por Lolita Brain

A pesar de parecer una disciplina infalible e incluso dogmática, la matemáti-ca, su significado, su aplicabilidad al mundo real, su esencia y su origenhan sido tema de debate intenso en todos los tiempos. Los grandes mate-máticos han reflexionado siempre sobre lo que la matemática es y significa.Hemos seleccionado unas reflexiones de famosísimos matemáticos de to-dos los tiempos en las que trasmiten su preocupaciones y sus convencimientossobre estos temas. Verás que en el debate aparece la pregunta de siempre desi el mundo es como es, o si es así sólo porque es como lo percibimos.

lolitabrain@hotmail.com

“HAY UNA AR-

MONÍA OCULTA,

INHERENTE A LA

NATURALEZA,

QUE SE REFLEJA

EN NUESTRAS

MENTES BAJO LA

IMAGEN DE SIM-

PLES LEYES MA-

T E M Á T I C A S .

ÉSTA ES LA RA-

ZÓN POR LA QUE

LOS FENÓMENOS

DE LA NATURA-

LEZA SON PRE-

DECIBLES ME-

DIANTE UNA COMBINACIÓN DE OBSERVACIONES

Y ANÁLISIS MATEMÁTICO. UNA Y OTRA VEZ EN

LA HISTORIA DE LA FÍSICA ESTA CONVICCIÓN, O DE-

BERÍA DECIR ESTE SUEÑO, DE ARMONÍA EN LA NA-

TURALEZA HA CONSEGUIDO LOGROS MÁS ALLÁ DE

NUESTRAS EXPECTATIVAS”. HHEERRMMAANNNN WWEEYYLL

((11888855 -- 11995555))..

“NO TEMA PROCLAMAR POR DOQUIER

QUE DIOS ESTABLECIÓ ESTAS LEYES EN

LA NATURALEZA DE LA MISMA FORMA QUE

UN SOBERANO DICTA LEYES EN SU REINO.

Y ASÍ COMO UN REY TIENE MÁS MAJES-

TAD CUANTO MENOS CONOCIDO FAMI-

LIARMENTE ES POR SUS SÚBDITOS, ASÍ

NOSOTROS TAMBIÉN JUZGAMOS LA GRAN-

DEZA DE DIOS COMO INCOMPRENSIBLE Y

NO PENSAMOS QUE CARECEMOS DE REY.

OS DIRÁN QUE, SI DIOS ESTABLECIÓ

ESTAS VERDADES, PODRÍA CAMBIARLAS,

LO MISMO QUE UN REY CAMBIA SUS

LEYES; A LO QUE RESPONDERÉIS QUE,

EFECTIVAMENTE, ES POSIBLE SI SU

VOLUNTAD PUEDE CAMBIAR. PERO YO

CONSIDERO ESAS VERDADES COMO ETER-

NAS E INMUTABLES LEYES”. RREENNÉÉ DDEESS--

CCAARRTTEESS ((11559966 -- 11665500)) CCAARRTTAA AALL PPAADDRREE

MMAARRIINN MMEERRSSEENNNNEE ((11663300))

“CUANDO ESCRIBÍ MI TRATADO SOBRE NUESTRO SISTE-

MA, TENÍA PUESTA LA ESPERANZA EN QUE TALES PRINCI-

PIOS AYUDARAN A LOS HOMBRES A CREER EN DIOS; Y

NADA ME REGOCIJA MÁS QUE ENCONTRARLOS ÚTILES

PARA ESTOS PROPÓSITOS”. SSIIRR IISSAAAACC NNEEWWTTOONN ((11664433 --

11772277)) EENN CCAARRTTAA AALL RREEVVEERREENNDDOO RRIICCHHAARRDD BBEENNTTLLEEYY..

“CARECEMOS EN NUESTRO

CONOCIMIENTO DEL ESPACIO,

DE LA COMPLETA CONVICCIÓN

DE LA NECESIDAD DE NUES-

TRA GEOMETRÍA (Y TAMBIÉN

DE SU ABSOLUTA VERDAD),

QUE ES COMÚN A LAS MATE-

MÁTICAS PURAS; DEBEMOS

AÑADIR HUMILDEMENTE, QUE

SI EL NÚMERO ES EXCLUSIVA-

MENTE UN PRODUCTO DE

NUESTRA MENTE, EL ESPACIO

TIENE UNA REALIDAD FUERA

DE ELLA Y NO PODEMOS PRES-

CRIBIR COMPLETAMENTE SUS

LEYES”. CC.. FFRRIIEEDDRRIICCHH GGAAUUSSSS

((11777777-- 11885555)) DDEE UUNNAA CCAARR--

TTAA AALL FFÍÍSSIICCOO BBEESSSSEELL,, 11883300..

