secuencia 1 productos notables y factorización
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secuencia 1
En esta secuencia descubrirás procedimientos simplificados para efectuar multiplicaciones con expresiones algebraicas y para encontrar los factores que dan lugar a un producto algebraico determinado.
A FORMAR CUADRADOSPara empezarLosbloquesalgebraicossonunaherramientaquepermiterepresentaroperacionesconexpresionesalgebraicas.Enlasecuencia12deMatemáticas ii,volumenIlosusasteparamultiplicarpolinomios;ahora,teayudaránaencontrar,demanerasimplificada,elresul-tadodeelevaralcuadradounbinomio.
RecortalosBloques algebraicosdelanexo1Recortablesypégalosencartón.
Conbloquesdeáreasx 2,x y1formacuadradosdediferentetamañoeidentificalaex-presiónalgebraicaquecorrespondealamedidadesusladoscomosemuestraenlasdosfigurassiguientes.
SESión 1
Productos notables y factorización
x + 1
x 1
a = x 2 + x + x + 1 = x 2 + 2x + 1
x + 2
x 2
a = x 2 + 2x + 2x + 4 = x 2 + 4x + 4
Encuentraeltrinomioquerepresentaeláreadelosdoscuadradossiguientes.
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IIIMATEMÁTICAS
Consideremos lo siguienteEnlasiguientetablaaparecenbinomiosquerepresentanlasmedidadelladodediferen-tescuadrados,asícomolostrinomiosquecorrespondenasusrespectivasáreas.
a) Examinalosdosprimerosejemplosycompletalasiguientetabla.
Binomio Trinomio
x + 1 (x + 1)2 = x 2 + 2x + 1
x + 2 (x + 2)2 = x 2 + 4x + 4
x + 3 (x + 3)2 =
x + 4 (x + 4)2 =
x + 6 (x + 6)2 =
x + 10 (x +10)2 =
b) Subrayaeltrinomioquerepresentaeláreadeuncuadradocuyoladomidex + 100.
x 2 + 100x + 10 000 x 2 + 10 000 x 2 + 200x + 10 000
Comparensussoluciones.Comentencómoobtuvieronlostrinomiosquesonresultadodeelevarlosbinomiosalcuadrado.
x + 4
x 4
a =
=
x + 6
x 6
a =
=
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secuencia 1
Manos a la obrai. Lafigura1muestrauncuadradoquemidedeladox + 5.
x + 5
x + 5
Figura 1
a) ¿Cuántosbloquesdeáreax 2seutilizaronparaformar
elcuadrado?
b) ¿Cuántosdeáreax?
c) ¿Cuántosdeárea1?
d) Delassiguientesexpresiones,subrayenlasquerepre-sentaneláreadelcuadrado.
x + 5
x 2 + 5x + 5x +25
x 2 + 25
x 2 + 10x +25
e) Verifiquensilasexpresionesquesubrayaronseobtie-nenalelevaralcuadradoelbinomiox + 5.Paraeso,completen la multiplicación (x + 5) (x + 5) y luegosumenlostérminossemejantesparaobteneruntrino-mio.
(x + 5)2 = (x + 5) (x + 5)
=
=
Recuerden que:
Para multiplicar dos binomios se multiplica
cada término de un binomio por todos
los términos del otro y luego se suman los
términos que son semejantes.
(x + 7) (x + 7) = x 2 + 7x + 7x + 49
= x 2 + 14x + 49
Comparensussolucionesycomentencuáldelossiguientesprocedimientosusaríanparahacerdemanerasimplificadalamultiplicación(x + 8) (x + 8),sinnecesidaddehacerunamultiplicacióntérminoportérmino.
• Elresultadoseobtienesumandoelcuadradodelprimertérmino(x 2)yelcuadradodelsegundotérmino(64).
• Elresultadoseobtienesumandoelcuadradodelprimertérmino(x 2)máselproduc-todelosdostérminos(8x )máselcuadradodelsegundotérmino(64).
• Elresultadoseobtienesumandoelcuadradodelprimertérmino(x 2)máseldobledelproductodelosdostérminos(16x )máselcuadradodelsegundotérmino(64).
Verifiquensusreglashaciendolamultiplicación(x + 8) (x + 8).
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MATEMÁTICAS IIIii. Elevenal cuadradoel binomio (2x + 3) ymultipliquen términopor términopara
obtenercuatroproductosparcialescomoloindicanlaslíneas.Luegosumenlostér-minossemejanteshastaobteneruntrinomio.
