reglas factorización

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  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 9

  • pgina 10 FACTORIZACIN

    CONCEPTO

    Para entender el concepto terico de este tema, es necesario recordar lo que se mencion en la pgina2 referente al nombre que se le da a las cantidades en funcin de la operacin que estn realizando.

    Se dijo que FACTOR es el nombre que se le da a toda cantidad, ya sea en Aritmtica o en lgebra,que "est jugando el deporte" llamado MULTIPLICACIN. En palabras ms tcnicas, un factor es todacantidad que se est multiplicando con otra.

    Por ejemplo, en la operacin 23 14, como el nmero 23 "est jugando al deporte" llamado multipli-cacin, se le llama factor. Tcnicamente, como el 23 se est multiplicando con otro nmero, ste es unfactor. Lo mismo puede decirse del nmero 14.

    FACTORIZAR una cantidad o expresin significa encontrar sus factores, es decir, aquellos nmerosque multiplicados dan dicha cantidad. Por ejemplo, factorizar el nmero 6 significa hallar los nmerosque multiplicados entre s dan el 6. Son el 2 y el 3, ya que 6 = 2 3. Factorizar el 6 es escribirlo de laforma 2 3.

    Cuando se trata de una expresin algebraica, factorizarla es tambin escribirla de manera que suoperacin principal sea la multiplicacin. Obsrvense los siguientes casos: si se tiene la expre-sin , su operacin principal es la suma (y la resta), por lo tanto, lo que hay all escritos22 9 5x x+ son trminos, no factores. Factorizada queda de la forma (2x - 1)(x + 5) , en donde la operacin principales la multiplicacin, por lo que hay all factores. Por eso est factorizada. Desde luego que el alumnono debe preocuparse en este momento en cmo se hizo para factorizar una expresin como la anteriorpues eso no se ha explicado todava. En cambio, si se tiene la expresin y sta6 2 3ax bx ay by +se escribe de la forma 2x(3a - b) - y(3a - b), no ha sido factorizada ya que en esta ltima expresin laoperacin principal es la resta, no la multiplicacin.

    En Aritmtica es relativamente fcil factorizar un nmero. As, para factorizar el 36 , que significalo mismo que preguntar "qu nmeros multiplicados dan 36?", hasta mentalmente se puede obtenerque 36 = 2 2 3 3 ; en cambio, para expresiones algebraicas ya no resulta tan evidente la factoriza-cin, por lo que se requiere de un estudio detallado. Ciertamente existen expresiones algebraicas muyelementales que fcilmente se pueden factorizar, como por ejemplo, 6a2b que es sencillo deducir queequivale a la multiplicacin de 2 3 a a b ; sin embargo, se complica el asunto si se pregunta qunmeros o cantidades multiplicadas entre s dan 2x2 + 9x - 5 ?

    Por esta razn, para factorizar expresiones algebraicas es necesario clasificarlas en diferentes casos.Debe quedar claro que el nmero que se le ponga a cada caso de factorizacin no es su nombre universalen el idioma de las Matemticas, simplemente que como van a numerarse, algn caso tiene que ser elnmero 1, otro el nmero 2, y as sucesivamente. En cambio, el nombre con que aparezca cada uno deesos casos s corresponde a un nombre universal.

  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 11

    Factorizacin por trmino comn:

    * Se localizan y se escriben todos los factores comunes en su mxima expresin.* Se escribe a continuacin un parntesis y adentro de l lo que queda de la expresin ori-

    ginal luego de haberle quitado a cada trmino los factores comunes.* En caso de que el factor comn sea todo uno de los trminos de la expresin original, en

    su lugar se pone 1 .

    CASO 1: FACTOR COMN

    "Comn" significa que estn o que pertenecen a todos. De tal manera que factor comn tiene elsignificado de la(s) cantidad(es) que aparece(n) multiplicando en todos los trminos de la expresin.Recurdese que trmino es lo que "juega a la suma", o sea, la cantidad que est sumando.

    Ejemplo 1: 2 3 + 7 3

    Anlisis:* Existen dos trminos, es decir que hay dos cantidades que se estn sumando: uno es 2 3 ; el otroes 7 3.

    * En cada trmino existen dos factores. En el primer trmino 2 3 los factores son el 2 y el 3 (porquese estn multiplicando). En el trmino 7 3 los factores son el 7 y el 3 .

    * En cada uno de los dos trminos anteriores, hay un factor que aparece en todos, es decir, es comn,el cual es el 3 .

    * Por lo tanto, en 2 3 + 7 3 , el factor comn es el 3 .

    Para factorizar una expresin que en todos sus trminos aparece por lo menos un factor comn, setiene la siguiente regla:

    En la regla anterior, debe quedar claro que la afirmacin "luego de haberle quitado a cada trminolos factores comunes" , no debe entenderse como simplemente borrarlos o desaparecerlos, sino que esequivalente a realizar una divisin de cada trmino de la expresin original entre el factor comn, yaque lo que se est multiplicando (factor) se quita a travs de su operacin inversa que es precisamentela divisin.

    Ejemplo 2: Factorizar 2a 3b + 7bxy 5

    Solucin: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es la b .Se escribe a continuacin un parntesis y adentro de l lo que queda de la expresin original luegode haberle quitado a cada trmino los factores comunes:

    b(2a 3 + 7xy 5).

    Finalmente significa que 2a 3b + 7bxy 5 = b(2a 3 + 7xy 5) .

  • pgina 12 FACTORIZACIN

    Ejemplo 3: Factorizar 4a 2b + 6abx 5

    Solucin: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es 2ab .Se escribe a continuacin un parntesis y adentro de l lo que queda de la expresin original luegode haberle quitado a cada trmino los factores comunes:

    2ab(2a + 3x 5).

    Finalmente significa que 4a 2b + 6abx 5 = 2ab(2a + 3x 5) . Obsrvese que en esta ltima expresin,la operacin principal es la multiplicacin.

    Ejemplo 4: Factorizar 12a 4b 3c - 6a 2b 3x 7

    Solucin: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es 6a 2b 3 .Se escribe a continuacin un parntesis y adentro de l lo que queda de la expresin original luegode haberle quitado a cada trmino los factores comunes:

    6a 2b 3(2a 2a - x 7)

    * Finalmente significa que 12a 4b 3c - 6a 2b 3x 7 = 6a 2b3(2a 2c - x 7) . Obsrvese que en esta ltima ex-presin, la operacin principal es la multiplicacin.

    Ejemplo 5: Factorizar 5b 2cx - 60a 2b 2c 5x 2

    Solucin: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es 5b2cx .Se escribe a continuacin un parntesis y adentro de l lo que queda de la expresin original luegode haberle quitado a cada trmino los factores comunes. Como el factor comn es todo el primertrmino de la expresin original, en su lugar se pone 1 :

    5b 2cx (1 - 12a 2c 4x)

    * Finalmente significa que 5b 2cx - 60a 2b 2c 5x 2 = 5b 2cx (1 - 12a 2c 4x) . Obsrvese que en esta ltimaexpresin, la operacin principal es la multiplicacin.

