modulo factorización

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  • 1.

2. Oaaaaaaaaa!!Bienvenidos al mundo de la factorizacion somos los teletubbies y te acompaaremos en esta tarea de aprender a factorizar buena suerte y adelante!!! 3.

  • Algo de historia:
  • Los primeros vestigios del desarrollo de la ciencia matemtica se encuentran 5000-500 AC en Egipto. Pitgoras, Tales de Mileto, Euclides son algunos de los matemticos que fueron dando realce al estudio de la matemtica. Establecieron un mtodo riguroso para la demostracin geomtrica e hicieron del numero el principio universal por excelencia.

4.

  • Mtodos para factorizar un polinomio

Antes de comenzar debes tener en claro que la factorizacin lo que se busca es expresar una o varias cantidades como el producto de dos o ms factores, dando la posibilidad de factorizar de diferentes formas expresiones algebraicas denominando a este proceso casos de factorizacin.Pero Qu es factorizar? En pocas palabras, la factorizacin de expresiones algebraicas consiste en buscar el origen de las mismas, en descomponerlas. 5. Casos de Factorizacin

  • Subsecciones:
  • 1.-Factor Comn
  • 2.-Factor Comn por agrupacin de trminos
  • 3.-Casos para Trinomios
  • 4.-Diferencia de cuadrados
  • 5.-Trinomio cuadrado perfecto por adicin o sustraccin
  • 6.-Trinomio cuadrado de la forma
  • 7.-Trinomio cuadrado de la forma
  • 8.-Cubo perfecto de Binomios
  • 9.-Suma o Diferencia de Cubos perfectos
  • 10.-Suma o Diferencia de dos potencias iguales
  • 11.-Casos para Polinomios
  • 12.-Relacin con la Geometra.
  • 12.-Prueba de diagnostico:I parte
  • 13.-Prueba diagnostico:II parte

6. Factor Comn

  • Explicacin:
  • Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresin en la cual todos los trminos tienen algo en comn (puede ser un nmero, una letra, o la combinacin de los dos).
  • Factor comn monomio:Es el factor que est presente en cada trmino del polinomio :
  • Ejemplo:

Casos de factorizacin. 7.

  • Factor comn polinomio:Es el polinomio que aparece en cada trmino de la expresin :
  • Ejemplos:
  • 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = 2a (m - 2n)- b(m - 2n )
  • =(m - 2n )( 2a - b )
  • 3x(2z - 5z) + x (2z 5z) = 3x (2z 5z)+ x (2z 5z)
  • = (2z 5z) (3x + x)
  • mnx + mny - mnz =mn x +mn y mn z
  • = mn (x + y z)

8.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

9.

  • Algunos Ejercicios:
  • Factor comn monomio:

12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 = 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 = 10.

  • Factor comn polinomio:

x2( p + q ) + y2( p + q )= a(2 + x ) - ( 2 + x )= (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 )= (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 )=Factor Comn. 11. Factor Comn por agrupacin de trminos

  • Explicacin:
  • Aqu utilizaremos el caso anterior:adicionando que uniremos los factores que se parezcan, es decir, los que tengan un factor comn.
  • Ejemplos:

Casos de factorizacin. 12.

  • 3a + 5a + 3b + 5b = (3a + 5a) + (3b + 5b)
  • = a (3 + 5) + b (3 + 5)
  • = (a + b)(3 + 5)
  • 2m 5m + 2n 5n = (2m 5m) + (2n 5n)
  • = m (2 5) + n (2 - 5)
  • = (m + n) (2 5)

13.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

14.

  • Algunos Ejercicios:

6ab + 4a - 15b - 10 = ac - a - bc + b + c2- c = a3 + a2 + a + 1 = 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z = 3am - 8bp - 2bm + 12 ap = Factor Comn por agrupacin de trminos. 15. Casos para Trinomios

  • Explicacin:
  • Trinomio cuadrado perfecto:Este nombre es otorgado a los trinomios que cumplen con las siguientes caractersticas:
  • El primer y tercer trmino se tiene raz cuadrada exacta y son positivos.
  • El segundo trmino es igual a dos veces el producto de las races cuadradas y puede ser positivo o negativo. y se factoriza como una suma o diferencia, dependiendo del segundo trmino, elevado al cuadrado, se factoriza as:

Casos de factorizacin. 16.