4x 2
(2x + 3) (2x + 3) = 4x 2 + 6x + + =
+ Trinomio cuadrado perfecto
6x 12x
a) ¿Quérelaciónhayentreeltérmino4x 2deltrinomioyeltérmino2xdelbinomio?
b) ¿Quérelaciónhayentreel9deltrinomioyel3delbinomio?
c) ¿Cuántasvecesapareceelproductoparcial6xenlamultiplicación?
d) ¿Quétérminosdelbinomiosemultiplicaronparaobtenerlo?
e) ¿Quérelaciónhayentreeltérmino12xdeltrinomioyelproductodelosdostér-
minosdelbinomio?
Comparen sus soluciones y encuentren una procedimiento simplificado para obtenereltrinomioqueresultaalefectuarlaoperación(3x + 2)2,sinnecesidaddehacerunamultiplicacióntérminoportérmino.
A lo que llegamosLa expresión que resulta al elevar al cuadrado un binomio se llama trinomio cuadrado perfecto.
El siguiente procedimiento permite obtener el resultado de manera simplificada.
(3x + 5)2 = 9x 2 + 30x + 25
El primer término del binomio se eleva al cuadrado
El segundo término del binomio se eleva al cuadrado
Se multiplican ambos términos (3x ) (5) = 15x
Se duplica el producto
(2) (15x) = 30x
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secuencia 1
Lo que aprendimosEscribeelbinomioalcuadradooeltrinomiocuadradoperfectoquefaltaencadaren-glóndelasiguientetabla.
Binomio al cuadrado Trinomio cuadrado perfecto
(x + 9)2
(3x + 1)2
x 2 + 24x + 144
(2m + 5)2
4x 2 + 36x + 81
EL CUADRADO DE UnA DiFEREnCiAConsideremos lo siguienteDelcuadradodelafigura2serecortaronalgunasparteshastaquequedóotrocuadradomáspequeño,comosemuestraenlafigura3.
x
x
x 2 x
x
1
1
Figura 2 Figura 3
a) ¿Cuáleslamedidadelladodelcuadradoazuldelafigura3?
b) Laexpresiónalgebraicaquerepresentaeláreadelcuadradoazules:
Comparensussoluciones.
SESión 2
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MATEMÁTICAS IIIManos a la obrai. AnayRicardodecidieronusaralgunosbloquesalgebraicosparacompletareláreadel
cuadradoazuldelafigura3.
Ricardosediocuentadequeconunbloquedeáreaxyotrodeáreax – 1podíacompletarelcuadradodeladox .
Figura 4
x
x1
1
x
1Área = x
x
1Área = x – 1
Despuésdecompletarelcuadradodeladox,expresóqueeláreadelcuadradoazuldelafigura3era:x 2 – x – (x – 1).
Ana,porsuparte,usótresbloquesparacubrirelcuadradodeladox;despuésexpre-sóeláreadelcuadradoazulcomox 2 – 2(x – 1) – 1.
a) Usenlosbloquesalgebraicosdeladerecha(deáreasx – 1y1)paracompletarelcuadradodeladox comocreanquelohizoAna;luegotracencadabloquesobrelafigura5eilumínenlosdeacuerdoasucolor.
11
1
x
x1
1 Área = x – 1
Área = x – 1
Figura 5
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secuencia 1b) Completenlaigualdadysimplifiquenambasexpresioneshastaobteneruntrinomio.
ProcedimientodeAna:
A = (x – 1)2 = x 2 – 2(x – 1) – 1 = =
ProcedimientodeRicardo:
A = (x – 1)2 = x 2 – x – (x –1) = =
Lostrinomiosqueobtuvieronenambosprocedimientosdebenseriguales.Sinore-sultaronasí,revisensusoperacionesycorríjanlashastaobtenerelmismotrinomiocuadradoperfecto.
c) Otramaneradeobtenereláreadelcuadradoazuldelafigura3consisteenelevaralcuadradoelbinomiox – 1.Háganloynoolvidenreducirlostérminossemejantes.
x 2
(x – 1)2 = (x – 1) (x – 1) = x 2 – x – + =
+ Trinomio cuadrado perfecto
–x –2x
ii. Otenganelresultadode(y – a )2,paraverificarsialelevaralcuadradocualquierbi-nomioquerepresentaunadiferenciaseobtieneuntrinomiocuadradoperfecto.Noolvidensumarlostérminossemejantes.
y 2
(y – a )2 = (y – a) (y – a) = y 2 – ay – + =
ay – 2ay
¿Obtuvieronuntrinomiocuadradoperfecto?