    Ejemplo 6: Factorizar 8b 2 - 20a 2b 2 + 16ab 3c 4

    Solucin: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es 4b 2 .Se escribe a continuacin un parntesis y adentro de l lo que queda de la expresin original luegode haberle quitado a cada trmino los factores comunes:

    4b 2(2 - 5a 2 + 4abc 4).

    * Finalmente significa que 8b 2 - 20a 2b 2 + 16ab 3c 4 = 4b 2(2 - 5a 2 + 4abc 4) . Obsrvese que en estaltima expresin (derecha del signo igual), la operacin principal es la multiplicacin.

  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 13

    EJERCICIO 4

    Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

    1) 3b - 9a 2) 2ax - 9x2 3) a2d5x + 2a3a24) 6a5b - 9aba + 3b7 5) 12a5x - 9x2 + 9b3x3 6) 8ba2x + 2ab3a2x3 - 4a2b2a27) 14a2b2 + 21ab8a + 35a4b7c2 8) 12a3b4x - 9b4x4 + 36x3 9) bc2 + 22ab2c4x - 14a2bc210) 40b6 + 8abc - 35a9b4c 11) 26a5b5x - 13b4x + 39a2b7x3 12) 4b2c2 + 4b2c4 - 4bc213) 6ab6c + 3abc - 3a6b8c 14) 6a2b4d - 6b3d3x + 16a2b9x2 15) 40b5c5 + 20a6b9c4 - 100a6b5c416) 8a7cf + 3ab2cf - 3a2c 17) ab4d - b7d8x + a2 18) 40c3 + 2b11c - 100

    CASO 2: POR AGRUPACIN

    El proceso consiste en formar grupos o agrupar trminos en cantidades iguales (de dos en dos, o detres en tres, etc.), para luego factorizar cada grupo por factor comn y finalmente volver a factorizar porfactor comn, en donde el parntesis que debe quedar repetido en cada grupo es el factor comn.

    Como regla prctica, el signo del primer trmino de cada grupo es el signo que debe ponerse en cadafactorizacin por factor comn.

    Ejemplo 1: Factorizar 2ac + bc + 10a + 5bSolucin: Se forman dos grupos, uno con los dos primeros trminos y el otro con los otros dos trminos.

    2 10 5ac bc a b+ + +

    Factorizando cada grupo por factor comn: El primer grupo tiene a c como factor comn, mientrasque el segundo grupo tiene al 5 . De manera que resulta que:

    2ac + bc + 10a + 5b = c(2a + b) + 5(2a + b)

    Obsrvese que en sta ltima expresin (la de la derecha del signo igual), la operacin principal esla suma, por lo que no est an factorizado.

    Volviendo a factorizar por factor comn, ya que el parntesis repetido es se factor comn, final-mente se obtiene que

    2ac + bc + 10a + 5b = (2a + b)(c + 5) .

    Obsrvese que en esta ltima expresin (la de la derecha del signo igual), la operacin principal esla multiplicacin, por lo que ya est factorizado.

  • pgina 14 FACTORIZACIN

    Ejemplo 2: Factorizar a 2b 3 - 5b 4 - 6a 2 + 30b

    Solucin: Se forman dos grupos, uno con los dos primeros trminos y el otro con los otros dos trminos.

    2 3 4 25 6 30a b b a b +

    Ntese que el signo que qued entre cada grupo fue negativo.

    Factorizando cada grupo por factor comn: El primer grupo tiene a b3 como factor comn, mientrasque el segundo grupo tiene al 6 . De manera que resulta que:

    a 2 b3 - 5b 4 - 6a 2 + 30b = b 3(a 2 - 5b) - 6(a 2 - 5b)

    Como el signo que haba quedado anteriormente entre cada grupo fue negativo, ese mismo signo esel que se coloc entre cada factorizacin. Obsrvese que en sta ltima expresin (la de la derechadel signo igual), la operacin principal es la resta, por lo que no est an factorizado.

    Volviendo a factorizar por factor comn, ya que el parntesis repetido es se factor comn, final-mente se obtiene que

    a 2b 3 - 5b 4 - 6a 2 + 30b = (a 2 - 5b)(b 3 - 6)

    Ntese que en esta ltima expresin (la de la derecha del signo igual), la operacin principal es lamultiplicacin, por lo que ya est factorizado.

    Ejemplo 3: Factorizar 3ab + x 2 - 21ab 2 - 7bx 2

    Solucin: Se forman dos grupos, uno con los dos primeros trminos y el otro con los otros dos trminos.

    2 2 23 21 7ab x ab bx+

    Ntese que el signo que qued entre cada grupo fue negativo.

    Factorizando cada grupo por factor comn: El primer grupo tiene a 1 como factor comn, mientrasque el segundo grupo tiene al 7b . De manera que resulta que:

    3ab + x 2 - 21ab 2 - 7bx 2 = 1(3ab + x 2) - 7b(3ab + x 2)

    Como el signo que haba quedado anteriormente entre cada grupo fue negativo, ese mismo signo esel que se coloc entre cada factorizacin. Obsrvese que en sta ltima expresin (la de la derechadel signo igual), la operacin principal es la resta, por lo que no est an factorizado.

    factorizando por factor comn, ya que el parntesis repetido es ese factor comn, se obtiene que

  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 15

    3ab + x 2 - 21ab 2 - 7bx 2 = (3ab + x 2)(1 - 7b)

    Obsrvese que en esta ltima expresin (la de la derecha del signo igual), la operacin principal esla multiplicacin, por lo que ya est factorizado.

    Ejemplo 4: Factorizar 2ab 2 + b 3 - 5b 2 + 6a + 3b - 15

    Solucin: En este caso, el hecho que haya seis trminos sugiere que se pueden formar dos grupos de a trestrminos cada uno. Se forman entonces dos grupos, uno con los tres primeros trminos y el otro conlos otros tres trminos.

    2 3 22 5 6 3 15ab b b a b+ + +

    Ntese que el signo que qued entre cada grupo fue positivo.

    Factorizando cada grupo por factor comn: El primer grupo tiene a b 2 como factor comn, mientrasque el segundo grupo tiene al 3 . De manera que resulta que:

    2ab 2 + b 3 - 5b 2 + 6a + 3b - 15 = b 2(2a + b - 5) + 3(2a + b - 5)

    Como el signo que haba quedado anteriormente entre cada grupo fue positivo, ese mismo signo esel que se coloc entre cada factorizacin. Obsrvese que en sta ltima expresin (la de la derechadel signo igual), la operacin principal es la suma, por lo que no est an factorizado.