“NO DEBEMOS OLVIDAR JAMÁS QUE [...] TODAS LAS CONSTRUCCIONES

MATEMÁTICAS, NO SON MÁS QUE NUESTRAS PROPIAS CREACIONES”..

CC.. FFRRIIEEDDRRIICCHH GGAAUUSSSS ((CCAARRTTAA AA BBEESSSSEELL,, 11881111))..

“EN LA MEDIDA EN QUE LAS PROPOSICIONES DE LAS

MATEMÁTICAS DAN CUENTA DE LA REALIDAD, NO SON

CIERTAS; Y EN LA MEDIDA EN QUE SON CIERTAS, NO

DESCRIBEN LA REALIDAD... PERO ES CIERTO, POR OTRA

PARTE, QUE LAS MATEMÁTICAS EN GENERAL, Y LA GEO-

METRÍA EN PARTICULAR, DEBEN SU EXISTENCIA A

NUESTRA NECESIDAD DE APRENDER COSAS ACERCA DE

LAS PROPIEDADES DE LOS OBJETOS REALES”. AALLBBEERRTT

EEIINNSSTTEEIINN ((11887799 --11995555)) EENN AASSPPEECCTTOOSS DDEE LLAA RREELLAATTII--

VVIIDDAADD ((11992211))..

“PODEMOS CONSIDERAR EL ESTADO

PRESENTE DEL UNIVERSO

COMO EL EFECTO DE SU

PASADO Y LA CAUSA

DE SU FUTURO. UNA

INTELIGENCIA QUE

EN UN MOMENTO

DADO CONOCIE-

RA TODAS LAS

FUERZAS QUE

ANIMAN LA

NATURALEZA

Y LAS POSI-

CIONES MU-

TUAS DE LOS

SERES QUE LA

COMPONEN. SI

ESTA INTELI-

GENCIA FUERA

LO SUFICIENTE-

MENTE PODEROSA

COMO PARA SOMETER

TODOS LOS DATOS AL

ANÁLISIS, PODRÍA CONDEN-

SAR EN UNA ÚNICA FÓRMULA EL MO-

VIMIENTO DE LOS GRANDES

CUERPOS DEL UNIVERSO Y

EL DE LOS MÁS LIGEROS

ÁTOMOS: PARA UNA

INTELIGENCIA DE

ESTE TIPO NADA

PODRÍA SER IN-

CIERTO, Y EL FU-

TURO, EXACTA-

MENTE LO MIS-

MO QUE EL

PASADO, ESTA-

RÍA PRESENTE

ANTE SUS

OJOS”. PPIIEERRRREE--

SSIIMMOONN LLAAPPLLAACCEE

((11774499 --11882277)),,

padre de la quí-

mica, y agnósti-

co, rechazaba cual-

quier creencia en

Dios como matemático

y arquitecto del universo.

DDeessccaarrtteess,, aa ppeessaarr ddee sseerr uunn hhoomm--

bbrree mmuuyy ppiiaaddoossoo,, aaqquuíí nniieeggaa llaa iiddeeaa

ddee qquuee DDiiooss ppuueeddaa iinntteerrvveenniirr ccoonnss--

ttaanntteemmeennttee eenn eell ffuunncciioonnaammiieennttoo

ddeell mmuunnddoo,, ddoottaannddoo ddee vvaalloorr ssuu--

pprreemmoo llaa iinnvvaarriiaabbiilliiddaadd ddee llaass llee--

yyeess nnaattuurraalleess..

y añadía a continuación, en una de sus más

célebres frases sobre la ciencia:

NN EE WW TT OO NN PP OO RR WW II LL LL II AA MM BB LL AA KK EE

“Surge aquí un enigma que ha inquietado a los cien-

tíficos de todas las épocas. ¿Cómo es posible

que las matemáticas, un producto del pensa-

miento humano que es independiente de la

experiencia, se acomode tan extraordinaria-

mente a los objetos de la realidad física? ¿Pue-

de la razón humana, sin la experiencia, des-

cubrir mediante el pensamiento puro pro-

piedades de las cosas reales?”

AULADE EL MUNDO

8

“EN CUALQUIER TEORÍA PARTICULAR SÓLO HAY DE CIENCIA REAL LO QUE HAYA DE MATEMÁTICAS”. IINNMMAANNUUEELL KKAANNTT ((11772244--11880044))

LAS MATEMÁTICASY LA REALIDAD

La aritmética con números naturales no sólo nos sirve para contar, también la di-versión parece estar entre los números. A medio camino entre la magia y larealidad, no es difícil penetrar en la mente de un amigo y, con sencillas opera-ciones, conseguir desvelar el misterio de un número que el otro habrá pensa-do y que, como no, pensará que sólo en su mente está. Te proponemos cincojuegos de adivinación que Harry Potter nos desveló.

por Lolita Brain

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¿MAGIA MATEMÁTICA O LÓGICA NUMÉRICA?

Harry, he obtenido 63, ycomo puedes ver, por supuesto

que sécalcular.

Draco, piensados dígitos que desees.Voy a adivinarlos si tú tedejas. Para ello multipli-

ca por dos el primerode los dos númerosque has pensado ysúmale ocho alresultado.

Mi querido Draco: ¡los númerosque tú pensaste son el seis y el tres!

¿A que sí?

Si erescapaz Draco,cosa que dudo,suma el segun-do número quepensaste y res-ta 40. Dime elresultado.

Toma el número de tu calzado y que multiplicarlo por dos tendrás.

Suma tres al resultado.Para multiplicar el resultado

por 500 quizá una calculadora tendrás que utilizar.

Si tu edad conoces, súmala al númeroanterior.

Extraña resta te obligo a realizar, pues 2.620 tendrás que quitar.

Dime el resultado, que seguro que cincocifras tendrá.

Si 1.120 sumo a tu número, la magia de los números

la respuesta deseada me proporcionará.Pues a la izquierda tu calzado estará.Un cero en el centro resultado habrá.Y a la derecha sólo tu edad quedará.

42x2=84

84+3=87

87x500=43500

43517-2620=40897

43500+17=43517

40897+1120=42017

La edad de tu madre has demultiplicar por diez. Fácil es,pues sólo un cero añadirdeberás. (520)El número de tus hermanos, donde has deincluirte tú, sólo por nueve multiplicarhabrás de.(27)Resta del primer cál-culo el segundo, queseguro que menor

será. (520-27=493)Al decirme este número

la respuesta me darás:49+3=52 es la edad de tu

madre y tú, tres hermanos ten-drás. ¿A que sí?

HARRY POTTER ADIVINA LA EDAD DE TU MADRE Y EL NÚMERO DE HERMANOS

Sólo de tres cifras un número debes pensar.Sin darle la vuelta a su lado pondrás.Múltiplo de siete siempre resultará.Así que con la calculadora dividirlo por siete exactamente siemprepodrás.De nuevo por once dividirlo podrássin que resto alguno que-de al final.Por último, más difícil,entre trece dividirásnada quedará de restoy aun es más, el cocienteque tengas el número original será.

325

32532546475

4225325

00

0

7

13

325325

1111

Un número no capicúa por pensar empezarás.No me lo digas pues adivinar tus cuentas voy a.

Cambia el orden de sus cifras para que vuelto del revés sea ahora.Uno más grande que el otro será.

Resta del mayor el que sea más pequeño de los dos.Una vuelta más, al resultado anterior tendrás que dar.

Derecha a izquierda, izquierda a derecha. El del centro en su sitio deberá estar.

Los dos invertidos anteriores sumarlos tendrás. Mi magia me dirá qué resultado obtendrás:

pues 1.089 siempre sacarás.

