1.3.3.- Factorización (productos notables)

• Por factorizar una expresión algebraica se entiende escribirla como un producto de varios términos.

• Sacar factor común: ax ± bx = (a±b) x• Diferencia de cuadrados: a² - b² = (a+b)(a-b)• Factorizar un trinomio: x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)• Trinomio cuadrado perfecto: a² ± 2ab + b² = (a ± b)²• Cubo perfecto: a³± 3a² b ± 3ab² ± b³ = (a ± b)³• aⁿ - bⁿ = (a-b)(aⁿ¯¹ b°+aⁿ¯² b¹ +aⁿ¯³ b²+….+a²bⁿ¯³+a¹bⁿ¯²+a°bⁿ¯¹)• aⁿ+bⁿ = (a+b)(aⁿ¯¹ b°- aⁿ¯² b¹ +aⁿ¯³ b² -….+a²bⁿ¯³-a¹bⁿ¯²+a°bⁿ¯¹)• (2a - 3b) - (c+d) = [(2a -3b) + (c+d)] [(2a - 3b)-² ²(c+d)]= (2a – 3b+c+d)(2a - 3b – c - d).• x + y = (x ) + (y ) = (x +y )((x ) (y ) - ⁶ ⁶ ² ³ ² ³ ² ² ² ² ² ⁰(x ) (y ) + (x ) (y ) ) = (x +y )(x - x y + y ).² ¹ ² ¹ ² ⁰ ² ² ² ² ⁴ ² ² ⁴

Teorema del residuo

• Si P(x) es un polinomio de grado n y r es una raíz (es decir P(r)= 0) entonces P(x) = (x-r)Q(x)

• Sea P(x) = x³-6x²+11x-6; sea x=1 una raiz; P(1)= 1³-(6)(1)²+(11)(1)-6=1-6+11-6=0, luego P(x) es divisible entre (x-1).

• Haciendo la división • (X -6x +11x-6)/(x-1)³ ²• obtenemos como resultado x²-5x+6• Por lo tanto, el polinomio x³-6x²+11x-6 se puede

factorizar como (x-1)(x²-5x+6), es decir• x³-6x²+11x-6 = (x-1)(x²-5x+6).

1.4.- Orden de los números ℝ • Cualquier expresión que contenga uno de los cuatro símbolos >, <,

≥, ≤ se llama desigualdad.• Un número a que pertenece a los ℝ es positivo si esta a la

derecha del cero y negativo si esta a la izquierda, esto se denota así: a>0 o bien o<a y a<0 o bien 0>a, respectivamente.

• a>0 -a < 0• Si a>b y c<0 => ac<bc• Si a>b y c>d => a+c>b+d• Si a>b y b>c => a>c• Si a≠0 => a²>0• a² +1 > 0 para todo a en los ℝ• Si a < 0 => aⁿ > 0 si n es par.• Si a < 0 => aⁿ < 0 si n es impar.

• Si 0<a<b => 0<aⁿ<bⁿ• aⁿ>bⁿ>0 si n es par• Si a<b<0 => {• aⁿ<bⁿ<0 si n es impar• Si 0<a<b => 0<ⁿ√a<ⁿ√b para n un ℕ• Si a<b<0 => ⁿ√a<ⁿ√b<0 si n Є ℕ impar• Si ab>0 y a>0 => b>0• Si a>0 => a¯¹ >0, Si a<0 => a¯¹<0• Si a>0 y b>0 => a/b>0• m/n ≤ p/q <=> mq≤np

Conjuntos• Un conjunto es una colección de objetos de cualquier

tipo y a dichos objetos se les denomina elementos del conjunto. En nuestro caso todos los elementos serán ℝ.

• Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas A, B, C D,……etc., y a sus elementos por letras minúsculas a, b, c, d,…. etc.

• x є A = x es elemento (pertenece a) de A• x ∉ A = x no es elemento (no pertenece a) de A• Un conjunto puede ser expresado por extensión A =

{-1, 0, 1….}, por comprensión: A = {todos los x tales que x³ = x} que también se puede expresar simbólicamente A = {x|x = x} lo cual se lee A ³es el conjunto de los elementos x tales que x = x.³

• Un conjunto no se modifica si se cambia el orden de sus elementos.

• Un conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se denota con el símbolo Ø.

