablementemuy conoci-do para ti.Pero es casiseguro queno tienesni idea deque esaunqueeste extre-mo no estd e b i d a -mente con-f i r m a d o autor denada menosque de un teo-

rema sobre...tringulos: el TEO-REMA DE NAPOLEN, que te con-tamos a continuacin.

PIERRE FERMAT (1601-1665),de quin te hemos habla-do en varias ocasiones,

discurri el siguiente pro-blema. Comenzando conun tringulo, dibuja unpunto cualquiera P, ensu interior. Desde lpuedes trazar unsegmento que lo una a cada vrtice del tringulo

(a, b, c). Y podemos sumar las longitudes de esos tres seg-

mentos (a+b+c). Fermat se preguntCul ser el punto que debemos escoger

para que la suma esos tres segmentos sea

la menor posible? Fermat demostr que esepunto, llamado PUNTO DE FERMAT, se obtienedel siguiente modo: levanta un tringulo equi-ltero sobre cada lado del tringulo inicial. Unecada vrtice externo de estos tringulos, con el

vrtice opuesto del tringulo incial. El punto en el quese cortan esos tres segmentos, es el Punto de Fermat, yes quel en el que la suma a+b+c es mnima.

Una de las cuestiones ms sim-ples sobre el mundo de los trin-gulos, aunque suele pasar desa-percibida, es la siguiente: Contres segmentos cualesquiera,se puede construir siempre untringulo ?La geometra nos da la respues-ta precisa a esta cuestin, enun-ciando que:Tres segmentos pueden formarun tringulo si se cumplen lasdos condiciones siguientes:1.- La suma de la longitud de doslados ha de ser mayor que lalongitud del tercero.2.- La diferencia de la longitudde dos lados ha de ser menorque la longitud del tercero.

Si tres segmentos cumplen es-tas dos propiedades, se podrconstruir un tringulo con ellos.Si no, no ser posible.

E n -cuen-tra elBARICEN-TROde cadat r i n g u l o

uniendo cadavrtice con lamitad del ladoopuesto.

Un el o stres BA-R I C E N -TROS en-contrados.N a p o l e nafirma que este

tringulo esequiltero aun-que el de partidano lo sea.

El TRINGULO DE SIERPINSKI, unmatemtico polaco, es un con-

junto geomtrico que se basa

en el tringulo y que es un frac-tal de los llamados determinis-tas. Se puede construir de la si-guiente forma.Comienza con un tringuloequiltero. Encuentra elpunto medio de cadalado. Borra el tringu-lo que queda en elcentro. Con cadauno de los trestringulos quehas obtenido,repite el pro-ceso para bo-rrar otrostres trin-gulos, yc r e a r

nueve. Se contina el procesotantas veces como se desee.

El conjunto de Sierpinskison los puntos que es-

tn en todos lostringulos as

formados.

Es, en esencia, la figura plana ms sencilla que existe. El tringulo pasa porser el origen de casi todo lo plano y, por extensin, de lo espacial. Por

eso, si hay una figura que haya sido estudiada hasta la saciedad, sa esel tringulo. Teoremas referidos a ellos se cuentan a cientos, y es que esraro no toparse con uno de frente. Por ser famosos los tringulos, hastaun sector de los nmeros decidi formar el grupo de los autollamadosnmeros triangulares. Son tan diferentes unos de otros, y simultaneamentetan parecidos, que se afanan por encontrar su propia identidad. As los trin-gulos rectngulos se ufanan de ser los nicos tringulos pitagricos, y aun-que las excelencias de la belleza se hayan ido para los equilteros, losobtusngulos no dejan de reivindicar su personalidad.