HARRY POTTER ADIVINA TODOS LOS CÁLCULOS QUE TÚ REALIZAS

Ahora por cin-co este núme-ro lo has de multiplicar(...seguroque le sale 100,pero él no losabe)

Qué sencillo,me salió 100

pero Harry seguroque no losabe

¡Harry se cree muy listo! (es 20 miresultado)

APUESTO DRACO, QUE ADIVINO TU PENSAMIENTO

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LA MAGIA DEL SIETE, EL ONCE Y EL TRECE LA RESPUESTA ME DA

NI TU ZAPATO NI TU EDAD TIENEN SECRETOS PARA MÍ

AULADE EL MUNDO

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EL BUSCADOR DE PLATA LA DESAPARICIÓN DEL CUADRADO

SIN TIEMPO PARA ESTUDIAR

BEN-IBRAH, EL INGENIOSO AMANTE

Los divertimentos de lógica encierran algunas veces profundos conceptos o necesi-tan de métodos especiales para resolverlos. Otros, en cambio, sólo encierran unengaño en sus palabras. Hemos seleccionado cinco problemas de lógica: dos con-tienen un truco y no son ciertos, uno es un modélico ejemplo de pensamiento lateralque da la vuelta al problema suscitado. El problema del minero de plata encierra laaritmética binaria y por último reseñamos un ejemplo de la reorganización geométri-ca. ¡Que te gusten y los resuelvas!

por Lolita Brain

VERDAD Y TRUCOEN LOS ACERTIJOS

Un empobrecido buscador de plata, sólotenía una barra de este metal de 31 cm.Ante la exigencia de su casera de no darle

más crédito y de tener que pagar cada día elprecio de la renta, el minero le propuso losiguiente. Como estaban en marzo, cortaría labarra en 31 trocitos. Cada día le daría uno a lacasera y al llegar al 31, si tenía el dinero de larenta, ella le devolvería la barra de plata enpedazos. Hacer los 31 trozos era muy laborio-so, por lo que el minero pensó que podría solu-cionar su problema con menos cortes. Porejemplo, podría hacer 2 cortes de 1 cm y otrode 2. Los dos primeros días entregaría una delas partes de 1 cm y el tercero daría a la caserala de 3 cm, que le devolvería los dos de 1 cm.Se preguntó entonces,¿cuál será el mínimonúmero de cortesque deberérealizar a labarra?

Alberto, un mal estudiante de E.S.O., fue inquirido por sus padres para que les expli-cara a qué eran debidos los malos resultados en sus evaluaciones. Alberto,que era más listo de lo que sus padres imaginaban, les contestó: “Mirad, el

problema es que no me queda tiempo para estudiar. Si hacemos cuen-tas sobre el tiempo que invierto en algunas actividades, lo compren-deréis. Duermo ocho horas diarias, lo que suponen 122 días alaño; no hay clases los sábados ni domingos, que hacen untotal de 104 jornadas; y en verano hay vacaciones a lo largo de60 días. Necesito tres horas diarias para comer, lo que suponenmás de 45 días completos al año, y si ponemos dos horas paraocio, me dan algo más de 30 jornadas. Total, estas actividadessuman 361 días en un año. Como veis, el problema es que no me que-da tiempo ni para ir a la escuela. Los padres de Alberto quedaronboquiabiertos, preguntándose ¿cómo es posible que vaya a clase si elpobrecillo no tiene tiempo?

El menor número posible de trozos que han deefectuarse en la barra de plata son cinco. Hande medir exactamente 1, 2, 4, 8 y 16 centíme-tros cada uno. Ellos le bastarán para poderpagar a su casera los 31 días de marzo. Porejemplo, el día 17 le entregará los trozos de1+2+4+8 y la casera le devolverá la parte de16 cm del día anterior. Este procedimiento sebasa en el sistema de numeración binario que

usan los ordenadores.

Al cambiar de lugar las piezas 2 y 3, cada uno de los cuadradospequeños que se han cortado se hacen un poco más altos queanchos. Así, el cuadrado final no es realmente perfecto. Su altura seha incrementado para aumentar en superficie tanto como el cua-dradito azul que aparentemente ha desaparecido.

El truco del engaño consiste en que algunas de lasactividades que menciona Alberto se solapanen el tiempo y se cuentan dos veces en elcómputo total. Por ejemplo, de los122 días al año que duerme, bue-na parte de ellos correspon-den a su periodo devacaciones; duranteestos días tam-bién duerme ycome, etc. Así,Alberto contabilizavarias veces losdías, motivo por elque no le quedatiempo para ir alcolegio.