• Si A y B son dos conjuntos, y sucede que todo elemento de A es también elemento de B, se dice que A es un subconjunto de B o bien que A está contenido en B y se escribe A ⊂ B

• Cuando A no es subconjunto de B se escribe A ⊄ B• El conjunto A es un subconjunto propio de B si A ⊂ B y además B ⊄ A• Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos y se escribe A = B

Operaciones con conjuntos• La unión de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de

todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos. Esto es A ⋃ B = { x | x є A o bien x є B}

• La intersección de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de aquellos elementos que pertenecen a ambos conjuntos a la vez. Esto es A ⋂ B = { x | x є A y x є B}• La diferencia de dos conjuntos A menos B se define como el conjunto de todos los elementos que están en A y que no están en B.• Esto es A – B = { x | x є A y x ∉ B}• Dos conjuntos A y B son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, esto es A ⋂ B = Ø• Si A es un conjunto y Ø el conjunto vacío, entonces• A ⋃ Ø = A y A ⋂ Ø = Ø• Si A y B son conjuntos tales que A ⊂ B, entonces • A ⋃ B = B y A ⋂ B = A

Igualdades• El símbolo (=) se lee “es igual a” y divide a la expresión

(igualdad) en dos partes llamadas miembros: lo que esta antes del signo igual es el primer miembro y lo que esta después se llama segundo miembro.

• A su vez, si una igualdad en la que aparecen números y letras es cierta para cualquier valor de las letras, decimos que se trata de una identidad; en caso contrario decimos que se trata de una ecuación.

• El símbolo ≠ se lee “no es igual a” o bien “es diferente de”.

• En cualquier igualdad se pueden intercambiar los miembros, esto es: a=b => b=a

• Dos números iguales a un tercero son iguales entre sí:• a=b y b=c => a=c

1.5.- Intervalos

• Abierto: (a,b) = {xєℝ|a<x<b} = {xєℝ|x>a y x<b} • Cerrado: [a,b] = {xєℝ|a≤x≤b} = {xєℝ|x≥a y x≤b}

• Semiabiertos o semicerrados• Semi abierto por la derecha [a,b) = {xєℝ |a≤x<b} = {xєℝ|x≥a

y x<b} • Semi abierto por la izquierda (a,b] = {xєℝ|a<x≤b} = {xєℝ|x>a

y x≤b}

• Infinitos• (a,∞) = { xєℝ | x>a }, [a,∞) = { xєℝ | x≥a } • (-∞,a) = { xєℝ | x<a } , (-∞,a] = { xєℝ | a≤x }

• Debido a que los intervalos son conjuntos (de números) podemos realizar con ellos las operaciones que se efectúan con cualquier par de conjuntos. Por ejemplo: la unión, la intersección y la diferencia.

• Si A y B son dos intervalos cualesquiera, entonces• Unión de A ⋃ B = { xєℝ | xєA o bien xєB}

• Intersección de A ⋂ B = { xєℝ | xєA y xєB}

• Diferencia de A y B = { xєℝ | xєA y x no pertenece a B}• Sea A = (-5,4) y B = [-3,8]. La diferencia A-B será (-5, -3)

• Si A es un intervalo cualesquiera, entonces:• A ⋃ Ø = A A ⋂ Ø = Ø• A ⋃ = ℝ ℝ A ⋂ = Aℝ ******

1.6.- Valor absoluto

• Sobre la recta numérica, la distancia de un número a al origen, que se denota mediante d(a,0), se conoce como valor absoluto y se expresa de la siguiente manera: d(a,0) = |a|.

• Propiedades:• -a si a < 0• |a| = {• a si a > 0

• |a| ≥ 0, |a| = 0 a = 0, √(a)² = a, |a| = |-a|• - |a| ≤ a ≤ |a|, |a b∙ | = |a| |∙ b|, |a|ⁿ = |aⁿ| para n є ℤ• |a/b| = |a|/|b| con b ≠ 0, • |a+b| ≤ |a| + |b| desigualdad del triángulo• |a-b| ≤ |a| + |b| , |a-b| ≥ |a| - |b| Corolarios de la des. del T

