modulo factorización

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Page 1: Modulo factorización
Page 2: Modulo factorización

Oaaaaaaaaa!! Bienvenidos al mundo de la factorizacion… somos los teletubbies y te acompañaremos en esta tarea de aprender a factorizar buena suerte y adelante!!!

Page 3: Modulo factorización

Algo de historia:

Los primeros vestigios del desarrollo de la ciencia matemática se encuentran 5000-500 AC en Egipto. Pitágoras, Tales de Mileto, Euclides son algunos de los matemáticos que fueron dando realce al estudio de la matemática. Establecieron un método riguroso para la demostración geométrica e hicieron del numero el principio universal por excelencia.

Page 4: Modulo factorización

Métodos para factorizar un polinomio

Antes de comenzar debes tener en claro que la factorización lo que se busca es expresar una o varias cantidades como el producto de dos o más factores, dando la posibilidad de factorizar de diferentes formas expresiones algebraicas denominando a este proceso casos de factorización.

Pero … ¿Qué es factorizar?En pocas palabras, la factorización de expresiones

algebraicas consiste en buscar el origen de las mismas, en descomponerlas.

Page 5: Modulo factorización

Casos de Factorización

Subsecciones :1.- Factor Común 2.- Factor Común por agrupación de términos 3.- Casos para Trinomios 4.- Diferencia de cuadrados 5.- Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción6.- Trinomio cuadrado de la forma 7.- Trinomio cuadrado de la forma 8.- Cubo perfecto de Binomios 9.- Suma o Diferencia de Cubos perfectos 10.- Suma o Diferencia de dos potencias iguales 11.- Casos para Polinomios 12.- Relación con la Geometría.12.- Prueba de diagnostico: I parte13.- Prueba diagnostico: II parte

Page 6: Modulo factorización

Factor Común

Explicación: Este es el primer caso y se emplea para

factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).

Factor común monomio: Es el factor que está presente en cada término del polinomio :

Ejemplo:

Casos de factorización.

Page 7: Modulo factorización

Factor común polinomio: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión :

Ejemplos: 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = 2a(m - 2n) - b (m - 2n )

= (m - 2n )( 2a - b )

3x(2z - 5z) + x (2z – 5z) = 3x(2z – 5z) + x(2z – 5z)

= (2z – 5z) (3x + x)

mnx + mny - mnz = mnx + mny – mnz

= mn (x + y – z)

Page 8: Modulo factorización

Veamos algunos ejercicios amigo …

Presiona sobre mi y te aparecerán …

A trabajar !!

Page 9: Modulo factorización

Algunos Ejercicios:Factor común monomio:

12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =

10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4=

22

9

8

4

3xyyx

24524332

16

1

8

1

4

1

2

1babababa

babaabba 3322

25

16

15

8

5

12

35

4

53433223

35

21

14

9

28

27

21

15yxyxyxyx

Page 10: Modulo factorización

Factor común polinomio:

x2( p + q ) + y2( p + q )=

a(2 + x ) - ( 2 + x )=

(x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 )=

(a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 )=

Factor Común.

Page 11: Modulo factorización

Factor Común por agrupación de términos

Explicación:Aquí utilizaremos el caso anterior:

adicionando que uniremos los factores que se parezcan, es decir, los que tengan un factor común.

Ejemplos:

Casos de factorización.

Page 12: Modulo factorización

3a + 5a + 3b + 5b = (3a + 5a) + (3b + 5b)

= a (3 + 5) + b (3 + 5)

= (a + b)(3 + 5)

2m – 5m + 2n – 5n = (2m – 5m) + (2n – 5n)

= m (2 – 5) + n (2 - 5)

= (m + n) (2 – 5)

Page 13: Modulo factorización

Veamos algunos ejercicios amigo …

Presiona sobre mi y te aparecerán …

A trabajar !!

Page 14: Modulo factorización

Algunos Ejercicios:

6ab + 4a - 15b - 10 =

ac - a - bc + b + c2 - c =

a3 + a2 + a + 1 =

18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =

3am - 8bp - 2bm + 12 ap =

15

4

21

4

10

3

143

35 72x xz xy yz x z

Factor Común por agrupación de términos.