Comparensussolucionesycomentencómosepuedeobtenereltrinomiocuadradoperfectoquecorrespondealcuadradodeunadiferencia,sinseguirelprocedimientodelaactividadii.
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MATEMÁTICAS IIIA lo que llegamosAl elevar al cuadrado una diferencia también se obtiene un trinomio cuadrado perfecto, pero ahora el doble del producto de los términos del binomio tiene signo menos.
El siguiente procedimiento permite obtener el resultado de manera simplificada.
(x – b )2 = x 2 – 2bx + b 2
x se eleva al cuadrado b se eleva al cuadrado
El producto de (x ) y (–b) se duplica
Terecomendamostomarencuentalosdosaspectossiguientes:
a) Elcuadradodeunadiferenciapuedeexpresarsecomoelcuadradodeunasuma.Porejemplo:
(x – 12)2 = [x + (– 12)]2 = x 2 + 2(x) (–12) + (–12)2
= x 2 – 24x + 144
b) Hayexpresionesqueparecentrinomioscuadradosperfectosperonoloson,porejemplo:x2 – 2x + 9.
Comotienedostérminosquesoncuadrados:x 2y9,podríasuponersequeeltrinomioesresultadodedesarrollar(x – 3)2,sinembargo(x – 3)2 = (x + 3) (x + 3) = x 2 – 6x + 9.
Lo que aprendimos1. Encuentraelcuadradode lossiguientesnúmerosaplicando la reglaparaelevaral
cuadradounbinomio,talcomosemuestraenlosdosejemplos.
1032 = (100 + 3)2 = 1002 + 2 (100) (3) + 22 = 10 000 + 600 + 9 = 10 609
4992 = (500 – 1)2 = 5002 + 2 (500) (–1) + 12 = 250 000 – 1 000 + 1 = 249 001
a) 192 = (20 – 1)2 = ( )2 – 2 ( ) ( ) + ( )2 = =
b) 512 = (50 + 1)2 = ( )2 + 2 ( ) ( ) + ( )2 = =
Recuerda que:
El producto de un número negativo
elevado al cuadrado es positivo.
(–12)2 = (–12) (–12) = + 144
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secuencia 1
c) 1052 = (100 + 5)2 = ( )2 + 2 ( ) ( ) + ( )2 = =
d) 1982 = (200 – 2)2 = ( )2 – 2 ( ) ( ) + ( )2 = =
e) 9992 = ( )2 = ( )2 – 2 ( ) ( ) + ( )2 = =
2. Escribeelbinomioalcuadradooeltrinomioquefaltaencadarenglón.¡Tencuidado,hayuntrinomioquenoescuadradoperfecto!Elevaalcuadradolosbinomiosqueobtengaspara verificar si correspondenal trinomiopresentado en la columna iz-quierdadelatabla.
Binomio al cuadrado Trinomio
(x – 7)2
(2x + 1)2
x2 – 24x + 144
(x + 12)2
x2 – 14x + 9
x2 + 3x + 2.25
(x + 12 )2
4x2 – 2x + 14
a) Escribeeltrinomiodelatablaquenoescuadradoperfecto:
b) ¿Porquénoesuntrinomiocuadradoperfecto?
LA DiFEREnCiA DE DOS CUADRADOSPara empezarDosbinomiosquesólodifierenenelsignodeunodesustérminossellamanbinomios conjugados,porejemplox + 3eselbinomioconjugadodex – 3;2x + 6eselbinomioconjugado–2x + 6.
Consideremos lo siguienteAuncuadradodeáreax2selehacortadoenunadesusesquinasuncuadradodeáreaa2enunadesusesquinas,talcomosemuestraenlafigura6.
Lafigura6secortóporlalíneapunteadarojayconlasdospiezasseformóelrectángu-lodelafigura7.
SESión 3
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MATEMÁTICAS III
a) ¿Cuáleseláreadelasuperficieazuldelafigura6?
b) ¿Québinomiostienesquemultiplicarparaobtenereláreadelrectánguloformadoporlasdospiezasenlafigura7?
Área = ( ) ( )
c) Realizalamultiplicacióntérminoportérminoysumalostérminossemejantesparaobtenereláreadelafigura7.
( ) ( ) =
=
Comparensussoluciones.