Paul Curry, ciudadano neoyorqui-no, inventó un curioso problemade geometría. Tomando un cua-

drado de cartulina como el de la pri-mera figura de la derecha, propusoque se recortaran las piezas segúnse indica. Reorganizando las mis-mas partes, pero ahora según lasegunda figura, se obtiene un nuevocuadrado al que le falta un pequeñocuadradito azul. ¿Dónde ha ido aparar dicho cuadrado? ¿Hay trucoo es verdad esta ‘desintegración’de parte del cuadrado?

Cuenta una vieja leyenda que Yusuf, emir deDamasco, deseaba impedir la boda de su hijaShafila con Ben-Ibrah, un pobre comerciante

del que ella estaba perdidamente enamora-da. Yusuf se negaba repetidamente a lapetición de Shafila, pero ante su insis-tencia convino en darle una oportuni-dad. De este modo les propuso queél escribiría en dos trozos de perga-mino las palabras ‘boda’ y ‘destie-rro’. Ben-Ibrah escogería del tur-bante del emir uno de los dospergaminos. Su destino quedaríamarcado por la palabra del trozo queescogiera al azar. Yusuf, que no iba a

consentir que su hija se saliera con la suya, escribióen ambos la palabra ‘destierro’. Pero el comerciante,

que aunque pobre, no era ingenuo, imaginóla treta del emir. Claro, no podía decirlo

y dejarle en evidencia delante de sucorte, y por otro lado, sólo desea-

ba su boda con Shafila. La prue-ba se realizó y al cabo de unosdías, Ben-Ibrah y Shafila dis-frutaban felices de una maravi-llosa fiesta de boda. ¿Quépudo hacer el comerciantepara escapar de la trampa de

Yusuf?

El exigente y lógico teniente deartillería británico Smith siem-pre ponía a prueba a sus subor-

dinados. En una ocasión, habien-do caído enfermos algunos de lossoldados de un batallón, sólo 17 sepresentaron a la habitual revistamatutina. A Smith sólo se le ocurrió increparal sargento McCormitt:- ¡Forme a estos soldados en cua-tro filas de cinco personas cadauna!- Pero señor, si son sólo 17. No es

posible -le contestó el sargento.-Usted estudió geometría en la Aca-demia. Cumpla mis órdenes o seatendrá a las consecuencias -le res-pondió el teniente malhumorado.McCormitt se quedó pensativo unrato y al final, respondió:- A sus órdenes mi teniente.Y en un instante formó a los 17 sol-dados según las órdenes recibidas.

¿Cómo organizó McCormitt a subatallón para cumplir las órdenesde Smith?

Ben-Ibrah pensó: “Seguro que el emir ha escrito enambos pergaminos la palabra ‘destierro”. Pero si lodigo en público quedará como un tramposo y mehará desterrar igualmente por haberle ofendido”. Asíque no podía tomar un trozo y mostrarlo. Tomó unode los pedazos, lo leyó para sí y acto seguido,gritando de júbilo a Shafila, lo rompió enmil pedazos.

-Mi querida Shafila, tu padre mostrará a todos el tro-zo que él tiene. ¡Alá ha querido que nos casemos!Para no quedar como un tramposo, el emir no tuvomás remedio que mostrar el pergamino que queda-ba en su turbante, que él bien sabía que tenía escrita

la palabra ‘destierro’. Por tanto, Ben-Ibrah sólopudo haber elegido el que tenía escrito

‘boda’.

EL LÓGICO SARGENTO McCORMITT

por Lolita Brain

Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

U n granjero tie-ne 30 cerdos,20 caballos y

50 vacas. Si lla-mamos vacas alos caballos,¿cuántas vacastendrá estegranjero?

E n cierta ocasión, el famoso detective belga creado por Agatha Christie, HerculesPoirot, fue llamado para dilucidar un envenenamiento ocurrido en el transcursode una fiesta. Al parecer, el asesino colocó el veneno en la última copa de la que

bebió Sir John de Lancaster. Con la confusión de su repentina muerte, nadie podíaasegurar cuál era esa trágica copa, en la que pudieran hallarse huellas del asesino.Hacer examinar todas y cada una de las copas era un proceso muy costosoademás de lento. Con la inteligencia que le caracteriza, Poirot contó las copasque había en el salón y dijo escuetamente al anfitrión:- Sir Harris, tenga la amabilidad de escoger una copa cualquiera de las que estána su alrededor y llevémosla a analizar.- Pero así desperdiciaremos un análisis -replicó Sir Harris. - Le puedo asegurar que no haremos ni uno más ni uno menos de los que hayque hacer: analizando exactamente ocho copas sabremos de la que bebió SirJohn.Unas horas y ocho análisis después, Poirot volvió con la copa envenenada en sumano.Si en el salón había entre 100 y 200 copas, ¿cómo pudo Poirot con sólo ochopruebas encontrar la copa que mató a Sir John? y, ¿cuántas copas había, paraque el primer análisis se pudiera hacer con cualquiera de ellas?