Page 15: Modulo factorización

Casos para Trinomios

Explicación:Trinomio cuadrado perfecto: Este nombre es otorgado

a los trinomios que cumplen con las siguientes características:

El primer y tercer término se tiene raíz cuadrada exacta y son positivos.

El segundo término es igual a dos veces el producto de las raíces cuadradas y puede ser positivo o negativo. y se factoriza como una suma o diferencia, dependiendo del segundo término, elevado al cuadrado, se factoriza

así:

Casos de factorización.

Page 16: Modulo factorización

Ejemplos:

x2 + 8x + 16 = (x + 4)2

9x2 + 42x + 49 = (3x + 7)2

4x2 – 4x + 1 = (2x – 1)2

Aquí tienes algunos ejemplos aclaratorios!!

Page 17: Modulo factorización

Veamos algunos ejercicios amigo …

Presiona sobre mi y te aparecerán …

A trabajar !!

Page 18: Modulo factorización

Algunos ejercicios:

25x2 + 55x + 121/4 =x2 + x + ¼ = a2 + 8a + 16 =4b2 – 4b + 1 =z2 + 12z + 36 =25m2 + 18m + 81 =n2 + 14n + 49 =

Casos para Trinomios.

Vamos amigo trabaja con todas las ganas!

Page 19: Modulo factorización

Diferencia de cuadrados

Explicación: Para esto debemos tener en cuenta que un binomio es

una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta.

Ejemplo:

Casos de factorización.

Page 20: Modulo factorización

Suma o diferencia de potencias iguales: Para solucionar este caso debes tener en cuenta los conocimientos adquiridos sobre cocientes notables, es decir: donde n pertenece a z;

si n es par :

si n es impar :

y

Page 21: Modulo factorización

se factoriza así: si n pertenece a z

si n es par :

si n es impar :

Page 22: Modulo factorización

Ejemplos:

25 - 9 = (5 – 3) (5 + 3)

a2 – b2 = (a – b) (a + b)

(7x – 9) (7x + 9) = 49x – 81

Page 23: Modulo factorización

Veamos algunos ejercicios amigo …

Presiona sobre mi y te aparecerán …

A trabajar !!

Page 24: Modulo factorización

Algunos Ejercicios:

36m2n2 - 25 =

121 x2 - 144 k2 =

3x2 - 12 =

9

25

49

362 2a b

1

25

9

164 4x y

5 - 180f2 =

Diferencia de cuadrados.

Page 25: Modulo factorización

Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción

Explicación: En este caso se intenta transformar una expresión

(binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.

Ejercicio:

Casos de factorización.

Page 26: Modulo factorización

Resolviéndolo nos queda:

Aplicamos diferencia de cuadrados:

Page 27: Modulo factorización

Ejemplos:

16m2 – 40mn + 25n2 = (4m – 5n)2 4m x 2 x 5n = 40 mn

4b2 + 4b + 1 = (2b + 1)2 2b x 2 x 1 = 4b

1 + 6x + 6x2 = (1 + 3x)2 1 x 2 x 3x = 6x

Page 28: Modulo factorización

Veamos algunos ejercicios amigo …

Presiona sobre mi y te aparecerán …

A trabajar !!

Page 29: Modulo factorización

Algunos ejercicios:

x2 + 6x + 9 =

16x2 + 8x + 1 =

y2 + 10y + 25 =

81y2 - 180y + 100 =

81z2+ 108zw + 36w2 =

49x2 + 112x + 64 =

4y2 - 24y + 36 =

Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción.

Page 30: Modulo factorización

Trinomio cuadrado de la forma

Explicación: Este trinomio debe cumplir con las siguientes

características: Debe estar organizado de forma

correspondiente (es decir, debe coincidir con la formula).

El primer término debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta.

La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raíz cuadrada del término número uno.

Casos de factorización.

Page 31: Modulo factorización

Existen dos números que :

es decir:

Page 32: Modulo factorización

Ejemplos:

x2 + 6x + 8 = (x + 4) (x + 2)4 x 2 = 84 + 2 = 6

x2 – 11x – 26 = (x – 13) (x + 2)-13 x 2 = -26-13 + 2= -11

x2 -17x + 30 = (x – 15) (x – 2)-15 x -2 = 30-15 + -2 = -17

Page 33: Modulo factorización

Veamos algunos ejercicios amigo …

Presiona sobre mi y te aparecerán …

A trabajar !!