  • Ejemplos:
  • x2 + 8x + 16 = (x + 4)2
  • 9x2 + 42x + 49 = (3x + 7)2
  • 4x2 4x + 1 = (2x 1)2

Aqu tienes algunos ejemplos aclaratorios!! 17.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

18.

  • Algunos ejercicios:
  • 25x2 + 55x + 121/4 =
  • x2 + x + =
  • a2 + 8a + 16 =
  • 4b2 4b + 1 =
  • z2 + 12z + 36 =
  • 25m2 + 18m + 81 =
  • n2 + 14n + 49 =

Casos para Trinomios . Vamos amigo trabaja con todas las ganas! 19. Diferencia de cuadrados

  • Explicacin:
  • Para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los trminos que la componen tengan diferentes signos y ambos trminos tengan raz cuadrada exacta.
  • Ejemplo:

Casos de factorizacin. 20.

  • Suma o diferencia de potencias iguales:Para solucionar este caso debes tener en cuenta los conocimientos adquiridos sobre cocientes notables, es decir: donde n pertenece a z;

si n es par : si n es impar : y 21.

  • se factoriza as: si n pertenece a z

si n es par : si n es impar : 22.

  • Ejemplos:
  • 25 - 9 = (5 3) (5 + 3)
  • a2 b2 = (a b) (a + b)
  • (7x 9) (7x + 9) = 49x 81

23.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

24.

  • Algunos Ejercicios:

36m2n2 - 25 = 121 x2 - 144 k2 = 3x2 - 12 = 5 - 180f2 = Diferencia de cuadrados. 25. Trinomio cuadrado perfecto por adicin o sustraccin

  • Explicacin:
  • En este caso se intenta transformar una expresin (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.
  • Ejercicio:

Casos de factorizacin. 26.

  • Resolvindolo nos queda:

Aplicamos diferencia de cuadrados: 27.

  • Ejemplos:
  • 16m2 40mn + 25n2 = (4m 5n)2
  • 4mx2x5n =40 mn
  • 4b2 + 4b + 1 = (2b + 1)2
  • 2bx2x1 =4b
  • 1 + 6x + 6x2 = (1 + 3x)2
  • 1x2x 3x =6x

28.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

29.

  • Algunos ejercicios:

x2 + 6x + 9= 16x2 + 8x + 1 = y2 + 10y + 25 = 81y2 - 180y + 100 = 81z2+ 108zw + 36w2 = 49x2 + 112x + 64 = 4y2 - 24y + 36 = Trinomio cuadrado perfecto por adicin o sustraccin. 30. Trinomio cuadrado de la forma

  • Explicacin:
  • Este trinomio debe cumplir con las siguientes caractersticas:
  • Debe estar organizado de forma correspondiente (es decir, debe coincidir con la formula).
  • El primer trmino debe ser positivo y tener raz cuadrada exacta.
  • La variable que esta acompaando el segundo trmino debe ser la raz cuadrada del trmino nmero uno.

Casos de factorizacin. 31.

  • Existen dos nmeros que :

es decir: 32.

  • Ejemplos:
  • x2 + 6x + 8 = (x + 4) (x + 2)
  • 4 x 2 =8
  • 4 + 2 =6
  • x2 11x 26 = (x 13) (x + 2)
  • -13 x 2 =-26
  • -13 + 2=-11
  • x2 -17x + 30 = (x 15) (x 2)
  • -15 x -2 =30
  • -15 + -2 =-17

33.

  • Veamos algunos ejercicios amigo
  • Presiona sobre mi y te aparecern
  • Atrabajar !!

34.

  • Algunos Ejercicios:
  • x2 + 12x + 6 =
  • a2 24a + 15 =
  • f2 15f + 18=
  • x2 + 6x +5=
  • r2 12r +27=
  • m2 + 19m + 48=
  • w2 + 20w 6=

Trinomio cuadrado de la forma: 35. Trinomio cuadrado de la forma

  • Explicacin:
  • Debe cumplir con las siguientes caractersticas:
  • Debe estar organizado de forma correspondiente (es decir, debe coincidir con la formula).
  • El primer trmino debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y la parte literal debe tener raz cuadrada exacta.
  • La variable que esta acompaando el segundo trmino debe ser la raz cuadrada del trmino nmero uno.

Casos de factorizacin. 36.

  • Cumpliendo con todas las caractersticas anteriores se procede a factorizar transformando el trinomio dado en uno de la forma

De la siguiente forma: 37.

  • luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaa al primer trmino (esto con el fin de no al