manejo de expresiones algebraicas · 2.2 simplificar expresiones algebraicas utilizando productos...

Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica

Reforma académica 2003 34

MANEJO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Al finalizar el capítulo el alumno

manejará expresiones algebraicas para la solución de problemas


Reforma académica 2003

35

MAPA CURRICULAR

1.1 Identificar los subconjuntos de los números reales de acuerdo con su clasificación.

2 h

1.2 Resolver problemas mediante el desarrollo de operaciones con números reales.

15 h

2.1 Realizar operaciones con expresiones algebraicas de acuerdo con los procedimientos establecidos.

17 h

2.2 Simplificar expresiones algebraicas utilizando productos notables y factorización.

10 h

3.1 Resolver problemas que involucren la solución de una ecuación

de primer grado de acuerdo con los procedimientos establecidos.

8 h

3.2 Resolver problemas que involucren la solución de sistemas de ecuaciones de primer grado de acuerdo con los procedimientos establecidos.

10 h

3.3 Resolver problemas que involucren la solución de ecuaciones de segundo grado de acuerdo con los procedimientos establecidos.

10 h

Módulo

Matemáticas I Aritmética y

Álgebra

72 h

1. Solución de problemas de

números reales.

17 h

2. Manejo de expresiones algebraicas.

27 h

3. Solución de ecuaciones de

primer y segundo grado y sistemas de ecuaciones de

primer grado.

28 h

Resultados del aprendizaje

Unidad de aprendizaje



L

SUMARIO

Conceptos algebraicos Operaciones con expresiones

algebraicas Productos notables Factorización

RESULTADO DEL APRENDIZAJE 2.1 Realizar operaciones con

expresiones algebraicas de acuerdo con los procedimientos establecidos.

2.2 Simplificar expresiones algebraicas utilizando productos notables y factorización. 2.1 REALIZAR OPERACIONES

CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS DE ACUERDO CON LOS PROCEDIMIENTOS ESTABLECIDOS.

2.1.1. CONCEPTOS ALGEBRAICOS Las matemáticas son una herramienta a través de la cual se puede representar la realidad. Como esto tiene una lógica, necesita de un lenguaje propio para facilitar su entendimiento. En el presente capítulo exploraremos algunas formas de abstracción de la realidad que nos permite el uso adecuado de los números en comunión con las literales.

• Variables Cuando se utilizan letras para representar números se les conoce como variables o literales, ya que la letra puede ser sustituida por un número específico o por varios valores; por ejemplo, en las fórmulas matemáticas se utilizan las variables. Conocemos la fórmula para obtener el área de un rectángulo como: A = b × a; donde A es el área o resultado de multiplicar el valor que tenga la base del rectángulo por la altura del mismo, a y b se sustituyen por valores dependiendo del rectángulo que se trate

Para simbolizar cuatro niñas podemos escribirlo como 4n, donde n es la variable asignada a niñas. • Constantes Cuando dentro de una fórmula con variables se tiene un número a éste se le denomina como constante, pues no cambiará al irse modificando los valores asignados a las diferentes variables. Por ejemplo, en el caso de la fórmula para el perímetro de un cuadrado:



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P es la variable para perímetro, 4 será una constante y L significa lo que mide el lado. En el caso de que cada lado del cuadrado valga 8, se sustituye L por 8, quedando P = 4 × 8 resultando entonces a P el valor de 32. Pero si cada lado mide 7 P = (4)(7) = 28, en este caso el perímetro será igual a 28, pero la constante de que el cuadrado tiene cuatro lados se seguirá cumpliendo. • Expresiones algebraicas Una vez conocida la función de una variable, lo siguiente es identificar cómo podemos utilizarla. Las expresiones algebraicas son opera-ciones conformadas con variables y constantes, éstas pueden ser de uno o varios términos.

En este caso, podemos simbolizar tres pelotas como 3p y dos carritos como 2c, quedando 3p + 2c. Ahora bien, un término es la parte de la expresión algebraica separada por un signo que pueden ser el +, - o igual.

