7/25/2019 Aula de Matemticas XVI de 'El Mundo'

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AULAD E E L M U ND O

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LOS INVENTORESDE LA CINTA AS SE CONSTRUYE UNA CINTA DE MBIUS

Las construcciones ms simples contienen a veces las singularidades ms sorpren-dentes. Una de las superficies ms sencillas que se puede fabricar es la llamada Cin-ta de Mbius. Pero en su simplicidad se halla su magia. Contra lo que nuestra intucindira, es una superficie que slo tiene una cara y en la que no es posible la orientacin:la derecha se convierte en izquierda y viceversa. Es una de las estructuras ms deli-rantes de la Topologa, la Geometra sin medidas, en la que un cuadrado es idntico aun crculo y una rosquilla no se distingue de una taza.

po r L olita Brain

LA MGICACINTA DE MBIUS

AUGUST FERDINAND MBIUS1790-1868

JOHANN BENEDICT LISTING1808 -1882

La conocida como Cinta deMbius debe su nombre a suinventor, el matemtico yastrnomo August Mbius, quefue alumno de Gauss, y que en1858 la construy y estudi. Sinembargo, este objeto matemti-co fue analizado aos antes porel tambin matemtico alemnJohann Listing. De hecho, stepublic sus resultados antesque lo hiciera Mbius. Parado-jas de la historia.

Recorta unatira de papela l a r g a d a .Marcaremossus vrticescomo A, B, A,y B.

Si doblamos la tira demodo que coincidan losvrtices A con A y Bcon B, y los pegamos,obtendremos una cintacilndrica normal.

La Cinta de Mbius tiene una sola cara.Aunque aparentemente tenga dos, es fcilcomprobar que no es as: toma un lpiz,comienza a trazar una lnea siguiendo la cintay comprobars que encuentra el punto de par-tida sin necesidad de cruzar su borde. El gra-bado de Escher que reproducimos manifiestaesta propiedad: una hormiga que comenzaraa andar por la cinta la recorrera completa-mente volviendo al punto de partida.

Cuando se corta una cinta de Mbius por su centro a todo su largo, se obtienenresultados fantsticos y muy distintos de lo que sucede cuando se corta una tiracilndrica normal. Si cortas longitudinalmente un anillo con tijera, obtendrs dos

anillos de menor ancho. No es as con la cinta.

Pero si antes de unirlos vrtices hacemosuna torsin a la tira demodo que A se unacon B y A con B,obtendremos unaCinta de Mbius.

Al cortar la cinta porsu centro (la lnea depuntos rojos) seobtiene una nicatira con dos torsio-nes y no dos anilloscomo cabra esperar.

TORSIN 1

S i pintas una banda central en una cinta de Mbius(en rojo en la figura) y la cortas por su borde,obtendrs una nueva cinta de Mbius roja anu-dada a otra blanca que tiene dos torsiones.

Mbius Strip II, 1963.Xilografa de M.C. ESCHER

Mbius Strip I, 1961.Xilografa de M.C. ESCHER

LA CINTA DE MBIUS TIENE UNA NICA CARA

QU PASA CUANDO SE CORTA UNA CINTA DE MBIUS?

MS MAGIA CON LAS TIJERAS

Una de las propiedades ms interesantes de la cinta de Mbius esque no es orientable. Esto significa que no se pueden definir con-ceptos como derecha o izquierda, arriba o abajo. Y no se puede

hacer porque al mover un objeto sobre su superficie, lo que era diestrose convierte en zurdo.

LA CINTA DE MBIUS NO ES ORIENTABLE

Puedes comprobar lo que decimos si construyes una cinta de Mbiuscon plstico transparente o papel cebolla. Dibuja una manopla, porejemplo diestra, y repite su figura trasladndola a lo largo de la cinta.Cuando retorne al punto de partida, la manopla habr cambiado y serzurda. Pero esto no es problema! Un habitante que viviera en la cinta(claro est, sera un ser plano) tambin cambiara su estructura, y sumano diestra se convertira en zurda junto con la manopla.