Demostraciones

• 1.- |a-b| = |a+(-b)| ≤ |a|+|-b| Por la des. del triángulo• => |a-b| ≤ |a|+|b| Por def. de valor absoluto• 2.- |a| = |a-b+b| = |(a-b) + b| ≤ |a-b| + |b| • Por la desigualdad del triángulo• ⇒|a| - |b| ≤ |a-b|+|b| - |b| Restando |b| en ambos lados• ⇒|a| - |b| ≤ |a-b| ⇒ |a-b| ≥ |a| - |b|• Para la clase:• Si |a| ≤ c y |b| ≤ d => |a+b| ≤ c + d

Distancia entre dos puntos• Definimos la distancia entre dos puntos a y b

como: d(a,b) = |a-b|• Propiedades de la distancia• d(a,0) = |a-0| = |a|, d(a,a) = 0, d(a,b) ≥ 0 • d(a,b) = d(b,a),

• Desigualdad del tríangulo en notación de distancia

• d(a,c) ≤ d(a,b) + d(b,c)

• Si el número x es igual a M o bien a –M, entonces, la distancia de x al origen es M.

• |x|= M x = ± M• El conjunto de números cuya distancia al origen es

menor que M consta de aquellos puntos x que están a la derecha de –M y a la izquierda de M.

• d(x,0) < M |x|<M -M < x < M xє(-M,M) ***• El conjunto de números x cuya distancia al origen es

mayor que M consta de aquellos puntos que están a la izquierda de –M o bien a la derecha de M.

• d(x,0) > M |x| > M x < -M o bien x > M• x є (-∞,-M) ⋃ (M, ∞)

• Los puntos cuya distancia a b es menor que M son aquellos que están a la derecha de b-M y a la izquierda de b+M.

• d(x,b) < M |x-b|< M -M < x-b < M • b-M < x < b+M x є (b-M, b+M)• Los puntos cuya distancia a b es mayor que M

son aquellos que están a la izquierda de b-M o a la derecha de b+M

• d(x,b) > M |x-b|> M x-b < -M o bien x-b > M x < b-M o bien x > b+M x є (-∞, b-M) ⋃ (b+M, ∞)

1.7.- Resolución de desigualdades

• Resolver una desigualdad con una incógnita (x) significa hallar los ℝ tales que la desigualdad se cumple. Llamaremos conjunto solución al conjunto de tales x.

• Para resolver una desigualdad son útiles las siguientes propiedades:

• 1.- Para pasar un término de un miembro al otro, se le cambia de signo, es decir, si es + pasa al otro miembro con – y viceversa.

• a+b ≥ c a ≥ c-b• Se puede pasar un factor diferente de 0 de un miembro

al otro poniéndolo como divisor y viceversa, tomando en consideración lo siguiente:

• A) Si el factor es + el sentido de la desigualdad se mantiene

• a b ≥ c y b > 0 ∙ a ≥ c/b y b > 0

• 2.- Si el factor es negativo el sentido de la desigualdad se invierte

• a b∙ ≥ c y b < 0 a ≤ c/b y b < 0

• Desigualdades del tipo ax+b ≥ 0 con a ≠ 0 y b є ℝ• ax+b ≥ 0 => ax ≥ 0-b ax ≥ - b, tenemos dos casos:• Si a>0 entonces x ≥ -b/a, Conj. Solución = [-b/a, ∞)• Si a<0 entonces x ≤ -b/a, CS = (-∞, -b/a]• Geométricamente resolver la desigualdad ax+b ≥ 0 con

a≠0 significa hallar las x tales que la recta y=ax+b corta a la recta y=0 o bien esta situada por encima de ella.

• Ejemplo: Resolver la desigualdad 2x-5 ≥ 0• 2x-5 ≥ 0 2x ≥ 0+5 2x ≥ 5, como 2 > 0, entonces • 2x ≥ 5 x ≥ 5/2, el CS = [5/2,∞)

Resolver la desigualdad ¾ x + 2/5 < 0 ¾ x + 2/5 < 0 ¾ x < 0 – 2/5 3/4x < -2/5,Como ¾ > 0, entonces ¾ x < -2/5 x < -(2/5)(4/3) x < -8/15, CS = (-∞, -8/15)

Desigualdades del tipo ax + b ≥ cx + dResolver este tipo de desigualdades significa hallar otra

desigualdad equivalente, esto es, que tenga el mismo conjunto solución, pero donde x aparezca solo en uno de los miembros.

ax + b ≥ cx + d ax-cx ≥ d-b (a-c)x ≥ d-bNuevamente tenemos dos casos:Si a-c > 0, entonces x ≥ (d-b)/(a-c), CS = [(d-b)/(a-c), ∞) Si a-c < 0, entonces x ≤ (d-b)/(a-c), CS = (-∞, (d-b)/(a-c)]

Geométricamente resolver la desigualdad ax + b ≥ cx + d significa hallar las x tales que la recta y = ax + b corta a la recta y = cx + d o bien está por encima de ella.

