lc.fie.umich.mxpferrei/notas_mb/4%20... · matemáticas básicas capÍtulo iv poductos notables y...

Matemáticas Básicas

CAPÍTULO IV

PODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

Algunos productos especiales que frecuentemente aparecen en los desarrollos algebraicos pueden ser de gran utilidad en el proceso de factorización .Al memorizar tales productos, podremos lograr que nuestra computación algebraica sea rápida y eficaz .

4.1 El producto de dos binomios .

Para multiplicar dos binomios en su forma general, cada uno de los términos de uno de los binomios se multiplica por cada uno de los términos del otro binomio según el siguiente esquema:

a x b y

c x d y

. _______________________________

a c x2 c x b y( ) dy a x( ) b d y

2

resultado que se puede rescribir como :

a x b y( ) c x d y( ) a c( ) x2 a d b c( ) x y b d( ) y

2= (4.1)

Es decir, el resultado del producto de dos binomios es un trinomio tal que :

El primer término es el producto de los primeros términos de los binomios.El último término es el producto de los segundos términos de los binomios.El término intermedio es la suma algebraica de los productos obtenidos al multiplicar el primer término de un binomio por el segundo término del otro .( " productos cruzados " )

Es fácil memorizar éste procedimiento llamando:

P al producto de los Primeros términos . I al producto de los términos Interiores E al producto de los términos Exteriores L al producto de los úLtimos términos

de los binomios, como se ilustra a la derecha.

a x b y( ) c x d y ) = P + ( I + E ) + L(

P L

I

E

a x b y

c x

d y

P

E

I

L

También se puede interpretar al producto de dos binomios como el área de un rectángulo de lados a x b y y c x d y que es la suma

de las áreas de cuatro rectángulos menores, cuyos lados tienen una longitud igual a cada uno de los términos de los binomios, como se ilustra en la figura a la derecha.

Pedro Ferreira Herrejon 1 Productos notables y Factorización


Ejemplos .

1° Obtener el producto 6 x 5( ) 3 x 2( )

El producto de los dos primeros términos es : P 6 x( ) 3 x( )= = 18 x2

La suma algebraica de los productos del primer término de cada binomio por el segundo términodel otro binomio es :

I E( ) 5( ) 3 x( ) 6 x( ) 2( )= = 15 x 12 x = 3 x

El producto de los últimos términos de los binomios es : L 5( ) 2( )= = 10

Luego :

6 x 5( ) 3 x 2( ) = 18 x2 3 x( ) 10 = 18 x

2 3 x 10

2° Obtener el producto 2

3x

3 a1

2x a

2

6 x3 a

23

2x

3 a3

El producto de los dos primeros términos es : P2

3x

3 a

6 x3 a

2 = = 4x

9

a

La suma algebraica de los productos "cruzados" es :

I E2

3x

3 a

3

2 x

3 a3

1

2x a

2

6 x3 a

2

= = a4 3 x

2

El producto de los últimos términos es : L1

2 x a

2

3

2 x

3 a3

= = 3

4 x5

a5

Luego el producto es :

2

3x

3 a1

2x a

2

6 x3 a

23

2x

3 a3

= 4x

9

a a

4 3 x2

3 a5

4 x5

El procedimiento "PIEL" también se puede usar para encontrar el producto del binomio x y( ) por sí

mismo, es decir el cuadrado de un binomio : x y( )2

x y( ) x y( )= en el cual las variables x e

y pueden representar cualquier número o cualquier expresión algebraica .

Se obtiene entonces . . .

P x x x2

= ; I E( ) y x x y 2 x y= ; L y y y2

=

es decir . . .

x y( )2

x2

2 x y y2= (4.2)

" El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término , más el doble producto de los dos términos, más el cuadrado del segundo término"



Es importante tomar en cuenta el signo algebraico entre los dos términos del binomio, dado que :

x y( )2

x y( )[ ]2

=

= x2

2 x y( ) y( )2

es decir . . .

x y( )2

x2

2 x y y2= (4.2)

a

el doble producto de los términos es negativo en éste caso.

Ejemplos :

1° 3 x 2 y( )2

El primer término es 3 x , el segundo término es 2 y , así que aplicando (4.2)a se obtiene:

3 x 2 y( )2

= 3 x( )2

2 3 x( ) 2 y( ) 2 y( )2

= 9 x2 12 x y 4 y

2

2° 2

3x

2 a

3

4y

2 a3

2

El primer término es 2

3x

2 a , el segundo término es 3

4

a3

y2

, así que aplicando (4.2) :

2

3x

2 a3

4

a3

y2

2

=

= 2

3x

2 a

2

22

3x

2 a3

4

a3

y2

3

4

a3

y2

2

= 4

9x

4 a x2 a

2

y2

9

16 y4

a3

resultado en el que se han aplicado las leyes de los exponentes y los radicales.

La fórmula (4.1) también se puede usar para encontrar el producto de la suma por la diferencia de dos

números en la forma general x y( ) x y( ) , llamado producto de binomios conjugados , donde x e

y pueden representar cualquier número o cualquier expresión algebraica .

Se obtiene entonces : P x x x2

= ; I E( ) y x x y( ) 0= ; L( ) y y y2

=



es decir . . .

x y( ) x y( ) x2

y2= (4.3 )

El producto de dos binomios conjugados es igual a la diferencia de los cuadrados de sus términos .

Ejemplos :

1° 3 a b3 2 3 a b

3 2 Los binomios son conjugados, pues tienen los mismos términos y solo difieren en el signo de

uno de ellos. El primer término es 3 a b3 y el segundo término es 2 , así que el producto

de éstos binomios conjugados es :

3 a b3 2 3 a b

3 2 = 3 a b3 2

2( )2 = 9 a

2 b6 4

2° x y x y Los binomios son conjugados. Tienen los mismos términos y solo difieren en el signo entre

ellos. El primer término es x , el segundo término es y , así que su producto es una

diferencia de cuadrados:

x y x y = x 2y 2

= x y

3° 35 25Escribiendo los factores de este producto aritmético en la forma de binomios, es decir :

35 30 5( )= y 25 30 5( )=puede interpretarse como el producto de binomios conjugados con primer término es 30 y

con segundo término 5 . y se obtiene :

35 25 = 30 5( ) 30 5( ) = 30( )2

5( )2 = 900 25 = 875

4° b

2 y2

3 a3

x3

b

2 y2

3 a

3

x3

Los binomios son conjugados, pues tienen los mismos términos y solo difieren en su signo

intermedio. El primer término es 3 a

3

x3

, el segundo término es b

2 y2

. Su producto es :

3 a3

x3

b

2 y2

3 a3

x3

b

2 y2

= 3 a

3

x3

2b

2 y2

2

= 9 a

6

x3

b

4 y4



4.2 El cuadrado de un multinomio .

Elevar al cuadrado un multinomio significa multiplicar cada uno de los términos de un multinomio por cada uno de sus propios términos. Se puede demostrar que se llega al siguiente resultado:

El cuadrado de un multinomio es igual a la suma algebraica de :

1° los cuadrados de cada término2° los dobles productos de cada término por cada uno de los términos que le preceden

(4.4)

Así por ejemplo en caso de un multinomio con 5 términos, su cuadrado queda :

v w x y z( )2

= v2

w2 x

2 y2 z

2 +

+ 2 v w x y z( ) 2 w x y z( ) 2 x y z( ) 2 y z

y desarrollando los dobles productos se obtiene . . .

v w x y z( )2

= v2

w2 x

2 y2 z

2 +

+ 2 v w v x v y v z w x w y w z x y x z y z( )

Ejemplos :

1° 4 x 2 y 3 z( )2

= 4 x( )2

2 y( )2 3 z( )

2 +

+ 2 4 x( ) 2 y 3 z( ) 2 2 y( ) 3 z( )

= 16 x2 4 y

2 9 z2 16 x y 24 x z 12 y z

2° 3 a 2 b2 4 c

3 d 2 = 3 a( )

22 b

2 2 4 c

3 2 +

+ 2 3 a( ) 2 b2 4 c

3 d 2 2 b2 4 c

3 d 2 4 c3 d

desarrollando los dobles productos resulta finalmente . . .

9 a2 4 b

4 16 c6 d

2 12 a b2 24 a c

3 6 a d 16 b2 c

3 4 b2 d 8 c

3 d



Un resumen de los productos especiales que hemos encontrado hasta ahora es :

El producto de dos binomios :


2=

El cuadrado de un binomio :

x y( )2

x2

2 x y y2= ; x y( )

2x

22 x y y

2=

El producto de binomios conjugados :

x y( ) x y( ) x2

y2=

El cuadrado de un multinomio :

x y z w .....( )2

x2

y2 z

2 ..... 2 x y z ..( ) 2 y z w ....( ) 2 z w ....( ) 2....

=

Practiquemos todos estos productos especiales resolviendo los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 4.1 . (Productos especiales de binomios y multinomios) .

