encuentro con las matemáticas -...

MatemáticasEncuentro con las

Carlos Bosch Giral Claudia Gómez Wulschner

TERCEROTERCERO

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EdiciónRebeca Lorena Riquer RamírezUriel Jiménez Herrera Javier Brito

Diseño de portada e interioresRicardo Salas § Frontespizio, Iván Ávalos y Beatriz Alatriste del Castillo

Corrección de estiloRamona Enciso CentenoAlejandro Reyes ValtierraAngélica Monroy López

DiagramaciónPyma DigitalErika Fabila VillegasSusana Inés Morales Juárez

FotografíaFilemón Baeza Vidal, página: 86.Florescano, Enrique. El juguete mexicano, Taurus. México, 2006,página: 283. Isabel Guerrero Alonso, páginas: 37, 165, 168, 283,282, 284, 297; Carina J. Haro V., páginas: 50, 280, 281, 282,284 y 285; Archivo fotográfico Nuevo México; Foto Disc, páginas:298; ©2007, Jupiterimages Corporation, páginas: 40, 41, 48, 54, 66, 68, 70, 104, 114, 176, 237, 244, 247, 265, 279; ©2007 www.photospin.com, páginas: 41, 107, 111, 119, 227, 250, 251, 253, 266, 272; Archivo Corel, páginas: 118, 119, 120, 122, 230, 232, 237, 242; ©Archivo Digital/AgeFotostock, páginas: 18, 19, 121, 143, 175, 212, 213, 231, 232, 270, 271, 294; ©Archivo Digital/Photo Bank Yokohama, página:175; ©Archivo Digital/Super Stock, página: 232; ©ArchivoDigital/Interfoto, páginas: 180, 237, 292; ©Archivo Digital/PhotoResearches, páginas: 92, 93; ©Archivo Digital/PlainPictures, página:41; ©Archivo Digital/F1 ONLINE: 140, 141.

Investigación iconográficaÉrika Fabila VillegasSusana Inés Morales Juárez

IlustracionesDaniel CruzJosé Luis Paniagua, páginas: 57, 95.

La presentación y disposición en conjunto de cadapágina de Encuentro con las Matemáticas tercero sonpropiedad del editor.Queda estrictamente prohibida la reproducción parcialo total de esta obra por cualquier sistema o métodoelectrónico, incluso el fotocopiado o escaneado, sinautorización escrita del editor.

ISBN: 978-970-677-332-6

D.R. © 2008 por Editorial Nuevo México, S.A. de C.V. Avenida Río Mixcoac 274, colonia Acacias, C. P. 03240, delegación Benito Juárez, México, D. F.

Primera edición: mayo de 2008ta reimpresión: de 201

Impreso en México


Quin abril 2

Carlos Bosch Giral y Claudia Gómez Wulschner©

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Edi-torial Mexicana. Reg. 3012.

3

AL ALUMNO Encuentro con las Matemáticas Tercero te dará la oportunidad de pensar, divertirte, dis-

frutar y aprender. Las matemáticas son un área indispensable para comprender el mundo. La formación en esta materia requiere participación activa; las matemáticas hay que hacerlas, hay que vivirlas, hay que construirlas. No olvides que en matemáticas hay una parte mecá-nica que es operativa, por lo que es necesario ser hábil en el manejo de símbolos y formas de relacionarlos, se requiere un trabajo arduo pero a cambio entenderás mejor el mundo.

Esperamos que en este libro siempre encuentres un reto que despierte tu interés, tu cu-riosidad y tu creatividad.

AL PROFESOR

En nuestra cultura, las matemáticas se han convertido en un área indispensable y son cada vez más necesarias para comprender el mundo. Adquirir una buena formación en esta materia es fundamental, por lo que hemos procurado que en este libro usted encuentre todas las herramientas necesarias para que sus alumnos adquieran esos conocimientos.

Encuentro con las Matemáticas Tercero consta de cinco bloques, cada uno compuesto por cuatro, cinco o seis temas, según el número de actividades que se necesitan para que el alumno alcance los aprendizajes esperados. Cada tema es una secuencia de actividades, ejercicios y problemas con distintos niveles que permiten a los alumnos encontrar siempre un reto interesante y propician un ambiente adecuado para reflexionar, investigar y dialogar en torno a temas matemáticos, así como resolver problemas. De esta manera, se pretende lograr un aprendizaje más profundo y permanente.