• Resolver la desigualdad 5/4 x -2/3 > 8/3 x – 3/2.• 5/4 x -2/3 > 8/3 x – 3/2 5/4 x - 8/3 x > 2/3 – 3/2 • -17/12 x > -5/6 x < 10/17, CS = (-∞, 10/17].

• Desigualdades del tipo a₁x + b₁ ≥ a₂x + b₂ ≥ a₃x + b₃ • Geométricamente, resolver este tipo de

desigualdades significa hallar las x tales que la recta y = a₂x + b₂ se encuentra entre las rectas y = a₁x + b₁ y y = a₃x + b₃.

• Resolver la desigualdad 18-5x > 2x + 3 ≥ 4-3x.• 18-5x > 2x + 3 y 2x + 3 ≥ 4-3x• Resolviendo la primera desigualdad• 18-5x > 2x + 3 -5x -2x > 3-18 -7x > -15 • x < 15/7 CS₁ = (-∞, 15/7)• Resolviendo la segunda desigualdad• 2x + 3 ≥ 4-3x 2x + 3x ≥ 4-3 5x ≥ 1 • x ≥ 1/5 CS₂ = [1/5, ∞)• El conjunto solución de la doble desigualdad es:• CS = CS₁ ⋂ CS =₂ (-∞, 15/7) ⋂ [1/5, ∞) • = [1/5, 15/7)

Desigualdades del tipo | ax + b| ≤ M con M>0• Por la definición tenemos que –M ≤ ax + b ≤ M• y se cumple cuando ax + b ≥ -M y ax + b ≤ M• Resolver la desigualdad |3x – 5| ≤ 4• 3x – 5 ≥ - 4 y 3x – 5 ≤ 4• 3x ≥ -4 + 5 y 3x ≤ 4 + 5• x ≥ 1/3 y x ≤ 3• CS = [1/3, ∞) y CS = (-∞, 3]₁ ₂• CS = CS ⋂ CS = [1/3, ∞) ⋂ (-∞, 3] = [1/3, 3]. ₁ ₂• Es posible usar otro método:• -4 ≤ 3x-5 ≤ 4 -4+5 ≤ 3x ≤ 4+5 1 ≤ 3x ≤ 9 • 1 (1/3) ≤ (1/3) 3x ≤ (1/3) 9 1/3 ≤ x ≤ 3• Por lo que el CS = [1/3, 3]

Desigualdades del tipo |ax + b| ≥ M con M >0• Resolver la desigualdad | 5/3 x + ¾ | > 2/5• Esta desigualdad se cumple cuando• 5/3 x + ¾ < -2/5 o bien cuando 5/3 x + ¾ > 2/5• Resolviendo la primera ecuación• 5/3 x + ¾ < -2/5 5/3 x < - 2/5 - 3/4 • 5/3 x < - 23/20 x < -23/20 (3/5)• x < -69/100 CS = (-∞, -69/100)₁• Resolviendo la segunda desigualdad• 5/3 x + ¾ > 2/5 5/3 x > 2/5 – ¾• 5/3 x > -7/20 x > 3/5 (-7/20)• x > -21/100 CS = (-21/100, ∞)₂• CS = CS ∪ CS = (-∞, -69/100) ∪ (-21/100, ∞)₁ ₂• = ℝ - [-69/100, -21/100].

