resolver problemas con factorizaciÓn parte 2

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USO DE LA FACTORIZACIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (Parte 2) UNIDAD I FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES A.RE.10.3.3 J. Pomales / enero 2009

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USO DE LA FACTORIZACIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PARTE 2. PROBLEMAS DE RECTÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

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Page 1: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

USO DE LA FACTORIZACIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS(Parte 2)

UNIDAD IFUNCIONES Y TRANSFORMACIONES

A.RE.10.3.3J. Pomales / enero 2009

Page 2: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

BIENVENIDOS A ESTE

NUEVO SEMESTRE ESCOLAR

Page 3: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

Introducción y Objetivo• El pasado semestre resolvimos problemas

verbales utilizando la factorización.• Estos problemas se relacionaron con números

y área de rectángulos.• Hoy, continuaremos resolviendo problemas

pero con triángulos rectángulos y con el área y perímetro de rectángulos.

• A continuación hacemos un breve resumen de las destrezas y conceptos que debes recordar para realizar estos nuevos problemas.

Page 4: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

RESUMEN DE LO QUE

DEBES SABER

Page 5: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

Algunas frases que se identifican con las operaciones básicas:

– SUMA:• aumentado en, sumado a, dentro de tantos

años, más que, más viejo que, agregado a...

– RESTA:• menos que, sustraído de, diferencia,

disminuido en, hace tantos años...

– MULTIPLICACIÓN:• veces, producto de, el doble de, duplo de,

triple...

– DIVISIÓN:• dividido por, entre, repartido a, la mitad, un

tercio...

Page 6: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• FACTOR COMÚN

• AGRUPACIÓN

• DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

• CUADRADOS PERFECTOS

• TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

• TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c (Tanteo y Error)

Factorizaciones estudiadas:

Visita nuestro Blog (matematicasenaccion2008.blogspot.com)y repasa cada factorización a través de los videos

Page 7: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Leer el problema

• Hacer un diagrama o dibujo

• Identificar todos los elementos desconocidos del problema

• Establecer las ecuaciones o inecuaciones

• Resolver las ecuaciones o inecuaciones

• Verificar las posibles respuestas

• Contestar las preguntas del problema

Pasos generales para resolver un problema verbal:

Page 8: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Perímetro (P): Suma de los lados exteriores de la figura– En un rectángulo P = 2l + 2a– En un triángulo P = a + b + c

• Área (A): Región interna de la figura– En un rectángulo A = l·a– En un triángulo A = ½ b·a

Perímetro y Área:

largo

ancho

a

l

a

l

base

altura

b

a c

Page 9: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Establece que en todo triángulo rectángulo la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Teorema de Pitágoras:

ac a2 + b2 = c2

b

hipotenusa

cateto

cateto

Page 10: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

EJEMPLOS

RELACIONADOS CON FIGURAS

Page 11: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el doble del otro cateto. Si la hipotenusa mide 13 cm, ¿cuánto mide cada cateto?

Resuelve:

Después de leerlo y entender lo que pide debes hacer un dibujo.

Ejemplo 1

Continua

Page 12: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el doble del otro cateto. Si la hipotenusa mide 13 cm, ¿cuánto mide cada cateto?

Identificamos todos los elementos del problema en el dibujo previo y otorgamos la variable al elemento del que se habla menos.

hipotenusa

cateto

cateto

Elementos del problema:CatetoTriánguloCatetoHipotenusa

Ejemplo 1

Continua

Page 13: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el doble del otro cateto. Si la hipotenusa mide 13 cm, ¿cuánto mide cada cateto?

Fíjate que de uno de los catetos no se dice nada. Pues ese será nuestro desconocido.

hipotenusa

cateto

cateto

Elementos del problema:Cateto xCateto 2x + 2Triángulo RectánguloHipotenusa 13

Ejemplo 1

Continua

Page 14: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el doble del otro cateto. Si la hipotenusa mide 13 cm, ¿cuánto mide cada cateto?

Ubicas esos datos en la figura y procedemos a establecer una ecuación.

hipotenusa

cateto

cateto

13

2x + 2

x

Como este problema habla del triángulo rectángulo debemos utilizar el Teorema de Pitágoras

a2 + b2 = c2

Ejemplo 1

Continua

Page 15: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el doble del otro cateto. Si la hipotenusa mide 13 cm, ¿cuánto mide cada cateto?