Las actividades propuestas permiten que la evaluación se lleve a cabo como un proceso continuo y permanente con distintas exigencias como argumentar, manejar diferentes he-rramientas, plantear y resolver problemas y mantener una adecuada comunicación durante el trabajo.

En la obra encontrará una propuesta de dosificación en cinco bimestres. En ésta se es-pecifican los conocimientos y habilidades que se pueden estudiar semanalmente. También se sugiere los momentos convenientes para evaluar el aprendizaje de los estudiantes. En general, las lecciones se han diseñado a fin de apoyarlo en su planeación de clase.

En el inicio de cada bloque se muestran los aprendizajes esperados, es importante tenerlos a la mano para ubicar el avance que debe lograrse en el tiempo dedicado a cada bloque. Le sugerimos compartir con los estudiantes los propósitos y pedirles que al final del bloque se recapitule sobre lo que se alcanzó y lo que requiere un poco más de esfuerzo.

Un aspecto importante es que los estudiantes muestren interés en las matemáticas, para ello es necesario que fomente actitudes como la colaboración, el respeto, la autonomía, la investigación y la perseverancia.

Esperamos que esta obra sea útil para resolver el difícil pero satisfactorio compromiso que día a día usted tiene con la educación de los jóvenes de nuestro país.

3

Presentación


4

Índice

Presentación 3Dosifi cación 8Conoce tu libro 14

BLOQUE 1 18

1. Productos notables y factorización 201.1. Efectuar o simplifi car cálculos con expresiones algebraicas tales como:

(x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2.

2. Propiedades de los cuadriláteros 34

1.2. Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justifi cación de propiedades de los cuadriláteros.

3. La circunferencia y los ángulos 501.3. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y

una circunferencia y entre circunferencias. Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.

1.4. Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.

1.5. Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

4. Razones de cambio 70

1.6. Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.

5. Experimentos y diseños 801.7. Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas

fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfi ca más adecuada para presentar la información.

Primera autoevaluación mensual 88Segunda autoevaluación mensual 90

BLOQUE 2 92

1. Ecuaciones no lineales 942.1. Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando


5

procedimientos personales u operaciones inversas.2.2. Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando

la factorización.

2. Figuras semejantes 108 2.3. Construir fi guras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y de los

lados.

2.4. Determinar los criterios de semejanza de triángulos. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos. Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.

3. Índices 122

2.5. Interpretar y utilizar índices para explicar el comportamiento de diversas situaciones.

4. Simulaciones 128

2.6. Utilizar la simulación para resolver situaciones probabilísticas. Tercera autoevaluación mensual 136Cuarta autoevaluación mensual 138

BLOQUE 3 140

1. Álgebra y geometría; geometría y álgebra 1423.1. Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la

economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar la regla que modela esta variación mediante una tabla o una expresión algebraica.

2. Los modelos cuadráticos 156

3.2. Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la fórmula general.

3. Teorema de Tales 164

3.3. Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos. Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

3.4. Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o que –1. Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una fi gura. Comprobar que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de las razones.


6

Índice

4. Funciones y gráfi cas 182

3.5. Interpretar, construir y utilizar gráfi cas de relaciones funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o fenómenos.

3.6. Establecer la relación que existe entre la forma y la posición de la curva de funciones no lineales y los valores de las literales de las expresiones algebraicas que defi nen a estas funciones.

5. Otras gráfi cas 198

3.7. Interpretar y elaborar gráfi cas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

Quinta autoevaluación mensual 208Sexta autoevaluación mensual 210

BLOQUE 4 212

1. Patrones y ecuaciones 2144.1. Determinar una expresión general cuadrática para defi nir el enésimo término

en sucesiones numéricas y fi gurativas utilizando el método de diferencias. 2. Triángulos rectángulos 224

4.2. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas. 4.3. Reconocer y determinar las razones trigonométricas en familias de triángulos

rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas de los lados. Calcular medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir de los valores de razones trigonométricas. Resolver problemas sencillos, en diversos ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.

3. Sucesiones aritméticas y geométricas 244

4.4. Interpretar y comparar las representaciones gráfi cas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial de diversas situaciones.

4. Información gráfi ca 2584.5. Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza, pero referidos a un

mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones diferentes, para producir nueva información.