Manos a la obrai. Calquenenunahojalafigura6,cortenporlalíneapunteadayformenelrectángulo
delafigura7.
a) ¿Cuáleslaexpresiónalgebraicaquerepresentalamedidadelabasedelrectángu-
loazuldelafigura7?
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la medida de su altura?
c) Expresenladiferenciadeloscuadradosx 2ya 2comoelproductodedosbinomiosconjugados.
x 2 – a 2 = ( ) ( )
d) Factoricen16 – 9x 2comounadiferenciadecuadrados.
16 – 9x 2 = ( ) ( )
x – a
x
a
aa 2
Figura 6
x
Figura 7
a
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secuencia 1ii. Realicenlassiguientesmultiplicacionestérminoportérminoyverifiquensidespués
desumarlostérminossemejantesobtienenunadiferenciadecuadrados.
4x 2
a) (2x + 3) (2x – 3) = 4x 2 – 6x + – =
– 6x
b) (–2x + 3) (2x + 3) = =
c) (–2x – 3) (2x – 3) = =
d) (–2x + 3) (–2x – 3) = =
e) ¿Enquécasosseobtuvounadiferenciadecuadrados?
f) ¿Enquécasosno?
Comentencomo,apartirdeunadiferenciadecuadrados,podríanidentificarlosbi-nomiosconjugadosquelaproducenalsermultiplicados.
A lo que llegamosEl producto de dos binomios conjugados es una diferencia de cuadrados.
(x + y ) (x – y ) = x 2 – y 2Binomios conjugados Diferencia de cuadrados
La factorización de una diferencia de cuadrados son dos binomios conjugados.
Larelaciónanteriorpuedeaplicarseparamultiplicarparejasdenúmeros,.Paraello,tie-nenquepresentarloscomosifueranbinomiosconjugados.Ejemplos:
(102) (98) = (100 + 2) (100 – 2) = 10 000 – 4 = 9 996
(47) (53) = (50 - 3) (50 + 3) = 2 500 – 9 = 2 491
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MATEMÁTICAS IIILo que aprendimos1. Realizalassiguientesmultiplicaciones.Expresacadaparejadefactorescomobino-
miosconjugadossyobténelproductomedianteunadiferenciadecuadrados.
a) (21) (19) = = =
b) (32) (28) = = =
c) (97) (103) = = =
d) (1 002) (998) = = =
2. Completalasiguientetablaescribiendoparacadaparejadebinomiosconjugadossurespectivadiferenciadecuadradosyviceversa.
Binomios conjugados Diferencia de cuadrados
(x + 8) (x – 8)
(2x + 3) (2x – 3)
x 2 – 100
4x 2 – 25
(–3x + 2y ) (3x + 2y )
A FORMAR RECTÁnGULOSPara empezari. Enlafigura8semuestraunrectánguloformadoconlosbloquesalgebraicos.
Figura 8
x + 1
x + 8
SESión 4
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secuencia 1a) ¿Cuántosbloquesdeáreax 2seutilizaron?
b) ¿Cuántosdeáreax ?
c) ¿Cuántosdeárea1?
d) ¿Cuálessuárea?
ii. Conlosbloquesalgebraicosapropiadosx 2,x y1reproducelasfiguras9,10y11detalmaneraquetenganeláreaindicada.Trazaencadacasolosbloquesqueutilizasteparaformarlayescribelamedidadesubaseydesualtura.
Figura 10 Figura 11
Área = x 2 + 9x +18 Área = x 2 + 9x + 20
Figura 9
Área = x 2 + 9x +14
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MATEMÁTICAS IIIConsideremos lo siguienteCompletalatablasiguiente.
Primer factor (Medida de la base)
Segundo factor (Medida de la altura)
Producto (Área del rectángulo)
x + 8 x + 1
x + 7 x + 2
x2 + 9x + 18
x + 5 x + 4
x + 3 x + 2
x 2 + 5x + 4
a) ¿Quéreglasiguesparaencontrarelproductosiconoceslosdosfactores?
b) Siconoceselproducto,¿cómoobtieneslosfactores?
Comparensussoluciones.
Manos a la obrai. Enlafigura12,conbloquesalgebraicosseformóunrectángulodebasex + 5yaltu-
rax + 2.
a) Observen lafigura12y,sinhacer lamultiplicación
término por término, encuentren el producto de
(x + 5) (x + 2) =
b) ¿Cómoloobtuvieron?
x + 5
x + 2
Figura 12
Los binomios (x + 5) y (x + 2) tienen un término
común que es x. Estos binomios se llaman
binomios de término común.