1. x 4( ) x 3( ) 2. a 2( ) a 2( ) 3. 2 x 1( ) x 3( )

4. 3 a b( ) a 2 b( ) 5. 2 x 3( ) x 1( ) 6. u 2( ) 3 u 1( )

7. 5 y 1( ) 3 y 2( ) 8. 2 x 3( ) 3 x 2( ) 9. 7 x 1( ) x 2( )

10. 3 a 2( ) 2 a 3( ) 11. 8 n2 5 2 n

2 4 12. 5 y3 3 4 y

3 5

13. 10 x 5 y( ) 5 x 2 y( ) 14. 2 w 7 z( ) 3 w 2 z( ) 15. 5 i 3 j( ) 7 i 2 j( )

16. 7 a 6 b( ) 9 a 8 b( ) 17. 12 x a 3 y b( ) 6 x a 5 y b( )

18. 12 f 4 g( ) 3 g 8 f( ) 19. 4

3w 7

5

2w 2

20. 2 x3 3 y

2 3 x3 2 y

2 21. 7

3k

1

36

5

3

4k

1

32

3

22. 8 x2 3 y x

25 y 23. 3 r a 5 y

2 2 r a( )7

y2



24. 2

n3 n

3

4

n2 n

3

25. 63

c2 3 d

2 23

c4 7 d

3

26. 10 x 5 y( ) 5 x 2 y( ) 27. 2 x y( )2

28. 3 x 2( )2

29. x 3 y( )2

30. 3 x 2 y( )2

31. 3 a 1( )2

32. 5 x 3 y( )2

33. 3 m 4 n( )2

34. 7 u 5 v( )2

35. 6 x 5 y( )2

36. 4 p 3 q( )2

37. 10 h 8 k( )2

38. 11 s 9 t( )2

39. 2 i 7 j( )2

40. 6 z3 5 w

2 2

41. 3 a3 2 a 2

42. 3

2 x

2

3 y

2

43. 9 3( ) 9 3( )

44. 20 3( ) 20 3( ) 45. 26 34 46. 18 54

47. a 2( ) a 2( ) 48. z 7( ) z 7( ) 49. u v( ) v u( )

50. x 3 y( ) x 3 y( ) 51. 3 x 2 z( ) 3 x 2 z( ) 52. 6 w 5( ) 6 w 5( )

53. 3 x2 5 y 3 x

2 5 y 54. 5 b4 3 x

2 5 b4 3 x

2

55. 5 b2 6 c

3 5 b2 6 c

3 56. 6 x3 3 y

3 6 x3 3 y

3

57. 3 x4

y5

3 x4

y5

58. m

2

3

2 n2

5

m2

3

2 n2

5

59. 2 x

33

5 y2

2

2 x3

3

5 y2

2

60. a3

5

b

a3

5

b

61. m

2

3

2

5 m

m2

3

2

5 m

62. 5 ax

y

2 b

5 ax

y

2 b

63. 3 a

2b

5 x4 y

3 a2

b

5 x4 y

64. 3 x

2 y3

2 x3

3 y

3 x

2 y3

2 x3

3 y

65. 1

x

1

y

1

x

1

y

66. x y z( )2



67. a b c( )2

68. r s t( )2

69. 2 x y 3 z( )2

70. a 4 b 3 c( )2

71. x2

2 x 5 272. 2 a

2 3 a 1 2

73. 2

3x

21

2x 1

2

74. x 3 y 2 z w( )2

75. 3 x 2 y 4 z 5 r( )2

76. m3

m2 2 m 1 2

77. 2 x3 x

2 4 x 3 278. 2 a

2b 3 3 a

2b 2

79. 5 2 a b( ) 3[ ] 3 2 a b( ) 7[ ] 80. 3 4 a c( ) 5[ ] 4 4 a c( ) 5[ ]

81. 3 2 y 3 b( ) 7[ ] 7 2 y 3 b( ) 7[ ] 82. x2

2 x x2

2 x

83. a2

3 a a2

3 a

84. 3 b2 c

2 3 b c 3 b2 c

2 3 b c

85. 3 u2 9 v

2 9 u v 3 u2 9 v

2 9 u v

86. m3

m m2 1 m

3m m

21

87. a3

a a2

3 a3

a a2

3

88. 3 b4 b b

3 2 b2 3 b

4 b b3 2 b

2

89. 2 m5 m

3 m4 1 2 m

5 m3 m

4 1

90. 2 a b a b 2 a b a b

Respuestas. (problemas impares) Ejercicio 4.1

1. x2

7 x 12 3. 2 x2 7 x 3 5. 2 x

2 x 3

7. 15 y2 7 y 2 9. 7 x

2 13 x 2 11. 16 n4 22 n

2 20

13. 50 x2 5 x y 10 y

2 15. 35 i2 11 i j 6 j

2



17. 72 x2 a

2 78 x a y b 15 y2 b

2 19. 10

3w

89

6w 14

21. 7

4

3k

259

90

3k

4

5 23. 6 r 6 a 31 r a y

2 35 y4

25. 12 c2 42

3c

2 d3

6

d2

3c

4 21 d 27. 4 x2 4 x y y

2

29. x2

6 x y 9 y2 31. 9 a

2 6 a 1 33. 9 m2 24 m n 16 n

2

35. 36 x2 60 x y 25 y

2 37. 100 h2 160 h k 64 k

2 39. 4 i2 28 i j 49 j

2

41. 9 a3 12 a

2 4 a 43. 92 32 72= 45. 302 42 884=

47. a2

4 49. u2

v2 51. 9 x

2 4 z2

53. 9 x4 25 y

2 55. 25 b4 36 c

6 57. 9

16x

21

25y

2

59. 4

9x

625

4y

4 61. 1

9m

44

25 m2

63. 9a

4

b2

25

16

x2

y2

65. 1

x

1

y 67. a

22 a b 2 a c b

22 b c c

2

69. 4 x2 4 x y 12 x z y

26 y z 9 z

2 71. x4

4 x3 14 x

2 20 x 25

73. 4

9 x4

2

3 x

4

3 x2

x

2

4x 1

75. 9 x2 4 y

2 16 z2 25 r

2 12 x y 24 x z 30 x r 16 y z 20 y r 40 z r

77. 4 x6 4 x

5 17 x4 20 x

3 22 x2 24 x 9

79. 60 a2 60 a b 52 a 15 b

2 26 b 21

81. 84 y2 252 y b 56 y 189 b

2 84 b 49 83. a4

5 a2 9

85. 9 u4 27 u

2 v2 81 v

4 87. a6

3 a4 7 a

2 9 89. 4 m10 3 m

8 m6

2 m4 1



4.3 Factorización .

Factorizar una expresión algebraica significa escribirla como el producto de dos o más factores (monomios o monomios). No toda expresión algebraica se puede factorizar . Los tipos de multinomios más comunes que pueden ser factorizados son :

Multinomios cuyos términos tienen un factor común .Binomios que son una diferencia de cuadrados .Trinomios que son cuadrados perfectos .Trinomios que no son el cuadrado de un binomio .

4.3 a) Multinomios que tienen un factor común .

Cuando cada uno de los términos de un multinomio se puede dividir en forma exacta por un mismo monomio, el multinomio se puede factorizar dividiéndolo por ese monomio. El multinomio factorizado es entonces el producto del monomio divisor por el multinomio cociente .

Así por ejemplo, notando que cada término del trinomio :

3 a x2 y 12 a x y

3 z 6 a x z

se puede dividir exactamente por el monomio 3 a x , es posible escribirlo como . . .

3 a x2 y 12 a x y

3 z 6 a x z = 3 a x( )

3 a x( )3 a x

2 y 12 a x y3 z 6 a x z

= 3 a x( )3 a x

2 y3 a x( )

12 a x y3 z

3 a x( )

6 a x z3 a x( )

= 3 a x( ) x y 4 y3 z 2 z

Es evidente que para factorizar éste tipo de expresiones se requiere analizar por separado cada término para determinar cuáles son los coeficientes, las literales y los exponentes de las literales que son comunes a todos los términos del multinomio dado .

Cuando algún término del multinomio a factorizar no contenga el divisor común de los demás, simplemente lo multiplicamos y dividimos por tal divisor . Así podemos factorizar de un multinomio dado cualquier expresión algebraica (distinta de cero) aún cuando los términos del multinomio no la contengan, de acuerdo al siguiente esquema . . .

x y z( ) ax

a

y

a

z

a

= (4.5)

Donde se han multiplicado y dividido los términos del multinomio por el factor a que se desea factorizar.

(Nótese que x , y , z y a pueden representar términos o expresiones algebraicas ).

La idea principal de la factorización es que los factores de la derecha en (4.5) sean polinomios siempre que sea posible , es decir expresiones con exponentes enteros y positivos .



Ejemplos .

1° Factorizar : 2 a3 b

2 c 8 a2 b

3 c2 12 a

3 b3 c

2 14 a4 b

3 c3

Al analizar por separado cada término del multinomio para para determinar cuáles son los coeficientes, las literales y los exponentes de las literales que son comunes a todos los términos

se encuentra que todos tienen en común el factor 2 a2 b

2 c .

En consecuencia, el multinomio se multiplica y se divide por tal factor.