TORSIN 2

NUEVA CINTA DEMBIUS

CORTA POR EL BORDE DE LABANDAROJA

CINTACON DOSTORSIONES

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Maurits Cornelis Escheres s in duda alguna el dibujante q ue ms ha hecho por la c rea-cin de mundos a rtsticos fundamentad os en idea s d e la austeraMatemtica. Sin cono-

cimientos es pecficos de Matem tica, este holands nacido e n 1898 puso en co mbinac in

la razn g eomtrica con la libertad artstica para crear mundos imposibles. Dibujante ex-

trao rdinario, s u obra es mayoritariamente g rfica, especialmente el g rab ad o sob re ma-

dera, la xilog rafa y litografa. S i vas a La Ha ya, e n su Ce ntral de C orreos vers una d e

sus mejores y mayo res creac iones: Metamorfosis.

po r L olita Bra in

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METAMORFOSIS

UN HUMILDE CREADOR

EL USO DE LOS MODELOS MATEMTICOS

LA PARTICIN DEL PLANO

EN MATEMTICAS NO OBTUVE NUNCA NI SIQUIERA UNSUFICIENTE. LO CURIOSO ES QUE,PORLO QUE PARECE, ME VENGO OCUPANDO DE MATEMTICASSINDARME BIENCUENTA DE ELLO. NO, ENLA ESCUELAFUI UNCHICO SIMPTICO Y TONTO. QUINSE IBAA IMAGINAR QUE LOS MATEMTICOS IBAN A ILUSTRARSUS LIBROSCONMIS DIBUJOS,QUE ME CODEARA CONHOMBRESTAN ERUDITOS COMO SI FUERAN MIS COLEGAS Y HERMANOS! Y ELLOSNOPUEDEN CREER

QUE YO NOENTIENDANI UNA PALABRADE LO QUE DICEN!M.C. ESCHER

Persona de gran modestia,

Escher deca de s mismo

que no era un buen dibujan-

te refirindose al hecho de

que s iempre necesitaba mode-

los para d ibujar, manifestand o

su escasa disposicin imagi-

nativa. Su obra se co mpone de

paisajes y algunas acuarelas

anteriores a 1937. Posterior-

mente trabaj sobre todo elgrabad o, dejando ms de 70

piezas inspiradas en temas

matem ticos . Estuvo preocupad o por tres temas funda-

mentales: la estructura del espacio, la del plano y larepresentacin plana de los objetos tridimensiona-les. Falleci en 1972 en el norte de Holanda .

METAMORFOSIS II,1939-40 REPTILES, 1943

EL SOL Y LALUNA, 1948 ESTUDIO SISTEMTICO, 1936

En Manos dibujando, Esche r se ad entra en el terreno de la lgica. S u dibujo es

la imagen d e las sentencias autorreferentescomo la que dice Todo lo que yo digo

es falso. Cu l de las dos manos se empez a d ibujar primero? En Galera de g ra-

badosrepresenta una g alera en la q ue un cuad ro retrata a la misma g alera en

la que est c olgado y a s infinitamente; es una imagen autorreferenciada.

MANOS DIBUJANDO, 1948 GALERA DE GRABADOS, 1956MANO CON ESFERAREFLEJANTE, 1935

RETRATO DEL INFINITO

Impresionado por un

dibujo q ue reproduca

el modelo de geo-metra hiperblicade Poincar,

encontr la inspi-

racin para desa-

rrollar imgenes

con el infinitocomo tema. En

Lmite Cir cular III

(1959), las lneas

maestras no son sino

las rectas del modelogeomtrico que invent Poin-

ca r. Escher llen de vida e se mod elo inanimad o.

Las metamorfosis juegan

un importante pap el en su

obra creada entre 1937 y

1945. En ellas trans forma de

modo continuo figuras pla-

nas en objetos tridimensio-

nales, objetos matemticos

en animales y pjaros, etc-

tera; y todo ello de modo

cclico: se acaba donde se

comienza. Sus famosos

lag artos los utiliz en e l ciclo

Reptiles, en el que el mundo

plano co bra vida a l trans for-

marse en el tridimensional

de un modo co ntinuo.

EL ARTISTA DELA MATEMTICA

En sus visitas a La Alhambra (1926 y 1936), qued

impresionado por la riqueza de los mosaicosnazares, es decir, por la d iversida d d e las p articiones

peridicas del plano. Realiz bocetos de todos los

mosaicos que encontr all y que son todos los posi-

bles, transformndolos en animales y seres extraos

con los que formar el plano. Gener con este mtodo

compo siciones en las q ue el fondo y el primer plano seintercamb ian s in solucin de continuida d. Estos temas

los utiliz en metamorfosis, ciclos, series infinitas y

dec oraciones pa ra mltiples cajas q ue dise.1

231.- GRAVITACIN, 1952

2.- CINTA DE MBIUS, 19613.- NUDOS, 1965

CREADOR DE CONTROVERSIAS

Su pasin por los objetos matemticos le

llev a utilizar profusamente los poliedros,

por los q ue se nta una d ebilidad manifiesta.

Pero tambin se interes por nuevos mode-

los matemticos, entre los que destaca su

ad miracin por la famo sa Cinta de Mbius y

por los nudos, a mbos muy de modaen e l uni-

verso ma temtico de comienzos del siglo XX.

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La concavidady la convexidad son d os trminos q ue hab itualmente utilizam os. P ero sonconce ptos relativos. Esc her, del que ha blamos la pa sa da sema na, lo sab a y lo utiliz opor-

tunamente en la litografa q ue vamos a e xaminar. Estos trminos e stn b ien definidos en

matemt icas , aunque en a lgunas oca s iones t ambin generan ambigedad . P ero no

hace falta ac udir al formalismo ma temtico pa ra apreciar el problema que plantean a nues-

tra pe rcepcin. Con slo cam biar la po sicin de un ob jeto, o sus s ombras o remarcar unas

lneas en luga r de otras, lo que nos pa rece cnca vo pasa a se r convexo y viceversa.

por Lo lita Bra in

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QU ESCONDE EL GRABADO?

C N CAVO Y C ON VEXO DEPEN DE DE CMO LO MIRES

Estas dos imgenes son exactamente la misma.

Correspond en a la superficie lunar, y la nica d ife-

rencia que hay entre ellas es que estn giradas180

o

una respecto de la o tra. S in duda , en la de la

izquierda vers dos montculos c oncavos que salen

de la superficie, mientras que en la de la derecha

obse rvas con nitidez dos crteres que se meten

ha cia e l interior.

E l sector izquierdo presentaun punto de vista superior.La bveda del templete seobserva desde el tejado, la

seora baja por un puente

sob re un lag o y un seo r dormi-

ta apoyado sobre una pared.

Las columnas no van hac ia fue-

ra sino que estn horadada s en

la fachad a. El dibujo no presen-

ta problemas .

D el mismo modo, el ladoderecho es normal, aunqueest visto desde abajo.Vemos el suelo al que sube el

seor de la escalera desde

abajo, se aprecia la columna y

la bveda desde su parte infe-

rior y la bandera aparece col-

gada razonablemente bajo la

arcada. Observa que lascolumnas sa len hacia fuera.

La zona central es la que ms perturba nuestra percepcin.

Conviven simultneamente una pa rte c onvexa (imag en de la

izquierda) con una cncava (a la derecha) que se mezclan

en el centro del graba do.

Para entender el grab ad o de Escher tenemos que recorrer su escena rio deizquierda a d erecha. As comprobamos que la se ora que lleva la ces tapuede b ajar las esca leras hasta llegar al rellano, pero si contina sub ien-do por los siguientes peldaos se ca er al vaco! porque la esca lera es una

bveda . Del mismo mo do el trompetista d e la izquierda pod ra s altar por la

ventana y estara sobre una b veda, pero el que toca la trompeta a la dere-

cha, s i saltas e por la ventana, ca era ta mbin al vaco. P ara e studiarlo mejor

hemos pa rtido en tres zona s el grab ad o.

E ste grabado d e M.C.Escher es una desus creaciones enlas que el autor busca

crear en el espectador

un autntico shock. El

grabado representa un

escenario aparente-

mente sencillo, casi

simtrico respecto de

la vertical central. Sin

embargo un mnimo

examen nos envolver

en la confusin. Si lo

observamos detenida-mente veremos que

ab ajo se transforma en

arriba y fuera pasa a

ser dentro. Es un espa -

cio imposible.CONVEXO Y CNCAVO, li tog rafa 195 5

LA M AGI AD E LA M I RAD A

EL HOMBRE SESIENTA SOBRE LA

SUPERFICIE

EL TROMPETISTASALTARA SOBRE

LA BVEDA EL TROMPETISTASALTARA AL VACO

LA CONCHASE PUEDE

VER COMO

UNA FUENTE

CONVEXA

VACA

LA BVEDA SEVE DESDE SU

EXTERIOR

LA VENTANASE APRECIA

DESDE ARRIBA

LA VENTANA SEAPRECIA DESDE

ABAJO

LA BVEDA SEVE DESDE SU

INTERIOR

LA CONCHATAMBIN SE

PUEDE VER

COMO UN

PLAFN

CNCAVO QUE

CUELGA DEL

TECHO

PERO LACERMICA CUELGA

DEL MISMO PLANO

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Tenem os la ide a d e q ue entre rea lidad y represe ntacin existe una c orresp onde nciabiunvoca : todo lo que d ibujamos c orrespo nde a un objeto en la rea lida d. Nada ms ale-jad o de la verda d. S i algo existe pod emos represe ntarlo, pero ha y mltiples ejemplos dereprese ntaciones q ue no tienen correlato en la realida d. Dibujos, grab ad os y ha sta foto-grafas nos p uede n prese ntar objetos q ue son s encillam ente impos ibles de c rear fsica-mente. M.C. Esc her fue un estudioso de e stas ano malas de la represe ntacin. Con elestudio de a lgunos d e sus mode los terminamos e sta serie de lminas d edicada s a s u obra.