5 y 2 son los términos NO comunes.
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secuencia 1c) Ahorarealicenlamultiplicacióntérminoportérmino.
x 2
(x + 5) (x + 2) = x 2 + 2x + + 10 =
+
2x 7x
d) ¿Quéoperaciónhacenparaobtenereltérminox 2?
e) ¿Quéoperaciónhacencon los términos5 y2de losbinomiosparaobtenerel
coeficientedeltérmino7xdelproducto?
f) ¿Quéoperaciónhacencon5y2paraobtenereltérmino10?
g) Apliquenloanteriorparacompletarlaigualdad.
(x + 6) (x + 3) = x 2 + x +
Comparensussolucionesydiscutancómoobtuvieronlareglaparamultiplicardosbinomioscontérminocomún.
A lo que llegamosPara obtener el producto de dos binomios con término común se puede hacer lo siguiente:
(x + 4) (x + 3) = x 2 + 7x + 12
1º. El término común x se eleva al cuadrado.
2º. Se suman los términos no comunes: 4 + 3 = 7; el resultado 7 se multiplica por x.
3º. Se multiplican los términos no comunes: (4) (3) = 12
ii. Apliquenlareglaanteriorparaobtenerelproductode(x + 5) (x – 2):
a) ¿Cuántoobtienenalsumar(+5) + (–2)?
b) ¿Cuántoobtienenalmultiplicar(+5) + (–2)?
c) Escribanelproductosinrealizarlamultiplicacióntérminoportérmino
(x + 5) (x – 2) =
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MATEMÁTICAS IIIc) Ahorarealicenlamultiplicacióntérminoportérmino.
x 2
(x + 5) (x + 2) = x 2 + 2x + + 10 =
+
2x 7x
d) ¿Quéoperaciónhacenparaobtenereltérminox 2?
e) ¿Quéoperaciónhacencon los términos5 y2de losbinomiosparaobtenerel
coeficientedeltérmino7xdelproducto?
f) ¿Quéoperaciónhacencon5y2paraobtenereltérmino10?
g) Apliquenloanteriorparacompletarlaigualdad.
(x + 6) (x + 3) = x 2 + x +
Comparensussolucionesydiscutancómoobtuvieronlareglaparamultiplicardosbinomioscontérminocomún.
A lo que llegamos
d) Ahoramultipliquentérminoportérminoparaverificarelresultadoanterior.
x 2
(x + 5) (x – 2) = x 2 – 2x + – =
– 2x
e) ¿Sonigualeslosproductosobtenidosenlosincisosc)yd)?
Comparen sus soluciones, discutan y verifiquen si la regla funciona par cualquiermultiplicacióndebinomioscontérminocomún.
iii.Almultiplicardosbinomioscontérminocomúnseobtuvo:
( ) ( ) = y 2 + 10y + 16
a) ¿Cuáleseltérminocomún?
b) ¿Quénúmerossemultiplicaronparaobtener16?
c) ¿Cuántodebensumaresosnúmeros?
d) Escribanenlosparéntesislosfactoresquecorrespondanaltrinomioy 2 + 10y + 16.
e) Multipliquenensucuadernolosbinomiostérminoportérminoparaverificarelresultadoanterior.
Comparensussolucionesycomentenquéoperacionestienenquerealizarparaencontrareltérminocomúnylostérminosnocomunesdelosbinomios.
A lo que llegamosPara factorizar el trinomio x 2 + 5x + 4, se puede hacer lo siguiente:
1º. Se obtiene el término común; en este caso es x, porque (x ) (x ) = x 2
x 2 + 5x + 4 = (x + ) (x + )
2º. Se buscan parejas de números enteros que multiplicados den 4.
(2) (2) = 4 (–2) (–2) = 4 (4) (1) = 4 (–4) (–1) = 4
3. Se selecciona la pareja de números que sumada dé el coeficiente del término 5x; en este caso, se seleccionan 4 y 1 porque 4 + 1 = 5.