3g + 6ab + 4h • Coeficiente

Un coeficiente es el número o letra que antecede a la variable y se encuentra multiplicándola, es decir, nos indica cuantas veces se repite la variable. En el caso de 3g, el coeficiente es 3 y nos dice que se multiplique a g por 3, es decir que se sume 3 veces g

3g = g + g + g 6ab = ab + ab + ab 4h = h + h + h + h

• Exponente El exponente nos indicará cuantas veces se multiplicará la variable o constante que lo contenga

a4 = a × a × a × a Cualquier cantidad elevada a la cero potencia es igual a 1

100 = 1 30 = 1

1300 = 1 Realización del ejercicio El Alumno: Escribirá en lenguaje

algebraico situaciones de la vida diaria Ejemplo: En este semestre se llevan 5 horas de clase de matemáticas, 3 horas de inglés, 2 horas de laboratorio, 4 horas de física y 4 horas de química a la semana, quedaría expresado de la siguiente forma:



5m + 3i + 2l + 4f +4q en donde cada literal significa la primera de letra de la materia. • Términos semejantes Los términos son semejantes cuando las variables que contienen son iguales y con los mismos exponentes, en cuyo caso se podrán sumar o restar sus coeficientes.

4b + 2b + 7b = 13b A está suma se le conoce como reducir los términos, en el caso siguiente:

4b + 2ab + 7b + 6b2 los términos 4b y 7b se pueden reducir sumándolos, pero el término 2ab ya no es semejante al contener la variable b; en el caso de 6b2 el término b se encuentra al cuadrado, por lo tanto la expresión algebraica quedaría

4b + 2ab + 7b + 6b2 =

11b + 2ab + 6b2 2.1.1.1 MONOMIOS Y POLINOMIOS • Monomios Cuando la expresión algebraica consta de un solo término se le conoce como Monomio y el grado de éste es la suma de los exponentes que tengan sus variables.

6d monomio de primer grado 6dp monomio de segundo grado, ya que el exponente de d es de 1 más el exponente de 1 de p 3jr2 monomio de tercer grado por la suma del exponente 2 de la r más el exponente 1 de j. • Binomios Se diferencia un binomio cuando la expresión algebraica tiene dos términos

5t + 4jt 3f + 4gd

• Trinomio Trinomio es el nombre que se le asigna a la expresión algebraica con tres términos

7g + 3yu + 2d 2k + 6t +2abc

• Polinomio En cambio, corresponde el término polinomio a la expresión algebraica compuesta de dos o más términos, es decir, puede ser un binomio, trinomio o contener más términos.

Investigación documental El Alumno:

Realizará un trabajo escrito con los conceptos básicos de álgebra, explicándolos con sus propias palabras.



39

2.1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS • Suma y resta de polinomios Para poder realizar sumas o restas entre los términos de una expresión algebraica, es necesario que estos términos sean semejantes, en cuyo caso lo que se realiza es sumar o restar dependiendo del signo que se tenga los coeficientes de los términos y escribir sus literales.

15ad + 3ad – 8ad = 10ad En este caso se suman y restan los números 15 + 3 – 8 y se le adicionan las variables ad. A la acción de realizar la suma y resta de términos de polinomios se le conoce como reducción de términos semejantes. Cuando se suman y restan varios polinomios la metodología es: 1. Realizar la reducción de cada

polinomio 2. Ordenar cada polinomio, lo que

significa escribir sus términos en orden alfabético

3. A continuación ordenar los

polinomios de acuerdo con su grado, determinado por el término de mayor grado y se ordena de forma creciente o decreciente

El polinomio: 5x7 + 3x3 + 2x5 + 7x4

quedaría

5x7 + 2x5 + 7x4 + 3x3 descendente 3x3 + 7x4 + 2x5 + 5x7 ascendente

Este polinomio es de grado 7, por ser el mayor

4. Se colocan los términos semejantes unos debajo de otros para reducir

Ejemplo: Suma de los siguientes polinomios: 6a2b2 + 3ab – 5 a2b2 – 5ab – 2 -5a2b2 – 4ab Ya se encuentran ordenados y se acomodan por términos semejantes 6a2b2 + 3ab – 5 a2b2 – 5ab – 2 -5a2b2 – 4ab 2a2b2 + 6ab – 7 El resultado de la suma de polinomios será:

2a2b2 + 6ab – 7 Para restar polinomios, se le cambian los signos al polinomio sustraendo de acuerdo con los términos y se suman los polinomios. Ejemplo:

(2a2b2 + 6ab – 7) – (6a2b2 + 3ab – 5)