2 a3 b

2 c 8 a2 b

3 c2 12 a

3 b3 c

2 14 a4 b

3 c3 =

= 2 a

2 b2 c

2 a2 b

2 c 2 a

3 b2 c 8 a

2 b3 c

2 12 a3 b

3 c2 14 a

4 b3 c

3

= 2 a2 b

2 c 2 a3 b

2 c

2 a2 b

2 c

8 a2 b

3 c2

2 a2 b

2 c

12 a3 b

3 c2

2 a2 b

2 c

14 a4 b

3 c3

2 a2 b

2 c

= 2 a2 b

2 c a 4 b c 6 a b c 7 a2 b c

2

2° Factorizar : x y( ) x y( ) 3 y2 x y( )

3 x2

3 y x y( )2

Analizando se encuentra que todos los términos de este multinomio tienen en común el factor

x y( ) y en consecuencia, se puede multiplicar y se dividir por este factor . . .

x y( ) x y( ) 3 y2 x y( )

3 x2

3 y x y( )2 =

= x y( )

x y( )x y( ) x y( ) 3 y

2 x y( )3 x

23 y x y( )

2

= x y( )x y( ) x y( )

x y( )

3 y2 x y( )

3x y( )

x

23 y x y( )

2x y( )

= x y( ) x y( ) 3 y2 x y( )

2 x2

3 y x y( )

3° Factorizar : 3u

2m

3

v2

6 u

3 m2

4 v3 n

18 v n

25 m

Los dos primeros términos del multinomio tienen en común el factor 3 u

2 m2

v2

pero el último

término no lo contiene, así que se multiplica y se divide por tal factor como sigue:



3u

2m

3

v2

6 u

3 m2

4 v3 n

18 v n

25 m

= 3 u

2 m2

v2

3u

2m

3

v2

3 u2 m2

v2

6 u3 m

2

4 v3 n

3 u2 m2

v2

18 v n2

5 m

3 u2 m2

v2

= 3 u

2 m2

v2

3 u2

m3 v

2

3 u2 m

2 v2

6 u3 m

2 v3 n

1

4 3 u2 m

2 v2

18 v n

2 m1

5 3 u2 m

2 v2

= 3 u

2 m2

v2

m1

2

u

v n

6

5

v3

n2

m3

u2

En este resultado, se han aplicado las leyes de los exponentes y la división de fracciones.

4.3 b) Binomios que son una diferencia de cuadrados .

Si se intercambian los miembros del producto especial x y( ) x y( ) x2

y2= , se obtiene una

fórmula general de factorización :

x2

y2 x y( ) x y( )= (4.6)

la cual establece que para factorizar la diferencia de dos cuadrados de números o expresiones algebraicas, se multiplican la suma y la diferencia de tales números o expresiones .

Ejemplos :

1° Factorizar la expresión 9 a2 16 b

2

Notemos que los dos términos de éste binomio se pueden escribir como cuadrados perfectos :

9 a2 3 a( )

2= y 16 b

2 4 b( )2

=de tal manera que el binomio representa una diferencia de cuadrados :

9 a2 16 b

2 = 3 a( )2

4 b( )2

aplicando directamente la fórmula (4.6) con x 3 a= y y 4 b= resulta . . .

9 a2 16 b

2 = 3 a 4 b( ) 3 a 4 b( )

2° Factorizar la expresión: 25 x2 3 y

4

Los términos de éste binomio se pueden escribir como cuadrados perfectos :

25 x2 5 x( )

2= ; 3 y

4 3 y2 2

=



(Nótese que aunque un coeficiente real A no sea un cuadrado perfecto, siempre será posible

escribirlo como tal , pues A A 2= )

De ésta manera, el binomio dado representa una diferencia de cuadrados :

25 x2 3 y

4 = 5 x( )2

3 y2 2

que se factoriza directamente aplicando la fórmula (4.6) substituyendo : x 5 x

e y 3 y2 y resulta . . .

25 x2 3 y

4 = 5 x 3 y2 5 x 3 y

2

3° Factorizar : 4 a2 b 3 c( )

2

Este binomio es la diferencia del cuadrado: 2 a( )2

y del cuadrado b 3 c( )2

. Por

consiguiente, aplicando (4. 6) con x 2 a= e y b 3 c( )= se obtiene :

2 a( )2

b 3 c( )2 = 2 a b 3 c( )[ ] 2 a b 3 c( )[ ]

= 2 a b 3 c( ) 2 a b 3 c( )

4° Factorizar : 16 x4 81 y

4

Los términos de éste binomio son cuadrados perfectos :

16 x4 4 x

2 2= ; 81 y

4 9 y2 2

=y por lo tanto representa una diferencia de cuadrados .

La aplicación directa de la fórmula (4.6) con x 3 a= y y 4 b= resulta en . . .

16 x4 81 y

4 = 4 x2 9 y

2 4 x2 9 y

2

Nótese también que el primer factor en éste resultado es a su vez otra diferencia de cuadrados, lo que implica que es posible factorizarle a su vez como el producto de dos binomios conjugados,obteniéndose finalmente . . .

16 x4 81 y

4 = 2 x 3 y( ) 2 x 3 y( )[ ] 4 x2 9 y

2



4.3 c) Trinomios que son cuadrados perfectos .

Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de elevar al cuadrado a un binomio y tiene la forma general:

u v( )2

u2

2 u v v2= o u v( )

2u

22 u v v

2=

Sus principales características son :

El primer término u2

es el cuadrado de un número (o expresión)

El último término v2

es el cuadrado de un número (o expresión)

El término intermedio 2 u v es el doble del producto de los términos del binomio.El signo del término intermedio determina el signo del binomio.

Cuando estos productos especiales se leen de izquierda a derecha, se tienen las correspondientes fórmulas de factorización :

u2

2 u v v2 u v( )

2= o u

22 u v v

2 u v( )2

= (4.7 )

de modo que un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como un binomio al cuadrado.

Ejemplos :

1° Factorizar : 16 a2 40 a 25

El primero y el último términos de éste trinomio se pueden escribir como cuadrados perfectos :

16 a2 4 a( )

2= y 25 5( )

2=

mientras que el término intermedio es igual al producto de 4 a y de 5 , (multiplicado por 2 )

de tal suerte que aplicando (4.7) con u 4 a= y v 5= resulta. . .

16 a2 40 a 25 = 4 a( )

22 4 a( ) 5( ) 52 = 4 a 5( )

2

2° Factorizar : 4 x6 24 x

3 y4 36 y

8

El primero y el último términos de éste trinomio son cuadrados perfectos :

4 x6 2 x

3 2= y 36 y

8 6 y4 2

=

El término intermedio es igual al producto (multiplicado por 2 ) de 2 x3 y de 6 y

4 de tal

manera que aplicando (4.7) con u 2 x3= y v 6 y

4= resulta . . .

4 x6 24 x

3 y4 36 y

8 = 2 x3 2

2 2 x3 6 y

4 6 y4 2

= 2 x3 6 y

4 2



3° Factorizar : 81 x 18 x 1

El primer término de éste trinomio no es, aparentemente un cuadrado ; pero se puede escribir

como tal así : 81 x 9 x 2=

mientras que el término intermedio es igual al producto (multiplicado por 2 ) de 9 x y de 1

de modo que aplicando (4.7) con u 9 x= y v 1= resulta. . .

81 x 18 x 1 = 9 x 22 9 x 1( ) 1( )

2 = 9 x 1 2

4° Factorizar : 9 x y

3

a3

b1

a3

b

36 x y3

Aparentemente, éste trinomio no es factorizable; sin embargo, notando que el producto del primeroy último términos es muy parecido al término intermedio, se puede proponer que :

u2 9 x y

3

a3

b= es decir. . . u

9 x y3

a3

b= =

3 ya

x ya b

v2 a

3b

36 x y3

= es decir. . . va

3b

36 x y3

= = a

6 ya bx y

y resulta claro que . . .

2 u v 2 3y

a

x ya b

1

6

a

y

a bx y

= = 1

es el término intermedio del trinomio. Por lo tanto, aplicando (4.7) se obtiene. . .

9 x y

3

a3

b1

a3

b

36 x y3

= 3 ya

x ya b

2

1a

6 ya bx y

2

= 3 ya

x ya b

a

6 ya bx y

2


2 18

Aparentemente, éste trinomio no es factorizable; sin embargo, notemos que haciendo :

u2

8 x4= es decir. . . u 8 x

4= = 2 x2 2



v2

18= es decir. . . v 18= = 3 2

y su producto : 2 u v 2 2 x2 2 3 2( )= = 24 x

2

es el término intermedio del trinomio. Por lo tanto, aplicando (4.7) se obtiene . . .

8 x4 24 x

2 18 = 2 x2 2 2

24 x2 3 2( )

2

= 2 x2 2 3 2 2

= 2 2 x2 3

2 = 2 2 x

2 3 2

Nótese que si desde el principio se hubiese factorizado el 2 , se habría obtenido:

2 4 x4 12 x

2 9 un trinomio que resulta fácilmente factorizable.

4.3 d) Trinomios que no son el cuadrado de un binomio.

Si el producto general de dos binomios :


2=

se lee de izquierda a derecha y se denotan los coeficientes . . .

a c( ) m= ; a d b c( ) n= ; b d( ) r=

entonces se obtiene la siguiente fórmula de factorización

m x2 n x y r y

2 a x b y( ) c x d y( )= (4.8)

que indica la manera de factorizar en el producto de dos binomios a un trinomio que no es cuadrado perfecto, a saber:

los primeros términos de los binomios son factores de m x2

los últimos términos de los binomios son factores de r y2

la suma de los "productos cruzados" debe ser igual al término n x y( )

Este es simplemente el método " PIEL " pero usado a la inversa en el desarrollo del producto de dos binomios.

El objetivo es encontrar una combinación de factores de los coeficientes m y r de tal modo que los

productos interior y exterior ( I y E ) , produzcan el coeficiente n del termino intermedio .

Esto significa que se buscan dos números a y c (factores de m ) y dos números b y d (factores de r ) de

modo que la suma de los productos cruzados a x( ) d y( ) b y( ) c x( ) sea igual al término n x y( )

del trinomio, como se ilustra en el siguiente esquema :



m x 2 n x y r y2 a? x y( ) x y( )

E

I

b? c? d?

Es imposible factorizar algunos trinomios en el producto de dos binomios con coeficientes reales.

Tales trinomios se llaman factores cuadráticos irreducibles , por ejemplo x2

3 x 3 .