Por lo tanto:
x 2 + 5x + 4 = (x + 4) (x + 1)
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secuencia 1
Lo que aprendimos1. Aplicaelproductodelosbinomioscontérminocomúnencadamultiplicación.
a) (23) (25) = (20 + 3) (20 + 5) = 400 + (8) (20) + 15 =
b) (105) (98) = (100 + 5) (100 - 2) =
c) (48) (49) =
2. Completalatabla.
Binomios con término común Trinomio de segundo grado
(x + 8) (x + 2)
x 2 + 9x + 18
x 2 – 3x – 10
x 2 + 3x + 2
x 2 – 3x + 2
(x + a) (x + b)
Un CASO ESPECiAL DE FACTORiZACiónConsideremos lo siguiente
Figura 13
Altura
Base
6x
2x 2
Nosiempreocurrequeeláreadeunrec-tángulo corresponda a un trinomio. Porejemplo,enlafigura13serepresentaunrectángulodeárea2x 2 + 6x.
a) ¿Cuáleslamedidadelabase?
b) ¿Cuáleslamedidadelaaltura?
Comparensusrespuestas.
SESión 5
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MATEMÁTICAS IIIManos a la obrai. Sobrelafigura13,tracendosbloquesdeáreax 2yseisdeáreax.Después,completen
latablasiguiente:
Rectángulo Área (Base) (Altura)
Azul 2x 2 (2x ) ( )
Rojo 6x (2x ) ( )
Completo 2x 2 + 6x (2x ) ( )
Comoelfactor2xapareceenlastresmultiplicacionesdelaúltimacolumna,esunfactorcomúndelostérminos2x
2y6x.
¿Sonigualeslasexpresionesquerepresentanlasmedidasdelasalturasdelosrectán-
gulosazulyrojo?
Estasexpresionessellamanfactores no comunesdelostérminos2x 2y6x.
Comparensusrespuestasycomenten:
a) ¿Quéotrosfactorescomunespuedentenerlostérminos2x 2y 6x ?
b) ¿Puedenformarserectángulosdiferentesaldefigura13,condosbloquesdeáreax 2yseisdeáreax ?Dibújenlosenelpizarrónyexpresensuárea2x 2 + 6xpormediodedosfactores.
A lo que llegamosPara factorizar un binomio tal como 4x 2 + 20x se puede hacer lo siguiente:
1º. Se factoriza cada término del bino-mio de manera que el factor común contenga la literal y el máximo valor posible del coeficiente:
4x 2 = (4x ) (x )
20x = (4x ) (5)
2º. Se expresa la factorización: 4x 2 + 20x = (4x ) (x + 5)
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secuencia 1ii. Apliquenlareglaanteriorparafactorizar14x 2y – 21x y 2
14x 2y = (7x y ) ( )
– 21x y 2 = (7x y ) ( )
14x y 2 – 21x y 2 = (7x y ) ( – )
Comparensussoluciones,discutanyverifiquensilareglafuncionaparafactorizarcualquiertipodepolinomios.
Lo que aprendimos1. Expresalossiguientespolinomioscomoelproductodedosfactores.
a) x 2 – 18x + 81 = ( ) ( )
b) x 2 + 20x + 100 = ( ) ( )
c) x 2 – 400 = ( ) ( )
d) x 2 + 8x – 20 = ( ) ( )
e) 4x 2 + 8x = ( ) ( )
f) x 2 + 11x + 24 = ( ) ( )
g) x 2 + 10x + 24 = ( ) ( )
h) x 2 + 14x + 24 = ( ) ( )
i) x 2 + 2x – 24 = ( ) ( )
j) 9x 2 – 36x = ( ) ( )
2. Factorizandopodríaestablecerseunareglaútilparacalcularelproductodeciertosnúmeros;examinalassiguientesmultiplicacionesytratadeencontrarlarelaciónen-trelosfactoresinvolucradosyelresultado.¿Sepuedeestablecerunareglageneral?
(12) (18) = 216 (23) (27) = 621 (31) (39) = 1 209 (54) (56) = 3 024
a) ¿Quérelaciónmatemáticaencuentrasentrelascifrasdelasunidadesdelosfac-
tores?
b) ¿Cómoobtieneselnúmeroformadoporlasdoscifrasdeladerechadelproducto?
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MATEMÁTICAS IIIc) ¿Cómoobtieneselnúmeroformadoporlasdemáscifrasdelaizquierdadelpro-
ducto?
d) Siyadescubristelaregla,calculamentalmenteelresultadodecadaoperación.
(13) (17) = (43) (47) = (61) (69) =
(74) (76) = (88) (82) = (191) (199) =
Para saber másSobre productos notables y factorización, consulta:http://interactiva.matem.unam.mxRuta1: Álgebra Una embarrada de álgebra Binomio al cuadradoRuta1: Álgebra Una embarrada de álgebra Diferencia de cuadrados[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.
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