Séptima autoevaluación mensual 266Octava autoevaluación mensual 268


7

BLOQUE 5 270 1. Todas las ecuaciones 272

5.1. Dado un problema, determinar la ecuación lineal, cuadrática o sistema de ecuaciones con que se puede resolver, y viceversa, proponer una situación que se modele con una de esas representaciones.

2. Sólidos de revolución 2805.2. Anticipar las características de los cuerpos que se generan al girar o trasladar

fi guras. Construir desarrollos planos de conos y cilindros rectos. Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Determinar la variación que se da en el radio de los diversos círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en una esfera o cono recto.

3. Volúmenes 2885.3. Construir las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos.5.4. Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos. Calcular datos desconocidos

dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.

4. La información a la vista 2985.5. Interpretar, elaborar y utilizar gráfi cas de cajabrazos de un conjunto de datos

para analizar su distribución a partir de la mediana o de la media de dos o más poblaciones.

Novena autoevaluación mensual 310Décima autoevaluación mensual 312

Encuentro con la tecnología 314

Solucionario 320

Bibliografía 325


DOSIFICACIÓN Bloque 1

8 DOSIFICACIÓN

Tema Conocimientos y habilidades Págs. Semanas

1. Productos notables y factorización

1.1. Efectuar o simplifi car cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2.

20 - 33 1, 2 y 3

2. Propiedades de los cuadriláteros

1.2. Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justifi cación de propiedades de los cuadriláteros.

34 - 49 3, 4 y 5

PRIMERA AUTOEVALUACIÓN MENSUAL

3. La circunferencia y los ángulos

1.3. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias. Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.



50 - 69 5, 6, 7 y 8

4. Razones de cambio


70 - 79 8 y 9

5. Experimentos y diseños

1.7. Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfi ca más adecuada para presentar la información.

80 - 87 10

SEGUNDA AUTOEVALUACIÓN MENSUAL


9 DOSIFICACIÓN

Bloque 2


1. Ecuaciones no lineales

2.1. Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

2.2. Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

94 - 107 11, 12 y 13

2. Figuras semejantes

2.3. Construir fi guras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y de los lados.

2.4. Determinar los criterios de semejanza de triángulos. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos.Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.

108 - 121 13, 14 y 15

TERCERA AUTOEVALUACIÓN MENSUAL

3. Índices 2.5. Interpretar y utilizar índices para explicar el comportamiento de diversas situaciones. 122 - 127 15 y 16

4. Simulaciones 2.6. Utilizar la simulación para resolver situacio-nes probabilísticas. 128 - 135 16 y 17

CUARTA AUTOEVALUACIÓN MENSUAL


10 DOSIFICACIÓN



1. Álgebra y geometría; geometría y álgebra

3.1. Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar la regla que modela esta variación mediante una tabla o una expresión algebraica.

142 - 155 17, 18 y 19

2. Los modelos cuadráticos

3.2. Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la fórmula general. 156 - 163 19, 20 y 21

QUINTA AUTOEVALUACIÓN MENSUAL

3. Teorema de Tales

3.3. Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos. Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

3.4. Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o que –1.

Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una fi gura.

Comprobar que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de las razones.

164 - 181 21 y 22

4. Funciones y gráfi cas

3.5. Interpretar, construir y utilizar gráfi cas de relaciones funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o fenómenos.

3.6. Establecer la relación que existe entre la forma y la posición de la curva de funciones no lineales y los valores de las literales de las expresiones algebraicas que defi nen a estas funciones.

182-197 22, 23, y 24


11 DOSIFICACIÓN

5. Otras gráfi cas

3.7. Interpretar y elaborar gráfi cas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

198-207 24 y 25

SEXTA AUTOEVALUACIÓN MENSUAL


DOSIFICACIÓN

12 DOSIFICACIÓN

Bloque 4Tema Conocimientos y habilidades Págs. Semanas

1. Patrones y ecuaciones

4.1. Determinar una expresión general cuadrática para defi nir el enésimo término en sucesiones numéricas y fi gurativas utilizando el método de diferencias.

214 - 223 25 y 26

2. Triángulos rectángulos

4.2. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.

4.3. Reconocer y determinar las razones trigonométricas en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas de los lados. Calcular medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir de los valores de razones trigonométricas.