Se cambian los signos del polinomio que restamos:

-6a2b2 - 3ab + 5 luego se suman los polinomios: (2a2b2 + 6ab – 7) + (-6a2b2 - 3ab + 5)

Ya se encuentran ordenados y se acomodan por términos semejantes:

2a2b2 + 6ab – 7 -6a2b2 - 3ab + 5

-4a2b2 + 3ab – 2

• Multiplicación de monomios Para multiplicar monomios con las mismas literales se suman los exponentes de las literales, el resultado será el exponente con la misma literal, es decir, si se tiene el producto de

e2 × e5 × e3 = e2+5+3= e10

ab2 × a2b × a3b2 = a1+2+3b2+1+2 = a6b5 Cuando se tienen literales diferentes se transcriben al resultado o producto y se ordenan alfabéticamente

af × eg = afeg = aefg ac2 × cd3e = ac3d3e

nótese que en el caso de la literal c que se presentaba en ambos términos se realizó la suma de sus exponentes, las demás literales que eran diferentes se transcribieron con sus exponentes.

Cuando los monomios tengan coeficientes, éstos deben multiplicarse

6bc3 × 2bde = 12b2c3de Para el producto de monomios se debe cumplir con las leyes de la multiplicación (conmutativa, asociativa, distributiva). • Multiplicación de polinomios Uno de los ejercicios más difíciles de la presente unidad es la multiplicación de polinomios. Para resolver una ecuación de este tipo se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por los del segundo polinomio empezando por el de la izquierda.

(a + b)(c + d) a + b c + d

c(a + b) = ac + bc d(a + b) = ad + bd

ac + bc + ad + bd

(a2 + ab + 1)(a2 +ab) a2 + ab + 1 a2 + ab

a2(a2+ab+1) = a4 + a3b + a2 ab(a2+ab+1) = a3b + a2b2 + ab a4 +2a3b + a2 + a2b2 + ab

nótese que se tienen términos semejantes y se pueden reducir.



41

Una vez más, en la multiplicación de polinomios se cumple con las leyes antes descritas de los signos. • División de un monomio entre

un monomio Ahora la contraparte, para la división de monomios con la misma literal, sólo se requiere restar al exponente del dividendo el del divisor y tomarlo como el exponente del cociente con la misma literal.

g8 / g5 = g8 – 5 = 3 = g3 Se debe recordar que todo número o literal con exponente cero será igual a uno.

e7g5 / e5g5 = e7 – 5 = 2g5 – 5 = 0 = e2g0 = e2(1) = e2

En el caso de tener coeficientes, estos se dividen, si no son divisibles se dejan expresados

6b6d2 = 3b2d 2b3d

7c4d = 7 c2 2c2d 2 Si una de las literales sólo se encuentra en el denominador, ésta no puede dividir al numerador y se deja indicada en el denominador:

4c8 = 2 c6 2c2d d

• División de un polinomio entre un monomio

Podría pensarse que se trata de términos muy diferentes, sin embargo, ya se ha visto la posibilidad de mezclar y realizar operaciones con los diferentes tipos de polinomios y monomios. Para llevar a cabo esta operación se requiere ir dividiendo cada término del polinomio entre el monomio

8b2c + 6b5 +4b3c = 2bc

8b2c + 6b5 + 4b3c = 2bc 2bc 2bc 4b + 3b4 + 2 b2

c • División de un polinomio entre

un polinomio Los polinomios se ordenan según la misma literal y se efectúa la operación (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) / (a2 + 2ab + b2) a + b cociente a2 + 2ab + b2 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 divisor -a3 - 2a2b - ab2 a2b + 2ab2 + b3

- a2b - 2ab2 - b3 0 residuo La metodología es la siguiente:

Obtener el primer término del cociente, dividiendo el primer



término del dividendo entre el primer término del divisor

a3 / a2 = a

Multiplicar el divisor por el

primer término del cociente

(a2 + 2ab + b2) * (a) =

a3 + 2a2b + ab2

Restar este producto al dividendo, al resultado de esta resta se le conoce como primer residuo

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 -a3 - 2a2b - ab2

- a2b + 2ab2 + b3

Buscar el segundo término del cociente dividiendo el primer término del primer residuo entre el primer término del divisor

(a2b + 2ab2 + b3) / a2 = b

Repetir los pasos anteriores,

multiplicar el divisor por el segundo término del cociente

(a2 + 2ab + b2) * (b) =

a2b + 2ab2 + b3

y se le resta al primer residuo, en caso de requerirse se continuaría de la misma manera.

