Anlisis de productos notables y factorizacin

Anlisis de productos notables y factorizacin

Marcelys CaraballoCdigo: 127452CI :14.714.608Semestre :2SABATINO

Productos notables: Se llamaproductos notablesa ciertasexpresiones algebraicasque se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlasa simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.Se les llamaproductos notables(tambinproductos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.A continuacin veremos algunasexpresiones algebraicasy del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como unproducto notable).Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadradoa2+ 2ab + b2= (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, ms el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad.Demostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la formaa2+ 2ab + b2debemos identificarla de inmediato y saber que podemosfactorizarlacomo(a + b)2

Cuadrado de la diferencia de dos cantidadesa2 2ab + b2= (a b)2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad.Demostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la formaa2 2ab + b2debemos identificarla de inmediato y saber que podemosfactorizarlacomo(a b)2Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)(a + b) (a b) = a2 b2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segundaDemostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma(a + b) (a b)debemos identificarla de inmediato y saber que podemosfactorizarlacomoa2 b2

Producto de dos binomios con un trmino comn, de la formax2+ (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

Demostracin:

Veamos un ejemplo explicativo:Tenemos la expresin algebraicax2+ 9 x + 14obtenida del producto entre (x+2) (x+7 )Cmo llegamos a la expresin?a) El cuadrado del trmino comn es (x)(x)=x2b) La suma de trminos no comunes multiplicada por el trmino comn es (2+7)x=9xc) El producto de los trminos no comunes es (2)(7)=14

As, tenemos:x2+ 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la formax2+ (a + b)x + abdebemos identificarla de inmediato y saber que podemosfactorizarlacomo(x + a) (x + b)Producto de dos binomios con un trmino comn, de la formax2+ (a b)x ab = (x + a) (x b)

Demostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la formax2+ (a b)x abdebemos identificarla de inmediato y saber que podemosfactorizarlacomo(x + a) (x b).Producto de dos binomios con un trmino comn, de la formax2 (a + b)x + ab = (x a) (x b)

Demostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la formax2 (a + b)x + abdebemos identificarla de inmediato y saber que podemosfactorizarlacomo(x a) (x b).Producto de dos binomios con un trmino comn, de la formamnx2+ ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)

En este caso, vemos que eltrmino comn (x)tiene distinto coeficiente en cada binomio(mx y nx).Demostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la formamnx2+ ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y saber que podemosfactorizarlacomo(mx + a) (nx + b).Cubo de una sumaa3+ 3a2b + 3ab2+ b3= (a + b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la formaa3+ 3a2b + 3ab2+ b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemosfactorizarlacomo(a + b)3.Cubo de una diferenciaa3 3a2b + 3ab2 b3= (a b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la formaa3 3a2b + 3ab2 b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemosfactorizarlacomo(a b)3.A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresin algebraica que lo representa:

Producto notableExpresin algebraicaNombre

(a + b)2=a2+ 2ab + b2Binomio al cuadrado

(a + b)3=a3+ 3a2b + 3ab2+ b3Binomio al cubo

a2-b2=(a + b) (a-b)Diferencia de cuadrados

a3-b3=(a-b) (a2+ b2+ ab)Diferencia de cubos

a3+ b3=(a + b) (a2+ b2-ab)Suma de cubos

a4-b4=(a + b) (a-b) (a2+ b2)Diferencia cuarta

(a + b + c)2=a2+ b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bcTrinomio al cuadrado

FactorizacinPara entender la operacin algebraica llamadafactorizacines preciso repasar los siguientes conceptos:Cualquier expresin que incluya la relacin de igualdad (=) se llamaecuacin.Una ecuacin se denominaidentidadsi la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuacin se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuacin escondicional.Untrminoes una expresin algebraica que slo contiene productos de constantes y variables;2x, a, 3xson algunos ejemplos de trminos.La parte numrica de un trmino se denominacoeficiente.Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son2, 1, y 3.Una expresin que contiene un solo trmino se denominamonomio; si contiene dos trminos se llamabinomioy si contiene tres trminos, es untrinomio.Unpolinomioes una suma (o diferencia) finita de trminos.En este contexto, elgradoes el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como enax3+bx2+cx, el polinomio es detercer grado.Unaecuacin linealen una variable es una ecuacin polinmica deprimer grado; es decir, una ecuacin de la formaax + b = 0.Se les llama ecuaciones lineales porque representan la frmula de una lnea recta en lageometra analtica.Unaecuacin cuadrticaen una variable es una ecuacin polinmica desegundo grado, es decir, de la formaax2+ bx + c = 0.Unnmero primoes un entero (nmero natural) que slo se puede dividir exactamente por s mismo y por 1. As,2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos nmeros primos.Laspotenciasde un nmero se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del nmero por s mismo. El trminoaelevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar comoaaaoa3Losfactores primosde un cierto nmero son aquellos factores en los que ste se puede descomponer de manera que el nmero se puede expresar slo como el producto de nmeros primos y sus potencias.Descomposicin de nmeros naturales en sus factores primosPor ejemplo, un nmero natural como 20 puede expresarse como un producto de nmeros de diferentes formas:20 = 2 10 = 1 20 = 4 5En cada uno de estos casos, los nmeros que forman el producto son losfactores.Es decir, cuando expresamos el nmero 20 como el producto 2 10, a cada uno de los nmeros (2 y 10) se les denomina factor.En el caso de 1 20 los factores son 1 y 20 y finalmente en el caso de 4 5, los factores son 4 y 5.Cada uno de los nmeros 1, 2, 4, 5, 10, 20 se denominan a su vezdivisoresde 20.Otro ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 22 3 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.Debe recordarse, adems, que cuando un nmero esdivisible nicamentepor s mismo y por la unidad el nmero se denomina primo.Factorizacin y productos notablesAs como los nmeros naturales pueden ser expresados como producto de dos o ms nmeros, los polinomios pueden ser expresadas como el producto de dos o ms factores algebraicos.Cuando un polinomio no se puede factorizar se denominairreducible. En los casos en que la expresin es irreducible, solo puede expresarse como el producto del nmero 1 por la expresin original.Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le denominafactorizacin.El proceso de factorizacin puede considerarse comoinverso al proceso de multiplicar.Factorizar, entonces, quiere deciridentificar los factores comunes a todos los trminos y agruparlos.Los factores comunes son aquellos nmeros que aparecen multiplicando a todos los trminos de una expresin algebraica.Estos nmeros pueden estar dados explcitamente o representados por letras.As, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o ms polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre s se obtenga el polinomio original.En otras palabras, dada una expresin algebraica complicada, resulta til, por lo general, el descomponerla en un producto de varios trminos ms sencillos.Por ejemplo,2x3+ 8x2yse puede factorizar, o reescribir, como2x2(x + 4y).Algunos ejemplos:De la expresinab2+ 3cb-b3podemos factorizarby obtenemos la expresin:b(ab + 3c-b2) (1)Veamos paso a paso cmo se obtuvo la expresin:

ahora podramos reacomodar la expresin que queda dentro del parntesis:

Finalmente si sustituimos este ltimo resultado en(1), obtenemos:ab2+ 3cb-b3= b (b (a-b) + 3c)ab2+ 3cb-b3= b (ab-b2+ 3c)ab2+ 3cb-b3= b (ab +3c b2)Por otro lado, algunos productos sencillos que tienen una estructura determinada y que pueden ser evaluados de forma directa se denominanProductos notables.En general los casos de factorizacin corresponden a los casos de productos notables.Antes de mostrar ejercicios de aplicacin de factorizacin y productos notables, es necesario recordar la forma de hallar elmximo comn divisor (mcd)de un conjunto de nmeros dados.Ejemplo:Determinar el mximo comn divisor (mcd) de los nmeros 56, 42 y 28.Elmximo comn divisorde un conjunto de nmeros dados corresponde al mayor nmero natural que los divide simultneamente, con residuo cero.Para hallar elmcdde un conjunto determinado de nmeros, estos se dividen simultneamente por los diferentes nmeros primos (tomados en orden ascendente, y desechando los nmeros primos por los cuales no se pueda hacer la divisin con residuo cero detodoslos nmeros de la fila) segn el arreglo mostrado a continuacin.El proceso termina, cuando los nmeros que aparecen en la fila inmediatamente inferior a la ltima divisin simultnea,no pueden dividirse simultneamentepor algn nmero primo.Elmcdbuscado es el producto de los nmeros primos que aparecen a la derecha:5642282

2821147

432

Los nmeros originales (56, 42, 28) se escriben desde la izquierda hacia la derecha.A la derecha de ellos se escribe el 2 (primer nmero primo de la lista) y se divide cada uno de estos nmeros por 2, escribiendo el resultado obtenido en la misma columna del nmero original.La segunda fila muestra estos resultados.Como los nmeros 28, 21 y 14 no pueden dividirsesimultneamentepor 3, este nmero primo se desecha.De forma similar se desecha el 5.El siguiente nmero primo en la lista es 7.En este caso se puede hacer la divisin simultneamente obtenindose los nmeros 4, 3 y 2.Esta ltima filanopuede dividirse simultneamente ni por 2 ni por 3.Como el siguiente nmero primo (5) es mayor que 4, el proceso termina.Por lo tanto, elmcdde los nmeros 56, 42 y 28 es el producto de los nmeros primos de la derecha: 2 7 = 14Lo anterior se expresa como:mcd (56, 42, 28) = 14 (el mximo comn divisor de los nmeros 56, 42 y 28 es igual a 14)Ejemplo: Factorizar9x + 6y - 12zEste es un ejemplo sencillo de la factorizacin por factor comn.Dada una expresin algebraica se encuentra el mximo comn divisor (mcd) de los coeficientes de los trminos de la expresin algebraica.Este mcd corresponde al coeficiente del factor comn.Para la parte literal se toman las variables comunes a todos los trminos con el menor exponente que aparezca.Para este ejercicio elmcd de 9, 6 y 12 es 3; adems como no hay variables comunes en los tres trminos tenemos:9x + 6y-12z = 3(3x + 2y-4z)es decir 9x + 6y-12z se ha expresado como el producto de los factores 3 y 3x + 2y-4z.Ejemplo: Factorizar9xy2+ 6y4-12 y3zEn este caso adems del factor comn 3 (mcd de 9, 6, 12) la variable y es comn a los tres trminos. La menor potencia comn es y2por lo tanto la factorizacin queda:9xy2+ 6y4-12y3z = 3y2(3x + 2y2-4yz)Los factores en este caso son 3x + 2y2-4yz y 3y2. Para verificar, al realizar el producto indicado se obtiene la expresin original:3y2(3x + 2y2-4yz) = (3y2* 3x) + (3y2* 2y2)-(3y2* 4yz)= 9xy2+ 6y4-12y3zNtese que se ha aplicado lapropiedad distributiva del producto. En general no es necesario hacer la verificacin de la factorizacin, pero es conveniente cuando existan dudas sobre el resultado obtenido: