factorización con ruffini

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1. Paolo Ruffini Valentano, 22 de septiembre de 1765 Mdena, 10 de mayo de 1822)[email protected] 2. MTODO DE RUFFINI Para factorizar polinomios p(x)=(x3 + 6x2 x-30) = (x+3)(x+5)(x-2) Para dividir polinomios (x3 + 6x2 x-30) : (x+3) [email protected] 3. Para factorizar polinomios Tenemos el siguiente polinomio de tercer grado: p(x)=(6x2 + x3 x - 30) Nos piden factorizarlo. Al ser de grado 3, la solucin ser del tipo: P(x)=(x-x1) (x-x2) (x-x3) Aplicamos el mtodo de Ruffini. [email protected] 4. 1 ORDENAMOS EL POLINOMIO Ordenamos cada uno de los monomios que forman el polinomio, en orden decreciente de exponentes, o sea, de mayor a menor exponente. p(x)=(6x2 + x3 x - 30) p(x)=(x3+ 6x2 x - 30) [email protected] 5. 2 COMPLETAMOS EL POLINOMIO Una vez ordenados, comprobamos que todas las potencias estn presentes. Si no es as, rellenamos. Vamos a hacerlo con una plantilla. Qu grado tiene nuestro polinomio? .3 Nuestra plantilla es: x3+ x2 +x1 + x0 [email protected] 6. 2 COMPLETAMOS EL POLINOMIO x3+ x2 +x1 + x0 Completamos la plantilla con los coeficientes de nuestro polinomio. Si para alguno de los huecos, no tenemos dato (o sea, no hay monomio con ese grado) pues ponemos 0. No te olvides de los signos. p(x)=(x3+ 6x2 x - 30) [email protected] 7. 2 COMPLETAMOS EL POLINOMIO 1x3+ x2 +x1 + x0 p(x)=(x3+ 6x2 x - 30) [email protected] 8. 2 COMPLETAMOS EL POLINOMIO 1x3+ 6x2 +x1 + x0 p(x)=(x3+ 6x2 x - 30) [email protected] 9. 2 COMPLETAMOS EL POLINOMIO 1x3+ 6x2 +(-1)x1 + x0 p(x)=(x3+ 6x2 x - 30) [email protected] 10. 2 COMPLETAMOS EL POLINOMIO 1x3+ 6x2 +(-1)x1 + (-30) x0 p(x)=(x3+ 6x2 x - 30) Nuestro polinomio est completo. Ahora est listo para aplicar Ruffini. [email protected] 11. 3 PREPARAMOS LA TABLA 1 1x3+ 6x2 +(-1)x1 + (-30) x0 6 -1 -30 1 El primer coeficiente lo bajamos tal [email protected] 12. 4 LISTA DE SOSPECHOSOS Ahora nos fijamos en el trmino independiente. p(x)=(x3+ 6x2 x - 30) Hallamos los divisores de 30, que son, entre otros, 5, 2, 3, y 1. Tambin se puede dividir por 15, 30, 10, etc., pero estos son formas compuestas. Nos quedamos slo con los primos: 5, 2, 3, y 1. Y con sus opuestos. [email protected] 13. 4 LISTA DE SOSPECHOSOS LISTA DE SOSPECHOSOS + 5 -5 + 3 -3 + 2 -2 + 1 -1 Empezaremos con este (puedes empezar por cualquiera, el 1 es lo ms fcil) [email protected] 14. 5 Aplicamos Rufinni 1 6 -1 -30 1 1 Colocamos aqu el sospechoso elegido [email protected] 15. 5 Aplicamos Rufinni 1 6 -1 -30 1 1 Multiplicamos el dividendo (1) por la primera cifra que habamos bajado (1). El resultado lo ponemos bajo el siguiente coeficiente, encima de la lnea 1 x 1 = 1 1 [email protected] 16. 5 Aplicamos Rufinni 1 6 -1 -30 1 1 Se suma el resultado anterior con el siguiente coeficiente, y se pone el resultado bajo la lnea 6+1=7 1 7 [email protected] 17. 5 Aplicamos Rufinni 1 6 -1 -30 1 1 Procedemos igual con el resultado anterior: multiplicamos por 1 y el resultado se lo sumamos al siguiente coeficiente (-1) 1x7=7 1 7 7 6 -1+7=6 [email protected] 18. 5 Aplicamos Rufinni 1 6 -1 -30 1 1 Y terminamos con la ltima cifra. El resto obtenido es -24. Como no es 0, la divisin no ha sido exacta, es decir, (x-1) no es divisor de P(x) 1x6=6 1 7 7 6 -30+6=-24 6 -24 0 [email protected] 19. 4 LISTA DE SOSPECHOSOS LISTA DE SOSPECHOSOS + 5 -5 + 3 -3 + 2 -2 + 1 -1 Eliminamos el +1 de la lista. NO nos sirve. Servir el -1? X [email protected] 20. 5 Aplicamos Rufinni 1 6 -1 -30 1 -1 Ahora del tirn 1 -1 -5 +6 5 -6 -26 0 Tampoco da 0, no vale [email protected] 21. 4 LISTA DE SOSPECHOSOS LISTA DE SOSPECHOSOS + 5 -5 + 3 -3 + 2 -2 + 1 -1 Eliminamos el -1 de la lista. NO nos sirve. Servir el +2? X X [email protected] 22. 5 Aplicamos Rufinni 1 6 -1 -30 1 2 Observa lo que tenemos hasta ahora: 1 2 16 30 8 15 0 P(x)=(x2 8x +15)(x-2) [email protected] 23. 5 Aplicamos Rufinni Ya tenemos un polinomio de grado 2, por lo que los otros dos factores los podemos hallar con la frmula general de resolucin de ecuaciones de 2 grado. O bien, continuamos aplicando Rufinni en este polinomio. Como la lista de sospechosos aun es larga, optamos por la primera opcin, la ms [email protected] 24. 6 Hallamos las races del polinomio de 2 grado P(x)=(x2 8x +15)(x-2) = 2 4 2 = (8) (8)24 1 15 2 1 = 8 64 60 2 = 8 4 2 = 8 2 2 = 4 1 Las soluciones son 5 y 3, ambos positivos [email protected] 25. 7 Escribimos la solucin al problema p(x)=(6x2 + x3 x - 30) P(x)=(x-2) (x-3) (x-5) [email protected] 26. FACTORIZAR UN POLINOMIO Ordenamos monomios de mayor a menor exponente Completamos los monomios que falten con coeficiente 0 Estn ordenados los monomios? Si No Est completo el polinomio? Si No Hallamos los mltiplos primos del trmino independiente Vamos aplicando Rufinni a cada uno de ellos Da resto 0? Si NoVamos apuntando los resultados vlidos SOLUCIN: P(X)=(X-X1)(X-X2)(X-Xn) Siendo n=grado del [email protected]