Page 34: Modulo factorización

Algunos Ejercicios:

x2 + 12x + 6 =

a2 – 24a + 15 =

f2 – 15f + 18=

x2 + 6x +5=

r2 – 12r +27=

m2 + 19m + 48=

w2 + 20w – 6=

Trinomio cuadrado de la forma:

Page 35: Modulo factorización

Trinomio cuadrado de la forma

Explicación: Debe cumplir con las siguientes características:

Debe estar organizado de forma correspondiente (es decir, debe coincidir con la formula).

El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y la parte literal debe tener raíz cuadrada exacta.

La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raíz cuadrada del término número uno.

Casos de factorización.

Page 36: Modulo factorización

Cumpliendo con todas las características anteriores se procede a factorizar transformando el trinomio dado en uno de la forma

De la siguiente forma:

Page 37: Modulo factorización

luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al primer término (esto con el fin de no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:

y se opera, dando como resultado:

y de esta forma nos queda como un trinomio de la forma anterior.

Page 38: Modulo factorización

Ejemplo:

12x2 + 16x – 3 = / x 12

(12x)2 + 16(12x) – 36 = (12x + 18) (12x – 2)

18 x -2 = -3618 + -2 = 16

(12x + 18)(12x – 2) 6(2x + 3) 2(6x – 1) ______________ = ______________ = (2x + 3)(6x – 1)

12 12

Page 39: Modulo factorización

Veamos algunos ejercicios amigo …

Presiona sobre mi y te aparecerán …

A trabajar !!

Page 40: Modulo factorización

Algunos Ejercicios:

4x2 + 7x + 3 =

4h2 + 5h + 1 =

2x2 + 5x - 12 =

6x2 + 7x - 5 =

8x2 - 14x + 3 =

6a2 + 23ab - 4b2 =

Trinomio cuadrado de la forma:

Que divertido es factorizar!! Hagamos una ronda por ello…

Heeeeeee!!!!!!!

Page 41: Modulo factorización

Cubo perfecto de Binomios

Explicación:Teniendo en cuenta que los productos notables

nos dicen que:

y

Casos de factorización.

Page 42: Modulo factorización

Es decir que debe cumplir con las siguientes características:

•Debe tener cuatro términos. •Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos •Que el segundo término sea aproximadamente el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. •Que el tercer término sea más que el triple de la raíz cúbica del último .

Page 43: Modulo factorización

Raíz cúbica de un monomio: Esta se obtiene tomando la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3. Factorizar una expresión que es el cubo de un binomio:

Page 44: Modulo factorización

Ejemplos:

• x3 + 3x2z + 3xz2 + z3 = / se saca raíz cúbica del 1º termino = x

se saca raíz cúbica del 2º termino = z

x3 + 3x2z + 3xz2 + z3 = (x + z)3

• 8m6n3 + 48m5n4 + 96m4n5 + 64m3n6 =

/ raíz cúbica 1º termino = 2m2n

raíz cúbica 2º termino = 4mn2

8m6n3 + 48m5n4 + 96m4n5 + 64m3n6 = (2m2n + 4mn2)3

• (x + z)3 = x3 + 3x2z + 3ab2 + b3

Page 45: Modulo factorización

Veamos algunos ejercicios amigo …

Presiona sobre mi y te aparecerán …

A trabajar !!

Page 46: Modulo factorización

Algunos ejercicios:

(2x – 3z)3 =

(5y + 1)3 =

(2 + a2)3 =

(1 – a)3 =

m3 + 3m2n + 3mn2 =

27 – 27x + 9x2 – x3 =

c2 + 3c2 +3c + 1 =

Cubo perfecto de Binomios.

Aquí tienes ejercicios para trabajar!! Haz tu mayor esfuerzo!!

Page 47: Modulo factorización

Suma o Diferencia de Cubos

perfectos Explicación:

Para esto debemos recordar que:

y

Casos de factorización.

