factorización parte 1

of 47/47
Factorización José David Ojeda M.

Post on 06-Jul-2015

1.070 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 1. Factorizacin Jos David Ojeda M.

2. Factorizacin Descomponer una expresin numrica en factores es escribirla como un producto. Por ejemplo la expresin 9 x 4 es una descomposicin en factores del numero 36. Un caso particular de la descomposicin en factores se presente cuando cada uno de estos factores es primo. 36 = 3 * 3 * 2 * 2 Es una descomposicin en factores primos del numero 36. 3. Factorizacin Factorizar una expresin numrica o una expresin algebraica es descomponerla en factores 4. Casos de Factorizacin 5. 1. Factor comn 6. 1. Factor comn Factor comn de un binomio: Al multiplicar un monomio por un binomio se aplica la propiedad distributiva Ahora para expresar el binomio como el producto de dos factores se realiza el procedimiento inverso. Este procedimiento es conocido como factor comn de un binomio. ( )3 2 5 3 1m m m m + = + 5 3 m m+ 7. 1. Factor comn El factor comn de un binomio es una expresin algebraica en la cual La parte numrica es el MCD entre las partes numricas La parte literal esta formada por las letras que tiene en comn los trminos del polinomio con su menor exponente. 8. 1. Factor comn Factorizar las siguientes expresiones: El factor comn es 3x, pues: MCD (3,9) = 3 La letra comn entre x y xy es x Para factorizar el binomio 3x + 9xy se divide cada termino entre el factor comn: a) 3 9x xy+ 9. 1. Factor comn De donde 3x + 9xy = 3x(1 + 3y) Ejercicios: Factorizar 3 1 3 x x = + 9 3 3 xy y x = + 2 3 2 3 5 b) 6 5 c) 14 7 m m n a b c abc 2 25 15 d) 4 2 x y xy 10. 1. Factor comn Factor comn de un polinomio: El procedimiento para encontrar el factor comn en un polinomio es similar al usado en el factor comn de un binomio. Factorizar: Se halla el MCD entre los denominadores y los numeradores. 3 2 38 4 2 9 3 6 a b ab b + 11. 1. Factor comn MCD (8, 4, 2) = 2 MCD (9, 3, 6) = 3 Fraccin comn a: El Factor comn en es: Se divide cada termino del polinomio entre el factor comn. As: 8 4 2 2 , es 9 3 6 3 y 3 2 38 4 2 9 3 6 a b ab b + 2 3 b 12. 1. Factor comn Entonces: 3 3 3 2 3 2 2 8 2 28 4 9 3 14 3 4 2 12 2 3 3 6 2 2 6 1 6 3 12 2 a b b a a ab b ab ab b b b b = = = = = = 13. 1. Factor comn Caso especial: En algunos casos el factor comn puede ser un binomio o en general un polinomio. Ejemplo: 3 2 3 3 28 4 2 2 4 1 2 9 3 6 3 3 2 a b ab b b a ab b + = + 2 3 3 ( ) 6 ( ) 12 ( )xm x y m x y m x y + + + + 14. 1. Factor comn La expresin (x + y) es comn a los tres trminos del polinomio. Por lo tanto el factor comn es 3m(x + y). Se divide cada termino del polinomio entre el factor comn: 2 3 2 3 ( ) 6 ( ) 2 3 ( ) 3 ( ) 12 ( ) 4 3 ( ) xm x y m x y x m m x y m x y m x y m m x y + + = = + + + = + 15. 1. Factor comn Los binomios (x + y) se simplifican en las tres divisiones: Entonces: 2 3 3 ( ) 6 ( ) 12 ( )xm x y m x y m x y + + + + = 2 2 3 ( )( 2 4 ) 3 ( )( 2 4 ) m x y x m m m x y x m m + + = + + 16. 1. Factor comn Ejercicios: Factorizar ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 4 5 7 3 3 3 3 3 2 a) 3 9 6 b) 14 21 49 c) 13 11 10 3 15 9 d) 35 49 21 e) 7 1 9 1 16 24 f) 4 4 27 63 xy x y x y a x m a x a x m am a m am p q q p q p w w w p m p m + + + + + + + + + 17. 2. Factor comn por agrupacin de trminos 18. 2. Factor comn por agrupacin de trminos En algunos casos en el polinomio que se busca factorizar no hay un factor comn para todos sus trminos, pero al agruparlos se puede determinar una expresin comn para cada agrupacin Por ejemplo en el polinomio am+bm+an+bn, no hay un factor comn, pero si se agrupan los trminos es posible factorizarlo. 19. 2. Factor comn por agrupacin de trminos Ejemplo: Factorizar Se forman dos grupos con el mismo numero de trminos am bm an bn+ + + am bm an bn+ + + ( ) ( )am an bm bn= + + + ( ) ( )a m n b m n= + + + ( )( )m n a b= + + Se busca el factor comn en cada grupo Se factoriza el binomio comn 20. 2. Factor comn por agrupacin de trminos Entonces: Ejemplo: Factorizar Se forman tres grupos con el mismo numero de trminos. Si al agrupar queda un signo menos antes del un parntesis, las expresiones dentro del parntesis cambian de signo. ( )( )am bm an bn m n a b+ + + = + + 2 3 4 2 3 2 4 2 2 2 2 3 3a b n a b x n x z a z x a + 21. 2. Factor comn por agrupacin de trminos Se saca el factor comn de cada uno de los grupos. Se factoriza el binomio comn 2 3 4 2 3 2 4 2 2 2 2 3 3a b n a b x n x z a z x a + 2 3 2 3 2 4 4 2 2 2 2 ( ) ( ) (3 3 )a b a b x n n x z a z x a= + + + ( ) ( ) ( )2 3 2 4 2 2 2 1 1 3 1a b x n x z a x= + + + ( ) ( )2 2 3 4 2 1 3x a b n z a= + 22. 2. Factor comn por agrupacin de trminos Ejercicios: Factorizar 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 a) b) 2 3 4 6 c) 4 4 4 3 3 3 d) 3 12 3 4 w wz wy zy x xy x y w w y wy zw zwy zy x nx xy xz nz ny + + + + + + + + 23. 3. Diferencia de cuadrados perfectos 24. 3. Diferencia de cuadrados perfectos Expresiones como: son denominadas diferencias de cuadrados perfectos, pues los trminos que las forman tienen raz cuadrada exacta. 2 2 2 2 2 21 , 4 , 9 a b x y m n 25. 3. Diferencia de cuadrados perfectos Factorizar una diferencia de cuadrados perfectos es el proceso inverso a encontrar el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades. La diferencia de cuadrados perfectos se factoriza como el producto de dos binomios; uno con suma y el otro con resta. Los trminos de estos binomios son races cuadradas de cada uno de los trminos de la diferencia planteada inicialmente 26. 3. Diferencia de cuadrados perfectos Caso genrico Ejemplo: Factorizar la siguiente expresin. Se buscan las races cuadradas de cada uno de los trminos ( ) ( )2 2 a b a b a b = + 2 2 2 4 4 9a b x y 2 2 2 4 2 4 2 9 3a b ab x y xy= = 27. 3. Diferencia de cuadrados perfectos Se factoriza la expresin Ejemplo 2: Factorizar la siguiente expresin. Se buscan las races cuadradas de cada uno de los trminos. ( ) ( )2 2 2 3 2 3ab xy ab xy+ 2 225 16 4 m n 2 225 5 16 4 4 2 m m n n= = 28. 3. Diferencia de cuadrados perfectos Se factoriza la expresin Entonces 5 5 4 4 2 2 m n m n + 2 225 5 5 16 4 4 4 2 2 m n m n m n = + 29. 3. Diferencia de cuadrados perfectos Ejercicios: Factorizar las siguientes expresiones 4 2 10 12 10 2 6 a) 16 b) 4 9 1 81 c) 81 d) 49 529 e) 36 25 t w m n p w d 30. 4. Suma o diferencia de cubos perfectos 31. 4. Suma o diferencia de cubos perfectos A partir del trabajo con cocientes notables, se sabe que: Como las expresiones anteriores son cocientes exactos, entonces: 3 3 3 3 2 2 2 2m n m n m mn n m mn n m n m n + = + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 2 2 m n m n m mn n m n m n m mn n + = + + = + + 32. 4. Suma o diferencia de cubos perfectos Por lo anterior: La suma de dos cubos perfectos se factoriza como el producto de dos factores El primer factor es la suma de las races cubicas El segundo factor es el cuadrado de la primera raz, menos el producto de las dos races, mas el cuadrado de la segunda raz 33. 