Frecuentemente la factorización del primero y último término del trinomio es fácil pero múltiple . Por lo tanto, el trabajo principal radica en escoger una combinación correcta de factores tales que la suma de los "productos cruzados" ( I + E ) , sea igual al término intermedio del trinomio .

Para facilitar la determinación de esa combinación correcta, es conveniente . . .

1° Enlistar todos los posibles factores del primero y del último término del trinomio, tomando en cuenta que :

a) Los factores del primer término del trinomio ( m x2 ) serán los primeros términos

( a x , c x ) de los binomios.

b) Los factores del último término del trinomio ( r y2 ) serán los segundos términos

( b y , d y ) de los binomios

.c) Si el primero o el último término del trinomio son positivos, sus dos factores serán del mismo signo ; pero si alguno de los dos es negativo, entonces sus dos factores tendrán signos opuestos.

d) Si ( E + I ) da la factorización correcta; pero el signo incorrecto, basta intercambiar

el signo de los factores del coeficiente r .

2° Formar todas las posibles combinaciones de los productos : a x( ) d y( ) b y( ) c x( )

y si alguno coincide con el término intermedio del trinomio n x y( ) , ésta será la

factorización buscada .

Ejemplos :

1° Factorizar : 6 u2 11 u 10 .

Nótese que el último término del trinomio es negativo , por lo tanto, sus posibles factores deben ser de signo opuesto, en tanto que el primer término es positivo y sus posibles factoresson del mismo signo. Esto significa que éste trinomio se debe factorizar como el producto de una suma por unadiferencia de acuerdo con el esquema general :

6 u2 11 u 10 = . __ u __ .( ) . __ u __ .( )

donde los espacios en blanco son los lugares donde se deben colocar los factores adecuados.



2 u 5( ) 3 u 2( ) 4 u 15 u 11 u=

Esta última combinación es la factorización correcta pero con el signo incorrecto, esto significaque basta con intercambiar el signo de los dos últimos factores para obtenemos la combinaciónbuscada . . .

6 u2 11 u 10 2 u 5( ) 3 u 2( )=

Usted hallará que mucho del trabajo anterior puede hacerlo en su mente y podrá ahorrarmucho tiempo haciendo la factorización correcta de trinomio.

2° Factorizar : 15 x2 23 x y 28 y

2

El último término del trinomio es positivo y el primero es negativo así que el trinomionecesariamente se debe factorizar como el producto de una suma por una diferencia de acuerdo con el siguiente esquema:

15 x2 23 x y 28 y

2 = . . ___ x __ y . ___ x __ y

donde los espacios en blanco son los lugares donde se deben colocar los factores adecuados de los coeficientes 15 y 28 .

Factorización 15 Factorización 28 Combinaciones ¿ Es E I 23 x y= ?

15 1 28 1 15 x 28 y( ) x y( ) 15 x y 28 x y 13 x y=

14 2 15 x y( ) x 28 y( ) 420 x y 14 x y 419 x y=

5 3 7 4 15 x 14 y( ) x 2 y( ) 30 x y 14 x y 16 x y=

15 x 2 y( ) x 14 y( ) 210 x y 2 x y 208 x y=

15 x 7 y( ) x 4 y( ) 60 x y 7 x y 53 x y=

Factorización de 6 Factorización de 10 Combinaciones ¿ Es E I 11 u= ?

6 1 10 1 u 1( ) 6 u 10( ) 6 u 10 u 4 u=

u 10( ) 6 u 1( ) u 60 u 59 u=

3 2 5 2 6 u 5( ) u 2( ) 5 u 12 u 7 u=

6 u 2( ) u 5( ) 2 u 30 u 28 u=

3 u 10( ) 2 u 1( ) 20 u 3 u 17 u=

3 u 1( ) 2 u 10( ) 2 u 30 u 28 u=

2 u 2( ) 3 u 5( ) 10 u 6 u 4 u=



ésta última combinación proporciona la factorización correcta del trinomio:

8 x6 22 x

3 y2 9 y

4 4 x3 9 y

2 2 x3 y

2 =

Además de factorizar y conocer los productos especiales, es importante también que siempretengamos presentes las propiedades básicas de los números reales y de los radicales, de locontrario podemos cometer fácilmente graves errores como se ilustra en la siguientecomedia algebraica en 6 actos en la que se "demuestra" que 2 es igual a 3

4 x3 y

2 18 x3 y

2 22 x3 y

2=4 x3 9 y

2 2 x3 y

2

24 x3 y

2 3 x3 y

2 27 x3 y

2=8 x3 3 y

2 x3

3 y2

72 x3 y

2 x3

y2 73 x

3 y2= 8 x

3 y2 x

39 y

2 3 34 2

8 x3 y

2 9 x3 y

2 17 x3 y

2=8 x3 9 y

2 x3

y2 9 18 1

Factorización: 8 Factorización: 9 Combinaciones ¿ Es E I 22 x3 y

2= ?

Ésta última combinación es la factorización correcta pero el signo incorrecto, así que solo basta con intercambiar el signo de los dos factores de 15 para obtener. . .

15 x2 23 x y 28 y

2 5 x 4 y( ) 3 x 7 y( )=


3 y2 9 y

4

Aquí ambos términos del trinomio son positivos y el término intermedio también, lo cual indicaque todos los factores deben ser positivos y por lo tanto, el trinomio se debe factorizar de acuerdo al esquema:

8 x6 22 x

3 y2 9 y

4 = . ___ x3. __ y

2. . ___ x3. __ y

2.

donde los espacios en blanco son los lugares donde se deben colocar los factores adecuados de loscoeficientes 8 y 9 .

35 x y 12 x y 23 x y=5 x 4 y( ) 3 x 7 y( )

20 x y 21 x y x y=5 x 7 y( ) 3 x 4 y( )

70 x y 6 x y 64 x y=5 x 2 y( ) 3 x 14 y( )

10 x y 42 x y 32 x y=5 x 14 y( ) 3 x 2 y( )

140 x y 3 x y 137 x y=5 x y( ) 3 x 28 y( )

5 x y 84 x y 79 x y=5 x 28 y( ) 3 x y( )

105 x y 4 x y 101 x y=15 x 4 y( ) x 7 y( )



1° 4 10 9 15= una igualdad incuestionable.

2° 4 1025

4 9 15

25

4= sumando

25

4 en ambos miembros de la igualdad

3° 22 2 2( )5

2

5

2

2

32 2 3( )5

2

5

2

2

= son trinomios cuadrados perfectos

4° 25

2

2

35

2

2

= factorizando

5° 25

2 3

5

2= extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros

6° 2 3= sumando 5

2 en ambos miembros de la igualdad .

¿ En qué parte de ésta comedia se cometió un error ?. ¿Se violó alguna propiedad de los números reales o de los radicales ?.

Aún más, con errores algebraicos como el anterior, dados dos números reales x y z diferentes ( x z )

entonces es posible "demostrar" que son iguales (x z= ) , lo cual es absurdo y contradictorio pues dos

números no pueden ser iguales y distintos a la vez.

En otras palabras, si no somos cuidadosos al aplicar las reglas algebraicas, podemos "demostrar" casi cualquier absurdo o contradicción como la anterior "si dos números son distintos entonces deben ser iguales" , lo cual significaría que todos los números reales son iguales y por lo tanto sólo existe un número real. Observemos la comedia y tratemos de entender dónde está el error . . .

1° x z( ) 2 y= siendo x z , siempre es posible expresar la suma de dos

números reales como el doble de otro número real.

2° x z( ) x z( ) 2 y x z( )= multiplicando ambos miembros por x z( )

3° x2

z2 2 y x 2 y z= producto de binomios conjugados.

4° x2

2 x y z2

2 y z= transladando términos

5° x2

2 x y y2 z

22 y z y

2= agregando y2

en ambos miembros.

6° x y( )2

z y( )2

= por ser trinomios cuadrados perfectos.

7° x y( )2

z y( )2

= extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros

x y z y=

x z= sumando y en ambos miembros de la igualdad

De este modo queda realizada la farsa.



EJERCICIO 4.2. (Factorización) .

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas

1. x z x y x2 2. 4 x

2 2 x y 6 x y2

3. 3 m2 n 6 m n

2 9 m3 n

2 4. 2 a2 b

2 8 a2 b

3 12 a3 b

3

5. x y( ) 2 z x y( ) 4 z2 6. a b( ) a b( ) a b( ) b

7. 2 m n( ) 3 r 2 m n( ) 4 s 2 m n( ) 4 r s( )

8. 6 a 3 b( ) a b( ) 6 a 3 b( ) a 2 b( ) 6 a 3 b( ) 2 a b( )

9. m2

x2 10. a

2b

2 11. x2

9 y2

12. m2

16 n2 13. 36 x

2 4 y2 14. 4 m

2 n2

15. a2

64 b2 16. c

249 d

2 17. 9 x2 25 y

2

18. 4 w2 16 u

2 19. 25 k2 9 h

2 20. 49 z2 36 v

2

21. 16 a4 4 b

6 22. 25 h8 16 k

2 23. 81 x4 64 y

6

24. 16 v8 81 u

4 25. 9

16a

44

25b

4 26. 16

25m

864

25n

6

27. 81

49x

1625

36y

8 28. 9

100x

816

25y

6 29. x6

y4

30. 25 a4 b

8 31. 49 c16 25 d

4 32. 144 x16 625 y

12

33. x2

4 x 4 34. u2

2 u v v2 35. a

26 a 9

36. y2

10 y 25 37. 9 x2 6 x 1 38. 4 h

2 4 h 1

39. 25 b2 10 b 1 40. 49 z

2 14 z 1 41. 9 a2 12 a b 4 b

2

42. 16 u2 24 u v 9 v

2 43. 36 x2 96 x y 64 y

2 44. 64 p2 64 p q 16 q

2

45. u

2

16

1

2

1

u2

46. k

2

43

k

h2

9

h4

47. b

2

25

b c5

c

2

4



48. 9

16u

2 u v4

9v

2 49. 16

25x

224

35

9

49 x2

50. 25 a8 30 a

4 b5 9 b

10 51. 36 x6 60 x

3 y2 25 y

4

52. 81 a3 126 a

3b 49 b 53.