L as cuatro monedas de la imagen forman un cuadrado.Moviendo sólo una de sitio, ¿podrías hacer dos hilerascon tres monedas cada una?

C on tan sólo seis cerillas,debes ser capaz de construirocho triángulos equiláteros,

es decir, con tres lados igualescada uno. Los ocho triángulosno tienen por qué tener las mis-mas dimensiones.

Después del agotamiento mental que tendrás tras los exámenes, nada mejor para rela-jarse que resolver unos curiosos problemas lógicos que pongan a prueba tu ingenio. Tepresentamos versiones de algunos problemas famosos. Por ejemplo, el dilema delgranjero es una versión de una respuesta contundente que proporcionó Lincoln a unadversario político. Las copas de Poirot son un modelo que se utiliza en muchas situa-ciones reales. Además te proponemos dos cuestiones clásicas con cerillas y monedas yuna típica de relojes, similar a otras con jarras que seguro conoces. Que te diviertas.

PON TU INGENIOA TRABAJAR

LA PARADOJA DE LINCOLN

UN CLÁSICO CON CERILLAS

Y UN CLÁSICO CON MONEDAS

LOS HUEVOS COCIDOS

Se vuelven los dos relojes a la vez que se pone elhuevo en el agua. Cuando el reloj de siete minutosha acabado, se le da la vuelta de nuevo hasta quetermine el de 11 minutos. En este momento hantranscurrido 11 minutos... ¡pero el reloj de sieteminutos tiene abajo otros cuatro! Le damos la vueltay cuando acabe, los huevos estarán cocidos pueshabrán pasado exactamente 11+ 4 minutos.

Basta con colocaruna monedacualquiera sobrela que está en sudiagonal. De estemodo tendremosun esquematriangular en elque hay dos filas ycada una tienetres monedas.

Sólo tienes que componer una estrella de David formando dostriángulos con las seis cerillas e invirtiendo uno. Tendrás así seistriángulos pequeños, las puntas de la estrella, y dos grandes. Todosellos son equiláteros aunque dos, de distinto tamaño.

El modo más rápido de encontrar lacopa envenenada es por elprocedimiento de división binaria. Sehacen dos grupos, cada uno con lamitad de todas las copas. Se mezcla demodo separado parte del contenido detodas las copas de cada mitad, de modoque el veneno estará en una de las dosmezclas. Se analiza una de las mezclasresultantes. Si se encuentra el veneno enella se repite el proceso en esa mitad delas copas volviendo a separarlas en dosmitades. Si no se encuentra, el venenoestará en la otra mitad. Sabiendo que

27=128 y 2

8=256, cuando Poirot contó

las copas supo al instante que sólonecesitaba ocho pruebas como máximo. Por otra parte, si había 129 copas, Poirotpensó: necesitaré un examen de unacopa cualquiera y luego si ésta no tieneel veneno, al quedarme 128 copas,realizaré los otros siete análisis.

El granjero tendrá exactamente las mismas 50 vacas. Por mucho quellame vacas a los caballos, estos no van a dejar de serlo.La pregunta está tomada de una anécdota de Abraham Lincoln, elpresidente abolicionista de los Estados Unidos. Se cuenta que alestar discutiendo con un ciudadano partidario de la esclavitud, éstele dijo que la esclavitud no era esclavitud sino proteccionismo. Lincoln le replicó:- Y si decimos que el rabo de un perro es una pata y no un rabo¿convendría usted que los perros tendrían cinco patas? Imagino queno, puesto que cambiar el nombre de las cosas no cambia lascosas.

D isponemos de dos relojes de are-na que miden 11 y 7 minutos cadauno. Con ellos debemos realizar

una cocción perfecta de un huevo,que se cocina en 15 minutos exacta-mente. ¿Cómo puede hacerse?

LAS COPAS ENVENENADAS DE POIROT