metodos de factorizaciÓn

METODOS DE FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la

expresión propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el

propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la

factorización, se buscan los factores de un producto dado.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados

entre sí dan como producto la primera expresión.

Factorización

Multiplicación

Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores.

Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos

. En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que lo

factoricemos; entonces tendremos

Al factorizar el número 20, tendremos o .

Advierte que y no están factorizados por completo. Contienen

factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc.

Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primera

factorización , de modo que mientras que la segunda

factorización , de modo que , en cualquier caso la

factorización completa para 20 es .

De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo por

completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De esta manera

no factorizamos 20 como .

Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones

algebraicas.

FACTOR COMÚN.

¿Cuándo lo utilizo?

-El factor debe estar en todos los términos que compone el polinomio.

-En las variables, sacar la base con el menor exponente.

-En los números, sacar el mayor factor entre ellos.

-Se multiplica el factor común por el polinomio.

Factorice el siguiente polinomio:

12x3y4 - 36x2y5 – 54x4y6

Mayor Factor Común: 6x2y

Factorización: 6x2y4 (2x – 6y – 9y2x2)

Ejemplos:

Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos

que: . Cuando factorizamos .

Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos

los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es

seleccionar el máximo factor común, . Aquí tenemos como hacerlo:

Máximo factor común (MFC).- El término , es el MFC de un polinomio sí:

1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y

2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.

De este modo para factorizar , podríamos

escribir

Pero no está factorizado por completo por que puede factorizarse aún más.

Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los

términos es . De esta manera la factorización completa es

donde es el MFC.

Entonces para sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la

multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

Pues bien, si nos piden factorizar la expresión , basta aplicar

la propiedad distributiva y decir que

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay

coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos

coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión

, será

Donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18

Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la

multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la

igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda.

Otro ejemplo: Factorizar ¡Atención a

cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un

uno. Tener en cuenta que si hubiéramos

puesto y quiero comprobar si está

bien, multiplico y me da pero no como me tendría que haber dado. Sin embargo

si efectúo

Otros ejemplos:

E J E M P L O :

Factorizar E J E M P L O :





Factorizar

E J E M P L O :

Factorizar

DIFERENCIA DE CUADRADOS Es igual a suma por diferencia.

Se basa en la siguiente fórmula.


-Cuando haya un binomio.

-Cuando los dos términos son cuadrados perfectos.

-En medio de los dos términos hay una resta.

¿Cómo se factoriza?

-Sacar la raíz cuadrada de cada término.

-Formar dos binomios, uno suma y otro resta de las raíces cuadradas,

multiplicándose entre sí.

EJEMPLO

16r2 – 49

Raíces cuadradas: 4r y 7

Factorización: (4r - 7)(4r + 7)

Ejemplos de factorización por este método:

Aquí tenemos un producto notable podemos utilizar esta

relación para factorizar una diferencia de cuadrados.

E J E M P L O :

Factorizar

E J E M P L O :

Factorizar

E J E M P L O :

Factorizar

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales

trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.

Se basa en las siguientes fórmulas

y


-Cuando hay un trinomio.

-Cuando el primer y último término son cuadrados perfectos y positivos.

-El segundo término es el doble del producto de las raíces cuadradas de los

términos cuadrados perfectos.


-Se saca la raíz cuadrada de cada término cuadrado perfecto.

-Se forma una resta de las dos raíces cuadradas elevada al cuadrado, si el

segundo término del trinomio es negativo.

- Se forma una suma de las dos raíces cuadradas elevada al cuadrado, si el

segundo término del trinomio es positivo.

EJEMPLO

x2 + 6x + 9

Raíces cuadradas del primer y último término:

x y 3

Factorización: (x + 3)2

Los trinomios , son trinomios cuadrados porque son cuadrados

de un binomio.

Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.

A. Dos de los términos deben de ser cuadrados y

B. No debe haber signo de menos en o en

C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término 2AB o

su inverso aditivo -2AB.

¿Es un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un término

al cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número.

Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:

Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible.

Así si nos dicen que factoricemos:

Ejemplos de factorización por este método:

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Características

Debe tener cuatro términos.

Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos.

Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la

raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último

término.

Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último.

Pasos para desarrollar un ejercicio de cubo perfecto de binomios

Organizar los monomios de mayor a menor exponente.

Sacar la raíz cúbica al primer y cuarto término.

Multiplicar la raíz del primero elevada al cuadrado por la raíz del cuarto y esto

por tres.

Verificar que dé igual al segundo término de la expresión.

Multiplicar la raíz del cuarto elevada al cuadrado por la raíz del primero y esto

por tres.

Verificar que dé igual al tercer término de la expresión.

Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces del primer y

cuarto términos (de acuerdo al signo del segundo monomio), y todo elevado a

la tres.

Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.

EJEMPLO

125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512y15

125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512 y15

= (5 x 4 + 8 y5)3

Raíces cúbicas:

5 x 4 = 125x 12

8 y 5 = 512 y15

3. (5 x4)2. (8 y5) = 600 x8 y5

3. (5 x4). (8 y5)2 = 960 x4 y10

Ejemplo

(2 – 3x)3 = 23 – 3.22.x + 3.2x2 – x3

= 8 – 12x +6x2 – x3

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS. Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las

siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de dos cubos.

Características

Son dos términos, separados por el signo (+) cuando sea suma, y por el

signo (-) cuando sea una diferencia.

Los coeficientes deberán tener raíz cúbica exacta.

Los exponentes deberán ser divisibles entre 3.

El procedimiento que se sigue para su factorización es: “Se abren dos

paréntesis, el primero es para un binomio formado por las raíces cúbicas de

los términos dados, separados por el mismo signo; el segundo paréntesis es

para un trinomio que se forma con el cuadrado del primer término del

binomio, menos ó más el primero por el segundo términos del binomio

(dependiendo si es suma o resta), y por último, más el cuadrado del segundo

término”.

EJEMPLO

a3 - 8

SOLUCIÓN:

a3 - 8 = (a - 2) . ( a2 + 2 a + 4 )

raíces cúbicas: a y 2

Diferencia de cubos


-Cuando hay un binomio.

-Cuando los dos términos son cubos perfectos.

-En medio de los dos términos hay una resta.


-Sacar la raíz cúbica de cada término, estos van a formar un binomio con

resta, que van a multiplicar un trinomio conformado por el cuadrado de la

primera raíz, más el producto entre las dos raíces, más la última raíz al

cuadrado.

EJEMPLO

x3 – 27 Raíces cúbicas: x y 3

Factorización: (x – 3)(x2 + 3x + 9)

E J E M P L O :

Factorizar , observemos primero que se puede escribir en otra

forma:

Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de

factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:

E J E M P L O :

Factorizar

Suma de cubos


-Cuando hay un binomio.

-Cuando los dos términos son cubos perfectos.

-En medio de los dos términos hay una suma.


-Sacar la raíz cúbica de cada término, estos van a formar un binomio con suma,

que van a multiplicar un trinomio conformado por el cuadrado de la primera raíz,

menos el producto entre las dos raíces, más la última raíz al cuadrado.

EJEMPLO

x6 + 125

Raíces cúbicas: x2 y 5

Factorización: (x2 + 5)(x4 - 5x2 + 25)

E J E M P L O :

Factorizar

SUMA ODIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Características

Es divisible por a-b siendo n un número par o impar

Es divisible por a+b siendo n un número impar

Es divisible por a+b siendo n un número par

Nunca es divisible por a-b

Pasos para desarrollar un ejercicio de suma o diferencia de dos potencias

iguales

Clasificar la expresión en positiva o negativa, y en par o impar (si son

positivas y pares no se pueden realizar por este método).

Se sacan las raíces de cada término.

Se coloca el primer factor el cual es un binomio cuyo primer término es la raíz

del primer término dado y el segundo término es la raíz del segundo término

dado.

El signo del primer factor (binomio) será el mismo que tiene la expresión

dada.

Se crea el segundo factor (un factor polinomio) en el cual existirá un número

de términos igual al exponente de la expresión dada (los siguientes pasos

son solo para el segundo factor).

En cada término se multiplicara el término de la izquierda por el término de la

derecha de la expresión dada

En el primer término del factor polinomio el factor de la izquierda tendrá un

exponente igual a “n – 1”, y el factor derecho tendrá un exponente de cero.

Para los exponentes de los siguientes términos, en el caso del factor de la

izquierda irán disminuyendo en una unidad, y los del término de la derecha

irán aumentando también en una unidad (si se suman los exponentes de los

dos términos siempre será igual a n-1).

Si el binomio es negativo todos los términos del polinomio son positivos, si el

binomio es positivo impar los signos del polinomio se alternarán (+ ó –)

comenzando por el “+”.

Cuando en el polinomio, el exponente del término de la derecha sea igual a

n-1 damos por terminada la respuesta.

EJEMPLO

x4 + z4

= x + z

= x3 – x2z + xz2 – z3

= (x + z)(x3 –x2z + xz2 –z3)

Ejemplo:

m6 + n6

= m + n

= m5 - m4n + m3n2 – m2n3 + mn4 – n5 m6 + n6

= (m + n) (m5 - m4n + m3n2 – m2n3 + mn4 – n5)

Ejemplo:

b3 + c3

= b + c

= b2 – bc + c2b3 + c3

= (b + c) (b2 – bc + c2)

POR AGRUPACIÓN.

Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro

términos. Consideremos . No hay ningún factor diferente de 1.

Sin embargo podemos factorizar a y por separado:

Por lo tanto . Podemos utilizar la propiedad

distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1

Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las expresiones

con cuatro términos se pueden factorizar con este método.

E J E M P L O :

E J E M P L O :

Factorizar

E J E M P L O :

Factorizar

E J E M P L O :

Factorizar

TRINOMIO CUADRADOPERFECTO POR ADICIÓN

YSUSTRACCIÓN

Características:

Tienen tres términos (ordenarlo en forma descendente)

El primer término debe estar elevado a una potencia múltiplo de 4 y el

número debe tener raíz cuadrada exacta.

El tercer término el número debe tener raíz cuadrada exacta y si tiene letra

debe estar elevada a un múltiplo de 4.

Debe tener raíz cuadrada exacta el primer y tercer término pero al multiplicar

el primer término con el tercero y por dos no da el tercer término.

Pasos para desarrollar un ejercicio de trinomio cuadrado perfecto por

adición y sustracción

x4 + 3x2 +4

Raíz cuadrada de x4 es x2

Raíz cuadrada de 4 es 2

Doble producto de la primera raíz por la segunda: 2(x2) (2) = 4x2

El trinomio x4 + 3x2 + 4 no es trinomio cuadrado perfecto, entonces:

x4 + 3x2 + 4= x4 + 3x2 + 4 + x2 - x2

Se suma y se resta x2=(x4 + 4x2 + 4) - x2 Se asocia convenientemente

= (x2 + 2)2 - x2

Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto

= [(x2 + 2) - x] [(x2 + 2) - x]

Se factoriza la diferencia de cuadrados

=(x2 + 2 + x) (x2 + 2 - x)

Se eliminan signos de agrupación

=(x2 + x+ 2) (x2 - x + 2)

Se ordenan los términos de cada factor.

Entonces:

x4 + 3x2 + 4 = (x2 - x+ 2) (x2 - x + 2)

EJEMPLO

x⁴ + x²y² + y⁴ =...Sumando y restando x²y² para completar el TCP x⁴ +

x²y² + x²y² + y⁴ - x²y² = x⁴ + 2x²y² + y⁴ - x²y² = .... factorizando

como TCP: (x² + y²)² - x²y² = ....factorizando como diferencia de cuadrados:

[(x² + y²) - xy] [(x² + y²) - xy] = (x² + y² - xy) (x² + y² + xy)

TRINOMIOS CON TÉRMINO DE SEGUNDO GRADO

O sea un polinomio de este tipo , siendo a, b y c números

Se iguala el trinomio a cero, se resuelve la ecuación , y si

tiene dos soluciones distintas, y se aplica la siguiente fórmula:

Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio

Igualamos a cero

Resolvemos la ecuación , y separando las dos

soluciones , , y aplicando la fórmula,

teniendo en cuenta que a=2

TRINOMIOS DE LA FORMA x2+bx+c


-Es un trinomio.

-El coeficiente de la variable cuadrática es uno.

-Un término (variable) es cuadrado perfecto.

-La raíz cuadrada de la variable está en el término del medio.

-Los signos del segundo y último término no importan.


-Se forman dos binomios multiplicándose entre sí. El primer término de cada

binomio es la raíz cuadrada de la variable.

-Se buscan dos números que multiplicados den el término c y sumandos den el

término b, y éstos números son el segundo término de cada binomio.

Características

Tienen tres términos

No tiene numero delante del x2

Pasos para desarrollar un ejercicios de trinomio de la forma x2 + bx + c

Ordeno el trinomio en forma descendente.

Abro dos paréntesis

Saco raíz cuadrada del primer término y lo coloco en cada uno de los

paréntesis

Copio el primer signo del ejercicio en el primer paréntesis

Multiplico el primer signo por el segundo del ejercicio y lo coloco en el segundo

paréntesis

Opero +. - = -

Observo cuidadosamente la respuesta que tengo en los paréntesis y analizo

los signos

EJEMPLO


x2 + 16x – 36

Dos números que multiplicados den -36 y sumados 16: 18 y -2

Factorización: (x + 18)(x – 2)

EJEMPLO

x2+5x+6=0

La factorización queda como: (x+3) (x+2)=0 ya que 3x2 = 6 y 3+2=5

x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

a4 - 7a2 - 30 = (a2 - 10)(a2 + 3)

m2 + abcm - 56a2b2c2 = (m + 8abc) (m - 7abc)

TRINOMIOS DE LA FORMA AX2+BX+C


-Es un trinomio.