Trabajo individual El Alumno: Resolverá problemas cotidianos en donde se

tengan dos incógnitas susceptibles de resolver por cualquiera de los métodos de ecuaciones simultáneas Ejemplo: Una compañía con dos tiendas compra seis camionetas grandes y cinco pequeñas para entregar sus productos. La primera tienda recibe cuatro camionetas grandes y dos pequeñas con un costo total de $160,000. La segunda tienda recibe dos camionetas grandes y tres pequeñas con un costo total de $128,000 ¿Cuál es el costo de cada tipo de camioneta? Planteamiento Las dos incógnitas son el costo y el tipo de camioneta X = costo de la camioneta grande Y = costo de la camioneta pequeña De la primera tienda se tiene 4x + 2y = $160,000 de la segunda tienda

Realizar la práctica número 2. “Aplicación de operaciones y expresiones algebraicas”.

Realizar la práctica número 3. “Manejo de operaciones con expresiones algebraicas”.



43

2x + 3y = $128,000 Utilizando el método de eliminación Se multiplica la segunda ecuación por -2, quedando -4x -6y = -256000 sumando las ecuaciones 4x + 2y = 160000 -4x – 6y = - 256000 - 4y = - 96000 despejando y y = - 96000/- 4 y = 24000 el costo de la camioneta pequeña es de $24,000 sustituyendo en la ecuación 1 4x + 2(24000) = 160000 4x + 48000= 160000 4x = 16000 – 48000 4x = 112000 x = 112000/4 x = 28000

el costo de la camioneta grande es de $28,000 Las soluciones son: Costo de la camioneta grande = $28,000 Costo de la camioneta pequeña = $24,000 2.2 SIMPLIFICAR EXPRESIONES ALGEBRAICAS UTILIZANDO PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN 2.2.1 PRODUCTOS NOTABLES

• Cuadrado de un binomio

(a + b)2 = (a + b) × (a + b) =

a + b a + b

a2 + ab ab + b2

a2 + 2ab + b2 Como se puede ver, el cuadrado de la suma de dos literales es igual al cuadrado de la primera más dos veces la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda. Cuando el binomio tiene signo negativo en uno de sus términos

(a - b)2 = (a - b) * (a - b) =

a - b a - b

a2 - ab



- ab + b2 a2 - 2ab + b2

• Producto de dos binomios

conjugados Al realizar el producto de la suma por la diferencia de dos números se obtendrá como resultado el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

(a + b) (a – b) = a2 – b2 a + b a – b a2 + ab - ab - b2 a2 - b2 Ejemplo: (2c – 3d) (2c + 3d) = 4c2 – 9d2 2c – 3d 2c + 3d 4c2 - 3d + 3d - 9d2 4c2 - 9d2 • Producto de dos binomios que

tienen un término en común El resultado que se obtendrá de multiplicar dos binomios con un término en común será igual al cuadrado del término en común más el producto del término en común por la suma algebraica de los dos términos diferentes, más el producto de los dos términos diferentes.

(a + b) (a + c)

a + b a + c a2 + ab ac + bc

a2 + ab + ac + bc a2 + a (b + c) + bc Ejemplo:

(a + 3) (a + 2)

a + 3 a + 2

a2 + 3a 2a + (3)(2) a2 + 5a + 6

Estudio individual El Alumno: Aplicará productos notables

en la simplificación de expresiones algebraicas. Ejemplo: Se requiere conocer el área de un terreno rectangular para venderlo a $100.00 por metro cuadrado; sus dimensiones son: largo (3x + 4) metros y ancho (3x – 3). A = largo × ancho (3x + 4) (3x – 3) = (3x)2 + 3x (4 – 3) + 4 (- 3) = 9x2 + 3x – 12 el área es 9x2 + 3x – 12 m2



45

• Binomio al cubo Al realizarse el cubo de un binomio de términos que se suman se obtiene:

El cubo del primer término Más el triple del cuadrado del

primero por el segundo Más el triple del cuadrado del

segundo por el primero Más el cubo del segundo

(a + b )3

a + b a + b

a2 + ab ab + b2

a2 + 2ab + b2 a + b

a3 + 2a2b +ab2 a2b + 2ab2+ b3

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a2 + 5)3

a2 + 5 a2 + 5

a4 + 5a2 5a2 + 52

a4 + 10a2 + 25 a2 + 5 a6 + 10a4 + 25a2 5a4 + 50a2+ 5(25)

a6 + 15a4 + 75a2 + 125 En el caso de que el binomio sea una resta de términos se obtendría:

El cubo del primer término Menos el triple del cuadrado del

primero por el segundo

Más el triple del cuadrado del

segundo por el primero Menos el cubo del segundo

término.

(a + b )3

a - b a - b

a2 + ab - ab + b2

a2 - 2ab + b2 a - b

a3 - 2a2b +ab2 - a2b + 2ab2 - b3

a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 2.2.2. FACTORIZACIÓN Factorizar un número entero significa expresarlo como el producto de otros números enteros • Monomio factor común Recordando que los números primos sólo son divisibles entre sí mismos y la unidad, para que un divisor sea factor primo debe ser divisible únicamente entre sí mismo y la unidad. Si se quiere encontrar el Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más monomios, se encuentra el MCD de los coeficientes y de las variables que aparecen en todos

Realizar la práctica número 4. “Aplicación de productos



los monomios se eligen las que se encuentren elevadas al menor exponente. Por ejemplo:

8a3b2 = 2 × 4a3b2 4a3b2 = 2 × 2a3b2 2a3b2 = 2 × a3b2

a3b2 = a × a × a × b × b los factores primos de 8a3b2 son 2, a y b Ejemplos de varios monomios

18ab, 6ac, 15ad En este caso 18, 6 y 15 son divisibles entre 3 y los tres términos tienen solamente en común la literal a, por lo tanto los factores de estos tres monomios son 3 y a • Trinomio que es un cuadrado

perfecto Un trinomio cuadrado perfecto se descompone en:

La suma o diferencia de las raíces de los términos cuadrados según el signo del doble del producto de ambos términos

a2 + 2ab +b2 = (a + b)2 a2 - 2ab +b2 = (a - b)2

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se requiere, primero, determinar si en realidad corresponde al cuadrado de un binomio con términos semejantes.

Por ejemplo:

4c2 + 8cy + 4y2 Se puede comprobar al verificar que el segundo término corresponda al doble de la multiplicación de la raíz de los otros dos términos 8cy = 2 4c2 4y2 = 2 (2c)(2y) como sí corresponde, se tiene:

4c2 + 8cy + 4y2 = (2c + 2y) • Diferencia de dos cuadrados La diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de la suma de sus raíces cuadradas por su diferencia

a2 - b2 = (a + b) ( a – b) 4c4 – 4d2 = (2c2 + 2d) (2c2 – 2d) • Polinomio que es un cubo

perfecto La suma de dos cubos se descompone como el producto de un binomio por un trinomio en donde:

El binomio es la suma de dos términos que corresponden a la raíz cúbica del binomio resultante;

Y el trinomio es el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de ambas raíces, más el cuadrado de la segunda

(a + b) (a2 – ab +b2) = a3 + b3



47

Por ejemplo:

8a3 + 125 = el binomio sería la raíz cúbica

2a + 5 y el trinomio

(2a)2 – (2a) (5) + 52 = 4a2 – 10a + 25

por lo tanto 8a3 + 125 = (2a + 5) (4a2 – 10a + 25)

La diferencia de dos cubos se descompone también como el producto de un binomio por un trinomio donde:

El binomio es la diferencia de dos términos que corresponden a la raíz cúbica del binomio resultante;

Y el trinomio es el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de ambas raíces, más el cuadrado

(a - b) (a2 + ab +b2) = a3 – b3

RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS Utilice la propiedad indicada 1. Propiedad Distributiva

5(x + 6) 2. Propiedad Conmutativa de la multiplicación

5(x + 6) 3. Propiedad conmutativa de la multiplicación

6(xy) 4. Propiedad asociativa de la multiplicación

6(xy) Escriba cada expresión como una multiplicación repetitiva 5. x3 x4 6. (y/5)4 Escriba cada expresión en notación exponencial 7. (5x) (5x) (5x) (5x) 8. (y × y × y) ( z × z × z) Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar las siguientes expresiones 9. 33y4 × y2

10. (-4x)2 11. (-5z2)3 12. (xy)(3x2y3) Realice las sumas de los siguientes polinomios 13. (5x2 – 3x + 4) + (-3x2 –4)

Realizar la práctica número 5. “Manejo de la factorización”.



14. (2b -3) + (b2 –2b)+ (7 –b2) Restas de polinomios 15. (x2 – x + 3) – (x – 2) 16. (-2x3-15x+25) – (2x3-13x+12) Multiplicaciones de polinomios 17. (x3 – 3x + 2)(x – 2) 18. (u + 5)(2u2 + 3u – 4) 19. (2x2 – 3)(2x2 – 2x + 3) Factorice 20. x2 – 64 21. 16y2 – 9z2 22. x2 – 4y 23. x2 – 4x + 4 24. 9x2 – 30xy + 25y2 RESULTADOS 1. 5x + 5 × 6

5x+30 2. (x + 6)5 3. (xy)6 4. (6x)y 5. (x x x) (x x x x) 6. (y/5) (y/5) (y/5) (y/5) 7. (5x)4 8. x3y3 9. 27y6 10. 16x2 11. –125z6 12. 6x3y4 13. 2x2 –3x 14. 4 15. x2 –2x + 5 16. –4x3 –2x +13 17. x4 –2x3 – 3x2 +8x – 4 18. 2u3 + 13u2 + 11u – 20

19. 4x4 – 4x3 +6x – 9 20. (x + 8) (x – 8) 21. (4y + 3z) (4y –3z) 22. (x +2y) (x – 2y) 23. (x – 2)2 24. (3x – 5y)2



49

PRÁCTICAS Y LISTAS DE COTEJO

DESARROLLO DE LA PRÁCTICA

Unidad de aprendizaje:

2

Práctica número: 4 Nombre de la práctica:

Aplicación de productos notables.

Propósito de la práctica:

Al finalizar la práctica, el alumno aplicará productos notables en expresiones algebraicas.

Escenario: Aula Duración: 3 h

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta

• Cartulina

• Plumones

• Hojas blancas tamaño carta.

• Lápiz y goma.



Procedimiento

Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de

trabajo 1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de acuerdo a las

instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo. Serie 1: Desarrollar las siguientes expresiones y comprobar el resultado por multiplicación:

( )

( )

( )

( )

2

2

23 2

22 2 3

). 2 3

). 3 4

). 2 3

). 4 3

a a

b a b

c x y

d a b c d

+ =

+ =

+ =

+ =

( )

( )

25 6

2

22 2

). 3 4

1 3). 2 4

). 4 2

e x y

f x

g xy x y

+ =

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

+ =

Serie 2: Desarrollar las siguientes expresiones y comprobar el resultado por multiplicación:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

a a

b x

c x y

d x y

e a

f a b

g ab a b

).

).

).

).

).

)

).

2 4

4 2

5 3

3 2

14

23

4 3

3 2

2

2

2

3 2 2

2

5 2 2

2 2 2

− =

− =

− =

− =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

− =

− =



51

Procedimiento Serie 3: Desarrollar las siguientes expresiones y comprobar el resultado por multiplicación:

2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA.,

utilizando las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural. 3. Presentar conclusiones por equipo. 4. Elaborar un resumen de productos notables. 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las

conclusiones de la misma. Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje.



LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 4: Aplicación de productos notables

Fecha: ______________

Nombre del alumno: __________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno.

De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño.

Desarrollo Si No No Aplica

Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica.

• Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los

documentos de trabajo.

1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA

- Resolvió la serie 1 de ejercicios - Resolvió la serie 2 de ejercicios - Resolvió la serie 3 de ejercicios

2. Elaboró en cartulinas los ejercicios. 3. Cada equipo nombró un relator.

- El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios - Resolvieron dudas y preguntas

4. Elaboró el resumen de productos notables. 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la

práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma.

Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas.

Observaciones:

PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación:



53

DESARROLLO DE LA PRÁCTICA

Unidad de aprendizaje:

2

Práctica número: 5 Nombre de la práctica:

Manejo de la Factorización.

Propósito de la práctica:

Al finalizar la práctica, el alumno aplicará la factorización en la simplificación de expresiones algebraicas.