WACLACKSIERPINSKI(1882-1969)

lolitabrain@hotmail.com

8 Cm 10 Cm

12 Cm

2S= 8+10+12=15

AREA= 1575 = 39,6 Cm

15 - 8 = 715 - 10 = 515 - 12 = 3

15X 7X 3X 5 =1575

E L T E O R E M A D E N A P O L E N

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En Geometra, la figura ms simple imaginable es el tringulo. Y como tal, es sin duda elrey de los polgonos. Casi todo es reducible a tringulos, de modo que es una de las herra-mientas ms poderosas de la Geometra y, por tanto, conocerlos ha sido y sigue siendomuy interesante. Gracias a los tringulos pudimos medir la Tierra, calculamos la distancia aMarte o sencillamente, articulamos una gra.

por Lo lita Brain

www.lolitabrain.com

LOS CENTROSDEL TRINGULO

LAS ALTURAS Y EL ORTOCENTRO

Las mediatrices pasan por el punto medio (T)de cada lado (AB) y adems sonperpendiculares a l. Todos los puntos de unamediatriz estn a la misma distancia de losvrtices del lado correspondiente. Estas rectasse cortan en el circuncentro (O). Como O distalo mismo de A que de B (est en la mediatriz deAB) y est a la misma distancia de A que de C(est en la mediatriz de AC) es el centro de lacircunferencia circunscrita, que pasa por A, B yC, y contiene al tringulo.

Si trazamos una recta perpendicular a un ladode un tringulo (AB) que pase por el vrticeopuesto (C), tenemos una altura. Mide ladistancia que separa a un vrtice del ladoopuesto y ser fundamental para calcular elrea del tringulo.Trazadas las tres alturas de un tringulo,stas se cortan en un punto denominadoortocentro, que no siempre est en su interior.

Si trazamos rectas que unancada vrtice (A) con el PUNTOMEDIO de cada lado opuesto (X),obtenemos las medianas.Observa que si el tringulo esequiltero, sus tres medianasson sus ejes de simetra. Lastres medianas se cortan en unpunto muy importante llamadobaricentro o centroide (G).

El baricentro es el centro del tringulo.Tambin se denomina centro de masas y tieneimportancia en dinmica. Por ejemplo, untringulo soportado sobre su baricentropermanece estable. Es su centro de equilibrio.

La razn es que una medianadivide en dos partes iguales atodas las rectas paralelas al ladocorrespondiente. As, cadamediana es como una hoja deafeitar que diseccionara altringulo. De este modo,el baricentro debeser el punto deequilibrio.

Cuando se trazan las medianas, el tringulooriginal queda dividido en cuatro tringulosmenores y semejantes. El tringulo centralse llama auxiliar. Sus medianas son lasmismas que las del inicial.Este proceso se puede repetirinf initamente para crear unacoleccin de tringulos semejantesencajados unos en otros.Todos tienen un nico puntoen comn: el baricentrodel primer tringulo.

EL BARICENTRO COMO CENTRO DE MASASLAS MEDIANAS Y EL BARICENTRO

Si unimos los puntos RPQ, en los que las alturascortan a cada uno de los lados, obtenemos otrotringulo. El tringulo rtico. Este polgono tieneuna propiedad muy importante: es el menorcamino para ir desde uno de los lados a los otrosdos. Por ello, si el tringulo fuera especular, unrayo emitido desde R se reflejara continuamentepor el camino RPQ-RPQ-RPQ...

EL TRINGULO RTICOLAS MEDIATRICES Y EL CIRCUNCENTRO

Algunas veces lo ms sencillo permanece oculto durantesiglos. Si bien el tringulo y sus centros se estudian desdeque existe la matemtica, fue el genial Leonard Euler(1713 -1789) el primero en darse cuenta de que elortocentro, el baricentro y el circuncentro estn en lamisma recta: la recta de Euler.

LA RECTA DE EULER

En todo tringulo estdefinida una circunferenciamuy especial. Pasa nadamenos que por nuevepuntos particulares:

Los tres vrt ices deltringulo auxiliar XYZ.Los tres vrt ices deltringulo rtico PQR.Los puntos medios de lossegmentos que unen elortocentro y los vrtices(HA, HBy HC).