Vuelves a escribir el Teorema de Pitágoras pero utilizando los valores del problema.

hipotenusa

cateto

cateto

c = 13

b = 2x + 2

a = x

a2 + b2 = c2

x2 + (2x+2)2 = 132

Y ahora procedes a resolverlo...

Ejemplo 1

Continua

Page 16: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el doble del otro cateto. Si la hipotenusa mide 13 cm, ¿cuánto mide cada cateto?

hipotenusa

cateto

cateto

13

2x + 2

x

0)5)(335(

016585

169485

169484

13)22(

2

2

22

222

222

xx

xx

xx

xxx

xx

cba

Ejemplo 1

Continua

Page 17: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el doble del otro cateto. Si la hipotenusa mide 13 cm, ¿cuánto mide cada cateto?

hipotenusa

cateto

cateto

13

2x + 2

x

533

335

0335

x

x

x ó

0)5)(335( xx

5

05

x

x

Como estamos buscando medidas debes eliminar aquellas que sean negativas. Así que el resultado positivo lo ubicas en la figura y conseguirás los valores deseados:

Ejemplo 1

Continua

Page 18: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el doble del otro cateto. Si la hipotenusa mide 13 cm, ¿cuánto mide cada cateto?

hipotenusa

cateto

cateto

13

2x + 2 = 12

x = 5

5x Cateto x = 5Cateto 2x + 2 2(5) + 2

10 + 2 12

Siempre es necesario comprobar:

a2 + b2 = c2

52 + 122 = 132

25 + 144 = 169169 = 169

Ejemplo 1

Los catetos miden 5 y 12 cm respectivamente.

Finalmente:

Page 19: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Una fotografía mide 8 pulg. por 10 pulg. La fotografía se coloca sobre un cartón rectangular dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. El área conjunta de la fotografía y del ancho uniforme es de 120 pulgadas cuadradas.Halla la medida del ancho uniforme.

Resuelve:

Después de leerlo y entender lo que pide debes hacer un dibujo.

Ejemplo 2

Continua

Page 20: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Una fotografía mide 8 pulg. por 10 pulg. La fotografía se coloca sobre un cartón rectangular dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. El área conjunta de la fotografía y del ancho uniforme es de 120 pulgadas cuadradas. Halla la medida del ancho uniforme.

Ejemplo 2

8

10

CartónFotografía

Elementos del problema:Fotografía 8 por 10Cartón RectangularAncho uniforme xÁrea conjunta 120

Ancho uniforme

x

x

x

x

¿De quién es el área conjunta?

Realmente el área conjunta es del cartón. Continua

Page 21: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Una fotografía mide 8 pulg. por 10 pulg. La fotografía se coloca sobre un cartón rectangular dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. El área conjunta de la fotografía y del ancho uniforme es de 120 pulgadas cuadradas. Halla la medida del ancho uniforme.

Ejemplo 2

8

10

x

x

x

x

Con estos datos,

¿cuánto sería el ancho del cartón?

¿cuánto sería el largo del cartón?

8 + 2x

10 + 2x

10 + 2x

8 + 2x

Como el área de un rectángulo es A = l·a

¿Cuál es la ecuación que debemos resolver?Continua

Page 22: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Una fotografía mide 8 pulg. por 10 pulg. La fotografía se coloca sobre un cartón rectangular dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. El área conjunta de la fotografía y del ancho uniforme es de 120 pulgadas cuadradas. Halla la medida del ancho uniforme.

Ejemplo 2

8

10

x

x

x

x

El problema nos dio el Área conjunta 120El ancho es 8 + 2xEl largo es 10 + 2x8 + 2x

10 + 2x

Ahora solo debes sustituir estos valores en A = l·a 120 = (8 + 2x)(10 + 2x)

Procedemos a resolver la ecuación... Continua

Page 23: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Una fotografía mide 8 pulg. por 10 pulg. La fotografía se coloca sobre un cartón rectangular dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. El área conjunta de la fotografía y del ancho uniforme es de 120 pulgadas cuadradas. Halla la medida del ancho uniforme.

Ejemplo 2

8

10

x

x

x

x8 + 2x

10 + 2x

120 = (8 + 2x)(10 + 2x)(8 + 2x)(10 + 2x) = 12080 + 36x + 4x2 = 120-40 + 36x + 4x2 = 04x2 + 36x + -40 = 04(x2 + 9x + -10) = 04(x + 10)(x + -1) = 0

4 = 0 ó x + 10 = 0 ó x + -1 = 0x = -10 ó x = 1¿Qué valores eliminarías?

¿Por qué? Continua

Page 24: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Una fotografía mide 8 pulg. por 10 pulg. La fotografía se coloca sobre un cartón rectangular dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. El área conjunta de la fotografía y del ancho uniforme es de 120 pulgadas cuadradas. Halla la medida del ancho uniforme.

Ejemplo 2

8

10

x

x

x

x8 + 2x

10 + 2x

4 = 0 ó x + 10 = 0 ó x + -1 = 0x = -10 ó x = 1

El primero no es una relación correcta. Como no debo tener valores negativos cuando estoy midiendo, también el segundo se elimina.

Comprobamos si x = 1, sería el valor correcto.Continua

Page 25: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

• Una fotografía mide 8 pulg. por 10 pulg. La fotografía se coloca sobre un cartón rectangular dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. El área conjunta de la fotografía y del ancho uniforme es de 120 pulgadas cuadradas. Halla la medida del ancho uniforme.

Ejemplo 2

8

10

x

x

x

x8 + 2x8 + 2(1)

10

10 + 2x10 + 2(1)

12

El ancho uniforme mide 1 pulgada.

Finalmente:

A = l·a120 = 12 · 10

120 = 120

Comprobación:Si x = 1

Page 26: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

EJERCICIOS

DE PRÁCTICA

Page 27: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

Ejercicios de Práctica

Resuelve los siguientes problemas

1) La altura de un triángulo es 3 pulgadas menos que su base. Si el área es 14 pulgadas cuadradas. ¿cuál es la longitud de la base?

2) El número de cm en el perímetro de un cuadrado es igual al número de cm cuadrados de su área. Halla la medida de los lados del cuadrado.

3) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 34 cm. Halla las longitudes de los catetos si uno de ellos es 14 cm mayor que el otro.

4) El perímetro de un triángulo rectángulo es 60 pies y la hipotenusa mide 25 pies. Halla las medidas de los dos catetos.

Page 28: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

Ejercicios de Práctica

Resuelve los siguientes problemas5) El largo de un rectángulo es 7 cm más que su ancho

y la diagonal mide 13 cm. Halla la medida del ancho.6) Las dimensiones exteriores de un marco de fotografía

son 12 cm por 15 cm. Se coloca una fotografía dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. Si el área de la fotografía es 88 cm cuadrados, halla la medida del ancho uniforme.

7) Una alfombra de 216 pies cuadrados se coloca en una habitación cuyas dimensiones son 14 pies por 20 pies, dejando un ancho uniforme alrededor de la alfombra. ¿Cuánto mide este ancho?

8) Un cuadro mide 8 cm por 12 cm se coloca en un marco de ancho uniforme. Halla la medida del ancho uniforme, si el área del cuadro es igual a la del marco.

Page 29: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

Ejercicios de Práctica

Resuelve los siguientes problemas

9) Las dimensiones de un jardín son de 6 yardas por 12 yardas. Se desea dejar un paseo de ancho uniforme dentro del jardín, de forma que nos quede un área de 40 yardas cuadradas para flores.

¿Cuál es el ancho del paseo?

10)Un cuadro mide 8 pulgadas por 10 pulgadas. ¿Cuánto mide el ancho uniforme alrededor del cuadro si la suma de las áreas del cuadro y el ancho es 120 pulgadas cuadradas?

11)El área de un jardín es 120 pies cuadrados. El largo es 8 pies más que dos veces el ancho. Halla el largo y el ancho del jardín.

Page 30: RESOLVER PROBLEMAS CON FACTORIZACIÓN PARTE 2

Referencia:• ÁLGEBRA, PRIMER CURSO (Segunda Edición),

Juan Sánchez, Santillana