Resolver problemas sencillos, en diversos ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.

224 - 243 27 y 28

SÉPTIMA AUTOEVALUACIÓN MENSUAL

3. Sucesiones aritméti-cas y geométricas

4.4. Interpretar y comparar las representaciones gráfi cas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial de diversas situaciones.

244 - 257 29 y 30

4. Información gráfi ca

4.5. Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza, pero referidos a un mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones diferentes, para producir nueva información.

258 - 265 30 y 31

OCTAVA AUTOEVALUACIÓN MENSUAL


13 DOSIFICACIÓN

Bloque 5


1. Todas las ecuaciones

5.1. Dado un problema, determinar la ecuación lineal, cuadrática o sistema de ecuaciones con que se puede resolver, y viceversa, proponer una situación que se modele con una de esas representaciones.

272 - 279 31, 32 y 33

2. Sólidos de revolución

5.2. Anticipar las características de los cuerpos que se generan al girar o trasladar fi guras.Construir desarrollos planos de conos y cilindros rectos.Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto.Determinar la variación que se da en el radio de los diversos círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en una esfera o cono recto.

280 - 287 33 y 34

NOVENA AUTOEVALUACIÓN MENSUAL

3. Volúmenes

5.3. Construir las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos.

5.4. Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos.

Calcular datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.

288 - 297 34 y 35

4. La información a la vista

5.5. Interpretar, elaborar y utilizar gráfi cas de cajabrazos de un conjunto de datos para analizar su distribución a partir de la mediana o de la media de dos o más poblaciones.

298 - 309 35 y 36

DÉCIMA AUTOEVALUACIÓN MENSUAL

SEMANA DE REPASO FINAL


Conoce tu libro

270

BLOQUE 5

Quizá nunca te imaginaste que para almacenar las cosechas

de ciertos alimentos se pudiera necesitar de la geometría y

el álgebra. En este bloque aprenderás a estimar y calcular el

volumen de algunos cuerpos geométricos.

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos:

1. Resuelvan problemas que impliquen calcular el volumen de cilindros y conos o cualquier término de las fórmulas que se utilicen. Anticipen cómo cambia el volumen al aumentar o disminuir alguna de las dimensiones.

2. Describan la información que contiene una gráfica del tipo caja-brazos.

271

Graneros de trigo, Pullman, Washington, Estados Unidos de América.

14

8 DOSIFICACIÓN



1. Productos notables y factorización

1.1. Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2.

20 - 33 1, 2 y 3

2. Propiedades de los cuadriláteros

1.2. Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros.

34 - 49 3, 4 y 5

PRIMERA AUTOEVALUACIÓN MENSUAL

3. La circunferencia y los ángulos

1.3. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias. Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.



50 - 69 5, 6, 7 y 8

4. Razones de cambio


70 - 79 8 y 9

5. Experimentos y diseños

1.7. Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.

80 - 87 10

SEGUNDA AUTOEVALUACIÓN MENSUAL

9 SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Bloque 2


1. Ecuaciones no lineales

2.1. Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

2.2. Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

94 - 107 11, 12 y 13

2. Figuras semejantes

2.3. Construir figuras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y de los lados.

2.4. Determinar los criterios de semejanza de triángulos. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos. Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.

108 - 121 13, 14 y 15

TERCERA AUTOEVALUACIÓN MENSUAL

3. Índices 2.5. Interpretar y utilizar índices para explicar el comportamiento de diversas situaciones. 122 - 127 15 y 16

2.6. Utilizar la simulación para resolver situacio-nes probabilísticas. 128 - 135 16 y 17

CUARTA AUTOEVALUACIÓN MENSUAL

Información sobre los propósitos del bloque.Número de bloque

Texto breve acerca de cómo se aplican los temas por aprender.

Encuentro con las Matemáticas tercero se divide en 5 bloques. Cada uno comienza con una gran imagen acompañada de un texto en el que se presenta el tema que se va a estudiar.

Es una propuesta que dosifica semanalmente los contenidos.

Tema, señala el número y título de éste.

Los conocimientos y habilidades que vas a adquirir en cada tema.

Antes de comenzar el estudio de la asignatura, encontrarás una dosifi cación de los contenidos de este libro en la que se te indican los conocimientos y habilidades que desarrollarás al estudiar cada tema.

En esta columna se indican las páginas correspondientes a cada tema.


15

EL TENIS

Una compañía vende en promedio 600 raquetas mensualmente, a un precio de $800 por raqueta. La compañía ha observado que si reduce en $40 el precio de cada una, vende 50 raquetas más cada mes. ¿A qué precio debe venderlas para recibir el máximo ingreso posible?

Denota con x el número de reducciones de $40 en el precio de cada

raqueta; entonces, el descuento será ______, de manera que el precio

de cada una será 800 � ______

El número de raquetas vendidas por mes aumenta 50x, de modo que

el número total de raquetas vendidas al mes será de 600 � ______

Por la venta total la compañía recibirá el número de raquetas multipli-

cado por el precio de cada una: (800 � _____ )(600 � _____ ).

Desarrolla y � (800 � ______ ) (600 � ______ ) � _____________

Haz la gráfica de la parábola obtenida en el eje de coordenadas.

¿La parábola abre para arriba o para abajo? _____________________

¿Tendrá un punto más bajo, mínimo, o un punto más alto, máximo?

______________________________________________________________

¿Qué es lo que se busca en el problema? ________________________

______________________________________________________________

5

Pesos

Númerode reducciones

600 000

10 15 20 25 30

196196 CONSTRUCCIÓN E INTERPRETACIÓN DE FUNCIONES NO LINEALES 197 CONSTRUCCIÓN E INTERPRETACIÓN DE FUNCIONES NO LINEALES

¿A qué punto de la parábola corresponde? _______________________

¿Puedes encontrarlo de otra forma? _____________________________

Halla el precio al que deberán venderse las raquetas para obtener el

máximo posible y calcula ese máximo. ___________________________

ACTIVIDADES

TRABAJO EN EQUIPO

Grafica en tu cuaderno.

1. y � x2

��2 � 2x 6. y � (x � 2)2

2. y � (x � 1)(x � 4) 7. y � �5x2 � 10x

3. y � 3(x � 1)(1 � x) 8. y � x3 � 4

4. y � 1��x

� 2 9. y � 2 � 3��x

5. y � 1��2x3 � 1 10. y � 3 � x3

1. Una persona tiene 40 metros de alambre y desea usarlo para cercar un terreno rectangular. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que se pueden cercar y que tiene área máxima?

2. Una pelota se lanza desde el suelo hacia arriba y la altura en metros está dada por y � �5t2 � 10t.

Tracen en su cuaderno la gráfica de y � �5t2 � 10t.

Encuentren el máximo de la función. ¿Cuándo alcanza la pelota la altura

máxima? _____________________________________________________

¿Cuál es esa altura? ____________________________________________

Parábola

Escribe la ecuación de una parábola que pasa por el punto (0, 2) y

que intersecta al eje x en los puntos (2, 0) y (1��2, 0). Haz la gráfica en

tu cuaderno.

Apolonio fue el primero en nombrar y caracterizar a la parábola como la intersección de un cono recto y un plano.

Ecuaciones no linealesTEMA 1

NÚMEROS CONSECUTIVOS

Encuentra un número entero que multiplicado por el siguiente dé 6.

Para resolver este problema puedes tratar de hacerlo por ensayo y error.

¿Cuál crees que sea ese número? _____________________________

Explica por qué: ________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

¿Crees que es la única solución? ____________________________

¿Podrías encontrar otra? _______________________________________

_________________________________________________________

Otra solución es plantear una ecuación.

Denotemos con x el número que se busca y con x � 1 el siguiente número.

Así, como el producto de esos dos números debe ser igual a 6, tenemos la ecuación

x(x � 1) � 6

Desarrolla la parte de la izquierda ___________ � 6

Escríbela como una ecuación igual a cero _____ _____ 6 � 0

Recuerda que es muy fácil resolver una ecuación cuando ésta se fac-toriza por medio de términos lineales (tema 1, bloque 1), por lo que trataremos de hacer eso aquí. Queremos tener algo del tipo siguiente:

(x � a)(x � b) � 0

Desarrolla la parte de la izquierda y completa.

x² � ( _____ _____ ) x _____ � 0

Cápsula

A la expresión de la forma ax 2 � bx � c � 0, se le llama ecuación de segundo grado con una incógnita. En el monomio ax 2 la variable x está elevada al exponente 2.