    Volviendo a factorizar por factor comn, ya que el parntesis repetido es se factor comn, final-mente se obtiene que

    2ab 2 + b 3 - 5b 2 + 6a + 3b - 15 = (2a + b - 5)(b 2 + 3)

    EJERCICIO 5

    Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

    1) ac + bc + 2ax + 2bx 2) 2a2 - 4ab - 5a + 10b3) ab - 1 - abx + x 4) 7ab2 + ac - 14b2xy - 2cxy5) 6ab3x - 4b3 + 21ax - 14 6) x2y3 + 5y3 - 3x2 - 157) 2b3 + 3c3 - 2b3x - 3c3x 8) b3c3 - 2b2c + bc2 - 29) 2a - 4b + 2c2 - axy + 2bxy - c2xy 10) 5ab - 10 - 5x - abc2 + 2c2 + c2x11) 9x - 8y + 7 - 9a2x + 8a2y - 7a2 12) a2x2 - b3x2 + x2 - a2bc + b4c - bc13) 2x - y - 2 - 8ax + 4ay + 8a 14) 3a2x - 3b2x - 3x - a2 + b2 + 115) 10a + 15b + 20 - 6ax - 9bx - 12x 16) 10a - 15b - 20 + 6ax - 9bx - 12x

  • pgina 16 FACTORIZACIN

    Una diferencia de cuadrados se factoriza en dos binomios conjugados, formados con lasraces cuadradas de los trminos originales.

    CASO 3: DIFERENCIA DE CUADRADOS

    En la pgina 5 se vio que (a + b)(a - b) = a 2 - b 2 . Es bien obvio que si se invierte la igualdad anteriorsigue siendo lo mismo: a 2 - b 2 = . Visto en esta forma, a la inversa del producto nota-( ) ( )a b a b+ ble, se obtiene la factorizacin de una diferencia de cuadrados. Obsrvese que en (a + b)(a - b) , laoperacin principal es la multiplicacin.

    De lo anterior puede escribirse la siguiente regla:

    Es importante sealar que da lo mismo que primero se escriba el binomio suma que el binomio resta,ya que la multiplicacin es conmutativa.

    Ejemplo 1: Factorizar 4a 2 - x 6

    Solucin: La raz cuadrada de 4a 2 es 2a y de x 6 es x 3 . De manera que los binomios conjugados que le corres-ponden son (2a + x 3)(2a - x 3) .

    La factorizacin es: 4a 2 - x 6 = (2a + x 3)(2a - x 3).

    Ejemplo 2: Factorizar 49a 4b 6 - 100x 2

    Solucin: La raz cuadrada de 49a 4b 6 es 7a2b 3 y de 100x 2 es 10x . De manera que los binomios conjugadosque le corresponden son (7a 2b 3 + 10x)(7a 2b 3 - 10x) .

    La factorizacin es: 49a 4b 6 - 100x 2 = (7a 2b 3 + 10x)(7a 2b 3 - x).

    Ejemplo 3: Factorizar 1 - 196a 4b 16

    Solucin: La raz cuadrada de 1 es 1 y de 196a 4b 16 es 14a 2b 8 . De manera que los binomios conjugados quele corresponden son (1 + 14a 2b 8)(1 - 14a2b 8) .

    La factorizacin es: 1 - 196a 4b 16 = (1 + 14a 2b 8)(1 - 14a 2b 8) .

  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 17

    Ejemplo 4: Factorizar( )27

    6

    5 499

    ba

    +

    Solucin: La raz cuadrada de es y de es . ( )275

    9

    b+ 753b+

    6

    49a 3

    7a

    De manera que los binomios conjugados que le corresponden son

    .7 7

    3 3

    5 7 5 7y3 3b b

    a a + ++

    y la factorizacin correspondiente es:

    .( )27 7 7

    6 3 3

    5 49 5 7 5 79 3 3

    b b ba a a

    + + + = +

    EJERCICIO 6

    Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

    1) 36b2 - 9 2) 25a4 - 9x2 3) c2 - a2c24) 64a8b2 - 49 5) 16a6 - 1 6) 81c2 - 25x8 7) 144 - 36a4c2 8) 1 - 9b4x4 9) c2 - 144a2b210) 400b6 - 81 11) x2 - 36b4 12) 4b2c2 - 4x213) 64b6 - 169a6 14) a2b4 - 36x2 15) 196b16c25 - 100a1616) 16f16 - a2 17) 64b64 - d8x12 18) 400 - 100g10019) 121 - x8y6 20) 4c4d16 - 16 21) 100a64 - 64b10022) 1 - 100a6b12 23) 144x144 - 64y64 24) 9 - a10b2025) 196a12 - 16 26) 25x14y6 - 64r9 27) 81 - a81b2028) 36a50 - 16b26 29) x24y6 - 9h9 30) 1 - 49d49b2

    31) 32) 33)44 121b

    2

    2 64xy

    16

    4

    49 9ba

    34) 35) 36)62525

    36a 81 14 a

    8

    12

    4 99 4

    xw

    37) 38) 39)( )( )2

    2

    14449

    a ba b

    +( )42

    8

    4 19x

    c ( )4 6 169 116

    x yx

    +

  • pgina 18 FACTORIZACIN

    Para factorizar un trinomio de la forma x 2 + bx + c , se buscan dos nmeros m y n talesque:

    Sumados den bMultiplicados den c .Cada uno de esos nmeros hallados m y n se colocan uno en cada parntesis, dela siguiente manera:

    x 2 + bx + c = (x + m)(x + n)

    CASO 4: TRINOMIOS DE LA FORMA x 2 + bx + c

    La forma de estos trinomios es que debe haber una sola equis cuadrada. La letra b representa en ge-neral a cualquier nmero que vaya junto a la x ; y la c representa a cualquier nmero que vaya sin la x.

    El procedimiento de factorizacin para estos casos consiste en buscar dos nmeros, a los cuales seles llamar m a uno y n al otro, los cuales deben cumplir los requisitos dados en la siguiente regla:

    Ejemplo 1: Factorizar x 2 + 5x + 6

    Solucin: En este caso, b = + 5 y c = + 6 .Se buscan dos nmeros que sumados den + 5 y que multiplicados den + 6 . Son + 3 y + 2 .Los factores buscados son (x + 3) y (x + 2) .Finalmente significa que x 2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) . Obsrvese que en esta ltima expresin, laoperacin principal es la multiplicacin.

    Ejemplo 2: Factorizar x 2 + 5x - 6

    Solucin: En este caso, b = + 5 y c = - 6 .Se buscan dos nmeros que sumados den + 5 y que multiplicados den - 6 . Son + 6 y - 1 .Los factores buscados son (x + 6) y (x - 1) .

    Finalmente significa que x 2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1) . Obsrvese que en esta ltima expresin, laoperacin principal es la multiplicacin.