Desigualdades del tipo (ax+b)/(cx+d) ≥ 0• Resolver la desigualdad: (3x+4)/(2x-5) ≥ 0 *****• Puede suceder que 2x -5 > 0 o que 2x – 5 < 0.• Si 2x-5 > 0 entonces 3x+4 ≥ 0, así que• 2x-5 > 0 y 3x + 4 ≥ 0 2x > 5 y 3x ≥ -4 • x > 5/2 y x ≥ -4/3 x є (5/2, ∞) y x є [-4/3, ∞)• x є [-4/3, ∞) ⋂ (5/2, ∞) = (5/2, ∞) => CS₁ = (5/2, ∞)• Si 2x - 5 < 0, entonces • 2x – 5 < 0 y 3x + 4 ≤ 0 2x < 5 y 3x ≤ -4• x < 5/2 y x ≤ -4/3 x є (-∞, 5/2) y x є (-∞, -4/3] x

є (-∞, 5/2) ⋂ (-∞, -4/3] = (-∞, -4/3] => CS₂ = (-∞, -4/3] .• Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es • CS = CS₁ ⋃ CS = ₂ (5/2, ∞) ⋃ (-∞, -4/3] = ℝ – (-4/3, 5/2).

Desigualdades del tipo (ax + b)/(cx + d)≥k• Resolver la desigualdad (2x+3)/(4x-5) ≥ -6 Tenemos dos casos: • Si 4x-5 < 0 entonces (la desigualdad se invierte)• (2x+3)/(4x-5) ≥ -6 • [(2x+3)/(4x-5) ]∙ (4x-5) ≤ -6 (4x-5) • 2x+3 ≤ -24x+30 2x+24x ≤ 30 -3 • 26 x ≤ 27 x ≤ 27/26• Pero 4x – 5 < 0 4x < 5 x < 5/4.• Se debe cumplir entonces que • x < 5/4 y x ≤ 27/26. • Ambas desigualdades se cumplen cuando x ≤ 27/26• Por lo tanto el CS = (-∞, 27/26].₁

• Si 4x -5 es > 0 entonces (la desigualdad no cambia de sentido)

• (2x+3)/(4x-5) ≥ -6 • [(2x+3)/(4x-5)] (4x-5) ≥ -6(4x-5) ∙• 2x+3 ≥ -24x+30 2x+24x ≥ 30-3 • 26 x ≥ 27 x ≥ 27/26• Pero 4x-5 > 0 4x > 5 x > 5/4. • Se debe cumplir que x > 5/4 y x ≥ 27/26.• Ambas desigualdades se cumplen cuando • x > 5/4. • Se tiene en este caso CS₂ = (5/4, ∞)• Finalmente CS = CS₁ ⋃ CS = (-∞, 27/26] ⋃ ₂ (5/4,

∞) = ℝ – (27/26, 5/4]

Otras desigualdades• Desigualdades de la forma |(2x+3)/(4x-5)| ≤ 6• Esta desigualdad no es del tipo (ax+b)/(cx+d) ≥ k pero se puede reducir a resolver dos desigualdades de este tipo usando las propiedades de valor absoluto.• |(2x+3)/(4x-5)| ≤ 6 -6 ≤ (2x+3)/(4x-5) ≤ 6 • -6 ≤ (2x+3)/(4x-5) y (2x+3)/(4x-5) ≤ 6 • El CS de la desigualdad original será la intersección de los conjuntos solución de las desigualdades • (2x+3)/(4x-5) ≥ -6 (1) y (2x+3)/(4x-5) ≤ 6 (2)• (para hallar el CS ver transparencia anterior)• CS = (-∞, 27/26] ⋃ (5/4, ∞) = ℝ – (27/26, 5/4]₁• CS = (-∞, 5/4) ⋃ [3/2, ∞) = ℝ – [5/4, 3/2). ₂• Finalmente realizamos la intersección de CS y CS₁ ₂• CS= CS ⋂ CS = ℝ – (27/26, 5/4] ⋂ ℝ – [5/4, 3/2)₁ ₂• = ℝ – (27/26, 3/2)

Cómo graficar la función ax²+bx+c

• La función representa una curva llamada parábola. Si a>0 entonces sus ramas se abren hacia arriba (Concavidad hacia arriba) y si a<0 entonces se abren hacia abajo (Concavidad hacia abajo).

• El vértice de la parábola es el punto mas bajo de la curva si ésta se abre hacia arriba y es el punto mas alto si se abre hacia abajo. Para hallarlos se usa el método de completar un cuadrado.