Escenario: Aula Duración: 4 h

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta

• Cartulina

• Plumones

• Hojas blancas tamaño carta.

• Lápiz y goma.



Procedimiento

Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de

trabajo. 1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de acuerdo a las

instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo.

1.) 5a2 + a = 2.) m2 + 2mx + x2 = 3.) a2 + a - ab - b = 4.) x2 - 36 = 5.) 9x2 - 6xy + y2 = 6.) x2 - 3x - 4 = 7.) 6x2 - x - 2 = 8.) 1 + x3 = 9.) 27a3 - 1 = 10.) x5 + m5 =

11.) a3 - 3a2b + 5ab2 = 12.) 2xy - 6y + xz - 3z = 13.) 1 - 4b + 4b2 = 14.) 4x4 + 3x2y2 + y2 = 15.) x8 - 6x4y4 + y8 = 16.) a2 - a - 30 = 17.) 15m2 + 11m - 14 = 18.) a6 + 1 = 19.) 8m3 - 27y6 = 20.) 16a2 - 24ab + 9b2

21.) 1 + a7 = 22.) 8a3 - 12a2 +6a - 1 23.) 1 - m2 = 24.) x4 + 4x2 - 21 25.) 125a6 + 1 26.) a2 + 2ab + b2 - m2 27.) 8a2b + 16a3b - 24a2b2 28.) x5 - x4 + x - 1 = 29.) 6x2 + 19x - 20 30.) 25x4 - 81y2 =

31.) 1 - m3 = 32.) x2 - a2 + 2xy + y2 + 2ab - b2 33.) 21m5n - 7m4n2 + 7m3n3 - 7m2n 34.) a ( x + 1 ) - b ( x + 1 ) + c ( x + 1 ) 35.) 4 + 4 ( x - y ) + ( x - y )2 36.) 1 - a2b4 = 37.) b2 + 12ab + 36a2 = 38.) x6 + 4x3 - 77 = 39.) 15x4 - 17x2 - 4 = 40.) 1 + ( a - 3b )3 =

2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA.,

utilizando las cartulinas para una explicación con material de tipo mural. 3. Presentar conclusiones por equipo. 4. Elaborar un resumen de factorización. 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las

conclusiones de la misma. Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje.



55

LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 5:

Manejo de factorización

Fecha: ______________

Nombre del alumno: __________________________________________________________

Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno.

De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño. Desarrollo Si No No

Aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica.

• Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de

los documentos de trabajo.

1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA

- Resolvió la serie de ejercicios 2. Elaboró en cartulinas los ejercicios. 3. Cada equipo nombró un relator.

- El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios

- Resolvieron dudas y preguntas. 4. Elaboró el resumen de factorización. 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la

práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma.

Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas.

Observaciones:

PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación:



SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Y SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Al finalizar el capítulo el alumno

resolverá problemas que involucren ecuaciones de primer,

segundo grado y sistemas de ecuaciones de primer grado para

la solución de problemas



57

MAPA CURRICULAR DEL MODULO

1.1 Identificar los subconjuntos de los números reales de acuerdo con su clasificación.

2 h

1.2 Resolver problemas mediante el desarrollo de operaciones con números reales.

15 h

2.1 Realizar operaciones con expresiones algebraicas de acuerdo con los procedimientos establecidos. 17 h

2.2 Simplificar expresiones algebraicas utilizando productos notables y factorización. 10 h

3.1 Resolver problemas que involucren la solución de una ecuación

de primer grado de acuerdo con los procedimientos establecidos.

8 h

3.2 Resolver problemas que involucren la solución de sistemas de ecuaciones de primer grado de acuerdo con los procedimientos establecidos.

10 h

3.3 Resolver problemas que involucren la solución de ecuaciones de segundo grado de acuerdo con los procedimientos establecidos.

10 h

Módulo

Matemáticas I Aritmética y

Álgebra

72 h

1. Solución de problemas de

números reales.

17 h

2. Manejo de expresiones algebraicas.

27 h

3. Solución de ecuaciones de

primer y segundo grado y sistemas de ecuaciones de

primer grado.

28 h

Resultados del aprendizaje

Unidad de aprendizaje

manejo de expresiones algebraicas · 2.2 simplificar expresiones algebraicas utilizando productos...

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