Tutorial de

Factorizació

n

Factor

Expresión algebraica que

multiplica a una segunda

expresión.

Factorización

Es la descomposición de una expresión

matemática (que puede ser un

número, una suma, una matriz, un

polinomio, etc.) en forma de

multiplicación.

Factor Común

Este caso se emplea para factorizar una

expresión en la cual todos los términos

tienen algo en común( letra, número,

combinación de los dos)

Procedimiento:

1. Primero se tiene que determinar el

factor común en la expresión.

4 ab + 10ac=

El factor común seria a.

1. Luego hay que dividir todo el binomio

o polinomio dado entre dicho factor.

a(4b + 10 c)=

Ejemplos:

5xy+8by=

y(5x + 8b)

2xy +4xd=

2x(1 + 2d)

Factor común por

agrupación Resulta cuando el factor común que

aparece en una expresión es

polinomio, por lo que se necesita

agrupar los términos.

Ejemplo

Aquí tenemos una expresión

a(x +7)+ b(x+7)

En este caso el factor común seria

(x+7) ; por lo tanto quedaría

(x+7)(a+b).

Es decir en este caso se agrupan

términos iguales.

1) 2y + 2j +3xy + 3xj =(2y+2j)+(3xy+3xj)=2(y+j)+3x(y+j)=(2+3x)(y+j)

2) 5x4y + 3x2y -9xy -15xy25x4y -15xy2 + 3x3y -9y=5xy (x3 -3y) +3y (x3 -3y)=(x3 -3y)(5xy +3y)

3) 20ac + 15bc +4ad + 3bd = (20ac + 4ad) + (15bc + 3bd) = 4a(5c + d) + 3b(5c + d)= (4a + 3b)(5c + d)

4) 18a3 + 12a2 - 15a - 10 = (18a3 + 12a2) - (15a + 10) =6a2(3a + 2) - 5(3a + 2)=(6a2 - 5)(3a + 2)

Diferencia de cuadrados

Se le llama diferencia de cuadrados al

binomio conformado por dos términos

a los que se les puede sacar raíz

cuadrada exacta.

La diferencia de cuadrados es igual al

producto de la suma por la diferencia

de sus bases.

Procedimiento

Se extrae la raíz cuadrada de ambos

términos.

Se multiplica la suma por la diferencia

de estas cantidades (el segundo

termino del binomio negativo es la raíz

del termino del binomio que es

negativo).

Ejemplos:

1. a6/36 - 49b4/100 = (a3/6 + 7b2/10)(a3/6 -7b2/10)

2. x2nb8n - 1/169 = (xnb4n + 1/13)(xnb4n -1/13)

3. a4nb6n - c12x /64 = (a2nb3n + c6x /8)(a2nb3n - c6x /8)

4. (m - n)2 - (x + y)2 = (m - n + x + y)(m - n - x + y)

5. (3x - 4)2 - (2x - 6)2 = (5x - 10)(x + 2)

6. (3a + 2b - c)2 - (2a + 2b)2 = (5a + 4b - c)(a -c)

Suma o diferencia de cubos

perfectos

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos

factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el

segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el

producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos

factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el

segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz más el

producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplos:

(x + 2)³ = x³ + 3·x²·2 + 3·x·2² + 2³ = x³

+ 6x² + 12x + 8

(x - 4)³ = x³ + 3·x²·(-4) + 3·x·(-4)² + 2³ =

x³ - 12x² + 48x - 64

Trinomio cuadrado

perfecto Una expresión se denomina trinomio

cuadrado perfecto cuando consta de

tres términos donde el primero y

tercer términos son cuadrados

perfectos (tienen raíz cuadrada

exacta) y positivos, y el segundo

término es el doble producto de sus

raíces cuadradas.

Procedimiento

Se extrae la raíz cuadrada del primer

y tercer término y se separan estas

raíces por el signo del segundo

término. El binomio así formado se

eleva al cuadrado.