-El coeficiente de la variable cuadrática es mayor a uno.

-Un término (variable) es cuadrado perfecto.

-La raíz cuadrada de la variable está en el término del medio.

-Los signos del segundo y último término no importan.


-Se multiplican el primer y último término.

-Luego, se buscan dos números que multiplicados den ese producto pero que

sumados den b.

-Con esos dos números se descompone el segundo término como la suma de

otros dos términos, formando un polinomio de cuatro términos.

-Se agrupan los dos primeros términos y los dos últimos términos. Se saca un

factor común de cada binomio y luego se saca el binomio factor común,

quedando el producto de dos binomios.

Características

El coeficiente del primer término es diferente de 1.

La variable del segundo término es la misma que la del primer término pero

con exponente a la mitad.

El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y

segundo términos del trinomio.

Pasos para desarrollar un ejercicio de trinomio de la forma ax2 + bx + c

Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del primer término.

Se resuelve el producto del primero y tercer término dejando indicado del

segundo término.

Se factoriza como en el caso del trinomio de la forma x2 + bx + c, o sea,

se buscan dos números que multiplicados de 60 y sumados 23. (Se suman

por que los signos de los dos factores son iguales)

Se factorizan los dos binomios resultantes sacándoles factor común

monomio, se descompone el 15 y por último dividir

EJEMPLO


2x2 – 7x – 15

Multiplicación del primer y último término: -30x2

Dos números que multiplicados den -30x2 y sumados -7x : -10x y 3x

Escribir nuevamente el polinomio descomponiendo el término de la mitad:

2x2 – 7x – 15

2x2 – 10x + 3x – 15

Agrupar los dos primeros términos y los dos últimos términos:

(2x2 – 10x) + (3x – 15)

Sacar el factor común de cada binomio:

2x(x – 5)+3(x – 5)

Sacar el binomio factor común:

(x – 5) (2x + 3)

EJEMPLO

15x4 - 23x2 + 4

=15(15x4 - 23x2 + 4) /15

=((15x2)2 - 23(15x) + 60 )/15

=(15x2 - 20)(15x2 - 3) /15

=5(3x2- 4) 3(5x2 - 1) / 5.3

15x4 - 23x2 + 4 = (3x2 - 4) (5x2 - 1)

REGLA DE RUFFINI Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de ruffini es decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que

al sustituirlos en el polinomio nos da cero.

Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto

grado tiene cuatro raíces enteras , y se factoriza así:

Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini

Ejemplo:

Factorizar

Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente,

en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –

12

Probemos con uno

Se copian los coeficientes del polinomio:

1 -4 -1 16 -12

Y se escribe en una segunda línea el número uno

1 -4 -1 16 -12

1

El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea

1 -4 -1 16 -12

1

1

Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en

este caso también uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe

debajo del siguiente coeficiente, o sea del –4

1 -4 -1 16 -12

1 1

1

Se suma –4+1=-3

1 -4 -1 16 -12

1 1

1 -3

Se multiplica –3 por 1=-3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, -1

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3

1 -3

Se suma –3-1=-4 y así sucesivamente

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 -4 12

1 -3 -4 12 0

Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz

del polinomio y que nos sirve para factorizar.

Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores

de 12.

Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los

coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x-1, y la última suma es el

resto de dicha división.

Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea que

Dividendo=Divisor x Cociente+Resto

De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer

grado hay que intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini.

Aplicando sucesivas veces esta regla queda:

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 -4 12

1 -3 -4 12 0

2 2 -2 -12

1 -1 -6 0

-2 -2 6

1 -3 0

Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x-3

La factorización final es: (x= 1) (x= 2) (x= - 2) (x= 3) Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que

el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales.

FACTORIZAR LOS SIGUIENTES POLINOMIOS Podemos aplicar el primer método, o sea sacar factor común

El segundo factor, o sea el paréntesis, es un trinomio de segundo grado y cuadrado perfecto.

Se puede factorizar por el tercero, cuarto o quinto método. Apliquemos el tercero y queda:

=

Factorizar:

Primero sacamos factor común:

Al paréntesis le podemos aplicar el segundo método y

queda: =

Y aún más, al segundo paréntesis le podemos volver a aplicar el segundo método:

Factorizar

El polinomio de segundo grado que queda en el tercer paréntesis no se puede factorizar. Si

probamos el cuarto método, igualando a cero y resolviendo la ecuación

queda

Finalmente tendremos:

Factorizar:

Sólo podemos aplicar el quinto método, o sea Ruffini:

1 -12 41 -30

1 1 -11 30

1 -11 30 0

5 5 -30

1 -6 0

Tendremos: (x=1) (x=5) (x=6)

metodos de factorizaciÓn

Documents