94 BLOQUE 2 ECUACIONES NO LINEALES 95 ECUACIONES NO LINEALES

La ecuación que queremos resolver es x² � x � 6 � 0. Por lo tanto, para tener algo del tipo (x � a)(x � b) en este caso debemos considerar que ab � �6; es decir, a y b deben ser dos números enteros de signos contrarios que al multiplicarlos nos den �6, y al sumarlos nos den 1. Los posibles valores de a y b son éstos: 1 y 6, 2 y 3, 3 y 2, y 6 y 1. Como deben tener signos contrarios y como a � b debe ser igual a 1, hagamos una tabla con todas las posibilidades.

Completa la tabla.

a b a � b

1 6�1 6 5

1 �5

2 3�2 1

2 �1

3 22

1

6 1�6

6 �1 5

Localiza el lugar donde la suma es 1. ¿Qué observas? ______________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

¿Qué valores les corresponden tanto a a como a b? ________________

Sabemos que (x � a)(x � b) � (x � b)(x � a) basta con determinar que a � �2 y que b � 3. En efecto, a y b juegan papeles similares, por lo que usar 1 y �6 ó �6 y 1 es lo mismo. De manera que la tabla anterior se puede reducir a la mitad, por lo que hay que usar únicamente los renglones en azul oscuro.

Así, x² � x � 6 � 0 se puede factorizar como (x � 2)(x � 3) � 0. Ahora es más sencillo resolver la ecuación, porque se tiene que (x � 2) � 0 ó que (x � 3) � 0, de ahí que entonces se tengan dos so-luciones posibles al problema:

x � _____ ó x � _____

Ecuaciones y el cálculo de áreas

Si la longitud de la diagonal de un cuadrado es de 8.5 cm, encuentra

la medida de su lado. Puedes usar tu calculadora. __________________

_______________________________________________________________

Recuerda que hacer un dibujo siempre ayuda. Observa el que aparece al costado y responde las siguientes preguntas.

Las soluciones de las ecuaciones de segundo grado fueron introducidas en Europa en el siglo XII por el matemático judío-españolAbraham bar Hiyya.

A B

CD

8.5 cm

Actividades. Consta de una serie de ejercicios con la que podrás reafirmar los conceptos y habilidades adquiridos.

Diagramas. Apoyos visuales que te permiten comprender mejor los conceptos.

Trabajo en equipo. En esta sección se propone que todos los integrantes del equipo aporten ideas para encontrar la solución de una problemática o llegar a una conclusión.

Tablas utilizadas para representar o agrupar información o datos, y que también son organizadores que te permiten establecer conclusiones para encontrar una regla.

Problema de entrada. El objetivo de este texto es comenzar a familiarizarte con el tema partiendo de los conocimientos que ya posees y de algunos conceptos básicos.

Cápsulas en las que se definen algunos conceptos que favorecen un mejor aprovechamiento de los conocimientos matemáticos.

Subtítulo o nombre de la actividad de inicio.

Título del tema

Actividades de ejercitación que te guían paso por paso en la construcción del conocimiento.


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162 ECUACIONES CUADRÁTICAS Y LA FÓRMULA GENERAL

La reserva ecológica

El perímetro de una reserva ecológica de forma rectangular es de 8 km y su área es de 3 km2. Encuentra sus dimensiones.

Como el rectángulo tiene dos medidas, denotémoslas con x y y.

Así, el perímetro es ______________ � 8, Despeja y � ______________

El área es xy � 3. Ahora, sustituye y por su valor en función de x, desarrolla, escribe una ecuación de segundo grado y resuélvela.

Como obtuviste dos raíces, ¿cuál de ellas es la solución del problema?

____________ Indica las medidas del rectángulo: largo ___________ y

ancho ____________, o bien, largo ____________ y ancho __________

¿Qué observas? _______________________________________________

_____________________________________________________________

Los espárragos

En este momento, un agricultor puede cosechar 50 kg de es párragos y venderlos a $40 cada uno. Por cada semana que espere, su cosecha aumentará 10 kg, pero el precio bajará $4. ¿En qué semana debe ven-derlos para obtener $2 160?

En el problema se pide establecer el momento en que el agricultor tiene que vender los espárragos para obtener $2 160.