    Ejemplo 3: Factorizar x 2 - x - 20

    Solucin: En este caso, b = - 1 y c = - 20.

  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 19

    Se buscan dos nmeros que sumados den - 1 y que multiplicados den - 20 . Son - 5 y + 4 .Los factores buscados son (x - 5) y (x + 4) .

    Significa que x 2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4) . Obsrvese que en esta ltima expresin, la operacin prin-cipal es la multiplicacin.

    Ejemplo 4: Factorizar x 2 - 2x - 24

    Solucin: En este caso, b = - 2 y c = - 24 .Se buscan dos nmeros que sumados den - 2 y que multiplicados den - 24 . Son + 4 y - 6 .Los factores buscados son (x + 4) y (x - 6) .

    Finalmente significa que x 2 - 2x - 24 = (x + 4)(x - 6) . Obsrvese que en esta ltima expresin, laoperacin principal es la multiplicacin.

    Ejemplo 5: Factorizar x 2 - 17x + 66

    Solucin: En este caso, b = - 17 y c = + 66 .Se buscan dos nmeros que sumados den - 17 y que multiplicados den + 66. Son - 6 y - 11 .Los factores buscados son (x - 6) y (x - 11) .

    Finalmente significa que x2 - 17x + 66 = (x - 6)(x - 11) . Obsrvese que en esta ltima expresin,la operacin principal es la multiplicacin.

    Ejemplo 6: Factorizar a 2 - 16a + 48

    Solucin: En este caso, b = - 16 y c = + 48 .Se buscan dos nmeros que sumados den - 16 y que multiplicados den + 48. Son - 4 y - 12 .Los factores buscados son (a - 4) y (a - 12) .

    Finalmente significa que a 2 - 16a + 48 = (a - 4)(a - 12) . Obsrvese que en esta ltima expresin,la operacin principal es la multiplicacin.

  • pgina 20 FACTORIZACIN

    Para factorizar un trinomio de la forma ax 2 + bx + c , se buscan dos nmeros m y n talesque:

    Sumados den= b , o sea que m + n = b ;multiplicados den el producto de ac , o sea que mn = ac ;el segundo trmino, es decir el trmino lineal bx , se parte en la suma de mx + nx ,o sea que ax 2 + bx + c = ax 2 + mx + nx + c.Se factoriza por agrupacin.

    EJERCICIO 7

    Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

    1) x2 + 3x + 2 2) x2 + 7x + 12 3) x2 + 7x + 104) x2 + x - 12 5) x2 - 5x - 6 6) x2 - 5x - 147) y2 - 5y - 24 8) h2 - 30 + h 9) x2 - 24 + 2x10) x2 + 5x - 24 11) d2 - 8d - 20 12) x2 - 10x - 2413) x2 + 23x - 24 14) x2 - 25x + 24 15) k2 - 35k - 3616) 5x - 36 + x2 17) 13x + 36 + x2 18) w2 - 12w + 3619) 25 + y2 - 10y 20) x2 - 2x - 48 21) 8x + x2 + 1622) 36 - 37a + a2 23) 36 + b2 - 20x 24) r2 + 16r - 36

    CASO 5: TRINOMIOS DE LA FORMA ax 2 + bx + c

    La diferencia de esta forma con la anterior es que en aquella deba haber una sola equis cuadrada,mientras que en sta debe haber ms de una. La letra a representa en general a cualquier nmero quevaya junto a la x2 (indica cuntas equis cuadradas hay); la letra b representa a cualquier nmero quevaya junto a la x (indica cuntas equis hay); y la c representa a cualquier nmero que vaya sin la x .

    Por ejemplo, el trinomio 49x2 - 25x + 121 es de la forma mencionada, en donde a = 49; b = - 25;c = + 121.

    Existen varios procedimientos para factorizar trinomios de esta forma, de los cuales solamentese estudiarn dos en este curso.

    PRIMER PROCEDIMIENTO:

    El primer procedimiento consiste en buscar dos nmeros, a los cuales se les llamar m a uno y nal otro, los que deben cumplir los requisitos dados en la siguiente regla:

  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 21

    Ejemplo 1: Factorizar 2x 2 + 5x - 3

    Solucin: En este caso, a = 2 ; b = + 5 y c = - 3 .Se buscan dos nmeros que sumados den + 5 y que multiplicados den lo que resulte de ac , es decir(2)(- 3) = - 6 . Son + 6 y - 1 .El trmino lineal (el 2 trmino), que es 5x , se parte en la suma de esos nmeros obtenidos, o seaen 6x - x , por lo que resulta que

    2x 2 + 5x - 3 = 2x 2 + 6x - x - 3

    Se factoriza por agrupacin:

    2x 2 + 6x - x - 3 = 2x(x + 3) - 1(x + 3) = (2x - 1)(x + 3)

    Finalmente 2x 2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3) . Obsrvese que en la expresin del lado derecho del signoigual, la operacin principal es la multiplicacin, lo que significa que (2x - 1) y (x + 3) son factores;por eso se obtuvo una factorizacin.

    Ejemplo 2: Factorizar 6x 2 + 7x + 2

    Solucin: En este caso, a = 6 ; b = 7 y c = 2 .Se buscan dos nmeros que sumados den + 7 y que multiplicados den lo que resulte de ac , es decir(6)(2) = 12 . Son + 4 y + 3 .El 2 trmino, que es 7x , se parte en la suma de esos nmeros obtenidos, o sea en 4x + 3x , por loque resulta que

    6x 2 + 7x + 2 = 6x 2 + 4x + 3x + 2

    Se factoriza por agrupacin:

    6x 2 + 4x + 3x + 2 = 2x(3x + 2) + 1(3x + 2) = (3x + 2)(2x + 1) 6x 2 + 7x + 2 = (3x + 2)(2x + 1).

    Ejemplo 3: Factorizar 4x 2 + 21x - 18

    Solucin: En este caso, a = 4 ; b = 21 y c = - 18 .Se buscan dos nmeros que sumados den + 21 y que multiplicados den lo que resulte de ac , es decir(4)(- 18) = - 72 . Son + 24 y - 3 .El 2 trmino se parte en la suma de 24x - 3x , por lo que resulta que

    4x 2 + 21x - 18 = 4x 2 + 24x - 3x - 18

    Se factoriza por agrupacin:

    4x 2 + 24x - 3x - 18 = 4x(x + 6) - 3(x + 6) = (x + 6)(4x - 3)4x 2 + 21x - 18 = (x + 6)(4x - 3).

  • pgina 22 FACTORIZACIN

    Ejemplo 4: Factorizar 6x 2 - 43x + 72

    Solucin: En este caso, a = 6 ; b = - 43 y c = 72 .Se buscan dos nmeros que sumados den - 43 y que multiplicados den lo que resulte de ac , es decirde (6)(72) = 432 . Son - 27 y - 16 .El 2 trmino se parte en - 27x - 16x , por lo que resulta que

    6x 2 - 43x + 72 = 6x 2 - 27x - 16x + 72

    Se factoriza por agrupacin:

    6x 2 - 27x - 16x + 72 = 3x(2x - 9) - 8(2x - 9) = (2x - 9)(3x - 8)6x 2 - 43x + 72 = (2x - 9)(3x - 8)

    Ejemplo 5: Factorizar 12y 2 + 35y - 3

    Solucin: En este caso, a = 12 ; b = 35 y c = - 3 .Se buscan dos nmeros que sumados den - 35 y que multiplicados den lo que resulte de ac , es decirde (12)(-3) = - 36 . Son + 36 y - 1 .El 2 trmino se parte en la suma de + 36y - 1y , por lo que resulta que

    12y 2 + 35y - 3 = 12y 2 + 36y - 1y - 3

    Se factoriza por agrupacin:

    12y 2 + 36y - y - 3 = 12y(y + 3) - 1(y + 3) = (12y - 1)(y + 3)

    Finalmente 12y 2 + 35y - 3 = (12y - 1)(y + 3) .Como en la expresin del lado derecho del signo igualla operacin principal es la multiplicacin, significa que (12y - 1) y (y + 3) son factores; por eso seobtuvo una factorizacin.

    Ejemplo 6: Factorizar 3h - 15 + 6h 2

    Solucin: Primero debe ordenarse el trinomio, es decir escribirlo como 6h 2 + 13h - 15.

    En este caso, a = 6 ; b = 13 y c = - 15 .Se buscan dos nmeros que sumados den 13 y que multiplicados den lo que resulte de ac , es decirde (6)(-15) = - 90 . Son + 18 y - 5 .El 2 trmino se parte en la suma de + 18h - 5h , por lo que resulta que

    6h 2 + 13h - 15 = 6h 2 + 18h - 5h - 15

    Se factoriza por agrupacin:

    6h 2 + 18h - 5h - 15 = 6h(h + 3) - 5(h + 3) = (6h - 5)(h + 3)6h 2 + 13h - 15 = (6h - 5)(h + 3) .

  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 23

    SEGUNDO PROCEDIMIENTO:

    El otro procedimiento para factorizar trinomios de la forma x 2 + bx + c se da en la siguiente regla:

    Para factorizar un trinomio de la forma x 2 + bx + c :

    Se multiplica y divide a la vez (para que no se altere, conforme a la nica propie-dad de las fracciones) el polinomio original por el coeficiente a de x 2, escribin-dolo de la siguiente forma:

    * Al producto ax se le pone un nombre, por ejemplo y , es decir que y = ax de mane-

    ra que la expresin anterior se transforma en:

    * El trinomio y 2 + by + ac se factoriza igual que el caso 4, pgina 18, para obtenerque

    * Se vuelve a sustituir la variable y por su equivalente, es decir por ax.* Se localiza el factor que tenga por factor comn a a , para simplificarlo con el

    denominador.

    Ejemplo 1: Factorizar 2x 2 + 5x - 3

    Solucin: En este caso, a = 2 ; b = + 5 y c = - 3 .Se multiplica y divide a la vez (para que no se altere, conforme a la nica propiedad de las fraccio-nes) el polinomio original por el coeficiente de x 2 , o sea por 2 , escribindolo de la siguiente forma:

    ( )22 2 2 5 32 5 32

    x xx x

    + + =

  • pgina 24 FACTORIZACIN

    ( ) ( )22 5 2 6

    2x x+ =

    Al producto 2x se le pone un nombre, por ejemplo y , es decir que y = 2x , de manera que la expre-sin anterior se transforma en:

    ( ) ( ) ( )2 22 5 2 6 1 5 6

    2 2x x

    y x+ = +

    El nuevo trinomio y 2 + 5y - 6 se factoriza igual que el caso 4, pgina 18, para obtener que

    ( ) ( ) ( )21 15 6 6 12 2

    y y y y+ = +

    Se vuelve a sustituir la variable y por su equivalente, es decir por 2x :

    ( ) ( ) ( ) ( )1 16 1 2 6 2 12 2

    y y x x+ = +

    Se localiza el factor que tenga por factor comn a 2 para simplificarlo con el denominador. Estefactor es (2x + 6) , de manera que finalmente se obtiene

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 1 3 2 12

    x x x x+ = +

    La factorizacin buscada es ( ) ( )22 5 3 3 2 1x x x x+ = +

    Ejemplo 2: Factorizar 6x 2 + 7x + 2

    Solucin: En este caso, a = 6 ; b = + 7 y c = + 2 .Se multiplica y divide a la vez (para que no se altere, conforme a la nica propiedad de las fraccio-nes) el polinomio original por el coeficiente de x 2 , o sea por 6 , escribindolo de la siguiente forma:

    ( )22 6 6 7 26 7 2

    6

    x xx x

    + ++ + =

    ( ) ( )26 7 6 26

    x x+ +=

  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 25

    Al producto 6x se le pone un nombre, por ejemplo y , es decir que y = 6x , de manera que la expre-sin anterior se transforma en:

    ( ) ( ) ( )2 26 7 6 12 1 7 12

    6 6x x

    y y+ + = + +

    El trinomio y 2 + 7y + 12 se factoriza igual que el caso 4, pgina 18, para obtener que

    ( ) ( ) ( )21 17 12 4 36 6

    y y y y+ + = + +

    Se vuelve a sustituir la variable y por su equivalente, es decir por 6x :

    ( ) ( ) ( ) ( )1 14 3 6 4 6 36 6

    y y x x+ + = + +

    Se localiza el factor (el parntesis) que tenga por factor comn a 6 para simplificarlo con el denomi-nador. En este caso, ese factor comn 6 est repartido en los dos factores de la siguiente manera

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 12 3 2 3 2 1 6 3 2 2 16 6

    x x x x+ + = + +

    ( ) ( )3 2 2 1x x= + +

    La factorizacin buscada es ( ) ( )26 7 2 3 2 2 1x x x x+ + = + +

    Ejemplo 3: Factorizar 4x 2 + 21x - 18

    Solucin: En este caso, a = 4 ; b = 21 y c = - 18 .Se multiplica y divide a la vez (para que no se altere, conforme a la nica propiedad de las fraccio-nes) el polinomio original por el coeficiente de x 2 , o sea por 4 , escribindolo de la siguiente forma:

    ( )22 4 4 21 184 21 18

    4

    x xx x

    + + =

    ( ) ( )24 21 4 724

    x x+ =

  • pgina 26 FACTORIZACIN

    Al producto 4x se le pone un nombre, por ejemplo y , es decir que y = 4x , de manera que la expre-sin anterior se transforma en:

    ( ) ( ) ( )2 24 21 4 72 1 21 724 4

    x xy y

    + = +

    El trinomio y 2 + 21y - 72 se factoriza igual que el caso 4, pgina 18, para obtener que

    ( ) ( ) ( )21 121 72 24 34 4

    y y y y+ = +

    Se vuelve a sustituir la variable y por su equivalente, es decir por 4x :

    ( ) ( ) ( ) ( )1 124 3 4 24 4 34 4

    y y x x+ = +

    Se localiza el factor que tenga por factor comn a 4 para simplificarlo con el denominador. Estefactor es (4x + 24) , de manera que finalmente se obtiene

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 6 4 3 6 4 34

    x x x x+ = +

    La factorizacin buscada es ( ) ( )24 21 18 6 4 3x x x x+ = +

    EJERCICIO 8

    Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

    1) 2x2 + 7x + 5 2) 3x2 - 4x + 1 3) 6x2 + x - 14) 10x2 - 21x - 10 5) 4x2 - 17x - 15 6) 7x2 + 8x + 17) 3y2 - 25y - 50 8) 4h2 - 24h + 35 9) 14x2 - 9x - 810) 11x2 + 21x + 10 11) 9d2 - 29d - 28 12) 10x2 - 51x + 513) 812 - 36x + 4 14) 4x2 + 44x + 121 15) 49k2 - 70k + 2516) 8x2 - 10x - 25 17) 15j2 - 47j + 6 18) 12t2 - 73t + 6

    TRINOMIOS DE LA FORMA ax 2 + bxy + cy 2

    Estos trinomios son semejantes a los de la forma ax 2 + bx + c , solamente que agregndoles la varia-ble y , por lo que, despus de factorizarse bajo el mismo procedimiento del caso 5, pgina 20, tambinse le agrega la variable y al segundo trmino de cada factor.

  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 27

    Ejemplo 1: Factorizar 2x 2 + 5xy - 3y 2

    Solucin: En este caso, a = 2 ; b = + 5 y c = - 3 .Se buscan dos nmeros que sumados den + 5 y que multiplicados den lo que resulte de ac , es decir(2)(- 3) = - 6 . Son + 6 y - 1 .El 2 trmino se parte en la suma de 6xy - xy , por lo que resulta que

    2x 2 + 5xy - 3y 2 = 2x 2 + 6xy - xy - 3y 2

    Se factoriza por agrupacin:

    2x 2 + 6xy - xy - 3y 2 = 2x(x + 3y) - y(x + 3y) = (2x - y)(x + 3y)

    Finalmente significa que 2x 2 + 5xy - 3y 2 = (2x - y)(x + 3y) .

    Ejemplo 2: Factorizar 6d 2 - 13de + 6e 2

    Solucin: En este caso, a = 6 ; b = - 13 y c = 6 .Se buscan dos nmeros que sumados den - 13 y que multiplicados den lo que resulte de ac , es decir(6)(6) = 36 . Son - 4 y - 9 .El 2 trmino se parte en la suma de - 4de - 9de , por lo que resulta que

    6d 2 - 13de + 6d 2 = 6d 2 - 4de - 9de + 6e 2

    Se factoriza por agrupacin:

    6d 2 - 4de - 9de + 6e 2 = 2d(3d - 2e) - 3e(3d - 2e) = (3d - 2e)(2d - 3e)

    Finalmente significa que 6d 2 - 13de + 6e 2 = (3d - 2e)(2d - 3e) .

    EJERCICIO 9

    Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

    1) 2x2 + 7xy + 5y2 2) 3x2 - 4xy + y2 3) 6x2 + xy - y24) 10j2 - 21jk - 10k2 5) 4m2 - 17mn - 15n2 6) 7a2 + 8ac + c27) 3a2 - 25ab - 50b2 8) 4h2 - 24hi + 35i2 9) 14x2 - 9xz - 8z210) 9a2 + 12ab + 4b2 11) 9d2 - 30df + 25f 2 12) 100x2 + 20xy + y213) 81x2 + 36xy + 4y2 14) 4c2 + 20cg + 25g2 15) 64k 2 - 48kr + 9r 2

  • pgina 28 FACTORIZACIN

    Una suma de cubos se factoriza en dos factores, de la siguiente forma:

    El primer factor es un binomio formado con la suma de las races cbicas de lostrminos originales;el segundo factor es un trinomio que se forma a partir del factor anterior de la si-guiente manera:

    Y Cuadrado del primer trmino (del factor anterior);Y menos el producto del primer trmino (del factor anterior) por el segundo;Y ms el cuadrado del segundo trmino (del factor anterior).

    CASO 6: SUMA DE CUBOS

    Si se multiplica (a 2 - ab + b 2)(a + b) se obtiene

    2 2

    3 2 2

    2 2 3

    3 3

    a ab ba b

    a a b aba b ab b

    a b

    ++

    ++ +

    +

    es decir, que (a 2 - ab + b 2)(a + b) = a 3 + b 3 . Obviamente que si se invierte la igualdad anterior lo queresulta es cierto sin lugar a dudas, o sea que se puede afirmar que

    a 3 + b 3 = (a 2 - ab + b 2)(a + b)

    lo que equivale a afirmar que la factorizacin de a 3 + b 3 es (a 2 - ab + b 2)(a + b) , o bien, ya que lamultiplicacin es conmutativa, a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2) .

    De lo anterior se desprende la siguiente regla:

    Ejemplo 1: Factorizar x 3 + 1

    Solucin: La raz cbica de x 3 es x ; la raz cbica de 1 es 1 .El primer factor es la suma de esas races cbicas, es decir, es (x + 1) .El segundo factor se forma a partir del anterior, o sea de (x + 1) :Y cuadrado del primer trmino: (x)2 = x 2 ;Y menos el producto del primero por el segundo: - (x)(1) = - x ;

  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 29

    Y ms el cuadrado del segundo trmino: (1)2 = 1 .De manera que el segundo factor es (x 2 - x + 1) .Finalmente, la factorizacin de x3 + 1 es

    x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 - x + 1)

    Ejemplo 2: Factorizar 8x 3 + 27

    Solucin: La raz cbica de 8x 3 es 2x ; la raz cbica de 27 es 3 .El primer factor es la suma de esas races cbicas, es decir, es (2x + 3) .El segundo factor se forma a partir del anterior, o sea de (2x + 3) :Y cuadrado del primer trmino: (2x)2 = 4x 2 ;Y menos el producto del primero por el segundo: - (2x)(3) = - 6x;Y ms el cuadrado del segundo trmino: (3)2 = 9 .

    De manera que el segundo factor es (4x 2 - 6x + 9) .Finalmente, la factorizacin de 8x 3 + 27 es

    8x 3 + 27 = (2x + 3)(4x2 - 6x + 9)

    Ejemplo 3: Factorizar 64b 3 + 27x6

    Solucin: La raz cbica de 64b 3 es 4b ; la raz cbica de 27x 6 es 3x 2 .El primer factor es la suma de esas races cbicas, es decir, es (4b + 3x 2) .El segundo factor se forma a partir del anterior, o sea de (4b + 3x 2) :Y cuadrado del primer trmino: (4b) 2 = 16b 2 ;Y menos el producto del 1 por el 2 : - (4b)(3x 2) = - 12bx 2 ;Y ms el cuadrado del segundo trmino: (3x 2)2 = 9x 4 .

    De manera que el segundo factor es (16b2 - 12bx 2 + 9x 4) .Finalmente, la factorizacin de 64b 3 + 27x 6 es

    64b 3 + 27x 6 = (4b + 3x 2)(16b 2 - 12bx 2 + 9x 4)

    Ejemplo 4: Factorizar 125a 6b 9 + 27

    Solucin: La raz cbica de 125a 6b 9 es 5a 2b 3 ; la raz cbica de 27 es 3 .El primer factor es la suma de esas races cbicas, es decir, es (5a 2b 3 + 3) .El segundo factor se forma a partir del anterior, o sea de (5a 2b 3 + 3) :Y cuadrado del primer trmino: (5a 2b 3)2 = 25a 4b 6 ;Y menos el producto del 1 por el 2 : - (5a 2b 3)(3) = - 15a 2b 3 ;Y ms el cuadrado del segundo trmino: (3)2 = 9 .

    De manera que el segundo factor es (25a 4b 6 - 15a 2b 3 + 9) .Finalmente, la factorizacin de 125a 6b 9 + 27 es

    125a 6b 9 + 27 = (5a 2b 3 + 3)(25a 4b 6 - 15a 2b 3 + 9)

  • pgina 30 FACTORIZACIN

    Ejemplo 5: Factorizar 3

    6

    18x

    x+

    Solucin: La raz cbica de es ; la raz cbica de es .61x 2

    1x

    3

    8x

    2x

    El primer factor es la suma de esas races cbicas, es decir, es .21

    2x

    x +

    El segundo factor se forma a partir del anterior, o sea de :21

    2x

    x +

    Y cuadrado del primer trmino: ;2

    2 4

    1 1x x

    = Y menos el producto del 1 por el 2 :

    ;2 21 1

    2 22x x

    xx x = =

    Y ms el cuadrado del segundo trmino: 2 2

    2 4x x =

    De manera que el segundo factor es .2

    4

    1 12 4

    xxx

    +

    Finalmente, la factorizacin de es3

    6

    18x

    x +

    3 2

    6 2 4

    1 1 1 18 2 2 4x x x

    xx x x + = + +

  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 31

    EJERCICIO 10

    Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

    1) x3 + 8 2) 27x3 + 1 3) 64 + x64) a3x3 + 27 5) 64x6 + 27y3 6) 1 + 125a6b97) 27y12 + 125x3 8) h9 + 125a6b24 9) 729x9 + 810) 8a30x3 + 27 11) 64b12x3 + 27 12) 125 + 27a24d613) 27y9 + 1 14) 8d 9 + 27a18c12 15) 729y21 + 27a6x3

    16) 17) 18)318

    x + 6 3 38a b x+3

    9278x y+

    19) 20) 21)31

    8 27a+

    12

    6 6

    1xy b

    + x1000

    bx

    3 6

    3+

    22) 23) 24)3 3

    6 6

    a bb a

    +9

    3

    88x

    y+

    3 6 3

    3 3 6

    b c aa b c

    +

    CASO 7: DIFERENCIA DE CUBOS

    Si se multiplica (a 2 + ab + b 2)(a - b) se obtiene

    2 2

    3 2 2

    2 2 3

    3 3

    a ab ba b

    a a b aba b ab b

    a b

    + +

    + +

    es decir, que (a 2 + ab + b 2)(a - b) = a 3 - b 3 . Obviamente que si se invierte la igualdad anterior lo queresulta es cierto sin lugar a dudas, o sea que se puede afirmar que

    a 3 - b 3 = (a 2 + ab + b 2)(a - b)

    lo que equivale a afirmar que la factorizacin de a 3 - b 3 es (a 2 + ab + b 2)(a - b) , o bien, ya que lamultiplicacin es conmutativa, a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) .

  • pgina 32 FACTORIZACIN

    Una diferencia de cubos se factoriza en dos factores, de la siguiente forma:

    El primer factor es un binomio formado con la resta de las races cbicas de lostrminos originales;el segundo factor es un trinomio que se forma a partir del factor anterior de la si-guiente manera:

    Y Cuadrado del primer trmino (del primer factor antes obtenido);Y ms el producto del primer trmino (del factor anterior) por el segundo;Y ms el cuadrado del segundo trmino (del factor anterior).

    De lo anterior se desprende la siguiente regla:

    Ejemplo 1: Factorizar a 3 - 1

    Solucin: La raz cbica de a 3 es a ; la raz cbica de 1 es 1 .El primer factor es la resta de esas races cbicas, es decir, es (a - 1) .El segundo factor se forma a partir del anterior, o sea de (a - 1) :Y cuadrado del primer trmino: (a)2 = a 2 ;Y ms el producto del primero por el segundo: (a)(1) = a ;Y ms el cuadrado del segundo trmino: (1)2 = 1 .

    De manera que el segundo factor es (a 2 + a + 1) .Finalmente, la factorizacin de a 3 - 1 es

    a 3 - 1 = (a - 1)(a 2 + a + 1)

    Ejemplo 2: Factorizar 8x 3 - 27

    Solucin: La raz cbica de 8x3 es 2x ; la raz cbica de 27 es 3 .El primer factor es la resta de esas races cbicas, es decir, es (2x - 3) .El segundo factor se forma a partir del anterior, o sea de (2x - 3) :Y cuadrado del primer trmino: (2x)2 = 4x 2 ;Y ms el producto del primero por el segundo: (2x)(3) = 6x ;Y ms el cuadrado del segundo trmino: (3)2 = 9 .

    De manera que el segundo factor es (4x 2 + 6x + 9) .Finalmente, la factorizacin de 8x3 - 27 es

    8x 3 - 27 = (2x - 3)(4x 2 + 6x + 9)

  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 33

    Ejemplo 3: Factorizar 64b 3 - 27x 6

    Solucin: La raz cbica de 64b 3 es 4b ; la raz cbica de 27x 6 es 3x 2 .El primer factor es la resta de esas races cbicas, es decir, es (4b - 3x 2) .El segundo factor se forma a partir del anterior, o sea de (4b - 3x 2) :Y cuadrado del primer trmino: (4b)2 = 16b 2 ;Y ms el producto del primero por el segundo: (4b)(3x 2) = 12bx 2 ;Y ms el cuadrado del segundo trmino: (3x2)2 = 9x 4 .