64

x3

16

9

y3

x3

1

81y

3

54. 23

x2

23

x

1

2 x 3x

55. 25

36x 3

x35

24x

249

64x

23

x2

56. x2

4 x 3 57. 5 u2 6 u 1 58. 3 a

2 5 a 2

59. 9 m2 10 m 1 60. 5 u

2 13 u 6 61. 5 z2 7 z 2

62. 5 x2 28 x 15 63. 6 h

2 11 h 5 64. 7 k2 4 k 3

65. 4 y2 11 y 7 66. 6 q

2 19 q 7 67. 9 k2 21 k 12

68. 9 b4 24 b

2 9 69. 16 y2 30 z y 9 z

2 70. 3 x2 26 x y 16 y

2

71. 12 a2 16 a b 5 b

2 72. 21 u2 8 u v 5 v

2 73. 6 m2 11 n m 5 n

2

74. 3 p2 11 p q 8 q

2 75. 5 r2 11 r s 6 s

2 76. 3 x2 4 x y 15 y

2

77. 8 a2 34 a b 8 b

2 78. 15 u2 89 u v 6 v

2 79. 12 h2 17 h k 6 k

2

80. 9 u2 21 u v 12 v

2 81. 18 x2 19 x y 12 y

2 82. 14 x2 13 x y 12 y

2

83. 18 c2 39 c d 18 d

2 84. 18 h2 17 h k 15 k

2 85. 20 m2 41 nm 20 n

2

86. 18 x5 6 x

4 24 x3 87. 9 x

6 3 x3 y

2 6 y4 88. 15 x

4 y8 26 x

2 y4 21

89. 27 a8 b

6 3 a4 b

3 24 90. 15 x10 y

8 14 x5 y

4 32 91 15 z6 23 z

3 w2 14 w

4

92. 12 x6 y

2 25 x4 y

3 12 x2 y

4 93. 4x

y 15 9

y

x 94. 12

x6

y4

26 12y

4

x6

95. x y( )2

z2 96. a 4 b( )

216 c

2 97. 3 u 2 v( )2

16 w2



98. 64 4 a2 9 b

2 2 99. 4 x

2 6 x 5 y( )2 100. 81 p

2 4 p 2 q( )2

101. x 3 y( )2

x 5 y( )2 102. 5 a 3 b( )

23 a 4 b( )

2

103. 3

2x

5

3z

2 1

2x

2

3z

2

104. 5 r 3 s 29 r 5 s 2

105. 5

3

x

y3

3

2

x3

y

2

1

3

x

y3

5

2

x3

y

2

106. x

3

y4

y3

x

2

3x

3

y 5

y3

x

2

107. x

2

3y

3

2 2 x

3

2y

2

3

2

2 x

2

3y

3

2

x

3

2y

2

3

2

Respuestas (problemas impares) Ejercicio 4.2

1. x z y x( ) 3. 3 m n m 2 n 3 m2 n

5. 2 z 1 2 z( ) x y( ) 7. 2 m n( ) r 5 s( )

9. m x( ) m x( ) 11. x 3 y( ) x 3 y( )

13. 4 3 x y( ) 3 x y( ) 15. a 8 b( ) a 8 b( )

17. 3 x 5 y( ) 3 x 5 y( ) 19. 5 k 3 h( ) 5 k 3 h( )

21. 4 2 a2 b

3 2 a2 b

3 23. 9 x2 8 y

3 9 x2 8 y

3

25. 3

4a

22

5b

2

3

4a

22

5b

2

27. 9

7x

85

6y

4

9

7x

85

6y

4

29. x3

y2 x

3y

2 31. 5 d2 7 c

8 5 d2 7 c

8

33. x 2( )2

35. a 3( )2

37. 3 x 1( )2

39. 5 b 1( )2

41. 3 a 2 b( )2

43. 4 3 x 4 y( )2



45. u4

1

u

2

47. 1

5b

1

2c

2

49. 4

5x

3

7 x

2

51. 6 x3 5 y

2 2

53. 8

x3

y3

9

2

55. 5

6x

2

37

8x

4

3

2

57. u 1( ) 5 u 1( ) 59. m 1( ) 9 m 1( )

61. z 1( ) 5 z 2( ) 63. 6 h 5( ) h 1( )

65. 4 y 7( ) y 1( ) 67. 3 k 3( ) 3 k 4( )

69. 8 y 3 z( ) 2 y 3 z( ) 71. 2 a b( ) 6 a 5 b( )

73. 5 n 6 m( ) n m( ) 75. 5 r 6 s( ) r s( )

77. 2 4 a b( ) a 4 b( ) 79. 3 k 4 h( ) 2 k 3 h( )

81. 2 x 3 y( ) 9 x 4 y( ) 83. 3 3 d 2 c( ) 2 d 3 c( )

85. 5 n 4 m( ) 4 n 5 m( ) 87. 3 x3

y2 3 x

3 2 y2

89. 3 9 a4 b

3 8 a4

b3 1 91. 7 w

2 15 z3 2 w

2 z3

93. 4x

y 3

y

x

x

y3

y

x

95. y x z( ) y x z( )

97. 3 u 2 v 4 w( ) 3 u 2 v 4 w( ) 99. 4 x 5 y( ) 8 x 5 y( )

101. 4 y 4 y x( ) 103. 1

32 x z( ) 3 x 7 z( )

105. 2

3

x

y3

3 x y 4( ) 2 x y 1( ) 107. 3 x y x2 3

y y2 3

x



4.4 Factorización de binomios de la forma un

vn

.Considerando sólo coeficientes racionales y exponentes enteros, los binomios de éste tipo se pueden clasificar en 4 clases :

Suma o diferencia de cubos (cuando n 3= ) : u3 ± v

3

Diferencia de potencias pares (cuando n 3 y n es par ) : u2 m

v2 m

Binomios que son una suma o diferencia de potencias de orden 3 : ( un ± v

n )

Binomios que son potencias impares no múltiplos de 3

Obsérvese que ciertas formas de binomios no se pueden factorizar, por ejemplo una suma de potencias pares no

múltiplos de 3 : a2

b2 , u

4v

4 , x8

y8 , etc.

4.4 a) Suma o diferencia de cubos .

Es fácil comprobar por multiplicación directa que :

u3

v3 u v( ) u

2u v v

2 =(4.9 )

u3

v3 u v( ) u

2u v v

2 =

Una suma o una diferencia cubos de literales (o expresiones algebraicas), se factoriza como el producto de un binomio y un trinomio, tales que :

El binomio tiene las literales iniciales y el signo entre ellas es el mismo que en la suma o diferencia inicial.El trinomio tiene los cuadrados de las literales iniciales y un término intermedio con signo opuesto a la suma o diferencia inicial que es el producto de las literales .

Ejemplos :

1° Factorizar : 27 x3 8 y

3

Notemos que los términos de éste binomio se pueden escribir como cubos perfectos :

27 x3 3 x( )

3= y 8 y

3 2 y( )3

=

así que substituyendo u 3 x( )= y v 2 y( )= en (4.9) resulta . . .

27 x3 8 y

3 = 3 x( )3

2 y( )3 = 3 x 2 y( ) 3 x( )

23 x( ) 2 y( ) 2 y( )

2

= 3 x 2 y( ) 9 x2 6 x y 4 y

2



2° Factorizar : 8 a3 64 b

6

Los términos de éste binomio son cubos perfectos : 8 a3 2 a( )

3= ; 64 b

6 4 b2 3

=

y substituyendo u 2 a( )= ; v 4 b2 = en (4.9) resulta . . .

8 a3 64 b

6 = 2 a( )3

4 b2 3

= 2 a 4 b2 2 a( )

22 a( ) 4 b

2 4 b2 2

= 2 a 4 b2 4 a

2 8 a b2 16 b

4

3° Factorizar : x y( )

Aparentemente, aquí no es posible ninguna factorización; sin embargo, notemos que si se hace

u3

x= ; v3

y=

entonces . . .

x y( ) = u3

v3 = u v( ) u

2u v v

2

= 3

x3

y 3x 2 3

x 3y 3

y 2

= 3

x3

y 3x

2 3x y

3y

2

Con ésta técnica , todo binomio se puede expresar como una suma o una diferencia de cubos , dado que :

xn

yn = x

n

3

3

y

n

3

3

= 3

xn 3 3

yn 3

Así por ejemplo. . .

x4

y4 = x

4

3

3

y

4

3

3

= 3

x4 3 3

y4 3

= 3

x4 3

y4 3

x4 2 3

x4 3

y4

3y

4 2

= x

4

3y

4

3

x

8

3x

4

3y

4

3 y

8

3



4.4 b) Binomios que son una diferencia de potencias pares : un

vn .

Si el exponente n es par, entonces es divisible por 2 , y se puede escribir el binomio en la forma :

un

vn u

n

2

2

v

n

2

2

=

que es una diferencia de cuadrados, la cual se factoriza como la fórmula para el producto de dos binomios

conjugados : a2

b2 a b( ) a b( )= y queda . . .

u

n

2

2

v

n

2

2

u

n

2v

n

2

u

n

2v

n

2

= (4.10)

Si en ésta última expresión el exponente n2

es aún divisible por 2 , se repite nuevamente el

procedimiento anterior tantas veces como sea necesario hasta que algún exponente no sea par.

