tutorial de factorización

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  • 1. Factorizaci n

2. Factor Expresin algebraica quemultiplica a una segundaexpresin. 3. Factorizacin Es la descomposicin de una expresinmatemtica (que puede ser unnmero, una suma, una matriz, unpolinomio, etc.) en forma demultiplicacin. 4. Factor Comn Este caso se emplea para factorizar unaexpresin en la cual todos los trminostienen algo en comn( letra, nmero,combinacin de los dos) 5. Procedimiento:1. Primero se tiene que determinar el factor comn en la expresin.4 ab + 10ac=El factor comn seria a.1. Luego hay que dividir todo el binomio o polinomio dado entre dicho factor.a(4b + 10 c)= 6. Ejemplos: 5xy+8by= y(5x + 8b) 2xy +4xd= 2x(1 + 2d) 7. Factor comn poragrupacin Resulta cuando el factor comn queaparece en una expresin espolinomio, por lo que se necesitaagrupar los trminos. 8. Ejemplo Aqu tenemos una expresina(x +7)+ b(x+7)En este caso el factor comn seria(x+7) ; por lo tanto quedara(x+7)(a+b).Es decir en este caso se agrupantrminos iguales. 9. 1) 2y + 2j +3xy + 3xj =(2y+2j)+(3xy+3xj)=2(y+j)+3x(y+j)=(2+3x)(y+j)2) 5x4y + 3x2y -9xy -15xy25x4y -15xy2 + 3x3y -9y=5xy (x3 -3y) +3y (x3 -3y)=(x3 -3y)(5xy +3y)3) 20ac + 15bc +4ad + 3bd =(20ac + 4ad) + (15bc + 3bd) =4a(5c + d) + 3b(5c + d)=(4a + 3b)(5c + d)4) 18a3 + 12a2 - 15a - 10 = (18a3 + 12a2) - (15a + 10) =6a2(3a + 2) - 5(3a + 2)=(6a2 - 5)(3a + 2) 10. Diferencia de cuadrados Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos trminos a los que se les puede sacar raz cuadrada exacta. La diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases. 11. Procedimiento Se extrae la raz cuadrada de ambostrminos. Se multiplica la suma por la diferenciade estas cantidades (el segundotermino del binomio negativo es la razdel termino del binomio que esnegativo). 12. Ejemplos:1. a6/36 - 49b4/100 = (a3/6 + 7b2/10)(a3/6 - 7b2/10)2. x2nb8n - 1/169 = (xnb4n + 1/13)(xnb4n - 1/13)3. a4nb6n - c12x /64 = (a2nb3n + c6x /8)(a2nb3n - c6x /8)4. (m - n)2 - (x + y)2 = (m - n + x + y)(m - n - x + y)5. (3x - 4)2 - (2x - 6)2 = (5x - 10)(x + 2)6. (3a + 2b - c)2 - (2a + 2b)2 = (5a + 4b - c)(a - c) 13. Suma o diferencia de cubosperfectos La suma de dos cubos perfectos se descompone en dosfactores, el primero es la suma de sus races cbicas, y elsegundo se compone de el cuadrado de la primera raz menos elproducto de ambas races ms el cuadrado de la segunda raz. La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dosfactores, el primero es la diferencia de sus races cbicas, y elsegundo se compone de el cuadrado de la primera raz ms elproducto de ambas races mas el cuadrado de la segunda raz. 14. Ejemplos: (x + 2) = x + 3x2 + 3x2 + 2 = x+ 6x + 12x + 8 (x - 4) = x + 3x(-4) + 3x(-4) + 2 =x - 12x + 48x - 64 15. Trinomio cuadradoperfecto Una expresin se denomina trinomiocuadrado perfecto cuando consta detres trminos donde el primero ytercer trminos son cuadradosperfectos (tienen raz cuadradaexacta) y positivos, y el segundotrmino es el doble producto de susraces cuadradas. 16. Procedimiento Se extrae la raz cuadrada del primery tercer trmino y se separan estasraces por el signo del segundotrmino. El binomio as formado seeleva al cuadrado. 17. Ejemplos: 01) x2 + 6x + 9(x+3)202) 16x2 + 8x +1(4x+1)203) y2 + 10y + 25(y+5)204) 4y2 - 24y + 36(2y+18)207) 25x2 + 30xy + 9y2(5x+3y)2 18. Trinomio cuadradoperfecto por adicin ysustraccin Algunos trinomios no cumplen lascondiciones para ser trinomioscuadrados perfectos, el primer y tercertrmino tienen raz cuadrada perfectapero el trmino de la mitad no es eldoble producto de las dos races. 