Ejemplos: 01) x2 + 6x + 9

(x+3)2

02) 16x2 + 8x +1

(4x+1)2

03) y2 + 10y + 25

(y+5)2

04) 4y2 - 24y + 36

(2y+18)2

07) 25x2 + 30xy + 9y2

(5x+3y)2

Algunos trinomios no cumplen las

condiciones para ser trinomios

cuadrados perfectos, el primer y tercer

término tienen raíz cuadrada perfecta

pero el término de la mitad no es el

doble producto de las dos raíces.

Trinomio cuadrado

perfecto por adición y

sustracción

Procedimiento:

Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada al primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos términos se multiplican por 2, y este producto se compara con el segundo término del trinomio dado.

Si el 2º término del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado perfecto. Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, de la siguiente manera:

Se le suma al 2º término la diferencia que falta para que sea igual a producto encontrado en la comprobación del trinomio; y además para que el trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma diferencia a todo el trinomio.

Por último se encuentra el resultado como en una diferencia de cuadrados perfectos

Ejemplo:

x^4 +x^2y^2 +y^4

(x^4 +2x^2y^2 +y^4) - x^2y^2= (x^2

+ y^2)^2 – x^2y^2

(x^2 +xy +y^2)(x^2 -xy+y^2)

Trinomio de la forma xˆ2

+bx+c Esta clase de trinomio se caracteriza

por lo siguiente:El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable.El tercer término es independiente (no contiene la variable).

Procedimiento

Para factorar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y donde el primer término de cada binomio es la variable y el segundo término en cada uno de los factores (paréntesis), son dos números , uno en cada paréntesis de tal forma que la suma de los dos del coeficiente del segundo término del trinomio y la multiplicación de los dos del tercer término del trinomi

Nota:

Si el signo del tercer término es negativo, entonces uno será positivo y el otro negativo, el mayor de los dos números llevara el signo del segundo término del trinomio y el otro número llevara el signo contrario.

Si el signo del tercer término es positivo, entonces los dos signos serán iguales (positivos o negativos), serán el signo del segundo término del trinomio.

Cubo perfecto de

binomiosPara reconocer este caso las condiciones son:

Posee cuatro términos El primer y cuarto término son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas).

El segundo termino sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

El tercer termino sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del último término -multiplicado por la raíz cúbica del primer término.

Los signos son todos mas o también podría ser positivo el primero y el tercero y negativo el segundo y el cuarto

Procedimiento:

Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer término del binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo término es la raíz cúbica del último término. El signo del segundo término es mas si todos los signos del cubo son mas y es menos si los signos del segundo y cuarto término del cubo son menos.

Trinomio de la forma

axˆ2+bx+c

Este trinomio se diferencia del

trinomio cuadrado perfecto en que el

primer término puede tener coeficiente

diferente de 1.

Procedimiento:

Se multiplica todo el trinomio por el

coeficiente del primer término, y se

divide por el mismo coeficiente. Se

factoriza el trinomio en la parte

superior del fraccionario y se

simplifica con el número que esta

como denominador.

Ejemplos:

10m²-m-21

= ((10m)²- (10m)- 210)/10

((10m - 15 )(10m + 14 )/10

(5(2m - 3 )2(5m + 7 )/10

(2m - 3 )(5m + 7 )

20x² + x -1

= ((20x)² + (20x) - 20)/20

= ((20x + 5)(20x - 4))/20

= 5((4x +1)4(5x-1))/20

= (4x +1)(5x-1)

Suma o diferencia de cubos

perfectos

Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos. Su solución será dos factores, el primero de ellos es un binomio formado por las dos raíces cúbicas de los términos dados, el segundo factor esta formado por tres términos así: la primera raíz al cuadrado, la primera raíz por la segunda y la segunda raíz al cuadrado.

By Kelyn Tobanta

Gracias !!!!

Suma o diferencia de dos

potencias iguales

Resumamos en la siguiente tabla las posibilidades: Para an-bn con n = par o impar la factorización será:

Para an-bn con n = par la factorización será:

Para an+bn con n = impar la factorización será: