reglas factorización

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  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 9

  • pgina 10 FACTORIZACIN

    CONCEPTO

    Para entender el concepto terico de este tema, es necesario recordar lo que se mencion en la pgina2 referente al nombre que se le da a las cantidades en funcin de la operacin que estn realizando.

    Se dijo que FACTOR es el nombre que se le da a toda cantidad, ya sea en Aritmtica o en lgebra,que "est jugando el deporte" llamado MULTIPLICACIN. En palabras ms tcnicas, un factor es todacantidad que se est multiplicando con otra.

    Por ejemplo, en la operacin 23 14, como el nmero 23 "est jugando al deporte" llamado multipli-cacin, se le llama factor. Tcnicamente, como el 23 se est multiplicando con otro nmero, ste es unfactor. Lo mismo puede decirse del nmero 14.

    FACTORIZAR una cantidad o expresin significa encontrar sus factores, es decir, aquellos nmerosque multiplicados dan dicha cantidad. Por ejemplo, factorizar el nmero 6 significa hallar los nmerosque multiplicados entre s dan el 6. Son el 2 y el 3, ya que 6 = 2 3. Factorizar el 6 es escribirlo de laforma 2 3.

    Cuando se trata de una expresin algebraica, factorizarla es tambin escribirla de manera que suoperacin principal sea la multiplicacin. Obsrvense los siguientes casos: si se tiene la expre-sin , su operacin principal es la suma (y la resta), por lo tanto, lo que hay all escritos22 9 5x x+ son trminos, no factores. Factorizada queda de la forma (2x - 1)(x + 5) , en donde la operacin principales la multiplicacin, por lo que hay all factores. Por eso est factorizada. Desde luego que el alumnono debe preocuparse en este momento en cmo se hizo para factorizar una expresin como la anteriorpues eso no se ha explicado todava. En cambio, si se tiene la expresin y sta6 2 3ax bx ay by +se escribe de la forma 2x(3a - b) - y(3a - b), no ha sido factorizada ya que en esta ltima expresin laoperacin principal es la resta, no la multiplicacin.

    En Aritmtica es relativamente fcil factorizar un nmero. As, para factorizar el 36 , que significalo mismo que preguntar "qu nmeros multiplicados dan 36?", hasta mentalmente se puede obtenerque 36 = 2 2 3 3 ; en cambio, para expresiones algebraicas ya no resulta tan evidente la factoriza-cin, por lo que se requiere de un estudio detallado. Ciertamente existen expresiones algebraicas muyelementales que fcilmente se pueden factorizar, como por ejemplo, 6a2b que es sencillo deducir queequivale a la multiplicacin de 2 3 a a b ; sin embargo, se complica el asunto si se pregunta qunmeros o cantidades multiplicadas entre s dan 2x2 + 9x - 5 ?

    Por esta razn, para factorizar expresiones algebraicas es necesario clasificarlas en diferentes casos.Debe quedar claro que el nmero que se le ponga a cada caso de factorizacin no es su nombre universalen el idioma de las Matemticas, simplemente que como van a numerarse, algn caso tiene que ser elnmero 1, otro el nmero 2, y as sucesivamente. En cambio, el nombre con que aparezca cada uno deesos casos s corresponde a un nombre universal.

  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 11

    Factorizacin por trmino comn:

    * Se localizan y se escriben todos los factores comunes en su mxima expresin.* Se escribe a continuacin un parntesis y adentro de l lo que queda de la expresin ori-

    ginal luego de haberle quitado a cada trmino los factores comunes.* En caso de que el factor comn sea todo uno de los trminos de la expresin original, en

    su lugar se pone 1 .

    CASO 1: FACTOR COMN

    "Comn" significa que estn o que pertenecen a todos. De tal manera que factor comn tiene elsignificado de la(s) cantidad(es) que aparece(n) multiplicando en todos los trminos de la expresin.Recurdese que trmino es lo que "juega a la suma", o sea, la cantidad que est sumando.

    Ejemplo 1: 2 3 + 7 3

    Anlisis:* Existen dos trminos, es decir que hay dos cantidades que se estn sumando: uno es 2 3 ; el otroes 7 3.

    * En cada trmino existen dos factores. En el primer trmino 2 3 los factores son el 2 y el 3 (porquese estn multiplicando). En el trmino 7 3 los factores son el 7 y el 3 .

    * En cada uno de los dos trminos anteriores, hay un factor que aparece en todos, es decir, es comn,el cual es el 3 .

    * Por lo tanto, en 2 3 + 7 3 , el factor comn es el 3 .

    Para factorizar una expresin que en todos sus trminos aparece por lo menos un factor comn, setiene la siguiente regla:

    En la regla anterior, debe quedar claro que la afirmacin "luego de haberle quitado a cada trminolos factores comunes" , no debe entenderse como simplemente borrarlos o desaparecerlos, sino que esequivalente a realizar una divisin de cada trmino de la expresin original entre el factor comn, yaque lo que se est multiplicando (factor) se quita a travs de su operacin inversa que es precisamentela divisin.

    Ejemplo 2: Factorizar 2a 3b + 7bxy 5

    Solucin: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es la b .Se escribe a continuacin un parntesis y adentro de l lo que queda de la expresin original luegode haberle quitado a cada trmino los factores comunes:

    b(2a 3 + 7xy 5).

    Finalmente significa que 2a 3b + 7bxy 5 = b(2a 3 + 7xy 5) .

  • pgina 12 FACTORIZACIN

    Ejemplo 3: Factorizar 4a 2b + 6abx 5

    Solucin: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es 2ab .Se escribe a continuacin un parntesis y adentro de l lo que queda de la expresin original luegode haberle quitado a cada trmino los factores comunes:

    2ab(2a + 3x 5).

    Finalmente significa que 4a 2b + 6abx 5 = 2ab(2a + 3x 5) . Obsrvese que en esta ltima expresin,la operacin principal es la multiplicacin.

    Ejemplo 4: Factorizar 12a 4b 3c - 6a 2b 3x 7

    Solucin: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es 6a 2b 3 .Se escribe a continuacin un parntesis y adentro de l lo que queda de la expresin original luegode haberle quitado a cada trmino los factores comunes:

    6a 2b 3(2a 2a - x 7)

    * Finalmente significa que 12a 4b 3c - 6a 2b 3x 7 = 6a 2b3(2a 2c - x 7) . Obsrvese que en esta ltima ex-presin, la operacin principal es la multiplicacin.

    Ejemplo 5: Factorizar 5b 2cx - 60a 2b 2c 5x 2

    Solucin: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es 5b2cx .Se escribe a continuacin un parntesis y adentro de l lo que queda de la expresin original luegode haberle quitado a cada trmino los factores comunes. Como el factor comn es todo el primertrmino de la expresin original, en su lugar se pone 1 :

    5b 2cx (1 - 12a 2c 4x)

    * Finalmente significa que 5b 2cx - 60a 2b 2c 5x 2 = 5b 2cx (1 - 12a 2c 4x) . Obsrvese que en esta ltimaexpresin, la operacin principal es la multiplicacin.

    Ejemplo 6: Factorizar 8b 2 - 20a 2b 2 + 16ab 3c 4

    Solucin: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es 4b 2 .Se escribe a continuacin un parntesis y adentro de l lo que queda de la expresin original luegode haberle quitado a cada trmino los factores comunes:

    4b 2(2 - 5a 2 + 4abc 4).

    * Finalmente significa que 8b 2 - 20a 2b 2 + 16ab 3c 4 = 4b 2(2 - 5a 2 + 4abc 4) . Obsrvese que en estaltima expresin (derecha del signo igual), la operacin principal es la multiplicacin.

  • INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA pgina 13

    EJERCICIO 4

    Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

    1) 3b - 9a 2) 2ax - 9x2 3) a2d5x + 2a3a24) 6a5b - 9aba + 3b7 5) 12a5x - 9x2 + 9b3x3 6) 8ba2x + 2ab3a2x3 - 4a2b2a27) 14a2b2 + 21ab8a + 35a4b7c2 8) 12a3b4x - 9b4x4 + 36x3 9) bc2 + 22ab2c4x - 14a2bc210) 40b6 + 8abc - 35a9b4c 11) 26a5b5x - 13b4x + 39a2b7x3 12) 4b2c2 + 4b2c4 - 4bc213) 6ab6c + 3abc - 3a6b8c 14) 6a2b4d - 6b3d3x + 16a2b9x2 15) 40b5c5 + 20a6b9c4 - 100a6b5c416) 8a7cf + 3ab2cf - 3a2c 17) ab4d - b7d8x + a2 18) 40c3 + 2b11c - 100

    CASO 2: POR AGRUPACIN

    El proceso consiste en formar grupos o agrupar trminos en cantidades iguales (de dos en dos, o detres en tres, etc.), para luego factorizar cada grupo por factor comn y finalmente volver a factorizar porfactor comn, en donde el parntesis que debe quedar repetido en cada grupo es el factor comn.

    Como regla prctica, el signo del primer trmino de cada grupo es el signo que debe ponerse en cadafactorizacin por factor comn.

    Ejemplo 1: Factorizar 2ac + bc + 10a + 5bSolucin: Se forman dos grupos, uno con los dos primeros trminos y el otro con los otros dos trminos.

    2 10 5ac bc a b+ + +

    Factorizando cada grupo por factor comn: El primer grupo tiene a c como factor comn, mientrasque el segundo grupo tiene al 5 . De manera que resulta que:

    2ac + bc + 10a + 5b = c(2a + b) + 5(2a + b)

    Obsrvese que en sta ltima expresin (la de la derecha del signo igual), la operacin principal esla suma, por lo que no est an factorizado.

    Volviendo a factorizar por factor comn, ya que el parntesis repetido es se factor comn, final-mente se obtiene que

    2ac + bc + 10a + 5b = (2a + b)(c + 5) .

    Obsrvese que en esta ltima expresin (la de la derecha del signo igual), la operacin principal esla multiplicacin, por lo que ya est factorizado.

  • pgina 14 FACTORIZACIN

    Ejemplo 2: Factorizar a 2b 3 - 5b 4 - 6a 2 + 30b

    Solucin: Se forman dos grupos, uno con los dos primeros trminos y el otro con los otros dos trminos.

    2 3 4 25 6 30a b b a b +

    Ntese que el signo que qued entre cada grupo fue negativo.

    Factorizando cada grupo por factor comn: El primer grupo tiene a b3 como factor comn, mientrasque el segundo grupo tiene al 6 . De manera que resulta que:

    a 2 b3 - 5b 4 - 6a 2 + 30b = b 3(a 2 - 5b) - 6(a 2 - 5b)

    Como el signo que haba quedado anteriormente entre cada grupo fue negativo, ese mismo signo esel que se coloc entre cada factorizacin. Obsrvese que en sta ltima expresin (la de la derechadel signo igual), la operacin principal es la resta, por lo que no est an factoriza