Ejemplos :

1° Factorizar : x8

y8

Expresemos el binomio como una diferencia de cuadrados y factoricemos :

x8

y8 = x

4 2y

4 2 = x

4y

4 x4

y4

Nótese que el binomio factor x4

y4 es aún factorizable por el procedimiento anterior, así

que resulta. . .

x8

y8 = x

2 2y

2 2 x

4y

4

= x2

y2 x

2y

2 x4

y4

pero x2

y2 es una diferencia de cuadrados y por lo tanto aún factorizable, así que la

factorización final de esta expresión queda como sigue:

x8

y8 = x y( ) x y( ) x

2y

2 x4

y4

2° Factorizar : a6

b6

Expresemos el binomio como una diferencia de cuadrados : a6

b6 = a

3 2b

3 2



que factorizada queda : a3 2

b3 2

= a3

b3 a

3b

3

pero una suma o una diferencia de cubos se factoriza según la fórmula (4.9), así que . . .

a6

b6 = a b( ) a

2a b b

2 a b( ) a2

a b b2

= a b( ) a b( ) a2

a b b2 a

2a b b

2

Por cierto a6

b6 también puede verse como la factorización de una diferencia de cubos:

a6

b6 = a

2 3b

2 3

que se puede escribir como. . .

a6

b6 = a

2b

2 a2

b2 2

a b( )2

4.4 c) Binomios que son una suma o diferencia de potencias de orden 3 : ( un

± vn

)

Si el exponente n es un múltiplo de 3 , es posible expresar el binomio como una suma o una diferencia de

cubos dado que :

un

vn u

n

3

3

v

n

3

3

= o un

vn u

n

3

3

v

n

3

3

= (4.11)

De modo que se aplica la fórmula de factorización (4.9) directamente.

Ejemplos :

1° Factorizar : x6

y6

Expresemos el binomio como una suma de cubos : x6

y6 = x

2 3y

2 3

Factorizándola queda . . .

x6

y6 = x

2y

2 x2 2

x2

y2 y

2 2

= x2

y2 x

4x

2y

2 y4

2° Factorizar : a9

b9

Expresemos el binomio como una diferencia de cubos : a9

b9 = a

3 3b

3 3



Factorizando ahora usando u3

v3 u v( ) u

2v u v

2 = se obtiene . . .

a9

b9 = a

3b

3 a3 2

a3

b3 b

3 2

y factorizando también la diferencia a3

b3 , se obtiene finalmente. . .

a9

b9 = a b( ) a

2a b b

2 a6

a3

b3 b

6

4.4 d) Binomios que son potencias impares no múltiplos de 3 .

En éste caso se utilizan las siguientes fórmulas :

un

vn u v( ) u

n 1u

n 2v u

n 3v

2 ............... u2

vn 3 u v

n 2 vn 1 =

(Donde el exponente n es un entero positivo impar ) (4.12)

un

vn u v( ) u

n 1u

n 2v u

n 3v

2 ............... u2

vn 3 u v

n 2 vn 1 =

( Donde el exponente n es cualquier entero positivo )

Estas fórmulas provienen de la serie geométrica general:

S b b r b r2 b r

3 ............. b rn 2 b r

n 1=

en la cual b es una constante y el número r se llama razón de la serie .

Nótese que en una serie geométrica, cada término (a excepción del primero) se obtiene del anterior

multiplicándolo por la razón r .

Para expresar la suma S anterior en términos de b , r y el número n de términos se procede a . . .

Sumar el número b en ambos miembros :

S b b r b r2 b r

3 ............. b rn 2 b r

n 1=

Factorizar r en el miembro derecho :

S b r b b r b r2 b r

3 ............. b rn 3 b r

n 2 =

La expresión entre paréntesis rectos es igual a la serie geométrica inicial excepto que no tiene el último

término b rn 1 y por lo tanto se puede escribir . . .

S b r S b rn 1 =



Resolviendo esta ecuación para la variable S , se obtiene al resultado buscado :

S b1 r

n1 r

= (4.13)

Substituyendo ahora ry

x= en ésta expresión resulta . . .

S = b

1y

x

n

1y

x

= bx

ny

n

xn 1

x y( )

Multipliquemos ambos miembros de ésta igualdad por xn 1

y substituyamos la expresión inicial para S :

xn 1

b by

x b

y2

x2

by

3

x3

........... by

x

n 2

by

x

n 1

= bx

ny

nx y

Factorizando b y simplificando se obtiene finalmente :

xn 1

xn 2

y ........... x yn 2 y

n 1 = x

ny

n x y

de donde resulta una de las fórmulas que queríamos demostrar :

xn

yn x y( ) x

n 1x

n 2y ........... x y

n 2 yn 1 =

que vale para cualquier valor entero positivo n .

Cuando n es un número entero positivo impar , se substituye el número y por y quedando:

xn

y( )n x y( )[ ] x

n 1x

n 2y( ) ........... x y( )

n 2 y( )n 1 =

dado que cualquier potencia impar de un número negativo es un número negativo, la expresión anterior se simplifica a la otra fórmula de factorización en (4.12) que se quería demostrar:

xn

yn x y( ) x

n 1x

n 2y ........... x y

n 2 yn 1 =

Nótese que las fórmulas (4.12) son generales e incluyen los casos especiales vistos antes (4.9) , (4.10 ) , (4.11)

, así como la diferencia cuadrados u2

v2 .



Por ejemplo tomando n 3= en

un

vn u v( ) u

n 1u

n 2v u

n 3v

2 ........... u2

vn 3 u v

n 2 vn 1 =

(la serie termina cuando el exponente de u se hace cero) se obtiene . . .

u3

v3 = u v( ) u

3 1u

3 2v u

3 3v

2 = u v( ) u2

u v v2

que es la fórmula ya conocida para factorizar una suma de cubos .

Haciendo n 2= en la serie . . .

un

vn u v( ) u

n 1u

n 2v u

n 3v

2 ........... u2

vn 3 u v

n 2 vn 1 =

se obtiene. . .

u2

v2 = u v( ) u

2 1u

2 2v = u v( ) u v( )

que es la fórmula ya vista antes para factorizar una diferencia de cuadrados.

Ejemplos :

1° Factorizar : x5

y5

Como esta es una diferencia de potencias impares, con n 5= en (4.12) se obtiene . . .

x5

y5 = x y( ) x

5 1x

5 2y x

5 3y

2 x5 4

y3 x

5 5y

4

= x y( ) x4

x3

y x2

y2 x y

3 y4

2° Factorizar : x7

y7

Como esta es una suma de potencias impares, con n 7= en (4.12) se obtiene . . .

x7

y7 = x y( ) x

7 1x

7 2y x

7 3y

2 x7 4

y3 x

7 5y

4 x y5 y

6

= x y( ) x6

x5

y x4

y2 x

3y

3 x2

y4 x y

5 y6

3° Factorizar : x10

y10

Éste binomio se puede interpretar como la diferencia de cuadrados : x5 2

y5 2

y como tal

factorizarse para obtener. . .

x5 2

y5 2

= x5

y5 x

5y

5



y aplicando ahora las correspondientes fórmulas de (4.12 ) para cada factor se tiene :

x10

y10 = x y( ) x

4x

3y x

2y

2 x y3 y

4 x y( ) x4

x3

y x2

y2 x y

3 y4

EJERCICIO 4.3 . (Factorización de binomios) .Factorizar las siguientes expresiones :

1. a3

b3 2. m

3n

3 3. x3

y3

4. t3

s3 5. a

38 b

3 6. m3

27 n3

7. 27 x3 y

3 8. 64 t3 8 s

3 9. 27 u3 125 v

3

10. 27 p3 64 q

3 11. 8 x3 125 y

3 12. 216 m3 64 n

3

13. m6

b3 64 14. 216 k

9 x6 125 15. 8 a

15 b12 343

16. 8 x12 27 u

6 17. m7

n7 18. u

416 x

4

19. a5

243 20. 16 x4 81 y

4 21. x6

b6

22. 64 x6 729 y

6 23. 64 u6 u

12 24. c8

1

25. m8

n8 26. r

8s

4 27. p12

q6

28. x16

b16 29. h

12k

12 30. 125 a27 1

31. x9

y9 32. c

5d

5 33. m12

n12

34. x14

q14 35. h

9512 k

9 36. x15

y15

37. x y( )3

1 38. x2

y2 3

8 39. a3

b3 3

27

40. x y 481 41. 2 a b( )