Su centro Nes el circuncentro

del tringulo rtico.

LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS

AULAD E E L M U ND O

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por Lo lita Brain

La Matemtica y la Fsica van de la ma no muchas veces. Cua ndo es tudiamos el compor-

tamiento de los cuerpos bajo la accin de la gravedad, o nos interesa estudiar el modo en

que se produce n las rotaciones, o si queremos cono cer el comportamiento en el equilibrio

mec nico d e los objetos, estas dos disciplinas son ntimas : la geo metra d e los cuerpos

determina su comportamiento en estos fenmenos. Uno de estos conceptos geomtricos

de las figuras es e l baricentro, un punto q ue sustituye terica mente toda una ma sa distri-buida en un volumen y nos permite considerar el cuerpo c omo un solo punto.

EL EQUILIBRADOBARICENTROEL BARICENTRO

UN PUNTO PARA UN CUERPO

EQUILIBRIOS INVEROSMILES

El tringulo e s el pol-

gono ms sencillo

que existe. De sus

muchos puntos nota-

bles, el baricentro es

fundamental. Se trata

de un punto interior en

el que puede suponer-

se que se halla toda la

masa del tringulo. Se

obtiene como punto en

el que se cortan las

MEDIANAS del tringulo,

que son los segmentos

que unen cada vrtice

con el punto medio dellado opuesto. Es su

centro d e e quilibrio.

Todos sabemos q ue cuando

un objeto ca e ba jo la acc in

de la gravedad describe

una parbola. Sin embargo

cuando el cuerpo no es de for-ma esfrica e s d ifcil ver dicha

parbola. Y es q ue el cuerpo

no la des cribe, q uien lo hace

es su centro de gravedad. El

cuerpo del saltador de tram-

poln se tuerce sobre su eje,

pero si resaltamos su centro

de g ravedad veremos q ue las

distintas posiciones dibujan

una parbola. La maza del

malaba rista o de la ma jorette,

cuando es lanza da a l aire y se

deja c aer libremente, tambin

debe ra d escribir una parbo-

la. En cambio lo que vemos es

una sucesin de giros sobre

su eje en su cada. P ero si mar-

camos s u centro de g ravedad,

su centro geom trico en este

caso, y realizamos mltiplesexposiciones fotogrficas de

la cada, comprobaremos que

El equilibrio estable de un cuerpo depende de la posicin relativa que exista

entre el C.G. y el punto, lnea o plano sobre el que s e apo ya u os cila e l cuerpo.

Si el centro de gravedad queda por debajo del punto de apoyo e ntonces el

sistema es t en e quilibrio. La bicicleta d e la image n tiene un g ran peso sujetado

inferiormente a ella. C on ello se consigue q ue el C.G. del sistema q uede por de bajo de la cuerda s obre la que la bicicleta se ma ntiene en equilibrio. El sistema de

tenedores de la imag en de la izquierda est e n equilibrio porque s u C.G. e st por deb ajo del punto de contacto con el palillo en el que s e sustenta.

sea o no tringulo.Para localizarlobasta con colgarde un hilo un trin-gulo de cartn,madera u otromaterial, de cadauno de sus vrti-ces. Trazamos las

rectas vertica-les cuandoest enequilibrio yobtenemoslas medianas.Su punto decorte es elbaricentro.

Cuanto ms cerca del apoyo

se encuentre el C.G. m s

estable es el equilibrio. Las

gimnastas lo consiguen

bajando las piernas.

La gravedad nospermite localizar elbaricentro ya quetambin es el llama-doCENTRODEGRAVE-DAD(C.G.) o puntoqueresume toda lafuerza gravitatoriasobre un objeto,

el C.G. des cribe una pa rbola como s i toda la ma za es tuviera conc en-

trada en dicho punto. De es te modo, para es tudiar el movimiento deobjetos complejos, no s limitamos a estudiar el movimiento d el C.G. del

sistema.