Page 48: Modulo factorización

Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:

• La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. • La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Page 49: Modulo factorización

Ejemplos:

• x3 + z3 = (x + z)(x2 – xz + z2)

x3 – z3 = (x – z)(x2 + xz + z2)

• 2m3 + z3 = (2m + z)(2m2 - 2mz + n2)

2m3 – z3 = (2m – z)(2m2 + 2mz + n2)

• (3b + 3c)(3b2 – 3b 3c + 3c2) = 3b3 + 3c3

(3b – 3c)(3b2 + 3b 3c + 3c2) = 3b3 – 3c3

Page 50: Modulo factorización

Veamos algunos ejercicios amigo …

Presiona sobre mi y te aparecerán …

A trabajar !!

Page 51: Modulo factorización

Algunos Ejercicios:

9x3 + 27 =

16m3 + 25n3 =

4b3 – 1 =

1 + 9x3 =

9m3 – 3n3 =

4w3 + 64z3 =

25f3 + g3 =

Suma o Diferencia de Cubos perfectos.

Page 52: Modulo factorización

Suma o Diferencia de dos potencias iguales

Explicación: Debemos tener en cuenta una pequeña

recapitulación de:

•          es divisible por       siendo n un número par o impar •          es divisible por       siendo n impar •          es divisible por       siendo n par •          nunca es divisible por      

Casos de factorización.

Page 53: Modulo factorización

Demostración:

se divide por:

y tenemos:

y obtenemos como respuesta:

)

Page 54: Modulo factorización

Ejemplos:

• x4 + z4 = x4 + z4/x + z

= x3 – x2z + xz2 – z3

x4 + z4 = (x + z)(x3 –x2z + xz2 –z3)

• m6 + n6 = m6 + n6/m + n

= m5 - m4n + m3n2 – m2n3 + mn4 – n5

m6 + n6 = (m + n)(m5 - m4n + m3n2 – m2n3 + mn4 – n5)

• b3 + c3 = b3 + c3/b+c

= b2 – bc + c2

b3 + c3 = (b + c)(b2 – bc + c2)

Page 55: Modulo factorización

Veamos algunos ejercicios amigo …

Presiona sobre mi y te aparecerán …

A trabajar !!

Page 56: Modulo factorización

Algunos ejercicios:

m3 + n3 =

x4 – z4 =

b2 + c2 =

f6 – g6 =

2x3 + z3 =

4m2 – 2n2 =

6x3 + 12n3 =

Suma o Diferencia de dos potencias iguales.

Page 57: Modulo factorización

Casos para Polinomios

Explicación: Agrupación de términos: Aquí se intenta agrupar los

diferentes términos de una expresión para factorizar utilizando los diferentes métodos vistos. Para utilizar este método se debe tener en cuenta que la expresión debe tener un número de términos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de términos.

Casos de factorización.

Page 58: Modulo factorización

Demostración:

resolviéndolo nos queda:

Page 59: Modulo factorización

Ejemplos:

• Factorizar: ax + bx + aw + bw

Agrupamos: (ax + bx) + (aw + bw)

Factor común en cada binomio: x (a + b) + w (a + b)

Factor común polinomio: (a + b)

Entonces: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w)

• Factorizar: 2x2 - 4xy + 4x - 8y

Agrupamos: ( 2x2 - 4xy ) + ( 4x - 8y )

Factor común en cada binomio: 2x(x - 2y) + 4(x - 2y)

Factor común polinomio: (x - 2y)

Entonces: 2x2 - 4xy + 4x - 8y = (x - 2y)(2x + 4)

Page 60: Modulo factorización

• Factorizar 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n

Agrupamos ( 2m+n + 2m8m ) + ( 8m+n + 2n8n )

Factor común en cada binomio: 2m( 2n + 8m ) + 8n( 8m + 2n )

Factor común polinomio: ( 2n + 8m )

Entonces: 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n = ( 2n + 8m )(2m + 8n)

Page 61: Modulo factorización

Veamos algunos ejercicios amigo …

Presiona sobre mi y te aparecerán …

A trabajar !!

Page 62: Modulo factorización

Algunos ejercicios:

mx + nx + mw + nw =

af + bf + ag + bg =

3x2 - 6xy + 3xy - 2y =

2m2 – 7my + 3m - 9y =

4x2 - 8xn + 2x – 6n =

4x+y + 10x+y + 4x8x + 4y8y =

2b+c + 8b+c + 3b8b + 3c8c =

Casos para Polinomios.

Ya estamos casi en el final sigue esforzándote por aprender queda muy poco!!…

Page 63: Modulo factorización

Relación con la Geometría

El cuadrado: Polígono de 4 lados iguales.