3125 42. x

6x

3y

3 6

43. a12

b6 a

4b

2 3 44. c

9d

6 c3

d2 3

45. 16 a4 36 a

2 b2 81 b

4

46. x4

16 x2 256 47. 64 a

6 16 a4 4 a

2 1 48. b6

9 b4 81 b

2 729

49. u12

4 u8 16 u

4 64 50. x8

x6 x

4 x2 1




1. a b( ) a2

a b b2 3. x y( ) x

2x y y

2

5. a 2 b( ) a2

2 a b 4 b2 7. 3 x y( ) 9 x

2 3 x y y2

9. 5 v 3 u( ) 25 v2 15 v u 9 u

2 11. 2 x 5 y( ) 4 x2 10 x y 25 y

2

13. m2

b 4 m4

b2 4 m

2 b 16 15. 2 a5 b

4 7 4 a10 b

8 14 a5 b

4 49

17. m n( ) n6

m n5 m

2n

4 m3

n3 m

4n

2 m5

n m6

19. a 3( ) a4

3 a3 9 a

2 27 a 81

21. b x( ) b x( ) b2

b x x2 b

2b x x

2

23. u6 u 2( ) u 2( ) u

22 u 4 u

22 u 4

25. n m( ) n m( ) n2

m2 n

4m

4

27. p2

q p2

q p4

p2

q q2 p

4p

2q q

2

29. h4

k4 h

8h

4k

4 k8 31. x y( ) x

2x y y

2 x6

x3

y3 y

6

33. n m( ) n2

n m m2 n m( ) m

2n m n

2 n2

m2 n

4n

2m

2 m4

35. 2 k h( ) 4 k2 2 k h h

2 64 k6 8 k

3 h3 h

6

37. x 1 y( ) x2

2 x y x y2

y 1

39. a3

3 b3 a

62 a

3 b3 3 a

3 b6

3 b3 9

41. 2 a 5 b( ) 4 a2 4 a b 10 a b

2 5 b 25

43. a4

b2 b

2a

4 b4

a8 a

8b

2 a8

a4

b4 2 a

4 b2 b

4

45. 9 b2 6 a b 4 a

2 9 b2 6 a b 4 a

2 47. 4 a2 1 16 a

4 1

49. u2

2 u 2 u2

2 u 2 u8

16



4.6 Factorización por agrupación .

A veces es posible factorizar un multinomio, agrupando adecuadamente sus términos y luego factorizando los grupos. Ilustremos éste procedimiento.

Ejemplos :

1° Factorizar : 2 u a 2 v a v b u b

Agrupando los dos primeros y los dos últimos términos se obtiene . . .

2 u a 2 v a v b u b = 2 u a 2 v a( ) v b u b( )

Ahora se extrae el factor común de cada grupo para obtener finalmente . . .

2 u a 2 v a v b u b = 2 a u v( ) b v u( ) = 2 a b( ) u v( )

2° Factorizar : 3 a 9 a2 6 a b b b

2

Agrupando el primero y el cuarto término y todos los demás en otro grupo se obtiene . . .

3 a 9 a2 6 a b b b

2 = 3 a b( ) 9 a2 6 a b b

2

El trinomio del segundo grupo es un cuadrado perfecto, así que . . .

3 a 9 a2 6 a b b b

2 = 3 a b( ) 3 a b( )2

Finalmente, extrayendo el factor común 3 a b( ) resulta . . .

3 a 9 a2 6 a b b b

2 = 3 a b( ) 1 3 a b( )[ ] = 3 a b( ) 1 3 a b( )

3° Factorizar : x2

y2 2 y z z

2

Agrupando los últimos tres términos se obtiene: x2

y2

2 y z z2 = x

2y z( )

2

En el último paso, se ha factorizado el trinomio, como el cuadrado de un binomio. Finalmente, factorizando ésta diferencia de cuadrados, resulta . . .

x2

y2 2 y z z

2 = x y z( )[ ] x y z( )[ ] = x y z( ) x y z( )

4° Factorizar : 6 x y 6 x2 13 x z 4 y z 6 z

2

Agrupando los términos primero y cuarto en un grupo y todos los demás en otro . . .

6 x y 6 x2 13 x z 4 y z 6 z

2 = 6 x y 4 y z( ) 6 x2 13 x z 6 z

2



El primer grupo tiene el factor común 2 y y el trinomio se puede factorizar como el producto

de dos binomios . . .

6 x y 6 x2 13 x z 4 y z 6 z

2 = 2 y 3 x 2 z( ) 3 x 2 z( ) 2 x 3 z( )

Finalmente, extrayendo el factor común 3 x 2 z( ) resulta . . .

6 x y 6 x2 13 x z 4 y z 6 z

2 = 3 x 2 z( ) 2 y 2 x 3 z( )[ ]

= 3 x 2 z( ) 3 z 2 x 2 y( )

4.7 Trinomios que son reducibles a una diferencia de cuadrados .

Este método de factorización consiste en convertir un trinomio en un cuadrado perfecto sumándole y restándole un término apropiado que también sea un cuadrado .

El trinomio completo será entonces una diferencia de cuadrados y podrá ser factorizado como el producto de binomios conjugados .

Ejemplos :

1° Factorizar 16 x4 56 x

2 y2 25 y

4

El primero y el último término de éste trinomio son los cuadrados exactos de 4 x2 y 5 y

2 .

Además el trinomio sería un cuadrado perfecto si el término intermedio fuese el dobleproducto de esas cantidades :

2 4 x2 5 y

2 40 x2 y

2=

en vez de 56 x2 y

2 , lo cual sugiere que si sumamos y restamos al trinomio la diferencia :

56 x2 y

2 40 x2 y

2 16 x2 y

2=

que por cierto, también es un cuadrado perfecto , se obtendrá . . .

16 x4 56 x

2 y2 25 y

4 = 16 x4 56 x

2 y2 25 y

4 16 x2 y

2 16 x2 y

2

= 16 x4 40 x

2 y2 25 y

4 16 x2 y

2

= 4 x2 5 y

2 24 x y( )

2

De esta manera se ha convertido el trinomio en una diferencia de cuadrados perfectos, la cual sefactoriza como el producto de dos binomios conjugados . . .



16 x4 56 x

2 y2 25 y

4 = 4 x2 5 y

2 4 x y 4 x2 5 y

2 4 x y

= 4 x2 5 y

2 4 x y 4 x2 5 y

2 4 x y

Éste método de factorización se aplica sólo si al agregar y restar al trinomio el término cuadrado se cumplen las siguientes condiciones:

el trinomio se convierte en un cuadrado perfecto.la expresión resultante es una diferencia de cuadrados.

Cuando alguna de éstas condiciones no se cumple, el trinomio no se puede factorizar. Por ejemplo, considérese el trinomio:

16 x4 24 x

2 y2 25 y

4

el cual se convierte en trinomio cuadrado perfecto agregándole y restándole el término 16 x2 y

2 ; sin

embargo en la expresión final se obtendrá una suma de cuadrados, que no es factorizable. . .

16 x4 24 x

2 y2 25 y

4 = 16 x4 24 x

2 y2 25 y

4 16 x2 y

2 16 x2 y

2

= 16 x4 40 x

2 y2 25 y

4 16 x2 y

2

= 4 x2 5 y

2 24 x y( )

2

2° Factorizar x4

4

Ambos términos de éste binomio son los cuadrados exactos de x2

y de 2 , así que

podemos agregarle y restarle al binomio el doble producto de éstos términos :

2 x2 2( ) 4 x

2=

para obtener un trinomio cuadrado perfecto. . .

x4

4 = x4

4 4 x2 4 x

2

= x4

4 x2 4 4 x

2

= x2

2 22 x( )

2

Esta diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de binomios conjugados . . .

x4

4 = x2

2 2 x x2

2 2 x



EJERCICIO 4.4 . (Factorización por agrupación . Conversión de trinomios cuadrados perfectos)

I. Factorizar por agrupación las siguientes expresiones algebraicas

1. m n m 2 n 2 2. 2 a2 4 a a b 2 b 3. 5 u u v 15 v 3 v

2

4. x y x2 y

2 5. 6 r s 4 r 9 s 6 6. c2

3 c d c 3 d

7. 2 x 2 x y y y2 8. 3 a

2 6 a b a 2 b 9. a c a d b c b d

10. a b b2 a c c b 11. 6 a

2 9 a c 10 b a 15 b c

12. 10 h2 15 h j 2 k h 3 k j 13. 6 a

2 3 a b 36 a c 18 c b

14. 21 r2 14 r z 3 r s 2 s z 15. 6 m

2 3 m n 4 p m 2 p n

16. x2

x z x x y y z y 17. m2

m n m p m n p

18. h2

3 h k h j p h 3 p k p j 19. 8 r3 16 r

2 s 12 r t 6 r2 12 r s 9 t

20. a3

b3 a b 21. u

2z

2 u z

22. h2

2 k h k2 h j k j 23. a

22 a b b

2 a c b c

24. x3

y3 x

2 2 x y y2 25. c

22 c d d

2 c3 d

3

26. 2 a2 a b b

2 8 a3 b

3 27. 8 y3 x

3 x2 4 y

2

28. x2

4 y2 16 y 16 29. u

210 u v 25 v

2 4 t2

30. 9 a2 b

2 4 b d 4 d2 31. 16 x

2 24 x y z2 9 y

2

32. z2

4 x2 20 x y 25 y

2 33. m2

6 m n 9 n2 4 p

2 8 p z 4 z2

34. 9 x2 24 x y 16 y

2 z2 6 z t 9 t

2 35. 9 a2 6 a b b

2 c2 4 c d 4 d

2

36. a2

4 a b 2 a c 3 b2 2 c b 37. x

24 x y x z 3 y

2 y z

38. 25 x2 20 x y 5 z x 3 y

2 z y



II. Factorizar cuando sea posible ) los siguientes trinomios :

39. x4

4 x2 16 40. a

419 a

2 25 41. m4

3 m2 4

42.. u4

10 u2 9 43. z

464 44. a

42 a

2 b2 9 b

4

45.. x4

7 x2 y

2 16 y4 46. m

414 m

2 n2 25 n

4 47. 4 c4 16 c

2 d2 9 d

4

48. 9 u4 15 u

2 v2 16 v

4 49. 36 a4 40 a

2 b2 9 b

4 50. 4 x4 41 x

2 y2 64 y

4


1. m 2( ) n 1( ) 3. 5 v( ) 3 v u( )