• Ejemplo: Halle el máximo o mínimo de la función • y = 2x²-4x+10 = 2[(x²-2x)+5] = 2[(x²-2x+1)+5-1] = 2[(x-1)²+4]. • Como a>0 entonces las ramas se abren hacia arriba y por lo tanto lo

que buscaremos será un mínimo. Si la primera expresión dentro de los corchetes no es cero entonces es positiva. Por consiguiente, el valor de y crece según el valor numérico de x-1 y el valor de y será mínimo cuando esta expresión sea cero, esto es, cuando x=1. Por tanto el valor mínimo de y es y = 2[(1-1)²+ 4] = 8

• Los ceros de una función de segundo grado son las abscisas de los puntos en donde la gráfica cruza el eje de las x, es decir cuando y = 0. Como se pueden hallar?

Breviario cultural

• ax² + bx + c = 0• x=-b/2a ± [√b²-4(a)(c)]/2a• Sea r= =-b/2a + √b²-4(a)(c)/2a y• s = -b/2a - √b²-4(a)(c)/2a• r + s = -b/a y rs = c/a• => b=-a(r+s) y c = ars. Por otro lado• ax²+bx+c = ax²- a(r+s)x + ars = a[x²-(r+s)x+rs]=• a(x-r)(x-s)• Este método es apropiado cuando los

coeficientes son números grandes.

Desigualdades de la forma ax²+bx+c ≥ 0 con a ≠ 0

• Resolver la desigualdad 2x²+x-6 ≥ 0• Primero hallamos las raíces de la ecuación 2x²+x-6=0• x=-1/4 ± √1²-4(2)(-6)/4= (-1±7)/4• x₁ = 3/2 x₂ = -2, con las raíces factorizamos el trinomio • 2x²+x-6 = 2 (x-3/2)[x-(-2)] = 2(x-3/2)(x+2).• Luego resolvemos la desigualdad• 2x²+x-6 ≥ 0 2(x-3/2)(x+2) ≥ 0 (x-3/2)(x+2) ≥ 0 • x-3/2 ≤ 0 y x+2 ≤ 0 o bien x-3/2 ≥ 0 y x+2 ≥0• x ≤ 3/2 y x ≤ -2 o bien x ≥ 3/2 y x ≥ -2• x є (-∞, 3/2] y x є (-∞, -2] o bien x є [3/2, ∞) y x є [-2,∞)• x є (-∞, 3/2] ⋂ (-∞,-2] o bien x є [3/2,∞) ⋂ [-2,∞)• => x є (-∞, -2] ⋃ [3/2, ∞). Por lo tanto, el conjunto sol. de la desigualdad es CS = (-∞, -2] ⋃ [3/2, ∞) = ℝ – (-2, 3/2)

Desigualdades de la forma a₁x²+b₁x+c₁≥a₂x²+b₂x+c₂ con a₁ ≠ a₂

• a₁x²+b₁x+c₁ ≥ a₂x²+b₂x+c₂ => a₁x²+b₁x+c₁-(a₂x²+b₂x+c₂) ≥ o• => (a₁-a₂) x² + (b₁-b₂)x + (c₁-c₂) ≥ 0• Esta es una desigualdad del tipo anterior y por lo tanto se resuelve

de la misma manera. • Ejemplo, resolver la siguiente desigualdad: 3x²-4x+5 ≤ 9x-3x²+10 • 3x²-4x+5 ≤ 9x-3x²+10 3x²-4x+5-(9x-3x²+10) ≤ 0 • 6x²-13x-5 ≤ 0. Resolviendo la ecuación 6x²-13x-5 = 0 • como antes, obtenemos las raíces x₁ = 5/2 y x₂ = -1/3.• La factorización del trinomio nos da 6(x-5/2)(x+1/3)• Resolviendo la desigualdad• 6x²-13x-5 ≤ 0 6(x-5/2)(x+1/3) ≤ 0 (x-5/2)(x+1/3) ≤ 0 • x-5/2 ≤ 0 y x+1/3 ≥ 0 o bien x-5/2 ≥ 0 y x+1/3 ≤ 0• x ≤ 5/2 y x ≥ -1/3 o bien x ≥ 5/2 y x ≤ -1/3• x є (-∞, 5/2] ∩ [-1/3, ∞) o bien x є [5/2, ∞) ∩ (-∞, -1/3] • CS = [-1/3, 5/2] ∪ ∅ = [-1/3, 5/2]