Denota por t el número de semanas contadas hasta ese momento. Esto es lo que estás buscando. Después de una semana tendrá 50 � 10 kg; después de dos, 50 � 10 (2); después de tres, 50 � 10 (3).

Anota la cantidad de espárragos después de t semanas. ___________

Analicemos el precio. Cada semana baja $4. La primera semana el precio es de 40 � 4; la segunda, 40 � 4 (2); la tercera, 40 � 4 (3).

Escribe el precio después de t semanas: ___________

El agricultor puede calcular el precio de venta multiplicando el número de kilogramos en la semana t por el precio del kilogramo en esa semana.

Así, obtendrá la cantidad de $2 160: ___________________ � $2 160

En tu cuaderno, desarrolla la parte izquierda, escribe una ecuación de segundo grado, resuélvela e interpreta el resultado.

Resuelve en tu cuaderno.

1. Encuentra dos números enteros, positivos, pares y consecutivos cuya suma de sus cuadrados sea 340.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x2 � 11x � 30 � 0 b) x2 � 4x � 30 � 45c) 6x2 � 5x � 1 � 0 d) 4x2 � 17x � 4 � 0

3. Una alfombra de 6 � 9 m cubre la mitad del área de una habitación rectangular. Si alrededor de la alfombra quedan bandas del mismo ancho sin cubrir, ¿cuáles son las dimensiones de la recámara?

ACTIVIDADES

Razón áurea

Si un segmento se divide en dos partes de modo que ABAM

�AMMB

, enton-

ces se dice que dichas partes están en proporción áurea, que se conoce

como número de oro y se denota por .

Observemos, entonces, que ABAM

�AMMB

� �, de ahí que

�AB

AM�

AM +MBAM

�AMAM

�MBAM

�1�1

��

Para resolver la ecuación � � 1 � 1–�

escríbela como una de segundo

grado e indica en qué se utiliza y cuál es su origen.

1. Si se lanza una pelota hacia arriba a una velocidad de 30 m/s, ¿en qué instante la pelota estará a 45 m de altura? Explica en tu cuaderno por qué es la máxima altura que alcanza la pelota. Recuerda que estamos tomando g � 10 m/s2.

2. Si 2x2 � 3x � 6 � 2�6, determina x. Explica en tu cuaderno cómo logras los resultados.

TRABAJO EN EQUIPO

A BM

Para saber más sobre el número de oro, razón áurea o proporción áurea puedes consultar:http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/Rc-25/RC-25.htm

Cápsula

El símbolo con el que se denota la proporción áurea es la letra griega phi.

163 ECUACIONES CUADRÁTICAS Y LA FÓRMULA GENERAL

210 AUTOEVALUACIÓN

Marca la respuesta correcta.

1. Las rectas PU, QV y RW PQQR =

VW

a) PQ b) UW c) VW d) UV e) PR

2. KJH JLHJ = 9, HL = 6 y JK LK

a) 13 b) 5410

c) 203 d) 9

e) 53

3. y = x3 y x = – 12

a) 12 b) – 14 c) 14 d) 18 e) – 18

4. L

a) y = x2 + 4 b) y = x2 – 2 c) y = (x–2)2 + 4 d) y = (x–2)2 – 4 e) y = (x+2)2 + 4

5. y =mx +b m < 0 y b

a) b) c) d) e)

SEXTA AUTOEVALUACIÓN MENSUAL Temas 3, 4 y 5

BLOQUE 3

PQ

R

U VW

J

HK L

y

x

211 AUTOEVALUACIÓN

6. -

7. x + y

8. x si m n

9. O

k = 12

10.

1014

12

m

nx

m n

A

B

O

x

y

Problema de cierre. Es una situación problemática que abarca los aspectos más sobresalientes de cada tema para que lleves a la práctica lo aprendido.

Ejemplos. Aquí se presenta la resolución de un ejercicio con el fin de ayudarte a adquirir las habilidades necesarias para alcanzar los objetivos de la asignatura.

Recursos e investigación. En estos apartados se proponen fuentes de consulta, así como investigar temas o conceptos para enriquecer la información del libro.

Autoevaluaciones. Al final de cada bloque encontrarás dos de estas pruebas. Ellas te ayudarán a evaluar tu aprendizaje acerca de los temas que estudiaste a lo largo del bloque.


encuentro con las matemáticas -...

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