5. 3 s 2( ) 2 r 3( ) 7. 1 y( ) y 2 x( )

9. c d( ) a b( ) 11. 2 a 3 c( ) 3 a 5 b( )

13. 3 a 6 c( ) 2 a b( ) 15. 3 m 2 p( ) 2 m n( )

17. m n p( ) m 1( ) 19. 4 r 3( ) 2 r2 4 r s 3 t

21. z 1 u( ) u z( ) 23. a b( ) a b c( )

25. d c( ) d2

d c d c c2 27. x 2 y( ) x

2x 2 y x 2 y 4 y

2

29. 2 t 5 v u( ) 2 t 5 v u( ) 31. 3 y 4 x z( ) 3 y 4 x z( )

33. 3 n 2 z 2 p m( ) 3 n 2 p m 2 z( )

35. b 3 a c 2 d( ) b 3 a c 2 d( ) 37. x y( ) x 3 y z( )

39. x2

2 x 4 x2

2 x 4 41. m2

m 2 m2

m 2

43. z2

4 z 8 z2

4 z 8 45.. 4 y2 x y x

2 4 y2 x y x

2

47. 2 c2 2 d c 3 d

2 2 c2 2 d c 3 d

2

49. 3 b2 2 a b 6 a

2 3 b2 2 a b 6 a

2



Respuestas (problemas pares ) Ejercicio 4.1

2. a2

4 a 4 4. 3 a2 7 a b 2 b

2

6. 3 u2 7 u 2 8. 6 x

2 5 x 6

10. 6 a2 5 a 6 12. 20 y

6 13 y3 15

14. 6 w2 17 w z 14 z

2 16. 63 a2 2 a b 48 b

2

18. 68 f g 96 f2 12 g

2 20. 6 x3 13 x

3 y2 6 y

4

22. 8

x4

43

x2

y 15 y 24. 8

n16 n

5 6 n6

26. 50 x2 5 x y 10 y

2 28. 9 x2 12 x 4

30. 9 x2 12 x y 4 y

2 32. 25 x2 30 x y 9 y

2

34. 49 u2 70 u v 25 v

2 36. 16 p2 24 p q 9 q

2

38. 121 s2 198 s t 81 t

2 40. 36 z6 60 z

3 w2 25 w

4

42. 9

4x 2

x

y

4

9 y 44. 202 32 391=

46. 362 182 972= 48. z2

49

50. x2

9 y2 52. 36 w

2 25 z2

54. 25 b8 9 x

4 56. 36 x3 9 y

6

58. 1

9m

44

25n

4 60. 1

9a

225

b2

62. 25a

2

x2

1

4

y2

b2

64. 3

2

x

y3

2x

2

y2

2

3

x3

y

66. x2

2 x y 2 x z y2 2 y z z

2 68. r2

2 r s 2 r t s2

2 s t t2



70. a2

8 a b 6 a c 16 b2 24 b c 9 c

2 72. 4 a4 12 a

3 13 a2 6 a 1

74. x2

9 y2 4 z

2 w2 6 x y 4 x z 2 x w 12 y z 6 y w 4 z w

76. m6

2 m5 3 m

4 2 m3 6 m

2 4 m 1

78. 6 a4 12 a

2 b 5 a2 6 b 5 b 6

80. 192 a2 96 a c 20 a 12 c

2 5 c 25 82. x4

3 x2 2 x

3 4 4 x

84. 9 b4 3 b

2 c2 c

4 86. m6

m4

m2 1

88. 9 b8 2 b

5 b6 b

24 b

4 90. 4 a 4 a b b 2 b a a2 b

2

Respuestas (problemas pares) Ejercicio 4.2

2. 2 x 2 x y 3 y2 4. 2 a

2 b2 4 b 6 b a 1( )

6. a a b( ) 8. 6 b b 2 a( )

10. a b( ) a b( ) 12. 4 n m( ) 4 n m( )

14. n 2 m( ) n 2 m( ) 16. 7 d c( ) 7 d c( )

18. 4 2 u w( ) 2 u w( ) 20. 7 z 6 v( ) 7 z 6 v( )

22. 4 k 5 h4 4 k 5 h

4 24. 2 v2 3 u 2 v

2 3 u 4 v4 9 u

2

26. 16

252 n

3 m4 2 n

3 m4 28.

3

10x

44

5y

3

3

10x

44

5y

3

30. 5 a2 b

4 5 a2 b

4 32. 12 x8 25 y

6 12 x8 25 y

6

34. v u( )2

36. y 5( )2

38. 2 h 1( )2

40. 7 z 1( )2

42. 3 v 4 u( )2

44. 16 2 p q( )2



46. 3

h2

k2

2

48. 2

3v

3

4u

2

50. 5 a4 3 b

5 252. 9 a

3 7 b 2

54. 23

x1

23

x2

2

56. x 3( ) x 1( )

58. 3 a 2( ) a 1( ) 60. 5 u 2( ) u 3( )

62. 5 x 3( ) x 5( ) 64. k 1( ) 7 k 3( )

66. 3 q 1( ) 2 q 7( ) 68. 3 3 b2 1 b

23

70. x 8 y( ) 3 x 2 y( ) 72. v 3 u( ) 7 u 5 v( )

74. p q( ) 3 p 8 q( ) 76. x 3 y( ) 3 x 5 y( )

78. 15 u2 89 u v 6 v

2 80. 3 v u( ) 4 v 3 u( )

82. 2 x 3 y( ) 7 x 4 y( ) 84. 3 k 2 h( ) 9 h 5 k( )

86. 6 x3 3 x 4( ) x 1( ) 88. 5 x

2 y4 3 3 x

2 y4 7

90. 15 x5 y

4 16 x5

y4 2 92. x

2y

2 4 y 3 x2 3 y 4 x

2

94. 6x

3

y2

4y

2

x3

2x

3

y2

3y

2

x3

96. 4 b a 4 c( ) 4 b a 4 c( )

98. 8 9 b2 4 a

2 8 9 b2 4 a

2 100. 5 p 2 q( ) 13 p 2 q( )

102. 2 a b( ) 8 a 7 b( ) 104. 14 r 8 s 4 r 2 s

106. 9 y

2 2 x2 4 x

2 y2

x y




2. m n( ) m2

m n n2 4. t s( ) t

2t s s

2

6. m 3 n( ) m2

3 m n 9 n2 8. 8 2 t s( ) 4 t

2 2 t s s2

10. 3 p 4 q( ) 9 p2 12 p q 16 q

2 12. 8 3 m 2 n( ) 9 m2 6 m n 4 n

2

14. 6 k3 x

2 5 36 k6 x

4 30 k3 x

2 25 16. 2 x4 3 u

2 4 x8 6 x

4 u2 9 u

4

18. 2 x u( ) 2 x u( ) 4 x2 u

2 20. 2 x 3 y( ) 2 x 3 y( ) 4 x2 9 y

2

22. 2 x 3 y( ) 2 x 3 y( ) 4 x2 6 x y 9 y

2 4 x2 6 x y 9 y

2

24. c 1( ) c 1( ) c2

1 c4

1

26. r2

s r2

s r4

s2

28. b x( ) b x( ) b2

x2 b

4x

4 b8

x8

30. 5 a9 1 25 a

18 5 a9 1

32. c d( ) c4

c3

d c2

d2 c d

3 d4

34. q2

x2 x

12x

10q

2 x8

q4 x

6q

6 x4

q8 x

2q

10 q12

36. x3

y3 y

4x y

3 x2

y2 x

3y x

4 y8

x y7 x

3y

5 x4

y4 x

5y

3 x7

y x8

38. x2

2 y2 x

42 x

2 y2 2 x

2 y4

2 y2 4

40. y 3 x y 3 x y 2 y x x 9

44. c3

d2 d

2 c3 d

4c

6 c3

d4 d

4c

6d

2 2 c3 d

2 c6

46. x2

4 x 16 x2

4 x 16

48. b2

9 b4

81

50. x4

x3 x

2x 1 x

4x

3 x2 x 1




2. a 2( ) 2 a b( ) 4. x y( ) x 1 y( )

6. c 1( ) c 3 d( ) 8. a 2( ) 3 a b( )

10. b c( ) b a( ) 12. 2 h 3 j( ) 5 h k( )

14. 7 r s( ) 3 r 2 z( ) 16. x z 1( ) x y( )

18. h p( ) h 3 k j( ) 20. a b( ) a2

b a 1 b2

22. h k( ) k h j( ) 24. x y( ) x2

x x y y y2

26. 2 a b( ) 4 a2 a 2 a b b b

2 28. x 4 2 y( ) x 4 2 y( )

30. b 2 d 3 a( ) b 2 d 3 a( ) 32. 5 y 2 x z( ) 5 y 2 x z( )

34. z 3 x 3 t 4 y( ) z 3 x 3 t 4 y( ) 36. a b( ) a 3 b 2 c( )

38. 5 x y( ) 5 x 3 y z( ) 40. a2

3 a 5 a2

3 a 5

42.. u 1( ) u 3( ) u 3( ) u 1( )

44. 3 b2 2 a b a

2 3 b2 2 a b a

2

46. m2 2 n m 5 n

2 m2 2 n m 5 n

2

48. 3 u2 3 v u 4 v

2 3 u2 3 v u 4 v

2

50. 8 y2 3 x y 2 x

2 8 y2 3 x y 2 x

2


lc.fie.umich.mxpferrei/notas_mb/4%20... · matemáticas básicas capÍtulo iv poductos notables y...

Documents