4. Suma o diferencia de cubos perfectos Ejemplo: Factorizar Se buscan las races cubicas de cada termino Se factoriza 3 6 9 27 8x y x+ 3 3 6 9 2 33 27 3 8 2x x y x y x= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 2x x x x x x x y x + + 34. 4. Suma o diferencia de cubos perfectos Se resuelven las operaciones indicadas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 2x x x x x x x x x + + ( ) ( )2 3 2 4 2 6 4 3 2 9 6 4x x x x x y x y= + + 35. 4. Suma o diferencia de cubos perfectos La diferencia de dos cubos perfectos se factoriza como el producto de dos factores El primer factor es la diferencia de las races cubicas El segundo factor es el cuadrado de la primera raz, mas el producto de las dos races, mas el cuadrado de la segunda raz 36. 4. Suma o diferencia de cubos perfectos Ejemplo: Factorizar Se buscan las races cubicas de cada trmino 6 121 64 27 m n 36 2 12 43 1 1 64 4 27 3 m m n n= = 37. 4. Suma o diferencia de cubos perfectos Se factoriza y se resuelven las operaciones indicadas Entonces ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 4 41 1 1 4 4 4 3 3 3 m n m m n n = + + 6 12 2 4 4 2 4 81 1 1 4 64 4 16 27 3 9 3 m n m n m m n n = + + 38. 4. Suma o diferencia de cubos perfectos Ejercicios: Factorizar las siguientes expresiones 3 3 12 3 6 12 9 3 3 3 9 ) 1 b) 1 c) 64 125 d) 512 e) 8 1 f) 27 3 a w x a x y z t p q m b + + 39. 5. Suma o diferencia de potencias iguales 40. 5. Suma o diferencia potencias iguales Antes de plantear una regla general para factorizar expresiones de la forma , es necesario recordar algunas conclusiones con respecto a los cocientes de la forma n n x a n n x a x a 41. 5. Suma o diferencia potencias iguales es divisible entre , si y solo si n es impar. nunca es divisible entre . es divisible entre para todo valor de n (par n n n n n n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a + + + + + + o impar). es divisible entre si y solo si n es par. n n n nx a x a x a x a + + 42. 5. Suma o diferencia potencias iguales Las expresiones de la forma se pueden factorizar, teniendo en cuenta las conclusiones anteriores y la siguiente regla. Si es divisible entre se puede expresar como el producto de dos factores. As: El primer factor es de la forma n n x a n n x a x a x a 43. 5. Suma o diferencia potencias iguales El segundo factor es un polinomio de n trminos con las siguientes caractersticas El primer termino es y el ultimo es Los otros trminos son productos de x y a en donde los exponentes de x disminuyen de uno en uno a partir del primer termino y los exponentes de a aumentan a partir del segundo termino. 1 xn 1 an 44. 5. Suma o diferencia potencias iguales Si es un factor de , los signos del segundo factor son todos positivos. Si es un factor de los signos del segundo factor se escriben alternados. Ejemplo: Factorizar x a n n x a x a+ n n x a 5 5 m n+ 45. 5. Suma o diferencia potencias iguales Se tienen en cuenta las condicionas anteriores no es divisible entre . As que solo es divisibles entre Por lo tanto 5 5 m n+ m n 5 5 m n+ m n+ ( ) ( )5 5 4 3 2 2 3 4 m n m n m m n m n mn n+ = + + + 46. 5. Suma o diferencia potencias iguales Ejemplo 2: Factorizar es divisible entre y por lo tanto la expresin se puede factorizar de dos formas 8 8 a b 8 8 a b a b a b+ ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7 8 8 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7 a b a b a a b a b a b a b a b ab b a b a b a a b a b a b a b a b ab b = + + + + + + + = + + + + 47. 5. Suma o diferencia potencias iguales Ejercicios: Factorizar 5 7 7 4 8 10 5 a) 1 b) 1 1 c) d) 243 16 32 w w x w t p q + +