por Lolita Brain

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LA ESTRUCTURA ES LO QUE ENGAA

DOS MUNDOS REALES PARA CREAR UNA ILUSIN

ESCHER NOS EXPLICA EL ENGAO

Una mirada a la estructura del palacete

de Belvedere nos explica por qu la

figura es imposible. El edificio est

compuesto por dos prismas rectos, uno

para ca da una de las plantas. Estos polie-

dros se cruzan formand o un ngulo de 90

grados. Uno de los prismas est orienta-

do s egn la mirad a d el rico comerciante a

la derecha de la planta inferior, mientras

que el prisma superior se o rienta s egn la

mirada de la s eora que se a soma en la

planta de a rriba .

Una costumbre de Escher es

proporcionar al espectador

informacin del problemade

sus construcciones. En este

caso, al pie del Belvedere, un

joven s ostiene un objeto imposi-

ble en sus manos: una jau la

imposible. Por tanto, es real

este persona je y su juego? Cier-

tamente no, porque tal jaula no

puede construirse. Al pie del

joven, un pa pel con un d ibujo nos

indica cmo puede dibujarse tal

estructura a unque no exista.

A la derecha tienes una fotografa de lajaula imposiblerealizada porel Dr. Co chran. Te preguntars entonces: si existe la foto c mo es

que no existe el objeto? El cubo imposible no es tal cubo. El fotgrafo,

como Escher, capta al objeto desde una perspectiva determinada

para q ue parezca real, pero est co nstruido co n partes disjuntas.

Si quieres saber cmo es realmente el

Belvedere entra e n la pg ina s iguiente de

la web oficial de Escher,

http://www.mcescher.com/Downlo-ads/downloads.htm en la que una ani-macin te desvelar lo que no podemos

explica rte con una imagen es ttica : cmo

est c onstruido el palacete.

Como en el grabad o q ue discutimos la pas ada lmina, Cncavo y convexo, el Belvederetiene

dos partes c uya realida d e s indiscutible: las p lanta s s uperior e inferior del templete son c om-

pletamente normales. Si cortamo s el grab ad o y prolonga mos las columnas o trazamo s unos

arcos , comproba mos q ue est perfectamente construido. Es la unin de las dos p lanta s la que

hac e q ue el templo d eje de existir. Aunque poda mos dibujarlo no podramos c onstruirlo.

En la ob ra Cascada, Escher trabaja el mismo c oncepto

que en Belvedere. Utiliza en este caso otro objeto

imposible, el Tribar

de Penrose como

estructura de una cas-

cada con movimiento

imposible. Tal ca sca da

tampoco se puede

construir. Es slo que

el punto de vista nos

hac e creer que es rea l.

UN PALACIO DESCONCERTANTE

El grabad o Belvederees uno de

los es pac ios ms inquietantes

de los creados por Escher. Se

trata de un hermoso palacete de

dos plantas c on columnas, rode-

ado por un hermoso paisaje

ca mpestre. Una mirad a minucio-

sa al mismo nos har ca er en la

cuenta de lo extrao que es, ha s-

ta preguntarnos existe realmen-

te tal palace te? Si obse rvamo s la

esc alera por la que sube el duen-

de, nos damos cuenta de q ue su

parte superior est apo yad a en lafachada de la planta superior,

mientras q ue la es calera se s uje-

ta en el interior de la estan cia de

la primera planta. Es decir, la

escalera atraviesa de dentro a

fuera el edificio. S i ahora o bse r-

vamos las columnas, aprecia-

mos q ue slo las d e los extremos

izquierdo y derecho son norma-

les. Las resta ntes unen la b aran-

dilla exterior con los a rcos poste-

riores y viceversa, atravesando

por tanto el palacio.BELVEDERE,lito grafa 1 958

CASCADA, lito grafa 19 61TRIBAR DE PENROSE

DIBUJARPARA ENGAAR

LA ESCALERA SEAPOYA DENTRO DEL

PALACETE.

MS CREACIONES IMPOSIBLES

LA ESCALERA SEAPOYA EN LA

FACHADA.

ESTAS COLUMNASSON CORRECTAS.

ESTA COLUMNATIENE EL CAPITEL

EN LA PARTEALEJADA AL

ESPECTADOR...

...PERO EL PLINTOEST EN LA

BARANDILLA

ANTERIOR.