    De manera que el segundo factor es (16b 2 + 12bx 2 + 9x 4) .Finalmente, la factorizacin de 64b 3 - 27x 6 es

    64b 3 - 27x 6 = (4b - 3x 2)(16b 2 + 12bx 2 + 9x 4)

    Ejemplo 4: Factorizar 3

    6

    127a

    x

    Solucin: La raz cbica de es ; la raz cbica de es .61x 2

    1x

    3

    27a

    3a

    El primer factor es la suma de esas races cbicas, es decir, es .21

    3a

    x

    El segundo factor se forma a partir del anterior:

    Y cuadrado del primer trmino: ;2

    2 4

    1 1x x

    =

    Y ms el producto del 1 por el 2 : ;2 21

    3 3a a

    x x =

    Y ms el cuadrado del segundo trmino: .2 2

    3 9a a =

    De manera que el segundo factor es .2

    4 2

    193

    a ax x

    + + Finalmente, la factorizacin buscada es

    3 2

    6 2 4 2

    1 1 127 3 93a a a a

    x x x x = + +

  • pgina 34 FACTORIZACIN

    EJERCICIO 11

    Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

    1) x6 - 27 2) 27x3 - 1 3) 64 - x34) a6x3 - 27 5) 64x3 - 27y3 6) 1 - 125a3b97) 27y12 - 125x3 8) h 9 - 125a3b24 9) 729x9 - 2710) 27a18y3 - 27 11) 64b12x3 - 27 12) 125 - 27a24d 313) 27x6 - 1 14) 27d 9 - 27a18c12 15) 729y21 - 27a3x316) 125h 9 - 9 17) 125f 6 - b18y21 18) 216x21 - 8a3k33

    19) 20) 21)3

    3 1xy

    6

    6

    827a

    a

    9

    9 6

    278

    bd x

    22) 23) 24)1211000

    x

    21

    21

    12527 8

    ww

    6

    91hm

    25) 26) 27)( )38

    8a b+ ( )

    6

    6

    1125

    xb ( )92128 8by

    28) ( ) ( )6 123 91 7x a +

    FACTORIZACIN TOTAL O COMPLETA

    Si se factoriza x 4 - y 4 , que pertenece al caso 3, diferencia de cuadrados, pgina 16, se obtiene que

    x 4 - y 4 = (x 2 + y 2)(x 2 - y 2)

    Se observa que el segundo factor (x 2 - y 2) es nuevamente una diferencia de cuadrados y, por lo tanto,puede volver a factorizarse en x 2 - y 2 = (x + y)(x - y) . Entonces, la factorizacin total o completa de laexpresin original x 4 - y 4 es:

    x 4 - y 4 = (x 2 + y 2)(x + y)(x - y)

    As, pues, cuando se requiere una factorizacin total, es necesario analizar cada factor que va resul-tando de la factorizacin anterior para ver si pertenece o no a uno de los casos de factorizacin anterior-mente visto, pues en caso de ser as, debe continuar el proceso de factorizacin. En otras palabras, sedice que una factorizacin es total o completa si ninguno de los factores que se hayan obtenido puedevolverse a factorizar. Cuando un factor, o expresin, no puede ya factorizarse se dice que es irreducti-ble. De tal manera que puede decirse tambin que una factorizacin total es aquella en la que todos susfactores son irreductibles.

  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 35

    Ejemplo 1: Factorizar totalmente 4a 3 - 4

    Solucin: La primera factorizacin posible es por factor comn, caso 1, pgina 11:

    4a 3 - 4 = 4(a 3 - 1)

    El segundo factor es una resta de cubos, caso 7, pgina 31:

    a 3 - 1 = (a - 1)(a 2 + a + 1)

    As que la factorizacin total o completa es:

    4a 3 - 4 = 4(a - 1)(a 2 + a + 1)

    Ejemplo 2: Factorizar totalmente a 2c - bc 2 - 2a 2 + 2b 2

    Solucin: La primera factorizacin posible es por agrupacin, caso 2, pgina 13:

    a 2c - bc 2 - 2a 2 + 2b 2 = c(a 2 - b 2) - 2(a 2 - b 2) = (a 2 - b 2)(c - 2)

    El primer factor es una diferencia de cuadrados, caso 3, pgina 16 :

    a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

    As que la factorizacin total o completa es:

    a 2c - bc 2 - 2a 2 + 2b 2 = (a - b)(a + b)(c - 2)

    Ejemplo 3: Factorizar totalmente a 2b + 3ab - 10b

    Solucin: La primera factorizacin posible es por factor comn, caso 1, pgina 11:

    a 2b + 3ab - 10b = b(a 2 + 3a - 10)

    El segundo factor es un trinomio de la forma x 2 + bx + c , caso 4, pgina 18:

    a 2 + 3a - 10 = (a - 2)(a + 5)

    As que la factorizacin completa es:

    a 2b + 3ab - 10b = b(a - 2)(a + 5)

  • pgina 36 FACTORIZACIN

    Ejemplo 4: Factorizar totalmente 10a 2x + 5ax - 105x - 2a 2 - a + 21

    Solucin: La primera factorizacin posible es por agrupacin, caso 2, pgina 13:

    10a 2x + 5ax - 105x - 2a 2 - a + 21 = 5x(2a 2 + a - 21) - 1(2a 2 + a - 21) = (2a 2 + a - 21)(5x - 1)

    El primer factor es un trinomio de la forma ax 2 + bx + c , caso 5, pgina 20:

    2a 2 + a - 21 = 2a 2 + 7a - 6a - 21= a(2a + 7) - 3(2a + 7) = (2a + 7)(a - 3)

    As que la factorizacin completa o total es:

    10a 2x + 5ax - 105x - 2a2 - a + 21 = (2a + 7)(a - 3)(5x - 1)

    EJERCICIO 12

    Factorizar totalmente las siguientes expresiones algebraicas:

    1) 2ax2 - 2a 2) 2a2b - 2b - a2 + 1 3) 48 - 6x64) 3a2b2 - 3ab2 - 90b2 5) 10b2xy - 55bxy - 30xy 6) 64b3 - 8x67) 2a + 2ab3 - 5x - 5b3x 8) 3a6b - 3bx2 + a6 - x2 9) x8 - y8

    10) 4a2x - 4ax - 3x - 8a2 + 8a + 6 11) b12 - c612) ax2 - 5ax + 6a - 4x2 + 20x - 24 13) x4 - y414) 2a3 - 3a2b + 10a2x - 15abx 15) 6a2 + 9a - 60

    16) 17)2a ac a

    b x y+ +

    3 3a x b xy y

    18) 19)4 6

    2 2

    x yb b

    1 1 1 1ac ad bc bd

    + + +