Sus segmentos se sacan ocupando la factorizacion de cuadrados perfectos.

Es decir, si el área de un cuadrado es:

A2 + 2ab + b2. ¿Cuánto será el valor de sus lados?

Área del cuadrado = lado2

a2 + 2ab + b = (a + b)(a + b) / factorizacion.

= (a + b)2

(a + b)

(a + b)

Casos de factorización.

Page 64: Modulo factorización

El rectángulo: Polígono de 4 lados. 2 y 2 lados iguales.

Sus segmentos se sacan factorizando su área por una diferencia de cuadrados.

Área rectángulo = base x altura

(a2 – b2) = (a + b)(a – b) / factorizacion.

Segmento 1= (a + b)

Segmento 2= (a – b)

(a – b)

(a + b)

Page 65: Modulo factorización

Vamos amigo.. Ahora es turno de que pongas tus conocimientos a prueba.. Ilumínate conmigo.. Buena suerte!! En tu I parte de la prueba..

Page 66: Modulo factorización

Prueba Diagnostico: I parte.

Factorizar completamente cada polinomio:1. 2x2 - 12x + 102. 3x3 - 27x2 + 54x3. 4x2 - 32x + 604. 2x3y + 4x2y2 - 6xy3

5. 4x2 - 30x + 146. 9y3 + 3y2 - 6y7. 20x3 - 5x8. 3x2 - 279. 2x3 - 1610. 24x3 + 3

Ver RespuestasCasos de factorización.

Page 67: Modulo factorización

Factorizar completamente cada polinomio: Respuestas:

1. 2x2 - 12x + 10 = 2(x - 5)(x - 1)

2. 3x3 - 27x2 + 54x = 3x(x - 3)(x - 6)

3. 4x2 - 32x + 60 = 4(x - 5)(x - 3)

4. 2x3y + 4x2y2 - 6xy3 = 2xy(x + 3y)(x - y)

5. 4x2 - 30x + 14 = 2(2x - 1)(x - 7)

6. 9y3 + 3y2 - 6y = 3y(3y - 2)(y + 1)

7. 20x3 - 5x = 5x(2x + 1)(2x - 1)

8. 3x2 - 27 = 3(x + 3)(x - 3)

9. 2x3 - 16 = 2(x - 2)(x2 + 2x + 4)

10. 24x3 + 3 = 3(2x + 1)(4x2 - 2x + 1)

Atrás.

Page 68: Modulo factorización

Vamos amigo.. Ahora es turno de que pongas tus conocimientos a prueba.. Ilumínate conmigo.. Buena suerte!! En tu II parte de la prueba..

Page 69: Modulo factorización

Prueba diagnostico: II parte.Factorizar completamente cada polinomio1. 2x2 - 12x + 10

2. 3x3 - 27x2 + 54x

3. 4x2 - 32x + 60

4. 2x3y + 4x2y2 - 6xy3

5. 4x2 - 30x + 14

6. 9y3 + 3y2 - 6y

7. 20x3 - 5x

8. 3x2 - 27

9. 2x3 - 16

10. 24x3 + 3Ver RespuestasCasos de factorización.

Page 70: Modulo factorización

Factorizar completamente cada polinomio: Respuestas:

1. 2x2 - 12x + 10 = 2(x - 5)(x - 1)

2. 3x3 - 27x2 + 54x = 3x(x - 3)(x - 6)

3. 4x2 - 32x + 60 = 4(x - 5)(x - 3)

4. 2x3y + 4x2y2 - 6xy3 = 2xy(x + 3y)(x - y)

5. 4x2 - 30x + 14 = 2(2x - 1)(x - 7)

6. 9y3 + 3y2 - 6y = 3y(3y - 2)(y + 1)

7. 20x3 - 5x = 5x(2x + 1)(2x - 1)

8. 3x2 - 27 = 3(x + 3)(x - 3)

9. 2x3 - 16 = 2(x - 2)(x2 + 2x + 4)

10. 24x3 + 3 = 3(2x + 1)(4x2 - 2x + 1)

Atrás.

Page 71: Modulo factorización

Integrantes: - Daniel Belmar. (3ºmA) - Germán Soto. (3ºmA) Fecha: 14 de Junio, 2005.