19. Procedimiento: Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto,extrayendo la raz cuadrada al primer y tercer trmino;las races cuadradas de estos trminos se multiplicanpor 2, y este producto se compara con el segundotrmino del trinomio dado. Si el 2 trmino del trinomio no es igual al productoencontrado, no es cuadrado perfecto. Por lo que seprocede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto,de la siguiente manera: Se le suma al 2 trmino la diferencia que falta paraque sea igual a producto encontrado en lacomprobacin del trinomio; y adems para que eltrinomio dado no vare hay que restarle esta mismadiferencia a todo el trinomio. Por ltimo se encuentra el resultado como en unadiferencia de cuadrados perfectos 20. Ejemplo: x^4 +x^2y^2 +y^4(x^4 +2x^2y^2 +y^4) - x^2y^2= (x^2+ y^2)^2 x^2y^2(x^2 +xy +y^2)(x^2 -xy+y^2) 21. Trinomio de la forma x2+bx+c Esta clase de trinomio se caracterizapor lo siguiente:El primer trmino tiene comocoeficiente 1 y la variable esta alcuadrado.El segundo trmino tiene coeficienteentero de cualquier valor y signo y lamisma variable.El tercer trmino es independiente (nocontiene la variable). 22. Procedimiento Para factorar este trinomio se debenabrir dos factores que sean binomios,y donde el primer trmino de cadabinomio es la variable y el segundotrmino en cada uno de los factores(parntesis), son dos nmeros , unoen cada parntesis de tal forma que lasuma de los dos del coeficiente delsegundo trmino del trinomio y lamultiplicacin de los dos del tercertrmino del trinomi 23. Nota:Si el signo del tercer trmino esnegativo, entonces uno ser positivo yel otro negativo, el mayor de los dosnmeros llevara el signo del segundotrmino del trinomio y el otro nmerollevara el signo contrario. Si el signo del tercer trmino espositivo, entonces los dos signossern iguales (positivos o negativos),sern el signo del segundo trminodel trinomio. 24. Cubo perfecto debinomiosPara reconocer este caso las condiciones son: Posee cuatro trminos El primer y cuarto trmino son cubosperfectos (tienen races cbicas exactas). El segundo termino sea el triple del cuadradode la raz cbica del primer trminomultiplicado por la raz cbica del ltimotrmino. El tercer termino sea el triple del cuadrado dela raz cbica del ltimo trmino -multiplicadopor la raz cbica del primer trmino. Los signos son todos mas o tambin podraser positivo el primero y el tercero y negativoel segundo y el cuarto 25. Procedimiento: Para factorizar un cubo perfecto seforma un binomio y se eleva alcubo, el primer trmino del binomio esla raz cbica del primer trmino y elsegundo trmino es la raz cbica delltimo trmino. El signo del segundotrmino es mas si todos los signos delcubo son mas y es menos si lossignos del segundo y cuarto trminodel cubo son menos. 26. Trinomio de la formaax2+bx+c Este trinomio se diferencia deltrinomio cuadrado perfecto en que elprimer trmino puede tener coeficientediferente de 1. 27. Procedimiento: Se multiplica todo el trinomio por elcoeficiente del primer trmino, y sedivide por el mismo coeficiente. Sefactoriza el trinomio en la partesuperior del fraccionario y sesimplifica con el nmero que estacomo denominador. 28. Ejemplos: 10m-m-21= ((10m)- (10m)- 210)/10((10m - 15 )(10m + 14 )/10(5(2m - 3 )2(5m + 7 )/10(2m - 3 )(5m + 7 ) 29. 20x + x -1= ((20x) + (20x) - 20)/20= ((20x + 5)(20x - 4))/20= 5((4x +1)4(5x-1))/20= (4x +1)(5x-1) 30. Suma o diferencia de cubosperfectos Su nombre lo indica, se reconoce porser la suma o la resta de dos cubos.Su solucin ser dos factores, elprimero de ellos es un binomioformado por las dos races cbicas delos trminos dados, el segundo factoresta formado por tres trminos as: laprimera raz al cuadrado, la primeraraz por la segunda y la segunda razal cuadrado. 31. By Kelyn Tobanta Gracias !!!! 32. Suma o diferencia de dospotencias iguales Resumamos en la siguiente tabla las posibilidades:Para an-bn con n = par o impar la factorizacin ser:Para an-bn con n = par la factorizacin ser:Para an+bn con n = impar la factorizacin ser: